ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение..................................................... 4
Глава 1. Положительные решения нелинейных уравнений с выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне
правильными конусами..................................... 22
§ 1. Существование положительных неподвижных точек и—выпуклых операторов в банаховых пространствах с вполне правильными конусами................................... 23
§ 2. Существование положительных собственных векторов и—выпуклых операторов в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и структура их позитивного спектра . . 35
§ 3. Свойства положительных собственных векторов и—выпуклых
операторов и их непрерывные ветви..................... 43
Глава 2. Положительные решения нелинейных уравнений с положительными монотонно компактными операторами, растягивающими конус................................... 52
§ 1. Существование положительных неподвижных точек положительных монотонно компактных операторов, растягивающих конус........................................... 53
§ 2. Существование положительных собственных векторов монотонно компактных гг—выпуклых операторов и структура
их позитивного спектра................................ 63
§ 3. Свойства положительных собственных векторов гг—выпуклых монотонно компактных операторов на их позитивном спектре 82
ь
Глава 3. Приложения....................................
§ 1. Положительная обратимость специальных классов линейных операторов ......................................
§ 2. Структура позитивного спектра и множества положительных собственных векторов одного класса интегральных
и—выпуклых операторов ..................................
§ 3. Положительные решения интегральных уравнений с и—выпуклыми операторами в пространствах с конусами, не
обладающими свойством нормальности......................
Литература............................................
Введение
В работах М. А. Красносельского [30, 35] и его учеников [5, 14, 16, 17, 18, 39] создана детальная теория исследования положительных решений нелинейных уравнений с вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах с конусами, получены многочисленные применения в различных задачах современного анализа и естествознания.
Возникла задача о ее распространении на более широкие классы операторных уравнений и в частности на уравнения с операторами, не обладающими свойством компактности.
В диссертации без условия компактности оператора исследуются положительные решения нелинейных уравнений с непрерывными и—выпуклыми операторами в банаховых пространствах с вполне правильными конусами и в случае, когда исследуемые операторы обладают свойством монотонной компактности. В частности, рассматриваются вопросы существования положительных неподвижных точек и положительных собственных векторов таких операторов, исследуется структура их позитивного спектра, множества положительных собственных векторов и зависимость положительных собственных векторов от соответствующих собственных значений на позитивном спектре оператора.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов и библиографического списка, включающего 67 наименований.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен обзор исследований по ее тематике, изложены основные результаты, полученные в работе, а также сведения об апробации работы.
Первая глава состоит из трех параграфов. В ней исследуются положи-
4
тельные решения нелинейных уравнений с. гг—выпуклыми непрерывными операторами, действующими в банаховых пространствах с вполне правильными конусами.
В частности, рассматриваются вопросы существования положительных неподвижных точек и положительных собственных векторов непрерывных гг-выпуклых операторов, исследуются структура их позитивного спектра, множества положительных собственных векторов и зависимость положительных собственных векторов от соответствующих собственных значений на позитивном спектре оператора.
В §1 приводится ряд признаков существования положительных неподвижных точек непрерывных гг—выпуклых операторов, действующих в вещественных банаховых пространствах с вполне правильными конусами.
Определение. Конус К С Е /15, 30, 38, 40/ банахова пространства Е 126, 28, 48] навивается вполне правильным /15, 30, 38], если каоїсдал его возрастающая ограниченная по норме поыедователъностъ (тп) С К:
хі < Х2 < .. • < хп < ...; ||.тп|| < Ь < -1-00 (п Є М)
сходится.
Определение. Полоэ/сительный монотонный и и-измеримый па конусе К С Е оператор А называется, выпуклым [6, 27, 30, 41], если для любых элемента х Є К\0(х > 0) гг числа і Є (0,1), выполняется неравенство А1х < ЬАх.
Определение. Выпуклый оператор А называется и-выпуклым (б, 27. 30, 41], если для любых \/х Є К (и), где К {и)—компонента, положительная элементом гг > 0 гг числа і Є (0,1) существует число 7] = г](х. £) > О, такое, что АЬх < (1 — 77) Мх.
В теории нелинейных уравнений с вполне непрерывными оператора-
5
ми доказаны различные теоремы существования неподвижных точек (см. М.А.Красносельский [30, 34, 35], И.А.Бахтин (6, 7,14] и А.И.Перов [39, 47]). В моей диссертации без предположения компактности оператора в частности, доказана следующая теорема
Теорема 1.1. Пусть выполняются следующие условия:
1) в вещественном банаховом пространстве Е, конус К С Е вполне правилен;
2) и—выпуклый оператор А непрерывен;
3) существуют элементы жо, уо > 0 тихие, что Лх0 < Жо, Ау0 > у о',
4) для любого злеліспта х > 0, Ах < х существует элемент х' > х, такой, что Ах' < ж';
5) существует число R > 0, такое, что из х ^ жо, Ах ^ ж следует
INI < R-
Тогда существует элемент ж* > жд, такой, что Аж* = ж*.
Для и -выпуклых операторов, действующих в банаховых пространствах со специальным конусом Рутмана [15, 40], справедлива теорема Теорема 1.3. Пусть
1) выполняются условия. 1)-3) теоремы 1.1;
2) для любого элемента х > 0, Аж < ж существует элемент х1 Е Кя{и), где Kq(u)—конус Рутмана, такой, что х! > ж и Ах' ^ ж'.
Тогда существует элемент ж* ^ жо такой, что Аж* = ж*.
В работах М.А.Красносельского [30] и И.Л.Бахтина [18] доказаны разнообразные признаки заполнения позитивным спектром некоторым интервалом. В §2 в вещественном банаховом пространстве с вполне правильным конусом также приведены условия совпадения позитивного спектра неире-
G
рывного и—выпуклого оператора А с некоторым интервалом. Сформулируем две такие теоремы
Теорема 1.7. Пусть выполняются следующие, условия:
1) в вещественном банаховом пространстве Е, конус К вполне правилен;
2) и—выпуклый оператор А непрерывен на конусе К ;
3) существуют элементы п*о > 0, у о > 0, и число Ао > О такие, что Ах о ^ Ло.то, Ауо^ Аоз/о;
4) для любых элементов х' > 0, у' > 0 и числа А' > 0, таких, что Ах' < Х'х'. Ау' > АV, существуют элемент, х > х!, такой, что Ах ^ \'х и число Я' > 0, такое, что из х > х' и Ах < А'.т следует. ||ж|| < Я!.
Тогда позитивный спектр Я+(Л) оператора А совпадает с некоторым интервалом (ао,/3о) С (0,+оо), содержащим точку Ао-
Теорема 1.13. Пусть
1) в банаховом пространстве Е, конус К с Е вполне правилен;
2) и—выпуклый оператор А непрерывен на конусе К;
3) линейный оператор Р, являющийся и—производной Фрешс оператора А в нуле по конусу К :
ІІЩ ІІ^-ЛО-Ргіи ІМІ-о |И|
имеет в компоненте К (и) собственный вектор хр Є К (и), соответствующий его положительному собственному числу Хр > 0 : Рхр = Архр\
4) для любых числа X' > Хр и элементов х' > О.і/ > 0 , таких, что Ах' < Х'а/,Ау' > XУ, существует элемент 0 < х < у', такой, что Ах ^ Х'х.
7
Тогда позитивный спектр £+(А) оператора А совпадает с некоторым интервалом. (\р,,во) С (0,+оо), где Хр < /30.
В §3 доказана теорема единственности положительной неподвижной точки -а—выпуклого оператора А.
Определение. Следуя И. А. Бахтину будем говорить, что
и—выпуклый оператор А обладает свойством единственности, если он имеет в конусе К не более одной отличной от пуля неподвиоісной точки.
Л.А.Ладыженекий показал [41), что у выпуклого оператора могут существовать несколько отличных от нуля положительных решений. Единственность положительной неподвижной точки и—выпуклого оператора имеет место (см. М.А.Красносельский [30]) лишь, при существенных доплнитель-ных ограничениях (см. также И.А.Бахтин [6] и В.С.Климов [27]). В моей диссертации, доказана следующая теорема
Теорема 1.16. Пусть
1) оператор Л (АО = 0) является и-выпу7слым па конусе К ;
2) для линейного оператора В оператор В —I положительно обратим: существует обратный положительный на конусе К оператор (В — /)-1;
3) для любых х,у Є К из х < у следует (Зи^ Ах — Ау + В (у — х) ^ оси, где а — а(х, у) > 0, /? = р{х, у) > 0.
Тогда оператор А обладает свойством единственности.
В работах М.А.Красносельского [30], И.А.Бахтина [7, 18), В.Я.Стеценко [55] и В.И.Опойцева [46] подробно исследованы структуры позитивного спектра и множества положительных собственных векторов. В этом параграфе найдены условия непрерывной зависимости положительного соб-
8
ствеїшого вектора от соответствующего собственного значения на позитивном спектре и—выпуклого непрерывного оператора. В частности, доказана
Теорема 1.17. Пусть
1) в вещественном банаховом пространстве Е, конус К вполне правилен;
2) и—выпуклый оператор А непрерывен па конусе К;
3) позитивный спектр (Л) оператора А совпадает с некоторым интервалом (ао,Й)) С (0, +оо)(а0 < /30);
4) при каждом А Є (<*о>А)) оператор \А обладает свойством единственности;
5) па любом отрезке [а, 6] С (<*о,А))(а < 6) функция х(А) Є К\0 : Ат (А) = А.т(А), ограничена по норме.
Тогда функция х = х(Х) непрерывна па позитивном спектре оператора
А.
В этом же параграфе исследовано поведение собственного вектора в зависимости от соответствующего собственного значения на границе позитивного спектра и—выпуклого непрерывного оператора.
Теорема 1.20. Пусть
1) в банаховом пространстве Е, конус К С Е вполне правилен;
2) и- выпуклый оператор А непрерывен на конусе К;
3) позитивный спектр Б'1'(Л) оператора А совпадает с некоторым интервалом (ого, Д)) С (О.+оо);
4) при любом А є 5+(А) оператор - А обладает свойством единственности;
5) функция х = я(А) > 0 : А .г (А) = Ах(А)(А € 5 і" (А)) монотонно
9
возрастает в интервале (ого, А))-
Тогда справедливы равенства
lim я(А) = 0, lim ||х(А)|| = +оо.
Л—>0() Л—>(іц
Вторая глава состоит из трех параграфов. В ней исследуются положительные решения нелинейных уравнений с положительными монотонно компактными операторами, растягивающими конус К в банаховом пространстве Е.
Рассмотрены вопросы существования положительных неподвижных точек, положительных собственных векторов, структура позитивного спектра и множества положительных собственных векторов таких операторов.
В диссертации приведено дальнейшее развитие метода монотонных приближений в теории нелинейных операторных уравнений, разработанного в работах А.Н.Валуева [2, 3, 24], С.Н.Слугина [50]—[53], И.А.Бахтина [16, 17], В.Я.Стеценко [55], Ю.В.Покорного [48, 49].
В работах М.А.Красносельского [30, 33] для положительного вполне непрерывного, являющегося растяжением конус доказана теорема существования неподвижной точки. В §1 без предположения компактности оператора приводятся теоремы существования ненулевых положительных неподвижных точек положительных монотонно компактных операторов, растягивающих конус в банаховом пространстве.
Следующие определения монотонно компактных операторов введены И. А.Бахтиным.
Определение. Монотонний па множестве М С Е банахова пространства Е с конусом К С Е оператор А называется h—монотонно компактным на этом множестве [16. 17, 57], если для каоїсдой мопо-
10
тонной ограниченной снизу и сверху последовательности (хп) С М последовательность (Ахп) компактна.
В частности, для Н— монотонно компактных операторов доказана следующая теорема
Теорема 2.1. Пусть выполняются следуют,ие условия:
1) в вещественном банаховом пространстве Е с конусом К, линейный оператор В — 1 полооюитеяьно обратим;
2) оператор А 1г—монотонно компактен на конусном отрезке
< *0,2/0 >С Е(хо < 2/о), причем Ах0 ^ т0, Ау0 > уо;
3) для любых элементов х, у Є< то, уо > из х ^ у следует
Ау - Ах ^ В (у — х).
Тогда существует элемент хк Є< То, у о >, такой, что Ах* = т*. Определение. Монотонный на множестве М с Е банахова пространства Е с конусом К С Е оператор А называется монотонно компактным на этом множестве (16, 17, 57/. если для каоїсдой монотонной ограниченной по норме последовательностгі (хп) С М поывдователъ-пость (Ахп) компактна.
Для монотонно компактных операторов, имеет место Теорема 2.2. Пусть выполняются следующие условия:
1) в вещественном банаховом пространстве. Е с конусом К С Е, линейный оператор В — І полооіситсльио обратим;
2) монотонно компактный оператор А задан на конусном отрезке
< *о, Уо >, где т0 < г/о, причем Ах0 ^ т0, Ау0 > ?/0;
3) для любых элементов х,у 6< т0, уо > из х ^ у следует
- Киев+380960830922