Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.............................................3
ГЛАВА 1. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
§ 1.1. Пространство /2(Н,р).........................19
§ 1.2. Ортогональность на сетке.....................20
§ 1.3. Об ортогональных многочленах.................21
§ 1.4. Некоторые свойства многочленов Якоби.........22
§ 1.5. Асимптотические свойства многочленов А)......24
ГЛАВА 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ НА
НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ
§ 2.1. Постановка задачи............................27
§ 2.2. Некоторые вспомогательные результаты.........29
§ 2.3. Асимптотические свойства многочленов ........40
§ 2.4. Оценка функции Лебега сумм Фурье по многочленам С>)-42
ГЛАВА 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ СЕТКАХ'В СЛУЧАЕ ЦЕЛЫХ а и
Р
§ 3.1. Постановка задачи..................................66
§ 3.2. Вспомогательные результаты.........................69
§ 3.3. Асимптотика многочленов р^(х) в случае целых а и 0.82
§ 3.4. Сходимость сумм Фурье по многочленам 84
ЛИТЕРАТУРА...............................................109
2
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы
В последнее время интерес к теории многочленов, ортогональных на дискретных сетках сильно возрос, она получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. Это вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач, многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье—Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений и т.д. Большая часть этих приложений приводят к задаче об асимптотических свойствах и весовых оценках ортогональных многочленов.
К примеру, в прикладных и теоретических исследованиях часто применяются разложения в ортогональные ряды. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной функции / = /(£) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы {<£„} требуется оценить отклонение частичной суммы £„(/) = £п(/,£) ряда Фурье функции / по системе {у?п} от самой функции /.
Приведенная задача стара, хорошо известна и детально изучена для многих классических ортоиормироваппых систем. Тем не менее, оставался ряд классических ортонормированных систем, часто применяемых на практике в качестве базисов, для которых указанная задача почти не была исследована. Эго — классические многочлены, ортогональные на сетках. Именно идея применения ортогональных разложений для обработки дискретной информации привела П.Л. Чебышева к созданию общей теории ортогональных многочленов.
Основной причиной того, что задача о приближении функций суммами Фурье по классическим ортогональным на сетках многочленам оставалась не решенной, явилось отсутствие исследований по асимптотическим свойствам самих ортогональных многочленов дискретной переменной. И здесь, следует заметить, что исследованию этой задачи посвящены многочисленные работы И. И. Шарапудинова.
3
Пусть О = (х0}Х1,... ...} — сетка — дискретное множество,
состоящее из конечного или бесконечного числа различных точек действительной прямой Я: х0 < Х\ < Хч <
М — | П | —мощность множества
р = р(х) — вес — положительная функция, заданная на множестве П и удовлетворяющая условию
х^п
/2(П, р) — пространство функций / = /(х), заданных на Г2, для которых
где /9,- = р(х}).
Предположим, что хп Є 1>{И,р) для любого п из = {0, 1, 2,...}. Тогда к системе функций {хп} (0 < п < М) применим процесс ортогонализации Грама—Шмидта. В результате получаем систему многочленов
обладающую следующими свойствами:
1) <іедрп(х)=П]
2) 12x^0. 'Рп(Яі)'Рт{?і)Рі = бпт, {6пт — СИМВОЛ КрОНЄККЄра).
Система многочленов (1), обладающая свойствами 1) и 2) называется
ортонормированной с весом р(х) на дискретной системе точек Г2, а сами многочлены рп(х) (0 < п < М) — ортоиормированными с весом р{х) на І2. Многочлены Тп(х) = спрп(х) (0 < п < М), отличающиеся от рп(х) постоянным множителем с.п Ф 0, называются ортогональными с весом р(х) на дискретной системе точек П. Аналогичная система многочленов для конечного М впервые была введена и подробно исследована в целом ряде работ П.Л. Чебышева в связи с задачами математической статистики. Особое внимание им было уделено случаю
{рп(х) = р„(х; П, р)}, О < п < М,
(1)
и
= ецх±0 + ты-х + а)
4
где с — постоянная, Г(х) — гамма—функция Эйлера:
ги = /
оо
1
Получаемые в этом случае ортогональные многочлены (Чебышева) обозначим через Т£,0(х, М), 0 < п < N — 1. Для определенности будем считать
п + а
71
П.Л. Чебышев показал, что многочлены Т£,/?(х, Аг), имеют следующее представление:
Т*'в{х' М) = ^)А" {^Ж) П "(* - *)} ’ (2)
где з(х) = 5^(ж,а) = 5(А/" •+- а - х), А/(х) = /(х + 1) - /(х), Ап = = А (А'1"1). Очевидно, (2) является разностным аналогом хорошо известной формулы Родрига для многочленов Якоби
где /с(х) = (1 — х)а(1 + х)^, сг(х) = 1 — х2. В этом смысле многочлены Чебышева Тп(х) = Т“’^(х, ЛУ), являются дискретными аналогами многочленов Якоби. Из формулы (2) вытекает разностное уравнение
в(х) = А27п(х — 1) + 7(х)ДТ„(х) + Л Тп(х) = 0, (3)
(7(х) = (/? Н- 1)(7У - 1) - (а- + (3 + 2)х, Л = п(п + а 4- (3 4- 1)) для Тп(х) = Т£'Р(х,1V), представляющее собой дискретный аналог дифференциального уравнения
<т(х)у"(х) + г}{х)у\х) + Хпу(х) = 0 (77(х) = /3-а-(а + 0 + 2)х),
для многочленов Якоби у(х) = Р^\х).
В работах А.А. Маркова, Шарлье, М.Ф. Кравчука, Мейкснера, Хана и других изучались системы ортогональных многочленов дискретного переменного, различающиеся выбором сетки П и веса р(х). В частности, подробно исследовались разностные свойства дискретных
5
аналогов классических многочленов Эрмита и Лагерра — многочленов соответственно Кравчука и Мейкснсра.
Многочлены М.Ф. Кравчука К^{х) определяются сеткой
и весом
/Ф0= (^)в*(1-?)""* (0<?<1)
(биномиальным распределением), а многочлены Мейксиера М%{х) = М£(х, д) — сеткой
= {0,1,2,...}
и весом
р(ж) =р(ж;ал) = -9)“+1 (0 < 9 < 1). (4)
Кроме того, в работе Шарлье [49] была рассмотрена система многочленов 5®(ж) (п = 0.1,...), ортогональных с весом
ахе.~а
'’(а°-Г(ГП) (“>0)
(распределением Пуассона) на множестве £1 = Z+, для которых
отсутствует непрерывный аналог среди классических ортогональных многочленов.
Каждая из указанных трех систем многочленов — Кравчука, Мейксиера и Шарлье — может быть получена из разностного аналога вида (2) формулы Родрига при соответствующем выборе веса р(х) и многочлена $(х). Все они удовлетворяют также соответствующим разностным уравнениям вида (3). Эти свойства характеризуют [50] рассмотренные четыре классические системы многочленов Чебышева, Шарлье, Кравчука и Мейксиера в том смысле, что всякая система {Рп(я)} ортогональных многочленов, удовлетворяющая одному из них, линейной заменой переменной приводится к одной из указанных классических систем.
Дальнейшее развитие теории многочленов, ортогональных на дискретных системах точек, связано с работами Хана, Вебера и Эрдейи, Карлина и Мак—Грегора, Дельсарта, Аскейа и Вильсона,
б
Никифорова А.ср., Уварова В.Б., Суслова С.К. и многих других математиков и физиков. Были получены многочисленные приложения многочленов, ортогональных на дискретных системах точек к генетике, теории кодирования, комбинаторной теории, квантовой механике, математической статистике, к практике обработки сигналов спектральными методами.
Известны различные связи указанных многочленов с другими специальными функциями. В частности, еще в работах П.Л. Чебышева отмечалось, что при N —> оо для фиксированного п имеет место равномерная относительно х из произвольного фиксированного компакта комплексной плоскости асимптотическая формула:
гра,0 л п
ЛГ-1
(1+ж),ЛГ
= ^(»)+<&(*),
(5)
0 при N —> оо и фиксированном п). Аналогичная связь имеется между многочленами Мейкснера М%(х) и Лагерра
К (мх, = Ы{х) + ь%{х), (6)
где (х) 0 при N —> оо (п фиксировано). Наконец, многочлены
Кравчука Щх(х) связаны с многочленами Эрмита соотношением
(ряГ
к (кр + ч/2А^) = + <„(*), (7)
где <у = 1— р, урп }у(х) —> 0 при N —* оо.
Для многочленов Шарлье 5“(х) нет аналогов среди непрерывных классических ортогональных многочленов, и мы не можем указать асимптотическую формулу, содержащую в главной части непрерывные классические ортогональные многочлены. Однако имеется следующая связь с многочленами Лагерра:
гг!
и
(8)
Асимптотические формулы (5) — (7) показывают, что при фиксированном п асимптотические поведения модифицированных многочленов Чебышева [—— (1 + я), А"] , Мейкснера
М% (АТх, е“1^) и Кравчука [(рд)п(^[) 2 К^{Мр 4- у/2Ыщх) близки
к асимптотическим поведениям соответственно многочленов Якоби, Лагерра и Эрмита.
Однако отсюда нельзя извлечь никакой информации об асимптотических свойствах (гг), (т) и К?іУ(х) в том случае,
когда степень п растет (вместе с параметром М). Этот вопрос часто возникает в связи с приложениями указанных многочленов, но до недавнего времени он оставался в стороне. Целенаправленное его изучение было проведено в работах Шарапудииова И.И. (28]—[48]. Задача состояла в том, чтобы получить такие оценки для остаточных членов <■£(*), ь«м(х) и у>пх{х) асимптотических формул (5) — (7), из которых и известных весовых для классических многочленов Якоби, Лагерра и Эрмита вытекали бы неулучшаемые по порядку при п —» ос весовые оценки для многочленов Т$(х),М£„(х) и К^(х) стремясь одновременно к тому, чтобы эти оценки оставались верны при минимальных ограничениях на рост степени п в зависимости от N. Поставленную задачу удалось решить окончательно для многочленов Чебышева 7^у (ж) в случае, когда а и /3 целые числа, и для многочленов Мсйксиера г (ж) — при произвольном а. Для многочленов Чебышева Т^’у(х) с целыми а и ,в возникло ограничение п = 0(\/]У), являющееся своего рода ''водоразделом"для их асимптотического поведения в следующем смысле:
если п < ау/1V (а > 0), то для Т^(х) справедлива такая же весовая оценка, что и для многочленов Якоби причем, равномерно
относительно 0 <п < ау/N (А —» оо);
2
если же —► оо, то такой оценки нет.
Аналогичное утверждение для многочленов Мсйксиера М%^(х) имеет место при п = 0(у/^). В главе 5 монографии (45) приведены некоторые результаты об асимптотических свойствах многочленов Кравчука К^(х). Эти результаты не носят окончательного характера и нуждаются в существенном улучшении как в смысле ослабления ограничения на рост степени тг по отношению к росту параметра А’, так и в смысле получения более точной оценки остаточного члена м(х) асимптотической формулы (7).
В настоящей же работе (в главах 2 и 3), по аналогии с работами Шарапудииова И.И. исследуются асимптотические свойства многочленов, ортогональных па произвольных (не только равномерных) сетках. Другая задача, рассмотренная в этих же главах, посвящена
8
исследованию вопросов приближения непрерывных функций, заданных на [—1,1] суммами Фурье по многочленам, ортогональных на дискретных системах точек. Здесь, в свою очередь, возникает вопрос об оценке функции Лебега указанных сумм.
Объект исследования.
В работе исследуются асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных дискретных системах точек, изучаются их частичные суммы и аппроксимативные свойства этих сумм. Также рассматривается функция Лебега частных сумм Фурье по этим многочленам.
Цель работы.
1. Исследовать асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках, состоящих из конечного числа N точек отрезка [—1,1].
2. Исследовать аппроксимативные свойства частичных сумм 5^ дг(/Л) ряда Фурье функции / 6 С[— 1,1] по этим многочленам.
Приведем краткий обзор содержания диссертации.
Глава 1. Ортогональные многочлены.
В § 1.1 приведены определения ортонормированной системы
функций и коэффициентов Фурье по этой системе, определенных на дискретном множестве и точек действительной прямой Я.
В § 1.2 дается определение системы многочленов, образующих ортонормированную систему на П с весом р(х).
В § 1.3 дается определение системы многочленов, образующих ортонормированную систему на (а, Ь).
А в § 1.4 приведены некоторые основные свойства многочленов Якоби Рп'^(х), необходимые для исследования.
В § 1.5 приводятся некоторые результаты профессора Шарапудинова И.И., посвященные исследованию асимптотических свойств многочленов, ортогональных на равномерных сетках.
Глава 2. Асимптотические свойства многочленов ^’дг(^), ортогональных на неравномерных сетках.
§ 2.1 посвящен постановке задачи.
9