Пространства граничных значений и линейные отношения, порожденные дифференциальными выражениями

Оглавление
0.1 Введение............................................................. 5
1 Пространства граничных значений 39
1.1 Голоморфные семейства линейных отношений............................ 39
1.2 Пространство граничных значений для описания обратимых отношений 49
1.2.1 Граничные отображения и описание различных типов сужений
максимального отношения...................................... 49
1.2.2 Резольвентная сравнимость сужений максимального отношения
и асимптотика 5-чисел ....................................... 60
1.2.3 Граничная четверка для голоморфных семейств линейных отношений ............................................................. 66
1.2.4 Описание спектра сужений максимального отношения............. 76
1.3 Пространство граничных значений дня описания расширений симметрических отношений ..................................................... 78
1.3.1 Граничные отображения и описание диссипативных расширений 78
1.3.2 Резольвентная сравнимость расширений симметрического отно-
шения и асимптотика 5-чисел ................................. 87
1.3.3 О краев!,IX задачах со спектральным параметром в граничном
условии, связанных с обобщенными резольвентами............... 95
1.3.4 Некоторые обобщения и замечания.............................. 99
2 Выражения с ограниченными операторными коэффициентами 106
2.1 Пространство ЬР(Н, .Д(£); а,Ь) .................................... 106
2.2 Линейные отношения, порожденные формально несамосопряженными дифференциальными выражениями.......................................... 112
2.2.1 Решения дифференциальных уравнений с нссамосопряжепной левой частью........................................................ 112
2.2.2 Максимальные и минимальные отношения,порожденные нссамо-
сопряжснными выражениями ................................... 117
2.2.3 Обратимые сужения максимального отношения................... 123
2.3 Линейные отношения, порожденные формально самосопряженными дифференциальными выражениями............................................. 137
2.3.1 Решения дифференциальных уравнений с формально самосопряженной левой частью............................................... 137
2.3.2 Максимальное и минимальное отношения в регулярном случае 140
2.3.3 Обобщенные резольвенты минимального отношения............... 145
2
2.3.4 Описание диссипативных и аккумулятивных расширений минимального отношения.............................................. 160
2.3.5 Обобщенные резольвенты минимального отношения в сингулярном случае...................................................... 162
2.4 Линейные отношения, порожденные дифференциальными выражениями с неванлинновской функцией........................................ 173
2.4.1 Операторы, порожденные неванлинновской функцией............ 173
2.4.2 Решения дифференциальных уравнений с неванлинновской функцией .......................................................... 178
2.4.3 Семейства максимальных и минимальных отношений в регулярном случае...................................................... 180
2.4.4 Семейства максимальных и минимальных отношений в сингулярном случае................................................... 186
2.4.5 Характеристический оператор................................ 188
3 Интегральные уравнения с неванлинновской мерой 193
3.1 Основные предположения и обозначения............................. 193
3.2 Решения интегральных уравнений................................... 196
3.3 Семейства максимальных и минимальных отношений .................. 207
3.4 Обратимые сужения семейства максимальных отношений............... 215
3.5 Индексы дефект некоторых интегральных и дифференциальных уравнений ............................................................... 223
3.6 Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами . . . 226
4 Выражения с неограниченными операторными коэффициентами 230
4.1 Линейные отношения, порожденные выражениями эллиптического типа 230
4.1.1 Функция Грина...............................................230
4.1.2 Максимальное и минимальное отношения....................... 239
4.1.3 Обратимые сужения максимального отношения...................242
4.1.4 Описание обобщенных резольвент..............................249
4.2 Линейные отношения,порожденные выражениями гиперболического типа254
4.2.1 Решения дифференциально-операторных уравнений гиперболического типа.................................................... 254
4.2.2 Максимальное и минимальное отношения....................... 263
4.3 Линейные отношения, порожденные выражениями первого порядка . . 268
5 Приложение 279
3
Обозначения:
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Е - множество действительных чисел;
С - множество комплексных чисел;
Е - тождественный оператор;
(•, •) - скалярное произведение;
{•? •} ~ упорядоченная пара;
Т>(Т) - область определения линейного отношения Т;
7£(Т) - область значений линейного отношения Т\ р(Т) - резольвентное множество линейного отношения Т;
<т(Т) - спектр линейного отношения Т;
ор(Т) - точечный спектр линейного отношения Т;
аС(Т) - непрерывный спектр линейного отношения 'Г
<тг(Т) - остаточный спектр линейного отношения Т\
кегТ - множество таких элементов х Е £>(Т), что пара {£,0} Е Т;
КегТ - множество пар {я, 0} € Т;
4- - прямая сумма линейно независимых линейных многообразий; ф - прямая сумма ортогональных подпространств гильбертова пространства;
© - ортогональное дополнение;
□ ~ знак, обозначающий конец доказательства.
4
0.1 Введение
Общая характеристика работы
В диссертации рассматриваются линейные операторы и отношения, порожденные различными дифференциально-операторными уравнениями или интегральными уравнениями с неванлинновской мерой. Дифференциально-операторные уравнения содержат спектральный параметр в виде произведения на неотрицательную операторную функцию, либо как аргумент неванлинновской операторной функции. Главную роль при исследовании этих операторов и отношений играют так называемые абстрактные пространства граничных значений, определяемые и изучаемые в диссертации.
При изучении линейных дифференциальных уравнений операторы появляются, например, следующим образом. Пусть I - дифференциальное выражение, являющееся левой частью однородного дифференциального уравнения. Выбирается некоторое банахово или гильбертово пространство и минимальный оператор Lq определяется как замыкание оператора, заданного выражением I на финитных функциях. Оператор L с максимальной областью определения - это замыкание оператора L\ заданного равенством L'y = 1[у] на всех функциях у, к которым применима операция Z, причем у, 1{у} принадлежат заданному пространству. Если выражение I является формально самосопряженным, а выбранное пространство -гильбертово, то оператор Lq симметрический. Отметим, что достаточно часто встречается ситуация, когда с дифференциальным уравнением ассоциируются не операторы, а линейные отношения.
При исследовании операторов или отношений, порожденных дифференциальными выражениями, возникает задача: выделить те граничные условия, которые определяют оператор или отношение L (LqC Le L) с некоторыми заданными свойствами. Среди этих свойств можно отметить, например, такие, как обратимость L или L—XE (А6С), фредгольмовость
L, существование заданной асимптотики s-чисел, самосопряженность или диссипативность L в случае симметричности оператора L0 и т.д.
Пусть оператор Lo симметрический. В классической теории расширений симметрических операторов описание самосопряженных, диссипативных. аккумулятивных расширений сводится к нахождению изометрий и сжатий, действующих из одного дефектного подпространства симметрического оператора в другое. В работах М. И. Вишика |46| и М.Ш. Бирмана |9| различным классам расширений положительно определенного оператора А ставятся в соответствие некоторые операторы в подпространстве ker А*. Однако в применении к дифференциальным уравнениям эти операторы только в некоторых отдельных случаях удается преобразовать в операторы, определяющие граничные условия.
Описание в терминах граничных условий самосопряженных расширений L симметрического оператора Lo, порожденных обыкновенным дифференциальным выражением /, было дано в работах М. Г. Крейна [75]. Однако применение результатов М. Г. Крейна к выражениям с частными производными или к дифференциально-операторным выражениям затруднено в связи с тем, что минимальные операторы, порожденные такими выражениями, имеют бесконечные дефектные числа. Для различных конкретных классов дифференциальных выражений граничные значения строились многими авторами (М. Г. Крейн, М. И. Вишик, М.Ш. Бирман, Ф.С. Рофе-Бекетов, М. Л. Горбачук, В. И. Горбачук, А.Н. Кочубей. Л. И. Вайнерман, В. А. Михайлец, О. Г. Сторож, В. М. Брук и др.). Эти результаты изложены, например, в монографиях В. И. Горбачук, М. Л. Гор-бачука 1511. |124|, В Э. Лянце, О. Г. Сторожа |81|, Ф.С. Гофе-Бекетова, А. М. Холькипа |93|, |135|. Вопросы, связанные с обратимостью дифференциальных операторов, рассматривались в книге А. А. Дсзина [60].
Как отмечено выше, одной из основных целей при описании расширений дифференциальных операторов с помощью граничных условий является получение в их терминах теорем о спектральных свойствах различ-
0
ных краевых задач. Поэтому желательно иметь некоторую универсальную конструкцию, охватывающую достаточно большой класс линейных операторов и отношений и позволяющую делать выводы о спектральных свойствах расширений этих операторов или отношений на основании свойств операторов (отношений), входящих 11 граничные условия, определяющие эти расширения. Такой конструкцией может служить абстрактное пространство граничных значений.
Отметим, что попытки построения теории расширений в терминах абстрактных граничных условий, приводящих в случае дифференциального оператора непосредственно к краевым задачам, предпринимались в работах Дж. Кэлкина [117] (см. также Н.Данфорд, Дж. Шварц [59]),
А. В. Штрауса (108]. Однако законченные результаты удавалось получать лишь для операторов с конечными дефектными числами.
11усть в линейное дифференциально-операторное уравнение спектральный параметр Л входит в виде его произведения на весовую неотрицательную операторную функцию. Такие уравнения возникают, например, при решении методом разделения переменных уравнения колеблющейся нагруженной струны (см. монографию Ф. Аткинсона [4, с. 19]). Различные задачи, связанные с такими уравнениями, изучались в книге Ф. Аткинсона |4, глава 9], в статьях В. И. Когана и Ф. С. Рофе-Бекетова [67], [130], Ф. С. Рофе-Бекетова 1134], С. А. Орлова [87], С. Ли [132| и других авторов.
В этих работах использовались методы теории функций, метод гнездящихся матричных кругов (С. А. Орлов), а в статье С. Ли па матричные коэффициенты наложены требования, исключающие появление линейного отношения. Граничные задачи, порожденные дифференциальнооператорным уравнением с неотрицательным операторным весом, не были включены в теорию линейных операторов и отношений в гильбертовом и банаховом пространствах, т.е. с такими задачами не связывались операторы или отношения в каких-либо пространствах. Отметим, что в статьях
А. Рлейеля [133] и К. Бенневитца [112] рассматривались линейные отноше-
7
ния, порожденные парой дифференциальных операторов со скалярными коэффициентами. Однако этот случай не охватывает дифференциальнооператорные выражения с неотрицательным операторным весом. Более того, дифференциальные выражения, изучаемые в рабочих [133|, [112], охватываются дифференциально-операторными выражениями с певай-линновской функцией, а также интегральным уравнением с неванлин-новской операторной мерой, рассмотренными в диссертации.
Цель работы:
построение абстрактных пространств граничных значений, позволяющих делать выводы о свойствах расширений операторов или отношений на основании граничных условий, определяющих эти расширения;
включение в теорию линейных операторов и отношений в банаховом и гильбертовом пространствах дифференциально-операторных уравнений со спектральным параметром, входящим в уравнение в виде произведения на неотрицательную операторную весовую функцию или в виде аргумента неванлинновской операторной функции;
включение в теорию линейных операторов и отношений в банаховом и гильбертовом пространствах интегральных уравнений с неванлинновской мерой;
изучение возникающих при таком включении операторов и отношений с помощью построенных абстрактных пространств граничных значений.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми не только для отношений, порожденных дифференциальными выражениями с весовой функцией, но и для операторов, порожденных этими выражениями без весовой функции. Перечислим эти результаты.
1. Введено пространство граничных значений замкнутых линейных операторов и отношений, приспособленное для описания обратимых сужений, изучены свойства этого пространства и в терминах абстрактных граничных значений дано описание спектра, получены условия фредгольмо-вости и разрешимости. Кроме того, в терминах абстрактных граничных
условий получены условия резольвентной сравнимости сужений и расширений линейных операторов и отношений, исследована зависимость асимптотики 5-чисел резольвент от асимптотики s-чисел операторов, входящих в абстрактные граничные условия.
2. Введено пространство граничных значений симметрических операторов и отношений, изучены свойства этого пространства. В терминах абстрактных граничных значений дано описание различных классов расширений (диссипативных, самосопряженных и других).
3. Получено описание обобщенных резольвент симметрических операторов и отношений с помощью абстрактных граничных условий, содержащих операторы, голоморфно зависящие от спектрального параметра.
4. Определены линейные отношения, порожденные различными дифференциально-операторными уравнениями в пространстве Lp(FJ,A{t)\a:b)} где t —> Л(і) - неотрицательная операторная функция в гильбертовом пространстве Н. Дано описание пространств LP(H, A(t)\ а, 6) (р ^ 1). Определяются также линейные отношения, порожденные интегральным уравнением с неванлииновской мерой.
5. Для введенных линейных отношений построены пространства граничных значений. С их помощью описаны различные классы расширений и сужений этих отношений. Получены условия обратимости и фредголь-мовости рассматриваемых отношений, дано описание спектра.
G. Установлено, что если рассматриваемые линейные отношения обратимы, то операторы, обратные к таким отношениям, являются интегральными. В терминах граничных значений дается критерий голоморфности семейств таких операторов. Получены формулы обобщенных резольвент симметрических отношений. Основные результаты являются новыми как в конечномерном случае, так и в случае отсутствия операторного веса (т.е. в случае, когда A(t) = Е - тождественный оператор).
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют, в основном, теоретическую ценность. Они используются ма-
9
тематиками, проводящими свои исследования в теории линейных операторов и отношений и в теории дифференциальных уравнений (см., например, монографии [51), 1124), |93], [135|, [81]). Эти результаты могут также применяться для изучения конкретных задач математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международная конференция по теории характеристических функций линейных операторов (Ульяновск, 1997); Международная конференция по теории операторов и ее приложениям (Ульяновск, 2001); Международная конференция по дифференциальным уравнениям (Львов, Украина, 2006); Воронежская зимняя математическая школа (Воронеж, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012); Воронежская весенняя математическая школа (Воронеж, 2007); Международная конференция "Современный анализ и приложения" (Одесса, 2007); Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, МГУ, 2007); Международная математическая конференция
В. Я. Скоробогатько (Дрогобыч, Украина, 2007); Саратовская зимняя математическая школа (Саратов, 2008, 2010); Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений" (Новосибирск, 2008); Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений "(Москва, МГУ, 2009); Международная конференция по функциональному анализу (Львов, 2010); Десятая Международная Казанская летняя научная школа-конференция (Казань, 2011); Крымская осенняя математическая школа КРОМШ (Крым, 2006,2007,2008. 2009, 2010, 2011).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 работ ([15] - [35], [1131-1116)), из которых 17 ((15) - [17], [19], [20], [22], [25], [26], [28] -(31), [35], [113]-[116]) входят в список ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения. четырех глав, приложения и списка литературы, состоящего из 135 наименований.
10
Краткое содержание работы
Необходимые сведения о линейных отношениях приведены в приложении А. Линейным отношением Т между банаховыми пространствами В], В-2 называется любое линейное многообразие Т с В! х Во. Ниже использованы обозначения: {•,•} - упорядоченная пара; Т>(Т) - область определения, ЩТ) - область значений отношения Т; кег7’ - множество таких элементов х Е Вь что пара {а:,0} Е Т\ р(Т) (при В! = Вг) -резольвентное множество отношения 7\ т.е. множество точек Л Е С, для которых отношение (Т—А/?)“1 является ограниченным всюду определенным оператором. Все отношения, встречающиеся в дальнейшем, предполагаются линейными, поэтому слово ’’линейное" часто будет опускаться.
Первая глава посвящена абстрактным пространствам граничных значений. Предварительно в разд. 1.1 определяются голоморфные семейства подпространств. Под семейством подпространств (замкнутых) понимается функция Л—>Т(А) (Л Е V С С), значениями которой являются подпространства (замкнутые) Т(А) С 93, где 93 - банахово пространство.
Определение 1.1. Семейство подпространств А—*Т(А) с 93, определенное в окрестности точки Ао Е С, называется голоморфным в точке Ао, если существуют такое банахово пространство Ъ и такое голоморфное в окрестности точки Ао семейство ограниченных линейных операторов Ф (А) : Ъ —» 93, что при каждом фиксированном А оператор Ф(А) отображает взаимно однозначно Ъ на подпространство Т(А). Семейство А—>7’(А) называется голоморфным в области 12, если оно го-ломорфио в каждой точке, принадлежащей Г2.
Замкнутое линейное отношение является подпространством декартова произведения 93 = 93| х 932, где 93], 932 “ банаховы пространства. Поэтому определение голоморфности семейства подпространств естественным образом распространяется на семейство замкнутых линейных отношений. Это определение обобщает соответствующее определение для семейств замкнутых операторов из монографии Т. Като |65, с. 4б0|.
11
В разд. 1.1 устанавливается ряд свойств голоморфных семейств, в частности, дается положительный ответ на вопрос, поставленный в книге Т. Като [65, с. 462], о справедливости теоремы единственности для голоморфных семейств замкнутых операторов. Другими словами, пусть замкнутые операторы 7\(А) и Т2(А) действуют из банахова пространства 93; в банахово пространство 932 и удовлетворяют двум условиям: (1) семейства А —» Т\(Х) и А —> Т2(А) голоморфны в (связной) области П; (11) 71 (А„) = Т2(Ап) для последовательности {А„}, А„ е И, сходящейся к точке Ао 6 И и такой, что Ао ф Хп для всех п.
Верно ли, что 71 (А) = Т2(А) для всех А е П ?
В книге [65] устанавливается справедливость теоремы единственности в случае, когда 93* = 932, семейства операторов 7\(А), 72(А) имеют непустые резольвентные множества для каждого А е П. Там же отмечается, что ответ на этот вопрос неясен в общем случае.
Положительный ответ на вопрос Т. Като дается в следующей теореме, где рассматриваются голоморфные семейства подпространств.
Теорема 1.2. Пусть семейство, подпространств 71 (А) и 72(А) удовлетворяют условиям (1), (и) и подпространство Т(А0) = 71 (Ао) = ТДАо) допускает прямое дополнение в пространстве 93. Тогда 71 (А) = Т2(А) для всех точек А, достаточно близких к точке А0.
Доказательство теоремы 1.2 основано на следующем утверждении.
Теорема 1.1. Пусть А—►Т(А) - семейство подпространств, определенное в некоторой окрестности тючки Ао, и пусть подпространство Т( А0) допускает прямое дополнение в пространстве 93, т.е. существует такое подпространство 91С 93. ч.то справедливо разложение в прямую сумму 93 = Т(Ао)4-91. Семейство подпространств Т(А) является голоморфным в Ао тогда и только тогда, когда для всех точек А, достаточно близких к Ао, пространство 93 раскладывается в прямую сумму своих подпространств 93 = Т(А)4-91 и семейство проекторов Р(А) пространства 93 на Т(А) параллельно 91 является голоморфным в Ао.
12
13 разд. 1.2.1 вводится пространство граничных значений (ПГЗ), приспособленное для описания обратимых отношений и операторов. Пусть 931, 93-2, В]} В2 - банаховы пространства, Т - замкнутое линейное отношение, Т С 93[ х 932, 8:Т —> В\ х В-2 ~ линейный оператор. Обозначим 8ь = Pk5, где рк - естественная проекция В\ х В2 на Вь, т.е. Рк{%\? х2] = я*, %k С Bk, А: = 1, 2 (подобные обозначения используются и далее).
Определение 1.2. Четверка (В\) В2,8\^82) называется пространством граничных значении (ПГЗ) или граничной четверкой для замкнутого отношения Т, если выполняются условия: а) £], <52 непрерывны па Т (па Т норма пространства 93] х 932); б) отображение 8:Т —> В] х В2 сюръективно; в) сужение <3] теа КегТ является взаимно однозначным отображением на В\.
Здесь КегТ - множество пар вида {х, 0} 6 Т. Обозначим То = кег8}
$6 = М^Кетт)"1 • (!)
Между отношениями Т со свойством То С Т С Т и отношениями 0 С #1 х В2 существует взаимно однозначное соответствие, определяемое равенством 8Т = 9. Обозначаем Т = Т$. Таким образом, 8Tq — 9.
Пусть 93], 932 - банаховы пространства и S - линейное отношение, S С 931 х932. Следующие условия приведены в статье А. Г. Баскакова |С|:
1) S замкнуто; 2) ker S = {0}; 3) dim кег S < оо; 4) отношение S корректно; 5) ker S - замкнутое дополняемое подпространство в 93']; 6) 7l(S) = 77,(5’); 7) 7Z(S) - замкнутое дополняемое в 932 подпространство; 8) 77(5) - замкнутое подпространство в 932 конечной коразмерности; 9) 77(5) = 932; 10) отношение S непрерывно обратимо.
Теорема 1.7. Пусть 77(Т) = 932. Отношение То тогда и только тогда удовлетворяет условию к (1 ^ к ^ 10, к ф 5, к ^ 7), когда тому же условию удовлетворяет отношение 0 — Ф$. Если ker Т допускает дополнение в 93], то кег Те и кег(0 — Ф^) одновременно удовлетворяют условию к = 5. Пусть к = 7. Если 7Z(T$) - замкнутое дополняемое в
932 подпространство, mo 77(0 - Ф^) - такое же подпространство в В2\ обратное утверждение верно, когда 77(7о) дополняемо в 932.
В разд. 1.2.2 устанавливается, что если отношения 01 и 02 "близки" в определенном смысле, то отношения Тв], То2 обладают рядом одинаковых свойств. Обозначим Af — (0 — Ф^)“1. Отношения Af и 0 однозначно определяют друг друга (если Л7 и 0 связаны последним равенством, пишем 0 = 6(Af)). Из теоремы 1.7 следует, что отношения Af и одновре-
менно являются или нет операторами. При условии, что Л € pCfyv*)), положим = {Т0{Мк) — ЛЯ)-1.
В теоремах 1.11, 1.13 предполагается, что в определении 1.2 931 = 932 =
93, В] = В2 = В, пространства 93, В гильбертовы и A4 : В —♦ В (к = 1,2) -ограниченные всюду определенные операторы. Через sn(H) (п = 1,2,...) обозначены 5-числа вполне непрерывного оператора V, т.е. собственные числа оператора \/V*V (ненулевые 5-числа нумеруются в порядке убывания с учетом их кратности); символом 67, (р > 1) обозначен идеал Пеймана-1 Пэттен а в кольце ограниченных линейных операторов (боо состоит из всех вполне непрерывных операторов).
Теорема 1.11. Пусть А Є р{Тв(Мх)) П р(Тд^2)). Для т.ого, чтобы оператор — Я^ Є &р, необходимо и достаточно, чтобы оператор Af\ - Af2 Є 6р, где 1 ^ p ^ oo.
Следствие 1.9. Если оператор АГ\ — Af2 вполне непрерывен, то существенные спектры отношений Т0^ и Ті(дг2) совпадают.
Теорема 1.13. Пусть А Є p(Tq{дг,)), р Є р{Тщдг2)), резольвента Я^
является вполне непрерывным оператором и lim nasn(R^)=a (а>0).
п—*оо
Для выполнения равенства lim nasn(Ry) = а достаточно, чтобы Af\ —
п—»оо И
Af2 был вполне непрерывным оператором и lim nasn(Af] — Aff) = 0.
11—00
Из теорем 1.11, 1.13 вытекают соответствующие утверждения из работ
В. И. Горбачук, М. Л. Горбачука [48| -150|, М. .JI. Горбачука, В. А. Кутового (551, И- Л. Михайлеца (82|, относящиеся к ди(1)фереин>иально-операторным уравнениям эллиптического и гиперболического типов(см.монографию |51|).
В разд. 1.2.3 устанавливается, что граничные условия, голоморфно зависящие от параметра, приводят к голоморфному семейству отношений. Пусть 231 = ©2, <$ '• Т ~> В\ X Й'2 - линейный оператор, = И
(В\, В2, <5], S‘i) - граничная четверка для отношения Т. Положим
^(A){yb2/2-A2/i}= 6к{уиу2}У к = 1,2, {г/1,3/2} € Т,
Ф(А) = (52(А) (МА) 1кег(г-л/«;)) 1 > Ti = ker<5i.
Предположим, что семейства линейных отношений 0(A) С В\ хВ2 и Т(А). где То — АЕ С Т(А) С Т — АТ’, связаны равенством 0(A) = £(А)Т(А).
Теорема 1.18. Пусть A(j€p(Ti) и отношение Т-1(А0) (или отношение (0(Aq)— Ф(Ао))-1 ) является ограиичеиньш всюду определенным оператором. Для голоморфности семейства \—> Т~1(\) в окрестности точки Ао необходимо и достаточно, чтобы ссмейст,во А —»(0(A) - Ф(А))“1 было голоморфным в той же окрестности.
В разд. 1.2.4 дано описание спектра отношения Те, состоящего из таких пар {у\,у2} € Т С ©! х 23ь что 6{у\,у2} £ 0.
Теорема 1.20. При А е р(Т\) справедливы следующие утверждения-.
1) область значений 7Z(T$ - АЕ) замкнута в том и только том случае, когда область значений 71(0 — Ф(А)) замкнута;
2) dim 23 ^(Т*- ЛЯ) = dim В2/Щ0 - Ф(А));
3) dimker(7e - АТ) = dimker(0 - Ф(А)).
Следствие 1.11. Пусть отношение 0 замкнуто и А Е р(Т\). Для принадлеэюпости точки А точечному спектру ор(То) отношения То необходимо и достаточно, чтобы кег(0-Ф(А)) ^ {0}. Точка А припадлеэюит остаточному спектру аг(То) (непрерывному спектру ас(То)) тогда и только тогда, когда отношение (в — Ф(А))-1 является неплотно определенным (плотно определенным и неограниченным) оператором. Точка А принадлежит резольвентному множеству p(Tq) в том и только том случае, когда (0 — Ф(А))— 1 является ограниченным всюду определенным оператором.
В разд. 1.3 вводится пространство граничных значений для описания расширений симметрических операторов и отношений и в терминах абстрактных граничных условий описываются различные свойства расширений этих операторов и отношений. Отметим, что большая часть результатов разд. 1.3 с полными доказательствами изложена в монографии [511.
Определение и свойства ПГЗ симметрического отношения приведены в разд. 1.3.1. Пусть $) - гильбертово пространство со скалярным произведением (*, •) и нормой ||-||; ТС - другое гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой Ц-Ц^; _ замкнутое симметрическое линейное отношение, 5о С Г) х Г). Пусть Г: —»Н х7{ - линейный
оператор, Г\- = я-Г : >Н (к = 1,2).
Определение 1.4. Тройка (Т^ГьГг) называется пространством граничных значений (ПГЗ) симметрического отношения 5о или граничной тройкой для 50; если выполняются условия: а) отображение Г : 5о —♦ ТС х ТС сюръективно; 6) для любых пар {у. у'}, {г, г'} Е 5д справедлива "формула Грина"
(■уг) - (у, г') = (У, 2)„ - (У, 2%г,
где У = ГДу,!/'}. V = г = Г,{2,г'}, 2' = Гг{2)2'}.
Замечание. Определение 1.4 дано в работе автора [15). Независимо аналогичное определение приведено в статье А. Н. Кочубея [71]. В этих работах рассматривался случай, когда 5о - оператор.
Из свойств а), б) следует, что Г {у, у'} = 0 в том и только том случае, когда пара {у, у'} 6 *9о. В определении 1.4 не требовалось, чтобы граничные отображения Г*: 5*5 —»ТС (к = 1,2) обладали какими-либо свойствами непрерывности. Тем не менее условия а), б) влекут непрерывность Г*.
Теорема 1.22. Оператор Г является непрерывным и взаимно одно-
«V —
значным отображением ^л0-Ь^Па0 на ^ х ^ (1шЛо^О).
В теореме 1.22 символом 91 д обозначено множество упорядоченных пар вида {г. Хг], где г Е 91Л; 91 л — ^©77.(5о-ЛЕ) = кег(5у-ЛЕ) - дефектное подпространство отношения 1тЛ^0.
16
Теорема 1.23. Для симметри'ческого отношения 6о тогда и только тогда существует граничная тройка, т.е. гильбертово пространство Н и операторы Г*:6о —>Н {к = 1,2), удовлетворяющие условиям а), б) определения 1.4, когда отношение бу имеет равные дефектные числа.
Обозначим через Эд такое линейное отношение, ч то 5^ С и ГБ$ = 0. где 0 - линейное отношение, О С Н х Н. Очевидно, 5о С 5^. Из теоремы 1.22 следует, что отношения (50 С Эо С 5ц) и в (О С Н х К) однозначно определяют друг друга.
Теорема 1.24. Линейные отношения Эо и в одновременно являются или нет диссипативными (аккумулятивными, симметрическими, максимальными диссипативными, максимальными аккумулятивными, максимальными симметрическими, самосопряженными).
Из теоремы 1.24 и из работ Ф.С. Рофе-Бекетова([90].[91|,[135|),М.Л. Гор-бачука, А. Н. Кочубея, М. А. Рыбак ([54], [511. [ 124|) о представлении самосопряженных, диссипативных,аккумулятивных отношений вытекает следующее утверждение.
Теорема 1.25. Для любого сжатия К в пространстве Н сужение отношения на множество пар к € вц, удовлетворяющих условию
(.К - Е)Г2к + ЦК + Е)ГД = 0, (2)
или
(К - Е)Г2к - ЦК + Е)1\к = 0, (3)
представляет собой максимальное диссипативное (максимальное аккумулятивное соответственно) расширение отношения Бц. Обратно, всякое максимальное диссипативное (максимальное аккумулятивное) расширение отношения 5о является сужением отношения на мпоэ/се-ство пар к £ 5у, удовлетворяют,их (2), (3) соответственно, причем сжатие К определяется расширением однозначно. Максимальные симметрические расишрения отношения 5о описываются условиями (2), (3), в которых К - изометрический оператор. Эти условия задают са-
17
мосопряженные расширения тогда и только тогда, когда оператор К унитарный. Общий вид диссипативных (аккумулятивных) расширений отношения 5о задается соответственно условиями.
К{Г2Н + гГ,/г) = Г2Л - Г2Л + *Г, € Э(К);
К(Г2б - гГ{И) = Г2к 4- »ГгЛ, Г2/г - гГ\/1 € 2>(/Г),
где # - линейный оператор, для которого ||Я:г||5Г ^ при всех
х £ Т){К). Диссипативное {аккумулятивное) расширение является симметрическим тогда и только тогда, когда К - такой линейный опера-тор, что ЦЛ'хЦ^ = ЦасЦ^.
Пусть 5(л-) - расширение отношения 5о, определяемое граничным условием (2) или (3). В разд. 1.3.2 находится связь между спектральными свойствами максимального диссипативного (аккумулятивного) расширения 5Т(Л') отношения 5о и соответствующего граничного оператора К. Доказывается, что если операторы К и Ко "близки" в определенном смысле, то отношение 5(/с) обладает теми же свойствами, что и 5(д-0). Соответствующие утверждения аналогичны теоремам 1.11, 1.13.
В разд. 1.3.3 устанавливается связь между обобщенными резольвентами симметрического отношения и краевыми задачами со спектральным параметром в граничном условии. Рассмотрим следующую краевую задачу:
у' = Ху + /, (4)
(Л'(А) - Е)У - г(К(А) + Е)У = 0. (5)
где {у, у'} 6 50*, {Г, Г} = Г {у, у'}, / € А 6 С, ЬпА > О, А-К(А) -
голоморфная в верхней полуплоскости операторная функция в простран-
стве ,Н такая, что |[Я(А)||г/; ^ 1.
Теорема 1.30. Между классом краевых задач (4), (5) и обобщенными {регулярными) резольвентами Я\ отношения 5о существует взаимно однозначное соответствие, определяемое равенством
ЯЛ = (5(*(Л)) - АЕ)-К 18
Отметим, что другими методами задачи со спектральным параметром в граничном условии в пространстве конечномерных вектор-функций изучались в работе Е. М. Руссаковского [95].
В разд. 1.3.4 определение 1.4 распространяется на более общий случай. При изучении операторов и отношений, порожденных дифференциальными выражениями, часто встречается ситуация, когда Г отображает 5 на Н- х 7^+ (или на Н+ х Н-), где Н+, Н. - соответственно пространства с позитивной и негативной нормой относительно гильбертова пространства Н. Поэтому было введено следующее определение.
Определение 1.5. Четверка ('Н-./Н+, ГьГ'Д называется пространством граничных значений (ПГЗ) симметрического отиогиения 5о, если,: а) отображение Г : 6^ —»Н . х Н+ сюръективно\ б) для любых пар {у,у'}, {-2,г'} Е 5о справедлива "формула Грина" из определения 1.4.
В диссертации устанавливается, что этот случай достаточно просто сводится к определению 1.4, если использовать стандартные операторы, осуществляющие изометрию между пространствами К+, НиН. Н_.
В заключение разд. 1.3.4 рассматривается связь между различными абстрактными пространствами граничных значений. Позитивное пространство граничных значений, введенное в статье А. Н. Кочубея [73], является граничной тройкой в смысле определения 1.4. Пусть тройка (Н, Г], Гз) граничная. Тогда при любом невещественном Л четверки (Н,Н, Гь Гг), (Н,Н> Г2, Г1) граничные (в смысле определения 1/2) для отношения 5ц-\Е. Пространства граничных значений из работ В. А. Михайлеца |83|, О. Г. Сторожа |98|, Л. И. Вайнермаиа |44| (см. также обзорную статью |52|) могут быть сведены к граничной четверке из определения 1.2. Абстрактная вторая формула Грина из работ Н.Д. Копачевского [69), Н.Д. Ко-пачевского, С. Г. Крейна [70], И. Д. Копачевского, В. И. Войтицкого, П. А. Старкова [47] укладывается в схему определения 1.4.
Отметим, что с помощью граничной тройки из определения 1.4 в работе К). М. Арлинского |3] дано описание векториальных расширений иеот-
19
ридательного симметрического оператора. В статье В. Л. Деркача и М. М. Маламуда [120] введено понятие функции Вейля для граничной тройки из определения 1.4. Дальнейшие результаты, связанные с функцией Вейля, получены в ряде работ этих авторов (см., например, [61], [121]).
Глава 2 посвящена линейным отношениям, порожденным дифференциальным выражением с ограниченными операторными коэффициентами и весовой неотрицательной операторной функцией 1-^А(1). а также дифференциальным выражением с неванлинновской операторной функцией.
В разд. 2.1 дается описание пространства Ь,,(Н, Д(£); а, 6) (р ^ 1). Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •); £—**4(£) - сильно измеримая на конечном или бесконечном интервале (а, 6) функция, значениями которой являются такие ограниченные операторы в пространстве Я, что для любого х € Н и при почти всех £ 6 (а, 6) выполняется неравенство (Л(£)я,х) ^ 0. Кроме того, предполагается, что норма |[-Д(-)|| - суммируемая функция на каждом отрезке
На множестве непрерывных и финитных на интервале (а, 6) функций у со значениями в пространстве Я введем полунорму
Отождествляя с нулем те функции у, для которых рр(у) = 0, а затем производя пополнение, получим банахово пространство, обозначаемое В = ТР(Я, Л(£);а, 6). Элементами В являются классы эквивалентности; при этом функции у, г принадлежат одному классу, если pp(y-z) = 0. Чтобы излишне не усложнять терминологию, класс функций с представителем у обозначаем тем же символом, а про функцию у будем говорить, что у принадлежит В. Равенства между функциями из В понимаются как равенства соответствующих классов эквивалентности.
Пусть Çq(£) = ker.4(£), Я(£) = Я © Go(t), Ao{t) - сужение A{t) па H(t). Тогда оператор -4о(£); действующий в #(£), имеет обратный А{] [(t)
20
[а,/?] С (а,Ь).
1 ^ р < оо.
(вообще говоря, неограниченный). Через {HT(t)} (—00 < т < оо) обозначим гильбертову шкалу пространств, порожденную оператором *4q1(£). Оператор Л)(0 допускает расширение .До (О : #-<*(£) —> //]_„(£), которое непрерывно и взаимно однозначно отображает Я_а(£) на Я]_Л(£). Обозначим через A(t) оператор, определенный на //_«(£) 0 (7о(0> равный Ло(0 на и нулю на Ço(t).
Теорема 2.1. Пространство В = Lp[H> A(t)\а, b) состоит из элементов (т.е. классов функций), представители кот.орых есть функции вида t—>Âül^P(t)V(t)h(t), где heLp(H\a,b), V(t) - ортопроект,ор И на H(t). Пространство A(t)\ a fi) является гильбертовым со скалярным
произведением (у, z)= / (Â{t)y(t),z(t))dt, где 2/, г G L2[H ,A{t)\a,b).
да
В разд. 2.2 рассматриваются линейные отношения, порожденные на отрезке [а, 6] функцией А и дифференциальным выражением
г [г/1 = ро(*)ум + Pi(%(r_1) + - + Pr(t)y.
При фиксированном t коэффициенты этого выражения являются ограниченными линейными операторами в гильбертовом пространстве Я, причем оператор po(t) имеет всюду определенный ограниченный обратный при почти всех t G [а, 6]. Предполагается, что операторные функции PÔ1, Рь—»Рг сильно измеримы, функция ||Ро1(0|| ограничена, а функции 1Ы-)Н»-> IM0II суммируемы на [а,6].
Сопряженное выражение Г при дифференцируемых коэффициентах Pk имеет вид r[z] = (-l)r(po(t)zYr) + (-l)r_1(pî(0'2:)(r"1) + - + PÏ(t)z-Сопряженное выражение I* можно рассматривать как квазидиффереици-альное. Квазипроизводные z^ для Г определим равенствами: z^=PqZ, z^ = -(z^k~^)r + p\z, k = 1, ...,r. Тогда l*[z] =
Пусть У^(£,Л), Zj(t.X) - операторные решения уравнений
Щ = Чу] - bA{t)y = 0, l\[z] = l*[z] - AA(t)z = О
соответственно, удовлетворяющие начальным условиям Yjk —
ôjkE, zf~l\tQjX) = ôjkE, где A G C, to G [a, 6], ôjk - символ Кроиекера,
21
jyk— 1, ...,r. Обозначим через Y(t, Л), Z(t, A) операторные однострочные
В разд. 2.2.1 устанавливаются свойства функций Y, Z, необходимые для изучения линейных отношений, порожденных выражениями /, Г. Максимальное и минимальное отношения, порожденные выражением I и функцией А в пространстве В = LV(H^ A(t)\a.b) (р ^ 1), вводятся в разд. 2.2.2 следующим образом. Пусть V - множество упорядоченных пар {ÿ,f} 6 В х В, для каждой из которых существует пара {y.f}, отождествленная в В х В с {ÿ,/} и удовлетворяющая условиям: а) у имеет на [а, 6) абсолютно непрерывные производные до порядка г - 1 включительно; 6) 1[у}(1) = A(t)f(t) почти всюду. Замыкание отношения V обозначим L и назовем максимальным отношением, порожденным выражением I и функцией Л. Минимальное отношение Lq определим как сужение L на множество функций у € V(U) со свойствами а), б), для которых у^к\а) = у^к\Ь) = 0 (к = 0,1,...,г - 1). Аналогично определяются максимальное А и минимальное Л0 отношения, порожденные выражением I* и функцией А в пространстве В* (р ф 1). В разд. 2.2.2 устанавливается ряд свойств введенных отношений. Доказывается, что отношения L0> До замкнуты и Lq = Л. Основную роль в доказательствах играет лемма 2.2, для формулировки которой введем обозначения.
Через Qo (Qo) обозначим множество таких элементов с6 НТ (се Нг)> что функция t —> A(t)Y(t,0)c (t —> A(t)Z(t}0)c соответственно) равна нулю почти всюду. Положим Q = Нг 0 Qo и Q = Нг 0 Q0- Введем в Q и Q соответственно нормы ||с||_, ||с|Ц:
ственно). Доказывается, что замена в формуле (6) (в формуле (7)) У (s. 0)
||c||l=f [ A1/q(s)Z($.0)c ^ /с||с|| , cGQ, À:>0, p 1 + <? 1 = 1. (7)
Пополнение Q (Q) по норме (6) (по норме (7)) обозначим Q_ (Q_ соответ-
на Y(s. Л) (Z(s, 0) на Z(s, Л)) приводит к тому же множеству (Q . соответственно) с эквивалентной нормой. Пространства, сопряженные к Q_ и Q_, обозначим Q+ = (Q-У, Q+ = (Q-У- Справедливы включения Q+ С Q, Q). С Q. Через У(-,А)с (с Є Q-) обозначаем элемент из В, к которому сходится последовательность {У(-.Л)сп}) если {сп} сходится к с в пространстве Q-.
Лемма 2.2. Отношение L — XE состоит из множества пар {у, /} Є В х В. для каждой из которых существует такая пара {у,/}, отождествленная еВхВ с {у, {}, что
y{t) = Y{t,\)cx + F{t\ (8)
где сх е Q-,F(t) = Y(t,X)jJ^ Z*(s,\)A(s)f(s)dst J - операторная матрица порядки г, у которой на побочной диагонали стоят, тождественные операторы Е, а остальные элементы равны нулю.
В разд. 2.2.3 дается описание операторов, являющихся обратными к обратимым сужениям отношения L-XE. Наиболее просто описание таких операторов выглядит в следующем ПГЗ. Каждой паре {y,f} € L - ХЕ, представленной в виде (8), поставим в соответствие пару граничных значений {Т(А),У(А)} по формулам
6^{yJ}=y\\)=[bZ%s^)A(s)f(s)ds, 6bx{yJ} = сх + (1/2)jy(А).
J а
Доказывается, что четверка {Q-, Q+, <5l.i(A), <$l,2(A)} является ПГЗ в смысле определения 1.2 для отношения I, — ХЕ.
Пусть А —> Ь(А) - семейство таких линейных отношений, что Lq-XE С L(X)cL — ХЕ. Положим <5ДA)L(A) = 0(A). Получим семейство линейных отношений 0(A) С Q_x Q+. Обозначим L~l(А) = R(X) и 0”1(А) = М(А).
Теорема 2.4. Отношение Я(А) тогда и только тогда яв.пяется оператором, когда отношение М{А) является оператором. В этом случае оператор R(А) интегральный
R(X)f = [bKL(t,s,X)A(s)f(s)ds,
Ja
23
где А) = У(£, А)(М(А) — (1/2)з^(з-£)«/)£’($, Л). Оператор Я(А)
а) замкнут, б) плотно определен, в) всюду определен в том и только том случае, когда этими свойствами обладает оператор М(Л).
Теорема 2.6. Пусть при некотором Ло отношение Я(Ао) (гит М(Ло)) из теоремы 2.4 являются ограниченным всюду определенным оператором. Семейство А—>Я(А) тогда и т.олько тогда голоморфно в тючке А0, когда семейство \ —*М(\) голоморфно в той же точке. При этом Я(А) и М( А) являются в некоторой окрестности точки А<> ограниченными всюду определенными операторами.
Кроме того, в разд. 2.2.3 в терминах граничных значений описывается спектр сужений максимального отношения. Для функции у, к которой применима операция I, обозначим у = со1(г/,у',..., Если
и = (щу..., ит) - какая-либо система функций, то й - матрица со столбца-
✓ч
ми и), і = 1,..., т. Отметим, что операторы У(<, А) непрерывно и взаимно отображают Яг на НГ. Наиболее просто описание спектра выглядит в еле-
л,
дующем ПГЗ. Предположим, что іо = а. Обозначим С^ь = У(6, Q)JQ+. Используя последнее равенство, введем в С)ъ норму пространства Каждой паре {у,/} € />, представленной в виде (8) при А = 0, поставим в соответствие пару граничных значений
гЬ
М»./}=соє<3-, аду,/}=у(б,оу/ г(в,о)Д(в)/(в)*єОі.
д о
Если со Є <?, (т.е. {і/./} Є Ь'), то Ф.Дг/.Л = у(а), Ьь{У,1) = у(Ь) ~ У(Ь,0)у(а). Пусть пара {у,/} Є Ь Тогда пара {у, / — Ау} Є Ь — А£. Поставим в соответствие каждой такой паре пару граничных значений по формулам <5і,в(А){у, / — А у} = Ф,„{у>/}> д2,ь(\){у,/ - А у} = <52,ь{у,/}• Доказывается, что четверка {С}-, С)ь, <5і,а(А), <$2,б(А)} при любом А Є С является ПГЗ для отношения Ь-\Е в смысле определения 1.2. Оператор, соответствующий (1) и обозначаемый здесь Фо(А), имеет вид
гЬ
Ф0(А) = А У(6,0)7 / г*(8уЪ)А{8)У(8,\)йз.
Э а
Если Со € <5 (т. с. {у. /} € Я), то Фо(А) = У (6, А) - У (б, 0).
24
Пусть ОсС2-Х<дь и Л#- линейное отношение, состоящее из упорядоченных пар {у,/} е Ьу удовлетворяющих условию {$1,в{з/, /}Л,б{у?/}} € 0. Заменив в следствии 1.11 Ф(А) на Фо(А), получим для произвольной точки А € С необходимые и достаточные условия принадлежности точки А точечному спектру (тр(Ьо), остаточному спектру <тг(Ь$)> непрерывному спектру Ос(Ьо) или резольвентному множеству р{Ьв). Отметим, что если в теореме 1.7 заменить Ф$ на Фи(А), то получатся условия, при которых отношение Ьо - АЕ обладает свойствами, перечисленными в теореме 1.7.
В разд. 2.3 рассматривается формально самосопряженное выражение на конечном или бесконечном интервале (а, 6) и изучаются линейные отношения, порожденные этим выражением и функцией Л в пространстве Н = ^(Я, Л(Ь)] а, 6). Обозначим через I дифференциальное выражение порядка г (г = 2п, п = 1,2,... или г = 2п + 1, п = 0,1,2,...):
*=1 П
Е(-1 )*{*[(<?, и=о
Выражение I рассматривается как квазидифференциальное. При фиксированном £ коэффициенты этого выражения - ограниченные самосопряженные операторы в //, причем ро(Ь) (при г = 2п) и <7о(^) (при г = 2п + 1) имеют ограниченные обратные почти всюду и функция <?0 сильно дифференцируема при г = 2п-Ь 1. Предполагается, что нормы функций РоЧ, ЯоРо'чо (при г = 2п), <7о (при г = 2п+ 1) и нормы остальных коэффициентов суммируемы на любом отрезке [а, /3} С (а. Ь).
Конец а называется регулярным, если а > — оо, можно взять а = а и функция £ —► ||.А(£)|| суммируема на любом отрезке [а}(3\ С [а, 6). В противном случае конец а называется сингулярным. Аналогично определяются регулярность и сингулярность конца Ь.
Пусть И^(£, А) - операторное решение уравнения 1[у\ = АЛ(1)у (А е С), удовлетворяющее начальным условиям: И/Г|*~1^($о> А) = Оператор-
ную однострочную матрицу (И^(£, А),..., И7Г(£, А)) обозначим IV(£, А). Для
25
выражения / порядка 2п или 2п 4- 1 используем соответственно матрицы ,/2я (0 или </2п+1 (0> гДе ^2п(0 ~ операторная матрица порядка 2п, на побочной диагонали которой в первых п строках стоят —в последних п строках стоят Е, а остальные элементы равны нулю; Лп+ДО -операторная матрица порядка 2п+1, у которой на пересечении (п-Ы)-строки и (п+1)-столбца стоит 2г<7о(0> остальные элементы - такие же как в матрице 7^(0-•В разд. 2.3.2 определяются максимальное и минимальное отношения, порожденные выражением I и функцией >1 в случае регулярных концов. Пусть V - множество упорядоченных пар {у,/} € Н х Н, для каждой из которых существует пара {у,/}-. отождествленная в Нх Н с {у,/} и удовлетворяющая условиям: а) квазипроизводные функции у существуют, абсолютно непрерывны до порядка г — 1 включительно; 6) “ *^М/(0 почти всюду. Замыкание отношения I/ обозначим Ь и назовем максимальным отношением, порожденным выражением / и функцией Л. Минимальное отношение Ьо определим как сужение Ь на множество функций у 6Е 'Р(Ь') со свойствами а), б) и у^(а) = у^(Ь) = О
В том же разделе доказывается, что отношение Ьо симметрическое, замкнутое и Ьц = Ь. Доказательства основаны на лемме 2.10, для формулировки которой введем следующие обозначения. Пусть (2о - множество элементов с в НТ, для которых функция 1У(*,0)с отождествлена с нулем в пространстве Н, <2 = Я7' © (20. Зададим в С} норму
Пополнение С} по этой норме обозначим Доказывается, что замена в (9) 1У($,0) на \У(5,Л) приводит к тому же множеству <2_ с эквивалентной нормой. С)_ можно рассматривать как пространство с негативной нормой относительно <2. Соответствующее пространство с позитивной нормой обозначим <2+.
Лемма 2.10. Отношение Ь—\Е состоит из множества пар {у, /} 6 Н хН, для као/сдой из которых существует такая пара {у. }}, отож-
[к = 0,1, ...,г - 1).
(ев <2, 7 > 0). (9)
26
(10)
а
Основным результатом разд. 2.3.3 являются теоремы об описании обоб щениьтх резольвент симметрического отношения Lo■ Напомним |1|, [2|, что обобщенная резольвента отношения Lq называется ^-регулярной, если она порождается J-самосопряженным расширением в J-пространстве 9) D Н и в качестве 9) можно выбрать такое пространство, что 9) © Н является пространством Понтрягина П*. Если х = 0, то обобщенная резольвента называется регулярной.
Теорема 2.18. Пусть оба конца интервала (а.Ь) регулярны. Всякая обобщенная резольвента Яд (IrnA ^ 0) отношения Lq в окрестности До точки Ао является в этой окрестности интегральным оператором
с ядром K{t,s, А) = W% А)(М(А) - (l/2)sgn(s - t)J;l(t0))W'{$y À), где
М(А) : Q+ —> Q_ - ограниченный оператор при каждом фиксированном
ратно, если А —> М(А) - голоморфная в окрестности До точки Ао операторная функция, значениями которой являются ограниченные операторы из <3+ в С}-, то семейство операторов Яд, определенное равенством (11), является обобщенной резольвентой отношения Ьо в окрестности До точки Ао.
Теорема 2.19. Обобщенная резольвента Яд х-регулярна в том и только том случае, когда операторная функция
N(A,/i) = (А - Д)_1(М(А) - М*(ц))—
- (М-(м) + 2-1 Jr-1(«o))U(A,^)(M(A) - 2-1 Jr-\to))~
— (W(/*) - 2-1Л-,(«о))ЫА.Д»)(М(A) + 2-V-l(to)).
(П)
А Є До, причем операторная функция А —+ М(А) голоморфна в До- 06-
27