2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение................................................................ 6
1°. Общая характеристика проблематики. Актуальность темы 6
2°. История вопроса............................................ 8
3°. Содержание диссертации..................................... 8
Глава 1. Приближения Бубнова-Галеркина................................ 10
§1. Функциональные пространства ................................... 10
1°. Банаховы пространства Ьр (0) и С(<2)....................... 10
2°. Банаховы пространства Нр(р.) и С* (о).......................... Ю
11
3°. Банаховы пространства Н1р(&)...............................
4°. Банаховы пространства Ьгр я (о х [0, /у ]).................... 12
5°. Пространства Ск ([0,/^],^), .................. 12
§2. Классические неравенства.......................................... 12
1°. Неравенство Юнга.............................................. 12
2°. Неравенство Гельдера.......................................... 12
3°. Неравенство Фридрихса......................................... 13
4°. Неравенство коэрцитивности Бернштейна-Ладыженской 13
5°. Неравенства теорем вложения................................... 13
6°. Мультипликативные неравенства вложения
Гальярдо-Ниренберга............................................... 14
7°. Оценка решения неравенства Гронуола........................... 14
8°. Неравенство коэрцитивности для бигармонического оператора. 14 §3. Начально-краевая задача для уравнений Маргсрра-Власова колебаний пологой оболочки с шарнирно закрепленным краем.............. 15
§4. Функциональное 1 фостранство Н\ (^> /^)............................ ^
1°. Определение Н\ (П,//)......................................... 17
2
3
2°. Видоизменение граничного условия (1.4.2)....................... 18
3°. Симметричность билинейной формы
(а2и, >')/.2(п) на А{0.,/л)........................................ 21
4°. Вложение пространства Нв Н\ (Г2)............................... 21
§5. Собственные значения и собственные функции однородной краевой задачи для бигармонического оператора при шарнирном
закреплении края.................................................... 23
1°. Положительная определенность бигармонического оператора... 23
2°. Задача на собственные значения.............................. 23
§6. Приближения Бубнова-! алеркина решений
начально-краевой задачи (1.3.1) -(1.3.7)...................... 25
1°. Обобщенные решения стационарной краевой задач
для продольных перемещений...................................... 25
2°. Приближения Бубнова-Галеркина.................................. 26
Глава 2. Существование обобщенных решений........................... 37
§ I. Энергетическое соотношение..................................... 37
§2. Равномерная ограниченность функционала энергии
на любом конечном промежутке времени................................ 42
§3. Равномерные энергетические оценки.................................. 54
§4. Теоремы существования обобщенных решений для случая
ограниченной области с гладкой границей............................. 58
1°. Гильбертовы пространства М.................................. 58
2°. Вывод интегрального соотношения для обобщенного решения. 58
3°. Определение обобщенного решения............................. 60
4°. Сходимость приближений Бубнова-Галеркина.................... 61
5°. Предел приближений Бубнова-Галеркина - обобщенное
решение............................................................ 64
6°. Теоремы существования обобщенного решения начальнокраевой задачи (1.3.1)—(1.3.7) в смысле (2.4.9)-(2.4.10)...... 67
3
4
Глава 3. Теорема единственности обобщенных решений.................. 69
§ 1. Разность двух решений.......................................... 69
1°. Соотношения для разностей двух решений......................... 69
2°. Бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения и>° по собственным
функциям краевой задачи (1.5.1)-(1.5.2)........................ 70
§2. Интегральное неравенство для норм разности решений.............. 73
1°. Интегральное соотношение....................................... 73
2°. Интегральное неравенство для норм разности решений............. 76
§3. Оценка величин Л,(/), Л3(/), Л4(/)> Аь({)....................... 77
1°. Оценка Л, (і).................................................. 77
2 . Вспомогательные оценки......................................... 79
3°. Оценка А3(ґ)................................................. 80
4°. Оценка Л4(/)................................................... 84
5°. Оценка Л5(ї)................................................... 85
§4. Теорема единственности в случае <5 > 0.............................. 88
1°. Оценка Л2(ґ)................................................... 88
2°. Оценка Л6(ї)................................................... 91
3°. Оценка Л7(/)................................................... 92
4°. Оценка Л8(ї)................................................... 93
5°. Теорема единственности обобщенных решений...................... 94
§5. Теорема единственности в случае у > 0........................... 94
1°. Оценка Л2(/)................................................... 95
2°. Оценка А6(/)................................................... 96
3°. Сглаживающие операторы..................................... 98
4°. Оценка /47(/).................................................. 99
5°. Оценка Л8(ґ).................................................. 102
4
5
6°. Теорема единственности обобщенных решений.................... 106
§6. Теорема единственности обобщенных решений в случае, когда д = 0 и у - 0.................................................. 107
1°. Оценка и°( ,0, у°( >0 в ^
2°.Оценка ....................................................... 112
3°. Оценка Л6(/)................................................. 117
4°. Представление и}, Vу, у = 1, 2............................... 122
5°. Оценка Л7 (г)................................................ 125
6°. Оценка Л(0................................................... 129
7°. Теорема единственности обобщенных решений.................... 124
Приложение. Теоремы существования и единственности обобщенных решений внешней начально-краевой задачи для уравнений
Маргерра-Власова..................................................... 135
1 °. Начально-краевая задача..................................... 135
2°. Функциональное пространство Н\ (О, //)....................... 125
3°. Задача на собственные значения............................... 136
4°. Приближения Бубнова-Галеркина................................ 136
5°. Равномерные по т и / оценки приближений Бубнова-
Галеркина, следующие из энергетическою соотношения............. 136
6°. Теорема существования обобщенного решения.................... 137
7°. Теорема единственности обобщенных решений.................... 138
Заключение........................................................... 139
Библиографический список использованной литературы................... 140
5
6
ВВЕДЕНИЕ
1°. Общая характеристика проблематики. Актуальность темы.
Математические модели механики сплошной среды определяют довольно четко очерченную систему классов краевых и начально-краевых задач. Решения этих задач описывают состояние или развитие соответствующей механической системы. Одним из разделов теории дифференциальных уравнений математической физики является качественное исследование решений математических моделей механики сплошной среды, который распадается, естественно, на части, посвященные исследованию конкретных фундаментальных моделей.
Одной из основополагающих проблем для каждой из таких моделей является вопрос о разрешимости начально-краевой задачи модели на любом промежутке времени, который в значительной мере определяет возможность использования модели для численного анализа и прикладных расчетов. Под * разрешимостью в данном случае подразумеваются теоремы существования и единственности обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова нелинейных колебаний пологих оболочек с шарнирно закрепленным краем при отсутствии инерции продольных перемещений для оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Известно, что сравнение результатов численного анализа с экспериментальными данными показывают, что для пологих оболочек из ряда материалов модели Маргерра-Власова дают хорошие приближения колебательных движений таких оболочек.
Таким образом, актуальность темы диссертации определяется возможностью приложения полученных результатов к некоторым разделам математики, прикладной математики и механики.
2°. История вопроса.
Рассматриваемые в работе модели были предложены К. Маргерром в [1] и В.З. Власовым в [2], [3]. В своих основополагающих работах |4]-[7] И.И. Ворович дал определение обобщенного решения начально-краевой задачи
модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений при жестком защемлении края оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Определение обобщенного решения эволюционной модели механики сплошной среды И.И. Ворович предложил первым сразу после Хопфа [8] и, по-видимому, независимо от него. Там же им была доказана теорема существования этих решений на произвольном отрезке времени в рамках абстрактной схемы на базе метода Бубнова-Галеркина для нелинейных волновых процессов общего характера. Теорема же единственности обобщенных решений в рассматриваемой ситуации, доказанная И.И. Воровичем в [5], носит условный характер, поскольку требует от обобщенных решений большей гладкости, чем предоставляет теорема существования обобщенных решений. Безусловная теорема единственности, то есть теорема, использующая дифференциальные свойства решений, определенные в теореме существования, была доказана В.И. Седенко в [9] и [10] с помощью предложенного им метода использования операторов сглаживания для компенсации недостаточной гладкости обобщенных решений и, в частности, для компенсации отсутствия
ограниченного вложения в •^ос(^). В дальнейшем, этот метод (или его
несущественные вариации) был использован для доказательства теорем единственности обобщенных решений, глобальных по времени, для некоторых моделей механики сплошной среды. Прежде всего отмстим здесь теорему единственности обобщенных решений уравнений Кармана, доказанную в [II], теорема существования для которых была доказана намного раньше в [12], [13]. Далее, в [14] была изложена теорема единственности обобщенных решений двумерных задач динамики водных полимеров, теорема существования которых приведена в [15]. Метод В.И Седенко был использован в [16] для доказательства единственности обобщенных решений для уравнений фон Кармана с нелинейными краевыми условиями и в [17] для доказательства единственности обобщенных решений модели Койтера колебаний оболочек. В настоящей работе теоремы единственности обобщенных решений
8
доказываются с помощью некоторого развития схемы и метода, опубликованного в [18].
Следует отметить, что основное развитие теории разрешимости в целом по времени начально-краевых задач для моделей Кармана и Маргерра-Власова нелинейной теории колебаний пологих оболочек с шарнирным защемлением края оболочки осуществляется под руководством профессора В.И.Седенко.
3°. Содержание диссертации.
Первая глава посвящена построению приближений Бубнова-Галеркина. Первые два параграфа содержат информацию об используемом далее традиционном инструментарии. Именно, в §1 приведена информация о стандартных об щеу потребляемых функциональных пространствах. В §2 изложены классические неравенства и оценки. В третьем параграфе изложена начально-краевая задача, работа над которой, собственно, и ведется в диссертации. В §4 в рамках реализации начального этапа абстрактной схемы, предложенной И.И. Воровичем в [5], вводится функциональное пространство
Я22(сЫ и изучаются его свойства. На основе полученных результатов в пятом параграфе делаются выводы о существования дискретного положительного спектра краевой задачи для бигармоничсского оператора с краевыми условиями шарнирного закрепления края оболочки. Затем, в §6, определяются приближения Бубнова-Галеркина основной начально-краевой задачи и изучаются их свойства.
Вторая глава посвящена доказательству теорем существования глобальных по времени обобщенных решений. В первом параграфе второй главы выводится энергетическое соотношение для приближений Бубнова -Галеркина, из которого обычным образом следует возможность продолжения приближений на любой интервал времени, что и доказывается в §§2, 3 одновременно с выводом оценок, обеспечивающих в дальнейшем соответствующие дифференциальные свойства обобщенных решений. В четвертом параграфе с помощью предельного перехода па основе обычных соображений слабой компактности доказывается существование обобщенных
9
решений. В третьей главе изложены теоремы единственности обобщенных решений. Делается предположение о существовании двух обобщенных решений с одинаковыми данными. В § I третьей главы выводится соотношение для разности решений, а в §2 - интегральное неравенство для норм разности решений, правая часть которого состоит из восьми слагаемых. В третьем параграфе осуществляются оценки четырех из них с помощью стандартной техники. В трех остальных параграфах этой главы оцениваются четыре оставшиеся слагаемые. Так, в §4, в случае, когда оболочка состоит из материалов с внутренним трением, в результате оценивания мы приходим к неравенству типа однородного неравенства Гронуолла от нормы разности решений, что позволяет сделать заключение о невозможности существования двух разных обобщенных решений с одинаковыми данными. В пятом и шестом параграфах такие оценки делаются с использованием техники, предложенной
В.И. Седенко в [9], [101, [18], [191, использующей операторы сглаживания. В результате получаются неравенства от норм разности обобщенных решений, таким образом зависящие от произвольного параметра (сглаживания), что применение оценки решения неравенства Гронуолла вместе с последующим устремлением параметра к бесконечности приводит к равенству нулю норм разности обобщенных решений с одинаковыми данными. В приложении приведены теоремы существования и единственности внешней начальнокраевой задачи. В заключении сделаны основные выводы и приведены полученные в работе результаты.
ГЛАВА 1 Приближения Бубнова-Галеркина
§1. Функциональные пространства
В этом параграфе мы приводим функциональные пространства, в терминах которых будут излагаться далее результаты по разрешимости.
1°. Ьанаховы пространства ГДО) и
Пусть Q - область евклидова пространства Я . Для функции ли, определенной на О, измеримой и суммируемой по Q со степенью /7, 1 < р < оо, в смысле Лебега, величина
М<?)
\Нх Т(1х
I
\ — р
определяет норму в банаховом пространстве Ьр ((2) классов эквивалентных между собой функций на (9. В случае р = оо Ь^(0) - банахово пространство существенно ограниченных па <2 функций с нормой
Мцз=™у“Н4
С^) - банахово пространство непрерывных на Q функций с нормой
1ни=^Ж1-
2°. Банаховы пространства Нр(С2) и С7(12).
Пусть 12 - область в плоскости Я . Для / = 0,1,..., 1</?<оо, через Нр (12) обозначим банахово пространство функций на 12, имеющих обобщенные производные всех видов до порядка / включительно, суммируемые по 12 со степенью /7. Норма в #^(12) определяется равенством
11
где г = (/',,/%), |г| = 7*1 + г2, 1Уъ - обобщенная производная порядка /*. Для областей с не слишком плохой границей (например, кусочно-гладкой) Н 1р (12) совпадает с замыканием по норме (1.1.1) множества всех бесконечно дифференцируемых в £2 функций. С7(12) - банахово пространство функций,
непрерывных в О и имеющих непрерывные в О производные до порядка / включительно, с нормой
|ф/
3°. Банаховы пространства //^(12).
Н*р (О) - подпространство прос транства Н‘р (12), плотным множеством в
котором является совокупность всех бесконечно дифференцируемых финитных в 12 функций. Отметим также, что если граница £2 достаточно гладкая
о
(например, классаС1), то на Н‘р (12) (1.1.1) эквивалентна такой норме
ИнЦя)
\г\=1
ІР
М«)
1
\ — Р
(1.1.2)
согласно (1.2.7) и (1.2.3). В случае р = 2 - гильбертово. (1.1.1) и (1.1.2)
о
определяют скалярные произведения в //2(12) и //2(12) соответственно.
о
Эквивалентной (1.1.2) нормой в //((12) и, что существенно, более удобной,
является норма
н[(р)
Vу IV
Ь(а)9
(1.1.3)
которую мы и будем в дальнейшем использовать в качестве нормы в //!(12).
' д д
\ —'2
Здесь V =
—| - оператор Гамильтона, V2 = Д - оператор Лапласа.
дх, Зх,
12
4°. Банаховы пространства Ь'^ (12х [0,/у-]).
Банахово пространство £^(рх[0,/у.]) - это пополнение множества бесконечно дифференцируемых на 6 = 12х[0,/^] функций по следующей норме
I
р
| 1К>ГЛ
п чп
си
(1.1.4)
ДЛЯ Г,3> 0, 1 <р9 С} < со ,
1М1/> * (л Гл Т\ = УГ£7; тах У"1 ,/)|| (1.1.5)
II И^:-[пх[о,/]) 40,.,] « *• '«м«)
для г,5>0, /?<°°, и
>')1и> (1 •1 -6)
для г = 5 = 0.
5°. Пространства с*([0,/дс), Ьр{[0,1х],с).
С*([0,<ДС) - это банахово пространство к раз непрерывно
дифференцируемых на [0,/^-] функций со значениями в банаховом
пространстве С. 7.,([0,//],о) определяется аналогично.
§2. Классические неравенства
Здесь излагаются элементы классического аппарата оценок в
пространствах Соболева.
1°. Неравенство Юнга.
Для всех а, Ь > 0 и каждого 8 > 0 при р, # > 1, /Г1 + #-1 = 1 имеет место следующее неравенство
аЪ<-бра>+-8-чЬ<. (1.2.1)
Р Ч
2°. Неравенство Гельдера.
т
Пусть и. е (12), 1 <рг <, со, / = 1 причем ~ Р \р ^ 1. Тогда
/=1
- Київ+380960830922