Оглавление
Введение 4
1 Фреймы сдвигов и системы экспонент в конечномерных пространствах над полем К, С, <$р. 17
1.1 Фреймы сдвигов векторов в унитарном пространстве. Построение, примеры.......................................................17
1.2 Бесселева граница последовательности..........................32
1.3 Системы экспонент в пространстве С'у..........................34
1.4 Конструкция фреймов в пространстве над полем р-адичсских чисел.
Построение фрейма Парсеваля-Стеклова в <0>2...................38
2 Фреймы сдвигов в Ь2 (1К). 53
2.1 Некоторые операторные соотношения в Ь2 (К)....................53
2.2 Фреймы из целых сдвигов функции...............................58
2.3 Фреймы сдвигов для произвольной числовой последовательности 68
3 Базисы Рисса, фреймы и бесселевы последовательности экспонент в Ь2 (-7,7). 71
3.1 Предварительные сведения......................................71
3.2 Бесселевы последовательности и фреймы экспонент. Необходимые условия........................................................82
3.3 В Я- и фреймовый радиусы притяжения для числовой последовательности .......................................................93
3.4 Системы весовых экспонент....................................101
2
Литература 115
\
Введение
Актуальность работы. Наряду с методами классического гармонического анализа в последние десятилетия большое внимание стало уделяться негармоническому анализу, в котором информация (сигналы) представляются в виде рядов по неортогональным или линейно зависимым (избыточным) системам. Такие представления имеют ряд преимуществ: неограниченный объем, возможности выбора оптимальных представлений по разным критериям и т.д. Например, широко используются фреймовые представления для удаления шумов, использующие нетривиальное™ ядра оператора синтеза.
Понятие фрейма впервые было введено в 1952 году Даффином и Шеффером [47], в связи с изучением негармонических рядов Фурье. Следует отметить, что ранее в работах Бари, Наймарка [32] была развита теория фреймов. В последние годы фреймы получили широкое распространение в различных научных направлениях. В квантовой механике фреймы помогают представлять когерентные состояния. Цифровая обработка сигналов использует фреймы для борьбы с шумами. В общем, фреймы — это "избыточное"множество векторов в гильбертовом пространстве, для которого сохраняется ослабленное равенство Парсеваля-Стеклова. Именно свойство избыточности обеспечивает в цифровой обработке сигналов устойчивость к потерям информации. Базисы Рисса являются фреймами, но образуют лишь малую часть во множестве фреймов. Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Общая теория фреймов подробно описывается в работах О. Christensen [45], И. Добеши [18]. К. Влаттера [3]. Ряд прикладных задач потребовал изучения
4
фреймов специального вида, таких как фреймы, полученные сдвигами одного элемента гильбертова пространства, а также фреймы комплексных экспонент. Естественной является задача сравнения критериев базисности Рисса и фрсймовости различных систем, таких как системы сдвигов, системы комплексных экспонент, весовых экспонент. Для того, чтобы применять фреймы, скажем, в цифровой обработке сигналов, желательно, чтобы элементы фрейма обладали похожей структурой, иными словами, являлись когерентными. В этом смысле, целесообразно строить и изучать фреймы, которые получаются из одного элемента некоторого гильбертова пространства при помощи оператора сдвига. Данной задаче посвящены работы О. Christensen, Olevski A.[53], Терехина H.A. [37]. Базисные свойства систем экспонент {elXnX}n(=z изучались на протяжении многих десятилетий и являлись объектами исследований таких выдающихся математиков, как Н. Винер и Р. Пэли [5], Даффин, Шеффер, М.И Кадец [20], А.Ф. Леонтьев [30]. А.М Седлецкий [36] и др. В диссертации получены некоторые аналоги этих результатов при замене свойств базисности Рисса на свойства бесселевости и фреймовости соответствующих систем.
Цель работы. Построение фреймов из сдвигов вектора в конечномерном пространстве над полем вещественных чисел; нахождение критерия бесселевости системы векторов, построенной из сдвигов вектора в конечномерном пространстве; исследование систем весовых экспонент в конечномерном пространстве над полем комплексных чисел; нахождение необходимых и достаточных условий на вес, дли того, чтобы система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву систему; определение фрейма для конечномерного пространства над полем р- адических чисел и доказательство основных теорем о фреймовом представление, построение фреймов в пространстве над полем /> адических чисел; исследование систем, образованных с помощью целых и произвольных сдвигов функции в пространстве L2 (1R), построение фреймовой последовательности; нахождение критериев фреймовости систем экспонент {егХпХ}П€%: весовых экспонент {д (х) егХпХ}П£% в пространстве L2(—7г,7г); исследование устойчивости фреймов.
Методика исследований. Использовались методы теории функций и
5
функционального анализа, элементы комплексного анализа и преобразования Фурье.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.
1. Найдены необходимые и достаточные условия фреймовости и бесселе-вости системы весовых экспонент в конечномерном пространстве.
2. Введено определение фрейма в А/’-мерном пространстве над полем р-адических чисел, построены фреймы Парсеваля-Стекловаи исследованы свойства соответствующих фреймам операторов.
3. Найдены критерии фреймовости и бесселевости системы сдвигов функции в пространстве Ь2 (К).
4. Найдены необходимые условия на последовательность вещественных чисел {Ап}пе2, чтобы соответствующая система экспонент образовывала фрейм, являлась бесселевой.
5. Получены условия на весовую функцию, для того, чтобы соответствующая система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву последовательность.
6. Введены радиусы притяжения вещественной числовой последовательности {Ап}пб2, которые характеризуют устойчивость комплексных экспонент {е1А"х}п€2, как базисов Рисса (фреймов) по отношению к сдвигам чисел Ап. Доказано, что переход от базисов Рисса к фреймам не увеличивает радиус притяжения, что является обобщением классической теоремы Кадеца об
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации могут быть использованы для дальнейшего изучения фреймов сдвигов и экспонент, а также найти применение в частотно-времен ном анализе.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на семинарах кафедры Математических моделей и информационных технологий Самарской академии государственного и муниципального управления; на международной конференции "Современные методы теории
6
функций и смежные проблемы"в г. Воронеж (2009, 2011); на международной Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"( 2010, 2012); на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи "в г. Самара (2010); на 2-ой всероссийской научно-практической конференции "Математическое моделирование, численные методы и информационные системы "в г. Самара (2010); на десятой международной Казанской летней научной школе-конференции в г. Казань (2011);
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора |7] —[16], [25] — [27]. Статьи [12], [16] и [27] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объем диссертации 120 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.
Содержание диссертации. Во введении описывается история возникновения проблемы исследования, обосновывается актуальность выбранной темы. Далее приводится ряд задач, требующих решения и ответы на поставленные задачи.
В первой главе приводятся основные определения, изучаются фреймы сдвигов одного и двух векторов, находятся критерии фреймовости систем весовых экспонент, определяется фрейм для конечномерного пространства над полем р-адических чисел. Напомним классическое определение фрейма.
Пусть ?2 конечномерное комплексное пространство со скалярным произведением, где:
и / и= >/</,/>.
Область определения векторов пространства фактически является — классом вычетов по модулю N.
■ Определение 1.4. Набор векторов {/а-}™«1 из повивается фреймом, если существуют константы А, В > 0 такие, что для любого / € £([
7
выполняются следующая неравенства:
то
A\\ff<Y,\<f’fk>\2<B\\f\\2.
к=1
А и В называются границами фрейма |23|. Наибольшая из нижних границ называется оптимальной нижней границей, а наименьшая из верхних границ оптимальной верхней границей. Если А = В, то фрейм называется жестким, а если А = В = 1, то фреймом Парсеваля-Стеклова. Были построены фреймы Парсеваля-Стеклова из сдвигов одного и двух векторов.
Возьмем iV-мерное гильбертово пространство C 'v, и рассмотрим набор векторов
Ет (п) = (Ет (0) , (1),..., Ет {N - 1)),
где т = 0,1,..., N — 1. определенных следующим образом:
£b(n) = -jL,Vn = 0,l,...,A'-l Ei (n) = exp Vn = 0,1,..., N - 1
1 27rm(iY—1)
En-і (n) = ^exP jy , Vn = 0,1,..., JV — 1.
To ЄСТЬ
Em (n) = -J= exp27- Vn, m = 0,1,..., N - 1.
Возьмем вектор (g (n))‘^~Q Є CA' и рассмотрим систему вида (g (n) Em (rc))* =q, где умножение вектора (g(n))^~^ на Em(n) покоординатное. Справедлива следующая теорема:
Теорема 1.2. Пусть имеется набор (д (п) Ет где (д (п))^~^ є
C,v. Следующие утверждения эквивалент,нгн,:
1) Система (д (п ) Ет (n))^=Q полна в CiV.
2) Вектор д (п) Ф 0, для всех п = 0,1,..., TV — 1.
Если, к тому же || g (п) ||= \fN, то {g (п) Ет (п))'^~I ортюпормироваи-ный базис прострем їства Сд‘.
8
Переполненные жесткие фреймы в пространстве СЛ можно получать с помощью проекции ортонормированного базиса из пространства €Л; на Сд'} где М > N.
Возьмем М > N, определим вектора (Ff. (п))^1 следующим образом:
Fk(n) = ^gexP 2^ПУп = 0,1,. ..,N - 1.
Тогда (Ff. (n))bJ0l — фрейм Парсеваля-Стеклова в пространстве Сдг, причем выполняется II Fk(n) ||= урїі .
Заметим, что в конечномерном пространстве любой набор векторов является бесселевой системой, в силу неравенства Коши-Буняковского.
Возьмем (д (п))*-ц Є CN и рассмотрим систему (д (n) F^ (п))^1, справедлива следующая теорема:
Теорема 1.3. Пусть имеется набор (д (п) F* (га))^1, где (д €
CiV. Следующие, утверждения эквивалентны:
1) Система (д (п) F* (n))^0’ фрейм в прост.ранстве Сд
2) Вектор д (гг) ф 0. для всех п = 0,1,..., N — 1.
V/ I
Следствие 1.1. Система (g (п) Fk (n))j_0 ~ фрейм Парсеваля-Стеклова в пространстве CN <==> \ д(п) |= 1, Vn = 0,1,..., N — 1.
В данной главе было определено понятие фрейма для пространства над полем р- адических чисел, построен фрейм Парсеваля-Стеклова.
Пустьр простое число, а 7- целое. Обозначим Qp — поле р-адических чисел, с нормой :
I * 1»= {Й.'"“’ 0)
гпр Огґіт — 1 наибольшая степень числа р. которая делит х,. ж,-целое 1 1 \Ordpa-Ordpb, . в,6, Ь#0-целые
Рассмотрим N-мерное пространство над полем р- адических чисел:
Q* = Qp х ... X Qp, X Є Q", X = (Жі),=„ где Xi € Qp.
N
В этом пространстве определена норма следующим образом:
II X ||р= гсіах I Xi |р где | Xi |р — норма хг в пространстве Q;>:
9
Норма І х |р является неархимедовой, то есть выполняется сильное неравенство треугольника:
I х + у |р< ні ах (1 х |р| у |р).
В пространстве введено скалярное произведение:
N
<Х,у>= ^2 ХіУп УХ, у Є *=1
В пространстве с нормой
|| х ||р= птх | хг \р
кк.\
выполняется неравенство Коши-Буняковского:
|< X, у >|р<|| X ||р|| у ||р .
Ввиду специфики данного пространства, определение фрейма ввести тем же способом, что и для пространств КЛ', Сл не удается. Нами введено определение фрейма в пространстве следующим образом:
Определение 1.8. Набор (/г)^ € <3^ — фрейм, если существуют такие константы А, В > 0, что V/ Є 0^’ выполняются неравенства:
Я II / !1р< тах |< /,/, >|Р< А || / ||р .
1<г<М
Если поле К = К или К = С, то хорошо известна эквивалентность : Набор (Д)£і — фрейм в К тогда и только тогда, когда (/г)^1 — полная система.
Доказано, что при определении 1.8. фрейма аналогичное утверждения сохраняет силу.
Теорема 1.4. Система (Л)^ — фрейм в тогда и только тогда, когда{/1)^_л —полная система.
Построен пример фрейма Парсеваля-Стеклова в пространстве 0^.
Введем определение фреймового оператора в . Рассмотрим отображение Т* : —♦ <0>р , действующее по следующему правилу:
г* (/) = (<
10
- Киев+380960830922