2
Оглавление
Введение..............................................................5
Глава 1. Основные понятия............................................26
§1.1. Определение и свойства обобщенных функций...................26
§1.2. Свертка обобщенных функций..................................30
§1.3. Преобразование Фурье и его свойства.........................34
§1.4. Вариационная производная....................................36
§1.5. Некоторые факты из теории вероятностей......................41
§1.6. Простейшие формулы численного вариационного дифференцирования..................................................................44
Глава 2. Уравнение теплопроводности со случайными коэффициентами.................................................................47
§2.1. Постановка задачи...........................................47
§2.2. Нахождение решения задач с вариационной производной.........48
2.2.1. Уравнение первого порядка с вариационной производной..48
2.2.2. Уравнение третьего порядка с вариационной производной..50
§2.3. Математическое ожидание решения уравнения теплопроводности со
случайными коэффициентами............................................53
2.3.1. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения м атем ат и ч ес ког о ожи д а11 и я.................................53
2.3.2. Формула математического ожидания решения
задачи (2.1), (2.2)..................................................55
§2.4. Частные случаи нахождения математического ожидания..........56
2.4.1. Случай независимых процессов е и /.....................56
2.4.2. е - гауссовский случайный процесс......................57
2.4.3. е - равномерно распределенный случайный процесс........62
3
2.4.4. Случай распределения Лапласа...........................65
§2.5. Оценка погрешности при замене коэффициентов уравнения их средними значениями......................................................67
§2.6. Вторая моментиая функция решения уравнения теплопроводности..69
2.6.1. Вспомогательная задача Коши............................69
2.6.2. Формула второй моментной функции
решения задачи (2.1), (2.2)..........................................74
§2.7. Вторая смешанная функция решения уравнения теплопроводности..75 §2.8. Частные случаи нахождения второй моментной функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами..............76
2.8.1. Случай независимых случайных процессов.................76
2.8.2. Случай нормально распределенного случайного процесса 79
§2.9. Дисперсионная функция решения уравнения теплопроводности со
случайными коэффициентами............................................82
§2.10. Частные случаи нахождения дисперсионной функции............85
2.10.1. Случай независимых случайных процессов................85
2.10.2. е - гауссовский случайный процесс.....................86
Глава 3. Моментные функции решений дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами...................................89
§3.1. Уравнение диффузии с пятью случайными коэффициентами .......90
3.1.1. Постановка задачи......................................89
§3.2. Решение задач с вариационными производными..................90
3.2.1. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с вариационными производными...............................................90
3.2.2. Линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с ва-риацион н ы м и производн ы м и......................................92
§3.3. Математическое ожидание решения уравнения диффузии с пятью
4
случайными коэффициентами.............................................95
3.3.1. Переход к детерминированной задаче......................95
3.3.2. Вывод формулы для математического ожидания решения задачи (3.1), (3.2).......................................................97
§3.4. Частные случаи нахождения первой моментиой функции решения
задачи (3.1), (3.2)...................................................98
3.4.1. Случай независимых случайных процессов..................98
3.4.2. Случай гауссовских случайных процессов..................99
§3.5. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со случайными коэффициентами......................................107
3.5.1. Постановка задачи......................................107
3.5.2. Переход к детерминированной задаче.....................107
§3.6. Разностные методы отыскания математического ожидания........109
§3.7. Исследование на устойчивость................................111
§3.8. Нахождение математического ожидания
решения задачи (3.20) - (3.22).......................................113
§3.9. Примеры вычисления математического ожидания.................114
3.9.1. Случай нормально распределенного случайного процесса.......114
Заключение...........................................................117
Список литературы....................................................118
ВЕДЕНИЕ
Реальные процессы подвержены влиянию различных факторов, которые при математическом моделировании можно считать случайными процессами. Актуальной является задача оценки степени влияния случайных факторов на изучаемый процесс. В диссертации рассматриваются математические модели-диффузии в виде дифференциальных уравнений теплопроводности, коэффициенты которых являются случайными процессами. Решение таких уравнений также является случайным процессом. Многие авторы, например, Гель-фаид И.М. [10], Шилов Г.Е. [74,75], Монип A.C., Яглом А.М. [49,50], Вишик М.И. [5,6], Фурсиков A.B. [62-64], Кляцкии В.И. [39], Адомиаи Дж. [1], Хопф Е. [77] и др. рассматривали задачу нахождения моментных функций решений дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Однако, задачу удается решить только в отдельных случаях. Ранее, в работе Боровиковой М.М. [3], рассматривалось двумерное уравнение теплопроводности со случайными коэффициентами. Диссертация посвящена нахождению формул для вычисления моментных функций решений дифференциальных уравнений диффузии с тремя фазовыми переменными, коэффициенты которых являются случайными процессами.
Задорожний В.Г. [20-36] развил метод нахождения статистических характеристик решений путем построения вспомогательных детерминированных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными.
Тема диссертации связана с направлением научных исследований кафедры нелинейных колебаний.
Целью работы является разработка методов нахождения моментных функций решения задачи Коши для уравнения диффузии, коэффициенты которо-
6
го являются случайными процессами.
Общий подход исследования состоит в сведении исходной задачи со случайными коэффициентами к вспомогательной детерминированной задаче Коши с обычными и вариационными производными. Из решения такой вспомогательной задачи можно легко получать выражения для моментиых функций.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Получены формулы для решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными.
2. Описан метод сведения задачи нахождения моментных функций решений линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами к детерминированным дифференциальным уравнениям с обычными и вариационными производимми.
3. Для дифференциального уравнения диффузии с тремя фазовыми переменными получены формулы для нахождения математического ожидания решения.
4. Получено симметрическое решение детерминированного дифференциального уравнения е обычными и вариационными производными, получающегося при нахождении второй моментной функции решения уравнения диффузии.
5. Найдены формулы для нахождения моментных функций первого и второго порядков, смешанной и дисперсионной функций решений уравнения диффузии.
6. Получена оценка погрешности при замене коэффициентов уравнения диффузии со случайными коэффициентами их средними значениями.
7. Рассмотрен разностный метод для вычисления математического ожидания решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального урав-
7
нения второго порядка со случайными коэффициентами.
8. Получены условия устойчивости разностного метода.
Все вышеперечисленные результаты являются новыми.
В первой главе представлен обзор понятий, используемых в работе. Даны определения обобщенных функций, свертки и преобразования Фурье, вариационной (функциональной) производной, математического ожидания, дисперсионной функции и характеристического функционала случайных процессов. Рассмотрены свойства и частные случаи нахождения преобразования Фурье и вариационной производной.
Во второй главе рассмотрена задача Коши для уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами
ди^,х) _ <э2и(г,х) д2иЦ,х) д‘2иЦ,х)
—ВТ - + -Щ- + ~дЩ~ + (1)
ц(£0,т) = 'Но(х), (2)
где Ь 6 [<0, и] = Т С К, х 6 М3. и : Г х Е3 -) М - искомая функция, е{1) > О
- случайный процесс;, / : Т х Е3 —> К - случайный процесс, щ : М3 —;>■
К - случайное поле, независимое от ей/. Предполагается, что случайные процессы ей/ заданы характеристическим функционалом, т.е. известно
где
е(ц(-),гу(-)) = схр(г J £(з)у(в)с18 + 1 ^ J /(8,т)ги(з,т)(1.8с1т). (3)
Г Т Н3
М - знак математического ожидания по функции распределения процессов
е и /, 5 6 Т, т € Е , у(-) € Ь\{Т) - элемент пространства суммируемых на отрезке Т функций, ги(-) е Ь\[Т х Е3) - элемент пространства суммируемых функций на множестве Т х Е3.
Основной характеристикой случайного процесса являются математическое ожидание и дисперсионная функция [32, 39].
Решением задачи Коши со случайными коэффициентами является случайный процесс. Задача состоит в нахождении моментных функций решения (1),
В пункте 2.2.1 главы 2 найдено решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с вариационной производной.
Рассмотрена задача вида
Здесь £ € [£о, £]] = Т С К, и(-) в Ь\(Т), а* : Т —> С, г = 1, 2 - непрерывные на отрезке Т функции, т/о • х ^чОО -э С, 6 : Т х М3 х -> С - заданы,
у : Т х М3 х Ь\{Т) -> С - неизвестное отображение. '
Через х(а, 6, •) обозначим функцию, определяемую по следующему правилу: х(а, 5) = в1дп(з - а) при 5, лежащем в отрезке с концами а и 6, и х(а, 6,$) = 0 в противном случае.
Теорема 1. Пусть функции щ : Т —► С, г = 1,2 непрерывны на Т, 2/о(я,0 + а!(-)х(*оЛ *)) ил*еет о некоторой окрестности (7 С 1а(Т) точки гг(-),= 0 суммируемую вариационную производную, Ь : Т хЕ3х ^аСО —> С суммируемо па Т по первому переменному, существует суммируемая по т вариационная производная
(2).
+ аг(*М*. 40) + 6(*>ж> 40) > (4)
4*0, *,40) = г/о(*»40)-
(5)
£ц(т)
Тогда
у{1, х, г>(-)) = ехр( / а2{з)(1.ч)у0{х, «(•) 4- сц (0х(*о, *, ■))+
9
г г
является решением задачи (4)-(5) в окрестности Г2.
В пункте 2.2.2 главы 2 рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения третьего порядка
где * € Т С К, х € Н3, г;(*) Е Ь\(Т). Ь : Т х З£3 х Ь\(Т) С - заданное отображение, Уо : К3 х Ь\{Т) —> С - задано, у : Т х ]&3 х —> С - искомое
отображение.
Введем обозначения
Рх[/(Х12/)](О "" преобразование Фурье по переменному х,
2^-1 [<£(£, 77)] (ж) - обратное преобразование Фурье по переменному * - обозначает свертку по переменному х.
Определим через и51{г^)у{Ь,х. и{-)) - отображение, применяемое по переменному г>(-), следующим образом
В формулировке следующей теоремы у отображений уц и Ь опущены обозначения аргументов, соответственно х,и(-) 4- а^Х^О»*»') У £/о и 5,х,?;(-) 4 •) у 6. £(.т) обозначает дельта-функцию.
Теорема 2. Пусть существует окрестность £2 С Ь\(Т) точки и(-) = О, такая, что при всех у(-) € Г> функции
ду(Ь,х,у{-))
у(г, х, «(•)) + х’ *'(’))+
*"дз?У^’ Х‘+ Ь^'Х'
3
У^О, X, »(•)) =Уо(х, !»(•)).
(7)
(8)
*М*СМ*. *>«(■)) = +
10
5Ь 5Ь 6Ь
6Ь
6Ь
ограничены при £ € Т, 5 € Т суммируемыми на Е3 функциями. Тогда решение задачи (7), (8) находится по формуле
В пункте 2.3.1 изложена методика перехода к детерминированной задаче и найдено решение этой задачи. Введем в рассмотрение вспомогательное отображение У(ф,х,у(-),ю(')) = М(д(£, т)е(д(-), д;(-))).
Для отображения У получается детерминированная задача, допускающая явное решение. При этом М(д(£,т)) = У(£, ж, 0,0).
Умножим обе части уравнений (1)-(2) на е(и(-), ш(-))} которое задано формулой (3), и найдем математическое ожидание по функции распределения процессов е, / и до- Если существуют соответствующие производные отображения У, то последние равенства формально можно записать в виде
<о
5-и(£) дх\
(10)
(И)
У(и,х, у{-).ю[-)) - М{и0(х))<р(у(-),ь){-)),
- Киев+380960830922