2
Содержание
Стр.
Вв ед е н и е......................................... 3
1. Первая начально-краевая задача для уравнения с непрерывно-дискретными параметрами....................... 20
1.1. Постановка некоторых краевых задач математической физики с непрерывно-дискретными параметрами 21
1.2. Теоремы существования и единственности решений непрерывно-дискретных краевых задач..................... 37
1.3. Некоторые методы решения непрерывно-дискретных
краевых задач ........................................ 57
1.4. Построение решений соответствующих переходным процессам в некоторых одномерных системах с непрерывно-дискретными параметрами...................... 67
2. Метод учета переходных процессов в некоторых непрерывно-дискретных системах........................... 83
2.1. Общая схема метода учета переходного процесса
в колеблющихся системах ............................... 83
2.2. Применение метода учета переходного процесса для стационарных систем с непрерывно-дискретными параметрами........................................ 92
2.3. Применение метода учета переходного процесса для нестационарных систем с непрерывно-дискретными параметрами........................................ 101
2.4. Об оценках переходных процессов....................... 112
Вы в оды............................................... 121
Л и т е р а т у р а ....................................... 123
3
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время все больший интерес проявляется к исследованию динамических систем с распределенно-сосредоточенными параметрами,о чем свидетельствует появление все возрастающего числа публикаций,касающихся этой темы. Это естественно, так как стремление к повышению эффективности и качества функционирования систем требует учета всего многообразия факторов,влияющих на их функционирование.
Динамическое поведение системы с распределенными параметрами может исследоваться либо путем аппроксимации динамической системы системой конечного числа дискретных компонент,связанных между собой невесомыми связями и сведения исследования системы к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с общим порядком,равным числу степеней свободы у аппроксимирующей системы, либо путем изучения дифференциальных уравнений в частных производных с гладкими коэффициентами, описывающих динамику системы [ 8,12,42] .Оба направления имеют определенные достоинства и недостатки.Первое при своей наглядности и простоте методов имеет ограниченное применение в случае сложного распределения параметров системы, второе, несомненно, более точно отражающее свойства распределенной системы,более трудоемко и малоэффективно в случае наличия в системе сосредоточенных факторов типа дискретных масс, сил,моментов и др.
Кроме того, в реальных условиях приходится иметь дело с динамическими системами, поведение которых не может быть удовлетворительно описано ни одним из вышеизложенных подходов.Речь идет о системах с распределенно-сосредоточенными параметрами, которые приходится исследовать в рамках теории краевых задач
4
для дифференциальных уравнений в частных производных с непрерывно-дискретными коэффициентами.К таким системам относятся стержневые системы, нагруженные сосредоточенными массами [ 56 ] , несущие поверхности летательных аппаратов [ 4 ] , корпуса судов [ 39 ] , канатные дороги [ 45 ] .различные системы электрических линий с включенными в них распределенными и сосредоточенными индуктивностями и емкостями [ 7 ] и другие. В теории колебаний непрерывно-дискретной краевой задачей называется краевая задача для дифференциальных уравнений в частных производных о колебаниях распределенной динамической системы,параметры которой имеют переменные кусочно-непрерывные и дискретные значения [ 47 ] .Исследовать непрерывно-дискретные краевые задачи приходится в случаях, когда с одной стороны в системе, математической моделью которой является непрерывно-дискретная краевая задача, имеются неоднородности дискретного характера в виде сосредоточенных масс, моментов инерции, сил, емкостей,индуктивностей и т.п., что не позволяет рассматривать задачу как гладкую, а с другой стороны суммарное воздействие на систему распределенных факторов сравнимо с воздействием сосредоточенных факторов, что не дает возможности аппроксимировать исходную систему системой сосредоточенных взаимосвязанных компонент,или же приводит к неприемлемо большому числу степеней свободы в аппроксимирующей системе, что в свою очередь увеличивает объем вычислений. Таким образом,непрерывно-дискретные краевые задачи как математические модели систем с раопределенно-сосредоточенными параметрами могут служить единым подходом к исследованию динамических систем как с распределенными, так и сосредоточенными параметрами. В пределах такого подхода возможно единое исследование краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с непрерывными и разрывными коэффициентами и краевых задач для дифференци-
5
ально-разностных уравнений [ 7 ] .
Особенностью исследования поведения динамической системы с распределенно-сосредоточенными параметрами является то, что необходимо решать дифференциальное уравнение в частных производных с переменными коэффициентами,имеющими в области интегрирования произвольное число нарушений гладкости,непрерывности и других особенностей. Влияние таких особенностей учитывается условиями сопряжения,накладываемыми на решения исходного уравнения и его производные, что существенно усложняет решение таких задач [ 43 - 45 , 47,86,87 ] .Условия сопряжения представляют собой математическое выражение различных физических закономерностей,таких как непрерывность среды,равенства различных физических величин,участвующих в описании данной физической системы. Именно наличием кроме нарушений гладкости и непрерывности сосредоточенных факторов, которые учитываются условиями сопряжения, непрерывно-дискретные краевые задачи отличаются от тесно к ним примыкающих задач.дифракции [ 50,51 ] и краевых задач с разрывными коэффициентами [ 18 ] .
При исследовании динамических систем с распределенно-сосредоточенными параметрами для описания воздействия сосредоточенных факторов часто используются сингулярные обобщенные функции £ 32,53,54,91-93 ] . В этом случае динамическое поведение
системы описывается краевой задачей для уравнения в частных производных с коэффициентами,содержащими сингулярные обобщенные функции [ 56 ] .В работе будет показано единство этих двух подходов к формулировке краевых задач о динамическом поведении системы с распределенно-сосредоточенными параметрами. Поэтому под названием непрерывно-дискретные краевые задачи будем подразумевать также краевые задачи для уравнений в частных производных, содержащих сингулярные обобщенные функции в качестве
6
коэффициентов.
Остановимся на некоторых результатах, полученных в области исследования и решения непрерывно-дискретных краевых задач и приводящих к ним динамических систем с раопределенно-сосредоточенными параметрами. Отметим,что в области практического исследования таких систем основные результаты были связаны с исследованием динамики несущих поверхностей летательных аппаратов [2 - б] .Математическим аппаратом, используемым для этого,был аппарат интегральных уравнений,содержащих внеинтегральные члены, зависящие от значений неизвестных функций от промежуточных значений пространственных координат.Динамику систем описывали интегро-дифференциальные уравнения следующего вида [ 5 ]
, (в.1)
где У- неизвестная функция, а
заданы. Собственные частоты системы вследствие чего определялись интегральным уравнением с параметром со1 с неизвестной функцией (г') и заданными М , т Сз") , С (^2,
I
#)'“2С(глй{0*1+ . <в-2>
* I О
Исследование и решение уравнений типа (В.1) и (В.2) привело к изучению [ 1,19,27 ] их обобщений вида (В.З),(В.4)
У(<£,+)= -]КМ~~С(6(*) + \ , (В.З)
5 а± £
{(сс) = ^ 1 ^ ( Гз) с{ С(3)
(В.4)
7
б/з) , 0, (з, "О - неубывающие ограниченные на 5 С К1 функции.
Для уравнений таких типов получены традиционные для теории интегральных уравнений результаты. В дальнейших исследованиях в этом направлении изучались обобщения этих уравнений на случаи неограниченных областей и неограниченного распределения характеристик системы б'Сх), $(сс,і) [ 7,37 ] .Рассматривались
также вопросы взаимосвязи дифференциальных и интегральных нагруженных уравнений при использовании их для описания динамики систем со сложным распределением параметров [ 1,7] . В [ 7 ] делается также попытка объединить в рамках единого подхода исследование непрерывных и дискретных краевых задач.
Кроме этого при исследовании механических систем с распре-деленно-сосредоточенными параметрами многими авторами применялся другой подход. Основу его составляло использование дифференциальных уравнений в частных производных и краевых задач для них в качестве математических моделей таких систем. Это привело с одной стороны к рассмотрению краевых задач для уравнений в частных производных с коэффициентами,содержащими сингулярные обобщенные функции [ 16,17,90 ] ,а с другой стороны к непрерывно-дискретным краевым задачам [ 45,46,47,48 ] . В работах [55,
57 ] рассматриваются механические системы, поведение которых описывается начально-краевыми задачами для уравнений следующего вида:
+ ’ <в'6)
где гп0(ос') ) Е1(ос.у известные ступенчатые функции, § Сбс) -функция единичного импульса.
Методы решения уравнений типа (В.6) даются в [92,93 ]
8
(В. 6)
(В. 6)
В этих и других работах получены достаточно полные результаты, относящиеся к исследованию поведения конкретных физических систем и к построению методов решения конкретных краевых задач. Однако универсального, достаточно точно отражающего качественные стороны поведения таких систем метода получено не было.
Аналогично в [43,44] рассматриваются непрерывно-дискретные задачи следующего вида:
где действие сосредоточенных факторов учитывалось введением условий сопряжения (В.8). Обобщению непрерывно-дискретных краевых задач на случай нестационарных динамических систем, а также систем,описываемых дифференциальными уравнениями в част-
(В.8)
(В.
и(х,0). РМ, |±(М)- +(*), я« ЭД,
ц(о,і) - к (І Д) » 0 , і > 0;
9
ных производных четных порядков посвящены работы [ 45,47 ] .
Дальнейшему исследованию непрерывно-дискретных краевых задач, разработке методов их решения и исследования динамического поведения систем с раопределенно-сосредоточенными параметрами, а также выяснению единства непрерывно-дискретных краевых задач и краевых задач для уравнения в частных производных с коэффициентами, содержащими сингулярные обобщенные функции и посвящена настоящая работа.
В связи с наличием указанных выше особенностей у непрерывно-дискретных краевых задач в методах их исследования и решения возникает ряд специфических черт. Рассмотрим некоторые из них.
Выше отмечалось,что универсальным методом, используемым для решения краевых задач с непрерывно-дискретными коэффициентами,является метод интегральных уравнений [ I - 7 ] .Особенностью здесь является то,что используется аппарат так называемых нагруженных интегральных уравнений Фредгольма с интегралом типа Стильтьеса. Сущность метода интегральных уравнений состоит в переходе от формализма дифференциальных уравнений,при котором действие сосредоточенных факторов учитывается условиями сопряжения или коэффициентами,включающими сингулярные обобщенные функции,к формализму нагруженных интегральных уравнений,на которые распространяются ряд основных результатов теории интегральных уравнений [ 1,27] .Метод обладает рядом достоинств таких как наглядность,простота, экономичность, однако к недостаткам такого метода следует отнести необходимость предварительного построения функции Грина. Аналитическое построение функции Грина осуществляется достаточно просто в случае динамических систем с постоянными характеристиками.В случае же переменных и тем более непрерывно-дискретных параметров динамической сис -темы такое построение функции Грина затруднено,а подчас просто
10
невозможно [ 4,6 ] .Все это существенно ограничивает область применения этого метода рамками теоретического и качественного исследования систем с распределенно-сосредоточенными параметрами.
Для нахождения решения непрерывно-дискретных краевых задач, описывающих динамику распределенно-сосредоточенных систем, применяется метод Фурье, в основе которого лежит возможность разложения решения по собственным функциям соответствующей спектральной краевой задачи. Вопросы разложимости и полноты систем таких функций, а также асимптотические свойства изучались для краевых задач с дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка с помощью метода интегральных уравнений с интегралом типа Стильтьеса [ 1,7,19,27 ] .Существенным здесь является то,что решение необходимо искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи, имеющей переменные параметры и сосредоточенные включения. Однако область применения этого метода ограничена достаточно узким классом уравнений, в который не попадают наиболее интересные с точки зрения практического применения краевые задачи,например,различного рода задачи о колебаниях нестационарных динамических систем [25,26 j .Практическое применение метода разделения переменных Фурье к решению непрерывно-дискретных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго и четвертого порядков можно найти в [ 36,38,56,58,73,86 ] .
Применение вариационных методов к решению непрерывнодискретных краевых задач имеет ряд специфических особенностей, в силу чего область их приложений оказывается также ограниченной. Это связано с выбором подходящей фундаментальной системы функций, удовлетворяющей дополнительным условиям - условиям сопряжения^ также с вопросами оценки сходимости при-
II
ближенного решения,полученного таким методом, к точному решению исходной задачи. Кроме того, применение вариационных методов типа Ритца требует выполнения положительной определенности оператора в данной задаче [ 28,47,68 ] .
При решении спектральных и начально-краевых задач с непрерывно-дискретными параметрами весьма эффективным оказывается метод нормальных фундаментальных систем решений [ 43 ] .Сущность его заключается в том,что решение на участках непрерывности ищется в виде линейной комбинации функций с единичной начальной матрицей [ 8,43 ] или нормальной системы решений уравнения исходной задачи с произвольными постоянными коэффициентами.
Эти коэффициенты определяются по рекуррентным формулам,что оказывается весьма полезным при реализации алгоритма решения задачи на ЭВМ. Причем рекуррентными формулами учитываются все особенности задачи на интервале интегрирования. Главной особенностью этого метода является то,что порядок определения не зависит от числа вычисляемых собственных функций,и остается всегда постоянным и равным числу краевых условий на одном из концов интервала интегрирования. Кроме этого, рекуррентные формулы остаются по своей структуре неизменными при исследовании динамических систем,не содержащих сосредоточенных компонент. Все ЭТО позволяет объединить изучение динамики системы с непрерывнодискретными, непрерывными или только дискретными параметрами.
Из приведенного краткого обзора методов решения непрерывно-дискретных краевых задач следует актуальность разработки более простых методов исследования систем с распределенно-сос-редоточенными параметрами,которые учитывали бы качественные стороны поведения таких систем. При исследовании колеблющихся систем особое внимание уделяется двум состояниям таких систем: состоянию установившихся вынужденных колебаний и состоянию пе-
- Київ+380960830922