Квазиоднородные спектральные задачи

Оглавление
1 Задача Штурма - Лиувилля. 4
1. Проблема спектра и изоспектральности.................... 5
2. Квазиоднородные струны.................................. 9
2.1. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны...................................................... 11
3. Задача восстановления квазиоднородной
струны по ее части..................................... 12
4. Канонические системы.................................... 16
5. Построение квазиоднородных канонических систем.......... 17
6. Квазиоднородные спектральные задачи на графах........... 20
6.1. Спектральная задача на графе...................... 20
6.2. Пример квазиоднородной неоднородной задачи на графе. 21
2 Условия квазиоднородности для струны. 22
1. Постановка задачи....................................... 22
2. Пример: однородная струна............................... 23
3. Уравнение спектра струны с кусочно-посто-янной плотностью.
Матрица перехода....................................... 23
4. Условия квазиоднородности в виде системы алгебраических уравнений.................................................... 31
к
1
5. Условия квазиоднородиости для сбалансированной струны, закрепленной на концах............................................. 32
G. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны, свободной на концах................................................. 34
7. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны, соединенной в кольцо............................................... 35
8. Струны квазиоднородныс по отношению к двум типам граничных условий...................................................... 38
3 Восстановление квазиоднородной струны. 39
1. Постановка задачи............................................. 39
2. Задача о восстановлении квазиоднородной струны по сс левой
части; сведение к алгебраической задаче...................... 43
3. Выделенные матрицы............................................ 44
4. Восстановление квазиоднородной струны но её левой части. . 50
5. Приложение. Вычисление элементов выделенной матрицы. . . 52
4 Канонические системы. 53
1. Постановка задачи.............................................. 53
2. Общее решение системы; матрица перехода....................... 54
3. Уравнение спектра n-звенной канонической системы.............. 5G
4. Условия квазиоднородности..................................... 5G
5. Построение квазиодиородных систем............................. 57
G. Задача факторизации........................................... 58
6.1. Алгоритм факторизации.................................. 60
7. Задача построения отмеченных матриц........................... 61
2
8. Примеры 3-х звенных квазиоднородных канонических систем. 66
5 Квазиоднородность на графе. 70
1. Спектральная задача на графе............................... 70
2. Уравнение для определения спектра графа «ракетка».......... 71
3. Вывод...................................................... 73
3
1 Задача Штурма - Лиувилля
Задачей Штурма -Лиувилля называют задачу по отысканию отличных от нуля решений (собственных функций) уравнения
- И*)] у'}' + я{х) У = л г(х) У.
удовлетворяющих граничным условиям вида
Аі у(а) І Ві у'(а) = О, А2 у{Ь) + В2 у'(Ь) = 0.
Для нас наибольший интерес представляет спектральная задача о струне с условием закрепления на концах; она имеет вид:
у"(х) = —X р у(х),
I11)
. у( 0) = у(Ъ) = о.
Задача (1.1) определяет набор чисел А (дающие ненулевые у) называемый спектром.
Эта задача устанавливает1 соответствие р •—► {А/,.}, исследование которого и составляет наш основной интерес.
Поиск по функции р набора чисел {А*} называют прямой задачей. Обратная задача это задача поиска решения р но заданному набору {А*}.
Спектр задачи (1.1) однократен [19], т.е. каждому собственному значению А/, соответствует единственная собственная функция у к. такам, что
у'к = -л* р Ук■
Из теории самосопряженных операторов известно, что собственные функции ук образуют в //2([0, Ь],р) ортонормироваиный базис, определяемый набор чисел {А^-}, к = 1, 2...., 0 < Аі < А2 < ..А* —*ехэ при п —+ эо.
4
В случае однородной струны, т.е. когда у/р(х) = а — сопвЬ, непосредственное вычисление дает
Асимптотичекое поведение собственных чисел при к —> оо определяется формулой [20]
1. Проблема спектра и изоспектральности.
В 1913 году Хендрик Антон Лоренц (1853 - 1928) сформулировал проблему |3|: как изменяется спектр собственных колебаний континуума при изменении его формы. Например, как изменяется спектр колебаний мембраны литавр при изменении формы се контура?
Вскоре появились работы Германа Вейля (1885 - 1955), которые устанавливают асимптотическую зависимость количества собственных значений (числа резонансов), не превосходящих числа /, от объема (К) и площади резонатора (5).
в трехмерном случае -
где с - скорость звука (3|.
Открытые Вейлем формулы показывают, как геометические характеристики объекта влияют на спектр, и эти формулы позволяют выразить неко-торы из этих характеристик через асимптотику спектра. Однако, полученные выражения не дают ответа на вопрос о разрешимости обратной задачи Штурма -Лиувилля.
в двухмерном -
5