О локально явных уравнениях

Содержание
Введение 7
1 Основные теоремы о локально явных уравнениях 17
1.1 Основные свойства локально явных уравнений 19
1.1.1 Критерий локальной явности................. 19
1.1.2 Утверждение о единственности.................. 19
1.1.3 О записи локально явного уравнения без о(сИ)
для класса сильных решений.................... 20
1.1.4 Утверждение о продолжении решения до
непродолжимого................................ 20
1.1.5 Утверждение о глобальной разрешимости ... 22
1.2 Уравнение реле........................................ 23
1.2.1 Феноменологическое описание реле с гистерезисом .............................................. 23
1.2.2 Модель реле в виде локально явного уравнения 23
1.2.3 Теорема существования и единственности для
уравнения реле................................ 24
1.2.4 О характере локальной зависимости решения
от входа...................................... 24
1.2.5 Монотонность но входам........................ 25
1.2.6 Монотонность по пороговым значениям .... 25
1.2.7 Непрерывная зависимость выхода от входа . . 26
1.2.8 Определение метрики в пространстве функций 27
1.2.9 О близости выходов в метрике Хаусдорфа ... 29
1.2.10 Приближенная модель реле в виде дифференциального уравнения................................. 29
1.3 Обобщенное реле....................................... 30
1.3.1 Математическая модель обобщенного ре.ае . . 30
2
1.3.2 Существование и единственность решения . . 31
1.4 Оператор упора...................................... 32
1.4.1 Феноменологическое описание упора............ 32
1.4.2 Математическая модель упора.................. 33
1.4.3 Теорема существования и единственности ... 34
1.5 Оператор люфта...................................... 36
1.5.1 Феноменологическое описание люфта 36
1.5.2 Математическая модель люфта.................. 36
1.5.3 Теорема существования и единственности ... 37
1.5.4 Связь операторов упора и люфта............... 38
1.5.5 Условие Липшица относительно входной функции ................................................. 39
1.5.6 Условие Липшица относительно входной функции для оператора упора.............................. 40
1.5.7 Утверждение об эквивалентности моделей ... 41
1.6 М-переключатель..................................... 41
1.6.1 Описание и математическая модель............. 41
1.6.2 Реле как М-переключатель..................... 43
1.6.3 Условия локальной явности.................... 44
1.6.4 Теорема о глобальной разрешимости............ 46
1.7 Условия единственности решения задачи Коши 47
1.7.1 Пример отсутствия единственности для не
сильных решений уравнения обобщенного реле 47
1.7.2 Теорема единственности для уравнения обобщенного реле......................................... 48
1.7.3 Теорема единственности для М-переключателя 49
1.7.4 Обобщенная теорема ван Кампена............... 49
1.7.5 Теорема единственности для локально явных
уравнений..................................... 50
3
1.7.6 Теорема единственности для уравнений упора
и люфта.................................. 51
1.8 Альтернативные модели оператора упора ... 52
1.8.1 Модель упора для кусочно монотонных входов 52
1.8.2 Замечание об эквивалентности для уравнений
с нелинейными дифференциалами............ 53
1.8.3 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для £о > О...................... 53
1.8.4 Отсутствие решения для £0 = 0................. 54
1.8.5 Модель упора для непрерывно дифференцируемых входов.................................... 54
1.9 Система ’контроль-коррекция’1.................. 55
1.9.1 Общее описание системы ........................ 55
1.9.2 Математическая модель......................... 56
1.9.3 Утверждение о локальной явности .............. 56
1.10 Сравнение с квазидифференциальными уравнениями .............................................. 57
1.10.1 КДУ и его решения ............................ 57
1.10.2 Локально явное уравнение как КДУ........ 59
1.10.3 Теорема о непрерывных решениях КДУ ... 60
1.10.4 КДУ с разрывными решениями.............. 62
2 Системы, содержащие локально явные уравнения 64
2.1 Замкнутая система с реле....................... 66
2.1.1 Постановка задачи............................. 66
2.1.2 Теорема о дифференциальном неравенстве . . 66
2.1.3 Теорема о глобальной однозначной разрешимости задачи Коши................................ 67
2.2 Система с М-переключателем..................... 70
2.2.1 Постановка задачи....................... 70
4
2.2.2 Теорема о локальной разрешимости............. 71
2.2.3 Замечание об операторе сдвига................ 74
2.2.4 Теорема о глобальной разрешимости............ 74
2.2.5 Пример....................................... 76
2.2.6 Пример системы с бесконечным числом переключений ............................................ 79
2.3 Замкнутая система с гистерезисным элементом типа упора ......................................... 81
2.3.1 Постановка задачи............................ 81
2.3.2 Теорема о локальной разрешимости............. 82
2.4 О ^-устойчивости решений обобщенных динамических систем..................................... 85
2.4.1 Определение и примеры обобщенных динамических систем........................................ 85
2.4.2 Определение ^-устойчивости; примеры .... 86
2.4.3 Определение степенной устойчивости с показаг
телем р; примеры; сравнение с экспоненциальной устойчивостью............................. 89
2.4.4 Приведенная система ......................... 91
2.4.5 Лемма о функции типа Ляпунова................ 91
2.4.6 Теорема о ^-устойчивости, равномерной относительно начального момента.......................... 93
2.4.7 Теорема о р-равномерной устойчивости .... 95
2.4.8 Пример: система с вырожденной линейной частью ................................................ 96
2.5 ^-устойчивость поведения "регулятора температуры" ............................................ 97
2.5.1 Общий вид рассматриваемой системы 97
2.5.2 Решения системы ............................. 97
5
2.5.3 Постановка задачи о '0О‘Уст°йчивости 99
2.5.4 Об обратных уравнениях........................... 99
2.5.5 Теорема о ^о-Устойчивости X..................... 101
2.5.6 Пример ......................................... 107
Литература 109
6
Введение
В диссертации рассматривается новый класс уравнений, предназначенных для описания негладких полудетерминированных процессов. Дифференциальным уравнениям, допускающим негладкие решения, посвящена обширная литература.
Прежде всего это литература по теории обобщенных функций, на основе которой изучаются линейные и некоторые нелинейные дифференциальные уравнения с негладкими и, возможно, разрывными решениями ([37], [17], [18], [36], [5]).
Другое направление связано с представленивхм дифференциальных уравнений в виде интегральных, которые допускают менее гладкие решения ([42], [37], [30], [45], [46]).
Для изучения гистерезисных явлений, которые также приводят к рассмотрению негладких эволюционных процессов, в [10] разработана специальная функционально-аналитическая техника.
Большое количество работ посвящено изучению негладких поведений систем, испытывающих импульсные воздействия ([19], [35], [47], [15], [16]).
Данная диссертация примыкает к направлению, связанному с изучением нового класса уравнений, которые называются квазидиф-ференциальными, или уравнениями с нелинейными дифференциала-ми ([23], [25], [43]). В ней вводится и изучается новый класс таких уравнений, которые названы локально явными.
Основную идею теории дифференциальных уравнений с нелинейным дифференциалом можно пояснить следующим образом. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, записанное в нормальной форме:
X = /(*,£). (1)
7
Его можно переписать "в дифференциалах”:
(1х = /(£,#)<&
или» далее, в приращениях:
Ах = /(£, х)(И 4* о(Л),
где До; = ж(£ + Л) - х(Ь). Оказывается, что имеет смысл рассматривать уравнение последнего вида и в том случае, когда первое слагаемое в правой части зависит от ей нелинейно. Запишем его в обозначениях, которые применяются в основном тексте диссертации:
м(£ 4- <й) — и(1) = .0(£,гб(£),сй) 4- о(А). (2)
Всюду в диссертации предполагается, что переменная <Ы принимает неотрицательные значения; в связи с этим к решениям предъявляется требование непрерывности слева, поскольку без этого требования решение может иметь произвольные скачки. Такое расширение класса обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет вообще рассматривать эволюционные уравнения в метрических пространствах, не имеющих линейной структуры, поскольку уравнение (2) может быть записано в следующем виде:
Ит р(ц(< + <Й),^(<,ц(*),<Й)) 0
(йч+о (Ы
В последнем уравнении и({),<И) = и(Ь) 4- 1Э($,г*(4),оЙ), однако отображение может быть тем или иным способом определено и в пространстве без линейной структуры. Например, первым применением теории квазидифференциальных уравнений было изучение уравнения интегральной воронки, в котором значениями решений являются не элементы пространства Кп, а множества в этом пространстве - сечения интегральной воронки. В этом была исходная мысль теории квазидифференциальных уравнений ([24], [27]).
8
Другая отличительная черта уравнения (2) заключается в том, что оно позволяет описывать некоторые существенно негладкие процессы в пространствах с линейной структурой. Это свойство уравнения (2) используется и изучается в данной диссертации. Мы не применяем термин ,,квазидифференциальное,,уравнение, поскольку в литературе он имеет различные смысловые значения ([25], [2], [41]), а называем (2) уравнением с нелинейным дифференциалом.
Уравнение (2) может иметь так называемые сильные решения, для которых при любом £ величина о(сЙ) при достаточно малых положительных <И равна нулю. Уравнения типа (2), которые при любых допустимых начальных условиях имеют сильные решения, называются в данной работе локально явными. Класс таких уравнений допускает двоякое описание. В диссертации в качестве основного определения локально явного уравнения принято требование, чтобы оно обладало локальным полугрупповым свойством, т.е. соответствующий "квазипоток11
"У£+<йг& = и 4- ■/?(£, и, бЙ) должен удовлетворять тождеству
для £ь <2) достаточно близких к Ь (степень близости может зависеть от £) и удовлетворяющих неравенствам I < Ь\ <
Диссертация состоит из двух глав. В первой главе вводятся основные понятия, связанные с локально явными уравнениями, доказываются теоремы о локальной и глобальной разрешимости задачи Коши и о единственности решения. Рассмотрен ряд примеров моделирования элементов управляющих систем на основе локально явных уравнений. Глава состоит из десяти параграфов.
9