Усиленная сходимость аппроксимативных единиц

Введение
Диссертация посвящена явлению усиленной сходимости аппроксимативных единиц, которое было открыто Бургсйном в работах [15], [2]. Чтобы описать его, нам понадобятся следующие определения и термины.
Ядром мы называем такую вещественную функцию Ф € //’(К), что /КФ = 1.
Аппроксимативной единицей (а.с.). порожденной ядром Ф, мы называем семейство ядер (фы)у>о. где
ф<у)М •= фф. х€Ку> о.
I/ У
Символ ф * ф будет обозначать свертку функций ф, ф на Е (при предположениях, обеспечивающих ее существование).
Пусть д — комплексный заряд на & (борелевская а-аддитивная функция множества). Положим
«£(*> У) = (фЫ * *00*0, У >0
(правую часть мы понимаем как ^ Ф(у)(т — I) подразумевая, что этот интеграл
существует и конечен). В частности мы предполагаем, что ядро Ф — борелевская функция; если с/д = /дх, где / € //°°(Е), то Ф можно по-прежнему считать функцией класса А1(Е). В этом случае вместо и% мы будем писать и{.
Очевидно, Пт^о^ф^у) = Дз) в любой точке непрерывности функции / € £°°(Е). Более того, для широкого класса ядер предел Ишу10Нф(х,р) (и Нт^о^О^у)) существует и конечен при п.в. х € К.
Эти факты хорошо известны ([10], [12], [6]), и тематику, относящуюся к предельному поведению величины и%{х,у) при у 1 0,1 € К, можно считать исчерпанной. Однако, в 1993 году Бургейн (см. [15], а также [2]) обнаружил новый феномен, который мы называем усиленной сходимостью аппроксимативных единиц. Он доказал, что если заряд д есть мера (т.е. если он неотрицателен), то для многих ядер (в частности, для ядер Пуассона, Гаусса-Вейерштрасса) во многих точках х € Е вариация функции у н-» и'Дя, у), у > 0 на промежутке (0,1] конечна, что, разумеегся, сильнее, чем стремление этой функции
2
3
к конечному пределу при у 1 0. Из сказанного легко вывести, что такое усиленное стремление к пределу имеет место во многих точках х Е К дня любой вещественной функции / Е (т.с. \,аг1/е(0.11Нф(.-г,?/) < +оо).
С зарядом у Бургейн связал (неявно) некоторый класс точек Ец С К (мы называем их точками Бургейна заряда у или функции /, если с1у = / с!х), зависящий только от ц, но не от ядра Ф, таким образом, что величина уат^о^ и^(х, у) конечна дня любой точки х Е Ец. Замечательный резульат Бургейна состоит в том, что если заряд у есть мера, то множество Е,, весьма обильно: в любом невырожденном промежутке его хаусдорфова размерность равна единице. Феномен усиленной сходимости наблюдается и для некоторых (не для всех!) комплексных функций / Е а именно, дня / Е
Заметим, что длина 1^1 множества Е(1 может быть нулевой — даже если ву = / <!х. где / Е С(Е). Случай ограниченной вещественной функции / мгновенно выводится из результата, относящегося к мерам, так как заряд <1у = (Ц/Ц,» — /) (1х есть мера, а = ||/||оо. Здесь следует отметить, что при / € соответствующий заряд
не обязан быть конечным. Учитывая, однако, что принадлежность точки х множеству Ец зависит только от поведения у. в окрестности х (см. п. 4.1.3), можно ограничиться рассмотрением ограниченных функций с компактным носителем, а тогда мера с1у будет конечной. С этими результатами и связано все содержание нашей диссертации.
История вопроса
Вопрос об усиленной сходимости а.е. в неявной форме появился в работе Рудина |22|, посвященной граничному поведению функций, аналитических и ограниченных в единичном круге 2) = {И < 1} (т.е. функций класса Но теореме Фату каждая
такая функция при почти всех ( € Т = {\г\ = 1} имеет конечный радиальный продел Пшгц /(г£). Рудин поставил вопрос о спрямляемости кривой /([0,С]), т.е. /-образа радиуса, соединяющего 0 и £. Он построил примеры функций / Е /У°°(0), для которых эти длины бесконечны при и.в. С £ Т ([22)). Более того, это возможно и дня / из диск-алгебры (т.е. для / Е Л°°(С>), равномерно непрерывных в Э). Конечность длины кривой /([0, С]) равносильна конечности вариации функции г »—> /(г£) на [0,1), т.е. усиленной сходимости величин /(г() к своему пределу при Г Т 1.
Вопрос о возможном отсутствии усиленной сходимости величин /(/<) при всех ( Е Т (т.е. о бесконечности длин /-образов всех радиусов) для / Е #°°(!В>) остался открытым.
Неожиданный отрицач'ельный ответ на этот вопрос в 1993 году дал Бургейн [15|,|2], доказавший, что упомянутые выше длины обязаны быть конечными для многих С € ТГ, какова бы ни была функция / Е //°°(В>). Бургейн заметил, кроме того, что аналогичное
явление наблюдается и для ограниченных вещественных функций и, гармонических в 1П>: уа-1*гс[о.1) ^(ГС) < +оо для точек С из (зависящего от и) плотного подмножества окружности Т метрической размерности 1 на любой невырожденной дуге.
С.Л. Виноградов и В.П. Хавин восприняли этот результат как утверждение об усиленной сходимости конкретной а.е. (ядро Пуассона для круга) и поставили вопрос о (лч) применимости к другим а.е. На этот вопрос, отвегил Бургейн, распространив свой результат на широкий класс а.е. в [2], где вместо Т и О рассматриваются Е и верхняя полуплоскость С+. Там же показано, что бывают а.е. (например, ядро Стеклова), для которых явление обязательной усиленной сходимости места не имеет.
Впоследствии результат Бургейна для ядра Пуассона был обобщен на многомерный случай в работе [21]. Заметим, что отказ от предположения об ограниченности или вещественности функции / здесь невозможен ([18|, [22)), но результат сохраняет силу, если комплексная / принадлежит //°°(Е).
В статье [2] Бургейн рассмотрел свертки Ф(у) * у, где у - мера на К, и показал, что (при некоторых предположениях о Ф и у) существует множество Ец С К, плотное в Е, метрической размерности 1 в любом невырожденном промежутке, и такое, что при любом х 6 Ец "вертикальная вариация" (У\агф/*)(а;) меры у (г.е. вариация вдоль "вертикального" промежутка {я} х (0,1] функции у.ф) конечна. Выше мы уже объяснили, как из этого результата вытекает аналогичное утверждение о множестве Е/ для вещественной / € Заметим, что оно весьма содержательно даже
для (вещественных) / € С,(Е)Р)1/5°(Е). Кроме того, существование множества Еу с указанными свойствами доказано в |2| и для комплексных / Е //°°(Е) при условии, что спектр функции / неотрицателен, т.е. дня / Е Я°°(Щ (-- множество граничных значений функций, ограниченных и аналитических в верхней полуплоскости С| ).
Отметим, 410 вещественность функции / Е £°°(М) является существенным условием — в работах (22), ) 18) были приведены примеры функций / класса /У;,(Е) (и даже класса Я МО), для которых Е/ = 0.
В части, касающейся пуассоноиых а.е. (т.е. функций, гармонических 11 верхней полуплоскости Сч.) наша работа примыкает к исследованию граничного поведения интегралов Пуассона. Эти исследования, начатые в работах классиков (|12|, |6|, [10|) получили дальнейшее развитие в работах |5|, |13|. Продолжаются они и сейчас (см., например, работы [16]. [21], [19]). Тема работы [16] (оценки роста градиента гармонической функции) родственна нашей.
Содержание диссертации (общая характеристика)
В работах [15), |2| точки Бургейна х заряда р (или функции /) характеризуются с помощью некоторой величины В*(х) (соответственно определяемых ДОВОЛЬНО СЛОЖНЫМ
способом через посредство весьма специальных а.с., н которых присутствует бесконечное сверточное произведение (о величинах Bj(x) подробнее написано ниже, см. также
н. 1.2.4). Нашей первоочередной задачей было упростить определение В-точек. Такое упрощение дано в главе 1, где мы вводим функции 13^ (соответственно 13/), определение которых короче определений функций Я*,В/. Оно не требует никакой предварительной подготовки, оставаясь с точки зрения основных задач — задач установления усиленной сходимости а.с. — равносильным определению функций Я*, ибо, как показано к теореме
1.3.1
в; ж в, (2)
(последнее означает, что cBh < В* < CBtl, где с, С — абсолютные положительные постоянные). Кроме того, в главе 3 мы введем функции В(,ф, где ф — некоторое семейство функций. По форме функции В^Ф не сложнее, чем упомянутые выше функции Я/4, а свобода в выборе семейства ф бывает технически удобной при решении конкретных задач. Подчеркнем, что функции В,,^ часто сравнимы с функцией B,t (с константой, зависящей от ф)
Вернемся к вариации varye(0iij и%{х,у) (см. выше и Л), которые мы впредь будем обозначать символом (Vvai-ф/т)(а:) и называть вертикальной Ф-вариацией заряда р (или функции /, если dp = / r/л;) в точке х € К, имея в виду вариацию вдоль "вертикального "отрезка {х} х (0,1] функции двух переменных Пф. Один из главных результатов Бургейна в |15), |2| состоит в том, что для многих ядер Ф вертикальная Ф-вариация оценивается сверху через его функцию В*:
(У\гагф р)(х) < С(Ф)В*(х), х Е Ж.
Из сказанного выше следует, что в этом неравенстве В* можно заменить на В,,. В главе 2 мы покажем, что не только этот результат, но и cm доказательство можно получить, не обращаясь к В*, а действуя исключительно с В,,. То же самое можно сказать о главном результате Буртойна, гарантирующем существование (и обилие) Я-точек: его доказательство также не нуждается в громоздкой функции Я* (см. главу 2).
Еще одна проблема, возникающая в связи с понятием Я-точки заряда (или функции) — это проблема их распознавания. Общая теорема гарантирует существование (и известное изобилие) Я-точек вещественной функции / € Я°°(Ж), но не дает прямых средств узнать, будет ли данная точка х G R точкой Бургейна данной функции /. Дело в том, что объект,
б
который более или менее непосредственно строится в теореме существования Бургейна — это не индивидуальная вещественная точка, а некоторая вероятностная мера и — г^ па. К, для которой
I В,(1и, < +оо,
причем ее носитель всюду плотен и имеет размерность, СКОЛЬ У1 одно близкую к единице в любом невырожденном промежутке.
Второй нашей целью служит поиск достаточно явных условий, обеспечивающих бургсйноность точки в той или иной конкретной ситуации. Естественно ожидать, что обычные локальные условия гладкости (типа известного в теории тригонометрических рядов условия Дини) влекут бургейновость (и. 3.3). С другими популярными в анализе характеристиками локальной правильности дело обстоит не так просто. Например, мы покажем, что что винеровость функции / (разложимость в абсолютно сходящийся ряд Фурье) вблизи точки х обеспечивает бургайловость точки х для / (п. 3.3 гл. 3), но заменить требование абсолютной сходимости ряда Фурье на требование его равналифнай сходилюсти здесь невозможно (см. гл. 4).
Еще один эксперимент но распознаванию точек Бургейна произведен гг главе 3 и относится к граничному поведению гармонической меры множества Е С К канторовского тина (имеется в виду гармоническая мера относительно верхней полуплоскости €+, т.с. интеграл Пуассона ирЕ(х>у) ~ Нам удалось получить полное описание
/3-точек характеристической функции Оно дано гг чисто геометрических терминах. Бургей новость точки х € Е означает некоторую "глубину залегания" точки х в Е.
Бургсйновость точки, несмотря на упрощение, доставленное заменой /3* на П(1, остается не слишком прозрачным свойством. Не исключено, что дальнейшее прояснение этого понятия может быть достигнуто в терминах теории всплесков. Во всяком случае, как показано в н. 3.5 гл. 3, свойство быть /3-точкой функции адекватно и обозримо выражается на языке всплеск-разложения функции /.
Таково, в общих чертах, основное содержание диссертации. Теперь мы переходим к более подробному ее описанию но главам и параграфам, гг котором будут упомянуты и некоторые другие результаты, не нашедшие места в беглом изложении этог о пункта (характеристики ядер Ф, для которых вертикальная вариация Vуагф д поддается оценке через В,п связь с преобразованием Гильберта и классом 7/30(К), сведения о ядрах, для которых возможно тождество Ууагф / = оо, некоторые многомерные обобщения, а также один пример, н котором явление усиленной сходимости наблюдается для "нестандартной а.е.")
7
Содержание работы
В первой главе мы вводим основное для нас понятие точки Бургейиа конечною заряда д на Е.
Чтобы сформулировать результаты первой главы, нам потребуются следующие определения.
Как уже говорилось ранее, функцию Ф е Л1 (К) мы называем ядром, если /к Ф(/) (й = 1; буквами Р и Р обозначаются ядра Пуассона и Фейсра соответственно.
= »(1 + Я);
Для у ф 0 и функции ф, заданной на К. положим Ф(у)(1) = ~).
Для точки х € К и конечною борслевского заряда // на Е. определим следующие
величины
В,(х) = (|М * Р\ * Р) (х) + 52 (|д * (^(2-ь-1) - Яр-.))| * Яр-*,) (х);
(Муагд)(ж) = (|/х*Р|*Р)(ж) + 2^ (|^(/А* 7>(у)) (ж)^*
Если /?р(.т) < оо, то точку х мы называем В-точкой (точкой Бургейпа) заряда /л (или функции /, если (1/1 — У с/ж).
Результаты работ |15), [2] основывались на ином (на первый взгляд) понятии "хорошей" точки х (дня данною заряда /л). Мы назовем здесь эти точки В*-точками заряда /л. Они характеризуются конечностью суммы
в;(*) = £(1м* *,!)*%(*).
где
Х.} = Н?*Е^К5.и j<ZZ+\{ о);
*о = а?;
Вл(х) =
К = Р* Б, Ру(1) = 2*Р(2*0, А'Д/) = 2*К(2*1), 3 е К,, * € Н; Л* = (А^ * А'Д * (Я^+1 * А’^+|) * ... * (А* * А*); /с,; е 2+, А >
Л^(з;) = йт /л5(х), г 6 К;
4 ' *-Ч-оо
8
при j < 0 полагаем Xj = X„j. Основной результат главы 1 есть Теорема. Для произвольного конечного борсж.вского заряда р па R
(Mvar //)(.г) х ВДх) х Я* (я), х Є R.
(теорема 1.3.1)
Мы пишем f(x) х g(x), х € К, если для некоторой постоянной С > 1 верно £/(х) < g(x) < С/(х), х € 1R.
Эти оценки позволяют во всех теоремах работ [15), |2| (в их формулировках и доказательствах) заменить труднообозримую сумму В“(х) на гораздо более простую сумму ВДх) (или ее интегральный аналог (Mvar /і)(ж)). Эта замена будет произведена в главе 2.
Теорема показывает, что множество /Г-точек заряда р совпадает с сто множеством В-точек (в нашем смысле). Таким образом, заменяя £*-точки на Б-точки в теоремах об усиленной сходимости а.е., мы выигрываем в простоте и обозримости формулировок, ничего не теряя и общности результатов.
Глана 2 посвящена, в основном, новому доказательству основных результатов Бургейна об усиленной сходимости а.е. с использованием наших сумм Вп вместо В*. Чтобы сформулировать результаты главы 2, напомним
Определение. Для ядра Ф и конечного заряда р па R положим
(Vvai-ф р)(х) = varyG(0li) и'Цх,у), х Є 1R,
где
и%{х,у) = (//. * Ф(у))(.т), х Є R, у > 0.
В параграф 2.1 главы 2 вводятся обозначения и обсуждается история вопроса. Параграф 2.2 посвящен доказательству следующей теоремы:
Теорема. Множество Etl точек Бургейна меры р (т.с. неотрицательного заряда) непусто, и, более того, dim(/';),ПО = 1 для любого невырожденного промежутка I. (теорема 2.2.1)
Символ dim Л обозначает хаусдорфову размерность множества А.
Схема доказательства теоремы 2.2.1 заимствована из работы |2|. Основные изменения связаны с заменой В* на В,к.
Полезность сумм B,t (или интегралов Mvarр) состоит в том, что они позволяют оценивать вертикальные Ф-вариации зарядов р сразу дня целого класса ядер Ф, т.е.
У
получать неравенства вида
(Ууагф/*)(*) <СЧФ)ЯЛ®), (1)
где С(Ф) зависит лишь от ядра Ф, но не от р. Однако, общность таких оценок не беспредельна: они справедливы для ядер Ф, подчиненных некоторым условиям (и могут нарушаться для некоторых Ф, — например, дія ядра Стеклова Ф = Х(-і.і))- Я параграф
2.3 главы 2 доказаны две теоі>емьі, описывающие некоторые классы ядер Ф, обладающих свойством (1):
Теорема. Пусть ядро Ф : К >-» К удовлетворяет следующим условиями: Ф Є С3(Е) и
[ т2|Ф'|2(т)гіт < оо;
./к
/ (|тФ"|(т) + Т2|Ф'"|(т)) бІТ < оо.
Тогда для любого конечного заряда р на К верно следующее нщювенство
(У\'агф/і)(з:) < СВціх), х Є їй
где С — С(Ф) > 0 зависит только от Ф.
(теорема 2.3.1)
Тео|к»ма. Пусть ядро Ф : Е >-> Е принадлежит классу С2(Ш) и удовлетворяет следірощим условиям
[ /2Ф2(/) сН < оо;
.ГА
[ ((і + И)|Ф'(г)| + (і + і2>|Ф"(О0 л < оо.
Тогда для любого конечного заряда р па Е верно следующее неравенство
(Ууагф//)(а-) < СВц(х), .тбй,
где С = С(Ф) > 0 зависит только та Ф.
(теорема 2.3.2)
Условия гладкости, налагаемые в теоремах 2.3.1 и 2.3.2 на Ф (соответственно на Ф) можно ослабить, понимая производную Ф" (соответственно Ф'") в обобщенном смысле — ср. с леммой 0.1.2.
Достаточные условия "допустимости” ядра Ф ( г.е. выполнение оценки (1)) в теоремах 2.3.1
10
и 2.3.2 носят различный характер: в июреме 2.3.2 условия убывания на бесконечности и условия і'л ад кости налагаются непосредственно на ядро Ф, тогда как в теореме
2.3.1 достаточные условия формулируются в спектральных терминах (т.е. н терминах относящихся к Ф). Теорема 2.3.2 принадлежит Бургейну [2|, и новый элемент состоит лишь в замене Б*-сумм на //-суммы (и в доказательстве, и в неравенстве (1)). Следует отметить, что ядро Ф(/) = |(^р)3 (функция тоже является ядром) удовлетворяет
л ^
условиям теоремы 2.3.1, но не теоремы 2.3.2. а ^Ф, ь свою очередь, удовлетворяет условиям теоремы 2.3.2, но не 2.3.1 (условия теорем предполагающей ослабленными в вышеуказанном смысле). Заметим, что переход к Ф (вместо Ф) в связи со свойством (1) в каком-то смысле естественен и удобен: в главе 4 будет описан класс "плохих" ядер Ф, для которых (1) (и даже конечность Ууйгф ц) может нарушаться всюду на И£, причем эти "плохие" ядра удобно и просто характеризуются именно в спектральных терминах.
В главе 3 мы обращаемся к задачам идентификации /Мочек функции / в некоторых конкретных ситуациях (в терминах регулярности функции / вблизи х). Кроме того, будет рассмотрена связь /1-точек функции / с /Мочками аз преобразования Гильберта /; /Мочки характеристических функций множеств канторонского типа; явление вида усиленной сходимости для некоторой "нестандартной" а.е.; наконец, полная характеризация /Мочек в терминах теории всплесков. Этим результатам главы 3 мы предпосылаем в п. 3.2 техническую подготовку. Ее цель — найти сравнимые с суммами В) суммы, в которых сверточные множители -») заменены на другие функции
фп более удобные дли предстоящих оценок.
Подобные суммы используются в доказательствах главы 3 — в параграфе 3.3; в параграфе 3.4 при изучении //-точек множеств канторовского типа; параграфе 3.5.
Условие В(1(х) < оо носит локальный характер (если заряд у исчезает вблизи точки х, то оно выполнено). Естественно возникает вопрос об условиях регулярности функции / вблизи точки х, обеспечивющих конечность суммы Б/(х). Неко торый ответ на этот вопрос дает
11
Теорема. Пусть функция / Є Ь°°(Ш) удовлетворяет одному ш следующих условий (а) / удовлетворяет условию Дипи в точке х € К , т. с.
Ґ иЩрМ < +оо>
/о ^
где
а?/ОМ) = езввир,<*|/(и) - /(01;
/ совпадает с функцией у класса Винсахі в окрестности П(х) точки х Є К, т.е.
/ІОД = 9 <= ^‘(К)
Тогда
В/М < оо.
(теорема 3.3.1)
Опираясь на описанную выше техническую подготовку, мы в п. 3.3 обращаемся к В-точкам преобразования Гильберта / функции / Є Ь2(К) Г) £,°°(К) и устанавливаем следующий факт
Теорема. Пусть / є />2(К) П /^°°(К), я € К. Тогда
В/М < СЯ/М,
/М=р.цД /
я /к ^ — г
есть преобразование Гильберта функции /, « С' > 0 - абсолютная постоянная. (предложение 3.3.3)
Из этого факт следует уже упоминавшаяся теорема Бургейна о функциях класса /У°°(К) (т.е. о граничных значениях функций класса Н°°(С+), аналитических и ограниченных в С (). Л именно, из теоремы 3.3.3 следует
Теорема. Множество Е/ точек Бургейна функции / Є Н°°(Ш) непусто, и, болсс того, сІішМ/П /) = 1 для любого невырожденного промежутка I.
(теорема 3.3.4)
Заметим, что для / є //°°(К) и т є /5/ функция і/ м 1 /к имеет конечную
вариацию на промежутке (О, 1].
12
Следующий результат главы 3 показывает, что феномен усиленной сходимости в Усточках ограниченных функций наблюдается и для некоторых "нестандартных" а.е. Для примера мы выбрали а.е. Валле-Пуссена
где С - абсолютная полоэюительпая постоянная.
(теорема 3.3.5)
В параграфе 3.4 описываются точки Бургейна характеристической функции множества канторонского типа.
Пусть С} Є (0,1), 5 — промежуток, а (2£> — концентрический промежуток длины ФІ^Іі ~ сі 5 \ С^.9. Оператор применим к любому дизъюнктному объединению
сегментов (компактных промежутков) 5 = : = \ftLi Пусть =
— такая последовательность чисел, что
(это условие равносильно положительности длины множества Е). Положим Ео — [0,1], Еь+1 = к € Множество Е(— Е{ц)) = П*^1 ~ совершенно, \Е\ >
0. Каждой точке то множества Е = Е(д) можно поставить (Ю взаимно-однозначное ссютветствие бесконечную последовательность к(то) = состоявшую из пулей и
единиц, и определяемую следующим образом: х0 = ./.(.То), где -Л(т0) — один из
сегментов, составляющих множество Ь\; при э том ,1{(хо) — один из двух сегментов (правый или левый), получающихся после применения оператора Ръ_1 к сегменту .7,_1(.г0). Если Мх0) — правый сегмент, то полагаем к, = 1, если левый, то щ — 0. Положим также
Определим числа как номера чех элементов последовательности к(з:0), на кагорых происходит обрыв идущих подряд одинаковых чисел (т.е. Ку = = т^т 1, . - - , Л-Л-Ы,
и к„к ф ЛпЛ+і, к Є если /с7- = /с^+| для всех $ > п*. то мы полагаем п^+і = щ+2 = • • ■ = +оо).
К,(ж) = фГ С0в2г|(^/2)л:[-!г.тг1 (^ь)» * Є К, п Є N
(роль параметра у переходит теперь к п ~ 1,2,...).
Теорема. Для произвольного конечного заряда р. верно 00
(V* - ^-х)\(х) < С(Вм(а?) + ІІдІІі), а; € К,
•ІОО