Асимптотики решений сингулярно возмущённых задач, описывающих явление конвективной диффузии

Содержание
1
0 Введение ............................................... 6
0.1 Исторические замечания ....................... 6
0.2 Основные результаты.......................... 10
1 Асимптотика решения около капли задачи конвективной диффузии 34
1 Построение асимптотики по малому параметру в диффузионном пограничном слое .............................. 34
1.1 Постановка задачи .............................. 34
1.2 Построение формального асимптотического реше-
ния .......................................... 38
1.3 Асимптотика коэффициентов асимптотического раз-
ложения около границы области ................ 42
2 Существование решения и асимптотика эллиптического уравнения в полуплоскости........................... 51
2.1 Постановка задачи и существование решения ... 51
2.2 Построение асимптотического разложения реше-
ния на бесконечности.......................... 55
3 Асимптотическое разложение решения по малому параметру в эллиптическом пограничном слое ................ 62
3.1 Постановка задачи .............................. 62
3.2 Построение формального асимптотического раз-
ложения в окрестности седловой точки предельного уравнения............................ 73
3.3 Согласование асимптотических разложений и их
обоснование................................... 77
4 Асимптотика решения в конвективно - погранслой-
ной области......................................... 81
4.1 Постановка задачи .............................. 81
2
4.2 Построение формального асимптотического разложения в конвективно - погранслойной области. 84
5 Асимптотика решения во внутренней области диффузионного следа ........................................ 87
5.1 Постановка задачи .............................. 87
5.2 Построение формального асимптотического раз-
ложения во внутреней области диффузионного следа...................................... 90
6 Построение а.р. решения в области смещения .... 96
6.1 Постановка задачи .............................. 96
6.2 Построение ф.а.р. в области смешения ..... 98
6.3 Согласование асимптотических разложениий и их
обоснование .................................102
2 Асимптотика решения около частицы задачи конвективной диффузии 106
7 Асимптотика решения в диффузионном пограничном
слое . . ...........................................106
7.1 Постановка задачи ..............................106
7.2 Доказательство существования решений ийРОь в) 112
7.3 Асимптотика функций и$(т],в) при в ->.............0..........116
8 Асимптотика решения эллиптического уравнения в полуплоскости........................................ . 128
8.1 Постановка задачи ............... . .*.........128
8.2 Существование решения и асимптотика при \у\ —>
со...........................................129
8.3 Построение асимптотического разложения реше-
ния на бесконечности.........................132
/
3
8.4 Асимптотика решения главного члена асимпто-
тики на бесконечности.........................139
8.5 Асимптотика решения главного члена асимпто-
тики на бесконечности в случае обтекания цилиндра .......................................147
9 Асимптотика по параметру решения в окрестности седловой точки.......................................155
9.1 Построение а.р. решения задачи по малому пара-
метру в эллиптическом слое........155
9.2 Построение формального асимптотического раз-
ложения в окрестности седловой-точки предельного уравнения ........^ 164
9.3 Согласование асимптотических разложений и их
обоснование...................................169
9.4 Приложение. Существование и единственность ре-
шения задачи .................................173
10 Асимптотика решения задачи конвективной диффузии в следе за частицей..............................175
10.1 Постановка задачи ..............................175
10.2 Построение а.р. решения в конвективно - погран-
слойной области ..............................178
10.3 Построение а.р. решения во внутренней области
диффузионного следа...........................183
10.4 Построение а.р. решения в области смешения . . 189
10.5 Согласование асимптотических разложений и их
обоснование ..................................195
I
:
I
!
Содержание
4
3 Асимптотика с учетом химической реакции решения задачи конвективной диффузии 199
11 Асимптотика решения задачи конвективной диффузии около капли с учетом линейной химической реакции ......................................................199
11.1 Постановка задачи ..............................199
11.2 Доказательство существования функций щ(Ь,в)
и их гладкости при в = 7г ....................202
11.3 Асимптотика функций од(£,0) при в —> 0........205
12 Асимптотика решения задачи конвективной диффузии около капли с учетом нелинейной химической реакции ....................................................207
12.1 Постановка задачи ..............................207
12.2 Построение асимптотики..........................212
12.3 Обоснование асимптотического разложения . . . 217
13 Асимптотика решения задачи конвективной диффузии около сферической частицы с учетом линейной химической реакции........................................221
13.1 Постановка задачи ..............................221
13.2 Построение асимптотики..........................222
14 Асимптотика решения задачи конвективной диффузии около сферической частицы с учетом нелинейной химической реакции........................................225
14.1 Постановка задачи ..............................225
14.2 Построение ф.а.р. в диффузионном пограничном
слое..........................................228
14.3 Обоснование асимптотического разложения . . . 234
5
15 Асимптотическое решение задачи конвективной диффузии с объемной химической реакцией в следе за час-
тицей .............................................238
15.1 Постановка задачи ............................238
15.2 Асимптотика функции щ(х>0) при в —> 0.........242
15.3 Асимптотика в диффузионном следе .........254
15.4 Численное решение ............................257
15.5 Обобщения. Осесимметричный случай.............261
Литература 264
6
Глава О
О Введение
0.1 Исторические замечания
Дифференциальные уравнения с малым параметром при старших производных возникают при рассмотрении математических моделей физических, химических, биологических и других явлений [39], [67], [91], [47], [83]. Особое значение для исследования сингулярно возмущённых задач имеет понятие пограничного слоя, введённое Прандтлем [144]. Решения в пограничных слоях строятся в виде асимптотических рядов [107], зависящих также от погран-слойных переменных. В зависимости от исследуемых задач, разработаны различные асимптотические методы. Исследованиям по обыкновенным дифференциальным уравнениям посвящены известные работы [36], [42], [88], [125]. Часто возникают задачи, где применяются методы построения экспоненциально убывающих ногран-слойных функций [40]-[43]. Однако, в ряде задач коэффициенты ряда по степеням малого параметра имеют особенности. Такие задачи носят бисингулярный характер [56]. Одним из эффективных методов, приводящих к успеху в подобных задачах, является метод согласования (сращивания) асимптотических разложений [39], [67], [56], [80]. Аналогичные ситуации имеют место также в задачах волновой оптики [25], [26], и теории релаксационных колебаний [53], [88], [106]. Другой подход к подобным задачам состоит в применении метода канонического оператора В. П. Маслова [84] - [86]. Асимптотическим методам посвящены также работы [38], [60], [66], [91], [И8], [128], [135], а методу усреднения - работы [33], [55], [108].
Бисингулярные задачи также возникают при исследовании явлений тепломассообмена с учётом конвекции, в частности, конвективной диффузии. Такие задачи исследовали многие авторы:
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
7
Левич В.Г., Фукс II. A., Acrivos A., Goddard J.D., Taylor T.D., Sih Р.Н., Newman J., Murray D., Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. и другие ( [102]-[104], [133], [134], [141], [145]). Задачи конвективной диффузии в окрестностях частиц и цилиндров возникают в химической технологии [51], [74], в теории фильтрации [121], [122], [126], в биофизике [83], [146].
Характерной особенностью задач конвективной диффузии являются наличие особых точек типа седла на границе области в предельном уравнении, когда малый параметр равен нулю. В качестве примера рассмотрим эллиптическое уравнение с малым параметром при старших производных
в прямоугольнике {(х,т/) : |а;| < 1,у 6 (0; 1)}, где 0 < е - малый параметр, А— оператор Лапласа. Это уравнение содержит некоторые особенности рассматриваемого класса задач: 1) точка 0(0, 0) является седловой точкой предельного уравнения ( при 5 = 0), 2) после
где /о(0,у) - главный член разложения функции /(х,у) при х — 0. Подобные и более общие задачи рассматривались в работе [62], где построено полное асимптотическое разложение решения по малому параметру. Для построения асимптотики применяется комбинация методов согласования [56] и регуляризации [79]. В работах [138], [139] исследовано уравнение с седловой точкой внутри области, где построение асимптотики опирается на явные формулы, а в работе [61] исследованы более общие уравнения такого типа. Однако, исследование такого рода задач не дает возможности непосредст-
eAu+xdï-y&j=f{-x'v)
du du
замены £ = х/>/ё получаем вырождающееся на границе области ( при у = 0) параболическое уравнение
(0.1.2)
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
8
венного их применения к задачам механики, физики и другим прикладным задачам, в частности, задачам конвективной диффузии. Это обстоятельство побудило продолжить исследования, начатые диссертантом в начале восьмидесятых годов. С одной стороны, хотелось сохранить классы задач максимально приближённые к тем задачам, которые возникают в упомянутых выше публикациях (см. ссылки [47], [74] по задачам конвективной диффузии). С другой стороны, хотелось рассмотреть более трудные для исследования бисикгулярные [56] задачи. Основным мотивом для автора было желание дальнейшей разработки асимптотических методов и их применение для исследования новых задач.
В приведённых выше работах ранее были исследованы, в основном, лишь главные члены формальной асимптотики по малому параметру. Исследование и построение полного асимптотического разложения и его обоснование является трудной задачей. В окрестности частицы, за исключением следа за частицей, погранслойные функции обычно носят экспоненциальный характер. Однако, в следе за частицей асимптотика носит степенной характер. В таких случаях приходится применять метод согласования асимптотических разложений. В окрестности частицы ( или капли ) возникают несколько пограничных слоев, в том числе и внутренние пограничные слои. В работах [48], [50] методом согласования [39] построены главные члены формальных асимптотик как вне одиночной капли, так и вне цепочки капель ( пузырей ). В работах [130], [140], [147], [49] построены главные члены формальных асимптотик вне твёрдой сферической частицы и вне цепочки осесимметричных частиц. Более полное изложение результатов по задачам конвективной диффузии дано в работе [47]. Задачи с внутренними пограничными слоями возникают во многих работах. Отметим, например, работы [28]—[32], [137]. Отметим также, не претендуя на полноту, некоторые работы, посвященные математическим проблемам механики и
ГЛАВА О. ВВЕДЕНИЕ
9
физики: [70], [71], [81], [82], [90], [92], [96], [100], [101], [109], [111], [115].
Вклад диссертанта в развитие теории асимптотических методов состоит в следующем. В 1983-84 годах была исследована задача конвективной диффузии в малой окрестности твёрдой осесимметричной частицы [4], [5]. Построено полное асимптотическое разложение решения в диффузионном пограничном слое [5]. В частности, доказано, что в окрестности седловой точки, соответствующей точке натекания жидкости к частице, дополнительный пограничный слой не возникает. Вместе с тем доказано, что в окрестности седловой точки, соответствующей точке стекания жидкости с частицы, действительно возникает дополнительный (эллиптический) пограничный слой. Построено полное асимптотическое разложение решения в эллиптическом пограничном слое [4], [6] и методом согласования асимптотических разложений получено равномерное составное асимптотическое разложение в малой окрестности частицы. Эти результаты составляют основу кандидатской диссертации [6]. Для построения асимптотического разложения решения на бесконечности (в полуплоскости) задача сводится к интегральному уравнению и применяется асимптотический аналог метода последовательных приближений [4], [57]. Далее исследовались задачи в окрестности капли [7], [8], [10]. Были решены также эллиптические задачи, поставленные в работах [147], [142] ( в цитируемых работах применялись численные методы для их решения). Построены асимптотики на бесконечности решений этих задач и дано обоснование методом барьерных функций [11], [12], [14]. В работе [16] построено полное асимптотическое разложение решения в эллиптическом пограничном слое ( в окрестности седловой точки, соответствующей точке стекания жидкости с капли ) и доказано, что вместе с асимптотическим разложением, построенным в работах [7], [8], они дают приближения решения задачи конвективной диф-
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
10
фузии в малой окрестности капли.
В 2000-2003 годах исследовались задачи конвективной диффузии в окрестности сферической частицы и капли с учетом химической реакции. Одна из характерных особенностей таких задач -это зависимость от двух параметров: числа Пекле Ре и постоянной скорости химической реакции ку. В случаях, когда один из параметров ограничен, задача упрощается. Задача усложняется, когда оба параметра достаточно большие. Построены асимптотические разложения решений задач конвективной диффузии в малой окрестности сферической частицы и капли с учетом линейной [15], ^19] и нелинейной [17], [18], [131] объёмной химической реакции.
В 2004-2006 годах исследовались задачи конвективной диффузии в следе за каплей [21], за сферической частицей [24], где построены полные асимптотические разложения по малому параметру и дано обоснование всюду вне капли и частицы. В работах [22], [23], [132] построены главные члены формальной асимптотики задачи конвективной диффузии с учетом объёмной нелинейной химической реакции в следе за осесимметричной частицей. Следует заметить, что ранее подобные задачи исследовались на физическом уровне строгости, используя методы модельных уравнений и аналогий, и метод интерполяции. Были получены интерполяционые формулы для нахождения полного диффузионного потока [52], [105].
0.2 Основные результаты
В диссертации строятся асимптотические разложения (а.р.) по малому параметру решений внешних краевых задач для эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в случаях, когда предельные уравнения имеют особые точки типа ”седла” на границе области. Для решения таких задач применяется метод согласования а.р.: в пограничных слоях вводятся по-
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
II
гранслойные переменные, строятся формальные асимптотические разложения (ф.а.р.) решений, проводится обоснование. Сложность применения метода согласования состоит в том, что в пограничных слоях при нахождении структуры ф.а.р., при их согласовании и обосновании, приходится порой выполнять трудные и громоздкие вычисления. При этом в каждой задаче возникают свои специфические особенности [56], [80], [3], [44], [45], [62], [77], [95], [127].
Задача конвективной диффузии около капли. Рассмотрим математическую постановку задачи о конвективной диффузии. Для удобства обтекаемое тело будем считать сферической. При ряде упрощающих предположений стационарное уравнение конвективной диффузии в безразмерных переменных имеет вид [47]
е2 Аи — (V, V)u = 0, (0.2.1)
где е2 = Ре-1 - малый параметр (соответствует большим числам
Пекле Ре), Л - оператор Лапласа, вектор - функция V для сферической частицы известна и выражается через функцию тока ф(г, 0), где г, 0 - сферические координаты, г > 1,0 £ (0; тг). В случае обтекания сферической капли в приближении Стокса функция тока имеет вид [123]:
ф(т,в) = \{г - 1)(2г - ^ (0.2.2)
где (3 - отношение вязкости капли к вязкости окружающей среды.
Тогда
1 dib 1 ЭФ
V = (vT,ve,0), vr = , ve (0.2.3)
v sin 0 o0 r sin 0 or
Требуется построить ограниченное решение д(г, 0), удовлетворяющее условиям
Зи
гх(1,0) = О, и —> 1 при г оо, — = 0 при 0 = 7Г,0 = (). (0.2.4)
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
12
4
Рис. 1
е -Внешняя область, 0 - Диффузионный пограничный слой,
1- Конвективно - погранслойная область, 2 - Внутренняя область диффузионного следа, 3 - Область задней критической
В окрестности капли возникают несколько пограничных слоёв (см., напр., [47]) (Рис.1). Во внешней области и^ = 1.
А. р. в диффузионном пограничном слое строится в переменных г] = (г — В диффузионном пограничном слое решение
ищется в виде
Подставляя ряд (0.2.5) в уравнение (0.2.1), разлагая также коэффициенты этого уравнения, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях еу приходим к следующей рекуррентной системе уравнений
I = к — 1, разлагается в асимптотический ряд при 0 —» 7г, 9 —» 0;
/0(77,0) = 0, функции Д(77,0) = 0(ехр(—<^772)) при к > 0 и 0 > еа
для некоторых 5 > 0, а > 0; а при 0 —» 0 имеют особенности при
точки, 4 - Область смешения
«(0)(ч,М= ЕеМ,#)0?,*).
(0.2.5)
к=о
= Д(т?,0), (0.2.6)
где правая часть (см. (1.1.13)) рекуррентно зависит от и\0\т}, 0) до
£ > 2.
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
13
Функции и^\т]^в)у кроме того, должны удовлетворять граничным условиям
«00)(М) = °г40) М °°;^00)/^|в=7г = 0; гх^(0,0) = 0;и^ -> 0,77 -» оо;5и^/^|в=я = 0; & > 0 .
Функции определяются из рекуррентной системы диф-
ференциальных уравнений параболического типа. Линиями вырож-
ч
дения являются в = яг, в = 0. Известно ( см., напр., [58], [114] ), что на линии вырождения, как правило, требуется дополнительное исследование. В этом случае, как следует из работы [114] ( теорема 1) на линии 0 = 7Г достаточно требовать условие ограниченности. Здесь обычно задают условие симметрии (равенство нулю первой производной решения по 0 ). А значение решения на этой линии вырождения нельзя задавать. В некоторых случаях на линии вырождения решение может быть разрывной. При построении функции •4О)(?7,0) удобно перейти к переменным
ж = тр1>1 (0),* = £(<9),
где
1(0) = £ = 8\п2$/(2(0 + 1)). (0.2.9)
Функция Уо(ху £) = г/0°^(1/,0) имеет вид (см. [47], гл. 1, §2, (2.13)):
УоОМ) = ег/(^=). (0.2.10)
В работах [7], [8] построены функции и^\г]у0)(к > 0) и иследова-ньт асимптотические разложения решений при # —» тг, 0 —» 0. Эти функции экспоненциально убывают на бесконечности, за исключением следа за частицей ( см. области 1 - 4 ). Доказано, что функции и^\т)у0) являются гладкими при 0 < 0 < 7г, 77 > 0. Таким образом,
(0.2.8)
(0.2.7)
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
14
доказано, что в окрестности точки 01(1, тг) (точки набегания потока к капле) никаких других пограничных слоёв не возникает. При О —» 0 функции щ\г),6) имеют особенности для к > 2. Поэтому приходится дополнительно исследовать исходную задачу в окрестности седловой ТОЧКИ 02(1,0).
В области задней критической точки 3 ( точки стекания жидкости с капли ) асимптотическое разложение решения строится в переменных £ = 0£-1, Г] = (г — 1)£-1 и ищется в виде
= Е 1п!'е Е (£>’?)• (0.2.И)
£=0 к=2
Подставляя ряд (0.2.11) в уравнение (0.2.1) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п £ приходим к следующей рекуррентной системе уравнений
=/$ (£>»?)> (0.2.12)
где
_ .1 э / д\ д2 ( д д УдО + дч2 + 2д£ 71 дч'
правые части рскуррентно зависят от ^3/(£, 77) до I = к — 1, разлагаются в асимптотические ряды степенного типа ( с логарифмическими множителями от £,77), растущие на бесконечности.
Функции и$(£,7?) строятся как решение системы (0.2.12), удовлетворяющее граничным условиям
«13({.0)-0, ди^,Г,) = О при £ = 0 (0.2.13)
и условиям согласования
«!*(£>»?) -*.,*(£>»?) -» 0 при £ оо (0.2.14)
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
15
для любого фиксированного 77, где ^.(£,77) получены путем перехода в сумме (0.2.5) к переменным £, 77, разложения в ряд по степеням е, 1п е. Сначала исследуется уравнение
в полуплоскости И : {(£,77) : £ Е > а}> где а > 0, функция
/(£>7/) стремится к нулю на бесконечности и достаточно гладкая. В работе [10] доказана теорема существования, получены оценки решения и построено асимптотическое разложение решения при 77 —»
оо. Затем строится асимптотическое разложение решения по малому параметру ( строятся функции (£,?/) ) и иследуются асимптотические свойства на бесконечности функций (£, 77) . Проводится обоснование, пользуясь условием согласования и барьерными функциями [16].
А.р. решения в конвективно - погранслойной области 1 строится в переменных 2 = е~1гф{г, в) = £~1/(у)^,у = г — 1. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с
а.р. решения в области 0. А. р. решения в области 1 ищем в виде ряда
В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным 2,7/ и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.15), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, 1п приходим к системе
ехр(—йг2)). Требуется найти а. р. решения уравнения (0.2.16), удов-
и(1\г,у,е) = Е е* Е 1п* £и§(2,у). (0.2.15)
Л-=0 1=0
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
16
для любого а 6 (0,1/2),/ > 0. Здесь функции И^д.(2,у) получены переписыванием а. р. функции в, е) при в -> 0 и -г отделенных
от нуля в переменных г, у. Функции и\11(г,у) построены в работе [21].
А.р. решения в области 2 ( во внутренней области диффузионного следа ) ищем в переменных £ = е~2/ф,у = г — 1. Вид а.р. решения определяется структурой а.р. решений в областях 1, 3 вблизи области 2. А.р. решения в области 2 ищем в виде ряда
00 Л—1
и{2)(Су,е) = £ е* Е 1п*е«У(С,у)- (0.2.18)
к= 1 1=0
В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным £,г/ и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.18), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п £, приходим к системе
£М(С,у)=/$К,у), (0.2.19)
где
г(2)К = о^^ ^
и справедливы оценки щ{С>у) = 0(?Г*(1 + |ж|)*), х = —С/(2у). Эти уравнения являются вырождающимися при £ = 0 параболическими уравнениями. В работе [114] доказаны теоремы существования и единственности в классе ограниченных функций. Требуется построить гладкие решения уравнений (0.2.19), удовлетворяющие условиям
ди{2)
= ° при С = 0, (0.2.20)
условиям согласования при £ —> оо
«Э(С. у) - *й(С, у) = %“(1 + С)“"*) (0.2.21)
для любого а € (0,1/2) и условиям согласования при ?/ —> 0
«Э(С.») - У^(С,у) = о(у°( 1 + О') (0.2.22)
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
17
для любого а £ (0,1/2), где функции K\a(C»2/)î K\/?(Cî у) получены переписыванием а. р. (0.2.5) ( при 9 0 и х > я0 > 0), (0.2.11)
( при г] —» оо) в переменных î/. Функции ü|^(C>2/) построены в работе [21].
А. р. решения в области смешения 4 строится в переменных z = е~1'ф(г,в), р = ег = £(т/ + 1). Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в областях 1,
2. А.р. решения в области 4 ищем в виде ряда
оо к-1 . . .
uW(z,p,e) ='£,ekJ2 ln'eu{l(z,p). (0.2.23)
k=0 i=0
В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным z,p и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.23), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п £•, приходим к системе
= /$(*>/>), (0.2.24)
где
Lmv = 2°-<z™) - W
р'* dzy dz’ dp■
Заметим, что левые части уравнений этой системы такого же вида, что и в области 2. Отличие состоит в том, что в области 2 классы функций были растущие на бесконечности, а здесь функции экспоненциально убывают при z —> оо и имеют особенности при р —» 0. Аналогичную сруктуру имеют и правые части. Кроме того, условия согласования получены согласованием а. р. в пограничных слоях 1, 2 по переменным при у —> оо. Условия согласования для функций u\j. при р —» 0 имеют вид
u$(*»p) - W${z,p) = o(pa(exp(-Sz2) + (1 + И)-')) (0.2.25)
для любого а £ (0,1/2),/ > 0, где функции W$(zyр) получены переписыванием согласованных а. р. (0.2.15), (0.2.18) при у —> ос в
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
18
переменных 2,/>. Кроме того, должно выполняться условие
ди(А)
= о при s = 0. (0.2.26)
Функции ufj.(z,p) в классе гладких функций построены в работе [21]. Далее проводится обоснование [21], используя барьерные функции.
Задача конвективной диффузии около частицы. Рассматривается стационарное уравнение конвективной диффузии
£3Ди - (V, V)u = 0, (0.2.27)
где £3 = Ре-1 - малый параметр. Вообще говоря, внешний вид зграв-нения такой же, как и уравнение (0.2.1). По ввиду изменения функции тока ( см. ниже ), следовательно и масштабов растяжения в пограничных слоях, удобнее множитель писать в виде £3. В случае обтекания твердой сферической частицы стоксовым потоком функция тока имеет вид [123]:
tр(гув) = ^(r — I)2 ^2 + ^)j sin20. (0.2.28)
Требуется построить ограниченное решение tx(r, в) уравнения (0.2.27), удовлетворяюшее условиям
ди
и(г,0) = 0 при г=1 , и —> 1 при г —> оо, — = 0 при 0 = 7Г,0 = 0.
(0.2.29)
В окрестности частицы возникают пограничные слои такого же вида как и на рисунке 1. Но масштабы несколько другие (см. [147], [47]). Во внешней области = 1. Функция тока на поверхности сферы обращается в нуль вместе с первой производной. Задача в этом случае усложняется. А. р. в диффузионном пограничном слое строится в переменных т) = (3/2)1//3(г — 1)е_1,0. В этом пограничном слое решение ищется в виде
«<0)(ч,е,е) = Ё £kuf\v,e). (0.2.30)
к=(1
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
19
Подставляя ряд (0.2.30) в уравнение (0.2.27) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, приходим к следующей рекуррентной системе уравнений
|^-772со8 0^ + г/йп0^ = 2^о)(»7,0), (0.2.31)
где Е0(Т], 9) = 0, функции ^.(?7,9) = 0(ехр(—бг/3)) при к > 0 и в > еа для некоторых 5 > 0, а > 0; а при 0 —» 0 имеют особенности.
Функции и^\т],9), кроме того, должны удовлетворять граничным условиям
4О)(О,0) = 0;г^0) ->• 1,7/ -> оо]ди{^/д9\д=К = 0;
40)(0,^) = 0;40) -> 0,77 —> оо;ди^/дв\$=1Г = 0; к > 0 .
Система дифференциальных уравнений (0.2.31) - параболического типа, вырождающаяся на границе области. В работах [5], [7] построены функции и^\г),0) и иследовано асимптотическое разложение решения при 9 —> 7г, 0 —ь 0. Эти функции экспоненциально убывают на бесконечности, за исключением следа за частицей. Доказано, что функции и^\т)^9) являются гладкими при 0 < 9 < п,г] > 0. Таким образом, доказано, что в окрестности точки 01(1,7г) (точки набегания потока к частице) никаких других пограничных слоёв не возникает. При 9 —» 0 функции и^\г],9) имеют особенности для к > 2. Поэтому приходится дополнительно исследовать исходную задачу в окрестности седловой точки 02(1? 0).
В области задней критической точки (точки стекания жидкости с частицы) асимптотическое разложение решения строится в переменных £ = (3/2)г^9б~1, Г1 — (3/2)1//3(г — 1)е-1 и ищется в виде
ит(Ьъе) = Ё 1п,-е Е в**«®«. »»)■ (0.2.33)
*=0 ^=1
Подставляя ряд (0.2.33) в уравнение (0.2.27) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинако-
(0.2.32)
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
20
вых степенях £, 1п £ приходим к следующей рекуррентной системе уравнений
(0.2.34)
где
„ 1 д [. д \ д2 . о 2д
+ дт? + 71 «V
правые части рекуррентно зависят от и^(£,г]) до / = к — 1, а на бесконечности разлагаются в асимптотические ряды степенного вида с множителями, зависящими от 1пг/,1п^.
Функции и|^({, г]) строятся как решение системы (0.2.34), удовлетворяющее граничным условиям
«$«,0) = 0, - о при £ = 0, (0.2.35)
и условиям согласования
“$(£.»?)-^,1ь(?,»?)->0 при £-> оо (0.2.36)
и при любом фиксированном г/, где V) получены путем перехо-
да в сумме (0.2.30) к переменным £, г/, разложения в ряд по степеням £, 1п £.
Асимптотические ряды (0.2.30), (0.2.33) были построены в кандидатской диссертации ( [4], [5], [6]). Во второй главе построение этих рядов и их согласование приводятся для полноты изложения, а так же для удобства чтения и не выносятся на защиту. Заметим так же, что для главного члена асимптотического разложения (0.2.33) были изучены асимптотические свойства на бесконечности, но не было установлено согласованность с ранее известными решениями в следе за частицей. Поэтому потребовалось дополнительное исследование [11], [12]. Ранее главный член асимптотики был построен численными методами [147].
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
21
А.р. решения в конвективно - ногранслойной области 1 строится в переменных 2 = е~1\/гв) = е_1^//(у), у = г — 1. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в области 0. А. р. решения в области 1 ищем в виде ряда
00 1 .
и(1)(2,у,е) = Е е’ Е1п‘еиУ(г,1/). (0.2.37)
*=0 1=0
В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным 2, у, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.37), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £,1п£, приходим к системе
ди<1'ду’У) =Р$(г’У)’ (°-2-38)
где правые части имеют оценки порядка 0((у~к(гк + 1) + ykz~k) ехр(—&г3)). Требуется найти а. р. решений уравнений (0.2.38), удовлетворяющие условиям согласования для функций при у —> 0
«!,*(*, у) ~ Щк(г,у) = о(уаг~1 ехр(-6г3)) (0.2.39)
для любого а Е (0,1/2),/ > 0. Здесь функции 1У,д.(2,у) получены путем перехода в сумме (0.2.30) при 0-)Ои2, отделенных от нуля, к переменным 2, у, разложения в ряд по степеням £, 1п£. Функции и^1(г,у) построены в работе [24].
А.р. решения в области 2 ( во внутренней области диффузионного следа ) ищем в переменных С = £~2,Ф,У = г — 1. Вид а.р. решения определяется структурой а.р. решений в областях 1, 3 вблизи области 2. А.р. решения в области 2 ищем в виде ряда
г*-и
оо
«(2)(С,г/,0 = Е £*/2 Ё 1п*«$(с,»). (0.2.40)
6=1 г=0
В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным £, У, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.40), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п £, приходим к системе
Ф$(С.¥) = *Й'(С,»), (0-2-41)
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
22
где
дУ
/уХ ~ ас ас ду 9
4,0 (С)у) == О, И справедливы оценки 4,* (С>2/) = 0(у~к/2( 1 + |ж|)*), х = ~С/(2з/)- Левые части этих уравнений те же, что и в уравнениях (0.2.19), но здесь классы функций другие. Требуется построить гладкие решения уравнений (0.2.19), удовлетворяющие условиям
ди{2)
= 0 ПРИ С = °» (0.2.42)
условиям согласования при С —> оо
«$(С,») - УЖУ) = °(уа( 1 + С)-т) (0-2.43)
для любого а 6 (0,1/2) и условиям согласования при у —» 0
4*(С,2/) - У^(Су) = о(у*( 1 + С)') (0.2.44)
для любого а Е (0,1/2), где функции ^(С»2/)>У$(С*у) получены переписыванием а. р. (0.2.30) ( при 0 —» 0 и х > яо > 0), (0.2.33) ( при г/ —> оо) в переменных £,?/. Функции 42(С, у) построены в работе [24].
Л. р. решения в области смешения 4 строится в переменных 2 = £~1\/'Ф(г>0)1 Р = £(г-1)/2 = е^/2. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в областях 1,
2. Л.р. решения в области 4 ищем в виде ряда
со к—1 , ...
и^\г,р,е) = £ е* £ 1п‘ еи\}(г,р). (0.2.45)
*=0 »=0
В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным zyp, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.45), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п £, приходим к системе
Р)> (0.2.46)
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
23
V* , 1 г. л -"
р'г ~ гдгК дг} др' здесь функции РД.'(г, р) экспоненциально убывают при г 4 оо и имеют особенности при р —> 0. Условия согласования для функций 442 при р —> 0 имеют вид
«$(*»?) - ^(,1)(г>р) = о(ра(ехр(-<5г2) + (1 + к!)-2) (0.2.47)
для любого а Е (0,1/2),/ > 0, где функции И'ДДг,/? получены переписыванием согласованных а. р. (0.2.37), (0.2.40) при у —> оо в переменных 2, р. Кроме того, должно выполняться условие
ди^
у/$ ^'к- = 0 при 5 = 0. (0.2.48)
Функции и$(г,р) в классе гладких функций построены в работе [24], там же дано обоснование справедливости составного асимптотического разложения.
Задача конвективной диффузии с учетом химической реакции. Рассматривается краевая задача для стационарного уравнения конвективной диффузии при наличии объемной химической реакции ( см. [47], гл. 5, (6.1)-(6.3) )
Д/7 = Ре(У • V)// + кьЕ(и)у (0.2.49)
ди
/7 = 1 при г = 1; и —» 0 при г оо -г— = 0 при в = 7г, 0 = 0 ,
ид
(0.2.50)
где V = (Уг,Ув,0) , К = (г2з1пв)~1дф/д01 Ув = —(гзгпд)~1д-ф/дг , -ф(г,0)- функция тока, г, в— сферические координаты, Д— оператор Лапласа, Ре- число Пекле, ку - число, определяемое скоростью химической реакции, угол 0 отсчитывается от направления потока на бесконечности. В случае обтекания сферической частицы функция тока имеет вид (см., например, [123])
<ф(т у0) = вт2 0 (г — 1)2(2 + 1/г)/4. (0.2.51)
/
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ
24
Будем считать, что выполнены следующие условия.
Условие А. Функция Е(и) монотонно возрастает, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0; 1] и такая, что
Р : [0; 1] [0; 1], Р(0) = 0 . (0.2.52)
Некоторые свойства асимптотических решений буду т также исследоваться при дополнительных условиях:
Р(и) € С*(0,1), где к> 1. (0.2.53)
Требуется найти асимптотику но малому параметру е = Ре”1/3 ограниченного решения задачи (0.2.49), (0.2.50). Наиболее трудным является случай, когда Ре >> 1, к„ >> 1. В данной работе предполагается, что величина /1 = &„/Ре2/3 - постоянная. В этом случае все слагаемые в уравнении (0.2.49) одного порядка в окрестностях седловых точек. При рассмотрении твердых частиц для удобства введем малый параметр £ = Ре'”1/3 и перепишем уравнение (0.2.49) в виде
ьеи - е,Р[и) . ^ - §£) - е,р{и) = 0.
(0.2.54)
Уравнение (0.2.54) при е = 0 имеет особые точки Ох(1,7г),02(1,0) седлового типа.
Во внешней области е решение = 0.
А. р. решения в диффузионном пограничном слое строится в переменных X = £~}{3~1(г — 1),#, где Р = (2/3)1/3. Функция 0, е)
ищется в виде
•и(0)(ж, 0, £■) = щ(х, в) + О(е). (0.2.55)
Для определения щ(х,9) получаем задачу
ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ 25
ди
щ(ОуО) = 1; щ(хуО) —> 0 при х —» оо, -^2г(ж, тт) = 0. (0.2.57)
С/0
Уравнение (0.2.56) является квазилинейным параболическим, вырождающимся на границе области. Асимптотика щ(х, 0) при 0 —> 7г строится в виде
и0,(.(я) + 0((тг - в)2). (0.2.58)
Для определения главного члена асимптотики при 0 —> 7г получаем задачу
*&(*) + х2иоо(х) ~ Г?Ы(х)) = 0. (0.2.59)
^оо(О) = 1 5 ^оо 0 х —»■ оо. (0.2.60)
Доказано существование решения задачи (0.2.59), (0.2.60), удовлетворяющее оценке
що(х)) < ехр(-а?3/6). (0.2.61)
Функция гху(х,0) удовлетворяет условиям
щ(х, 0) = Доо(^) + 0((1Г - в)2 ехр(-7х3)) (0.2.62)
для некоторого 7 > 0 при в —> 7Г, и оценке
|г*о(ж,0)| < Мехр(—7Ж3),М > 0 (0.2.63)
в области О = {х,0 : ж > 0,71^ < 0 < л-}, V £ (0,1),71 > 0. Асимптотика функции щ(ху0) при 0 —» 0.
При исследовании асимптотики функции щ(х,в) при в —> 0 будем использовать также переменные г = е~1\/:ф, т = т(0), где т = (\/3/8)(7г- 0 + б]п2$/2) и обозначим ио(£,0) = ^(2, т) . Дело в том, что асимптотика функции щ(Ь,9) при 0 -» 0 носит различный характер для малых 2 и для значений 2:, отделенных от нуля.
Сначала рассмотрим случай малых значений я. В этом случае асимптотика функции и^х^в) при 0 -» 0 ищется в виде
щ(х,0) — у0(х) + О(02) (0.2.64)
/