Граничные задачи для уравнения Кортевега - де Фриза и его обобщений

Целью настоящей работы является изучение вопросов нелокальной разрешимости и корректности в различных функциональных пространствах граничных задач для уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) и его обобщений. Уравнение КдФ
Щ 4- иххх 4- аих 4- иих = 0 (0.1)
( и = u(t, х), х € R, а - вещественная константа) является одним из основных уравнений, моделирующих нелинейные волновые процессы в средах с дисперсией. Впервые оно было выведено Кортевегом и де Фризом (см. [1]) для описания распространения одномерных длинных волн на поверхности мелкой воды. Это уравнение применяется также при исследовании волн в плазме, в газожидкостных смесях, продольных волн в упругих стержнях и т.д. (см., например, [2],[3]).
Интенсивное изучение уравнения КдФ началось после появления статьи
[14], в которой была установлена связь между решениями этого уравнения и свойствами спектральной задачи теории рассеяния для оператора Штурма - Лиувилля. Развитый на основе этого результата метод, названный методом обратной задачи рассеяния, позволил строить решения задачи Коши для уравнения КдФ в терминах решения прямой и обратной задач рассеяния для соответствующего оператора Штурма - Лиувилля. Подробное изложение метода обратной задачи, применимого и к некоторым другим уравнениям математической физики, содержится, например, в в книгах
[15)-[17].
Изучение нелинейных волновых процессов в диспергирующих средах приводит и к другим уравнениям, являющимися обобщениями уравнения
1
КдФ. Например, уравнение с более общим видом нелинейного слагаемого
ut + иХХ£ + аах 4- (^(и))х = 0 (0.2)
возникает в теории внутренних воли в жидкости (см., например, [4], [5]). Примером уравнения типа (0.2) является модифицированное уравнение Кортевега - де Фриза (мКдФ)
Ut + иххх 4- аих ± и2их = 0. (0.3)
Отметим, что метод обратной задачи, использующшш конкретную алгебраическую структуру рассматриваемого уравнения, применим к уравнениям КдФ и мКдФ, но не к общему уравнению типа (0.2). В настоящей работе метод обратной задачи не используется.
Другой подход к построению нелокальной теории задачи Коши для уравнения КдФ или его обобщения типа (0.2) состоит в использовании законов сохранения или их аналогов. Известно, что если u(t,x) - достаточно гладкое и убывающее к нулю при [гг | —> ос вместе со своими производными решение уравнения (0.2), то, например,
и2 dx = const, J ^и2х - с J д(0) dd'j dx = const. (0.4) Если на функцию g наложить условия ограничения роста
№)! < Ф|\ о < 6 < 4, (0.5)
то при начальном условии
и(0,х) = щ(х), X £ IR, (0.6)
в случае д0 € Н:п(&) для любого натурального т, на основе
(0.4) установлена разрешимость задачи Коши (0.2),(0.6) в пространстве
'а
1.Х(0,Г: ЯШ(Е)) (здесь и далее Т обозначает любое положительное число). а при т > 2 - единственность решения в данном пространстве (см., например. [18]—[21}).
Дальнейший прогресс в изучении задачи Коши для уравнения КдФ и его обобщений связан с обнаружением эффекта локального сглаживания решений. В работах [22] и [23] было установлено, что для решения задачи Коши для уравнения КдФ справедлива оценка
Jг^r /*го+1
1 / и\ йх(И < с(Т,||ы0||£,(К)), (0.7)
0 ^ гп
что позволило установить при до £ -^(М) нелокальную разрешимость задачи (0.2),(0.6) при выполнении условия (0.5) в пространстве функций : и 6Е Ьоо(0,Т;Ь2(Е))?\$(их;Т) < ос}. В основе эффекта локального сглаживания лежат свойства, линейного дифференциального оператора Д-гТЯ . Действительно, если умножить (0.2) на 2ир{х), где р - некоторая гладкая положительная неубывающая функция, и проинтегрировать по &, то нетрудно получить равенство
(заметим, что при р = 1 из данного равенства следует первый из законов сохранения (0.4)). Если же р’ > 0 при тп < х < т + 1 для целого т, то при выполнении условия (0.5) из (0.8) можно получить неравенство (0.7). В этих лее статьях были установлены результаты о нелокальной корректности задачи (0.1),(0.6) в весовых пространствах с весами растущими при .г -> н-оо. а именно, в [23] - экспоненциальным образом, а в [22] - степенным образом. Например, в статье [22] было
доказано, что если (1 4- х+)0Щ € Ь^(Ш) для некоторого 0 > О, где х+ = шах(х,0), то существует решение и^,х) задачи (0.1),(0.6) такое, что (1 4- х+)-ви е 1оо(0,Г;^2(^)) и это решение единственно в данном классе если ,3 > 3/4. При этом, для построенного решении« Л0(ааг;Г) < со и,
В работе [24] для задачи (0.2),(0.6) при выполнении условия (0.5) была установлена нелокальная корректность в классе функций {и(*,я) : (1 4-х+)У*и £ Ьоо^Г;#1^))}, если (14* %+У^щ £ Н1(Ш). Кроме того, в статьях [22] и [24] были получены результаты о связи внутренней гладкости решений и скорости убывания начальной функции при х -» 4-ос.
В статьях [25],[26] результаты, полученные в [22] и [24] были усилены, а именно, например, был построен нелокальный класс корректности задачи
более тщательно. За счет полученных оценок задачи Коши для линеаризованного уравнения КдФ в случае щ £ Н'(Щ был построек следующий класс нелокальной корректности задачи (0.1),(0.6):
При этом, в статье [28] построены также нелокальные классы корректности-задачи Коши для уравнения типа (0.2), если д(и) = иь, 6 = 3 или 4.
Наконец, в статье [29] была доказана нелокальная корректность задачи (0.1),(0.6) при щ в Я$(Ш.) для любого $ > 0 в функциональных пространствах, являющихся замыканием класса Шварца быстро убывающих функ-
если 0 > 0, то (1 4-х)‘3 1Г2их £ £2(0,Г;£*(!&+)) (В&+- = (0,4-.ос)).
(0.1),(0.6) если (1 +х+)3/8до ^
В работах [27] и [28] свойства линейного оператора были изучены
■и? сіх Зі < ос,
4
ций на плоскости по норме
N1 = 11(1 + \т - £31)г/?(1 + К12Г/2'й(г,01иг(аз),
где ре (1/2,1). а и - преобразование Фурье функции и по обоим переменным t и х (см. также [30],[31], где доказательства из [29! упрощены). Упомянем также статью [32], з которой установлена нелокальная корректность задачи Коши для уравнения КдФ, если щ Е #*(М) при 5 Е (—0) для некоторого б0 < 0, и статью [33], в которой аналогичный результат получен для уравнения мКдФ при 5 Е (1 - $о> 1) (обе работы также основаны на идеях статьи [29]).
Вопросы об асимптотическом поведении решений задачи Коши для уравнения КдФ и его обобщений изучены, например, в [34]—[37].
В отличие от задачи Коши смешанные задачи для уравнения КдФ и его обобщений типа (0.2) исследованы значительно меньше. Вместе с тем. с физической точки зрения подобные задачи возникают естественным образом при изучении соответствующих волновых процессов на ограниченных (с одной или обеих сторон) интервалах. Наиболее "типичными" областями, в которых можно рассматривать эти смешанные задачи, являются правая полуполоса П£ = (0,Т) х (напомним, что М+ = (0,4-ос)), левая полу-полоса Щ = (0, Т) х Ш?._ (М^ = (-оо,0)) и ограниченный прямоугольник (}г = (0.Т) х (0,1). При этом, уже выявившееся при изучении задачи Коши неодинаковость свойств уравнения КдФ (а точнее, линейного оператора Я* 4- П'1) при х -4 4-ос- и х -4 —ОС' приводит к различию в постановках задач в указанных областях, например, наряду с начальным условием типа (0.6) в каждой из трёх областей можно задавать следующие краевые условия:
1) в n.f одно условие на левой границе
ti(f.0) = ui(f), £ € [О,Г]; (0.9)
2) в EÇ два условия на правой границе
u(ty0) = w2(t), ux(t,0} = из(0> t € [0,Т7]; (0.10)
3) в Çr одно условие на левой и два на правой границах
tt(£,0) = ui(t), гг(£, 1) = ^(Oj 1) = ггз(^), t е [0,Т]. (0.11)
Разумеется, подобные постановки смешанных задач не являются единственно возможными. Например, в работах [38] и [39] метод обратной задачи рассеяния развивается в случае смешанной задачи для уравнения КдФ в области Ilÿ , в которой условие на первую производную заменено на условие на вторую производную (правда, вопросы разрешимости в них не затрагиваются). Заметим, что в статье [40] подобный метод развивается для смешанной задачи в полуполосе для модифицированного уравнения КдФ. Можно также отметить статьи [41] и [42], где рассматриваются отличные от (0.11) краевые условия для задачи в Qj для уравнения КдФ. Вместе с тем, в настоящем исследовании изучаются смешанные задачи для уравнений типа (0.2) в областях Щ, Щ и Qт именно с краевыми условиями типа (0.9),(0.10) и (0.11).
Как и в случае задачи Коши, в основе нелокальной теории разрешимости смешанных задач для уравнения КдФ и его обобщений типа (0.2) лежат законы сохранения (0.4), а точнее их аналоги. Пусть функция u(L х) удовлетворяет уравнению (0.2) в прямоугольнике (0,Т) х /, где / - некоторый интервал (ограниченный или неограниченный) на вещественной оси. Умножим (0.2) на 2и и проинтегрируем по I. Тогда (если в случае
6
неограниченной области предположить также, что и убывает к нулю на бесконечности вместе со своими производными) получим равенство
4- I и2 <1х + (2 иихх -и2г + аи2 + 2 [ д'{в)в (1в) = 0, (0.12)
Л
7 \ 70
д[
где 01 обозначает конечную часть границы интервала I. Ясно, что если и д[= 0 (что соответствует требованиям •м1 = 0 и щ =0) для каждой из трёх рассматриваемых задач (в П£, Пт и £)т с граничными условиями (0.9),(0.10) и (0.11) соответственно), из (0.12) легко следует оценка решения в норме Ь-2. Именно в случае однородных краевых условии были получены первые результаты о нелокальной разрешимости данных задач в работах [43] и [44] для самого уравнения КдФ (0.1) и в работе [45] для уравнения мКдФ (0.3). В случае лее неоднородных краевых условий получению оценки решения в норме Ь‘2 из равенства (0.12) препятствует наличие члена иихх\д1. Тогда естественно перейти к новой функции и(^х) = и^,х) - ф^,х), где вспомогательную функцию ф выбрать так, чтобы и\д[= 0. Функция и удовлетворяет уравнению
Т* + &ХХХ + а&х + (<?(^; + Ф))х + {Фг + Фххх + аФх) = 0 (0.13)
и, умножив (0.13) на 211 и проинтегрировав по /, находим, что
д!
+2 £фх(д(и + ф) - д{ф)) (1х +
+ 2 J(фt+фxxx + aфx)Udx = Q. (0.14)
Если предположить. что функция д имеет не более чем квадратичный рост, а именно, удовлетворяет неравенству (0.5) с показателем Ь — 1, то для получения оценки функции и в норме 1-2 из (0.14) достаточно, чтобы были
выполнены УСЛОВИЯ
Фг + Фххх+афх е Ь\(0,Г;£2(/)),
Ф £ Ьос(О)^;^2(Л)»
фх е 1^1(0, Г; Хсо(/)),
^(0,Т),
(0.15)
(0.16)
(0.17)
(0.18)
где 5/ - 0 обозначает правую конечную границу интервала / (если она существует).
В статьях [46]—[48] ,[94] изучалась смешанная задача в П£ с неоднородным краевым условием (0.9) для уравнения КдФ или его обобщения типа (0.2), удовлетворяющего условию (0.5) при 6 = 1. В качестве вспомогательной функции ф в этих работах выбиралась функция вида и\Т\{х), где 1] - некоторая функция типа ” срезки”. Тогда для того, чтобы обеспечить выполнение условия (0.15) предполагалось, что. по меньшей мере, щ £ И?(0,2% При этом, в работах [47] и [94] результаты о задаче Коши из статей [22] и [27] соответственно были распространены на случай смешанной задачи в П£.
В настоящей работе предлагается другой способ выбора функции ф, а именно, в качестве ф используются специальные решения типа граничного потенциала для линеаризованного уравнениия КдФ (умноженные, в случае необходимости, на специальную функцию т}(х) типа ”срезки”). Это позволяет ослабить условия ка гладкость краевых функций, но требует специального исследования свойств этих граничных потенциалов.
Пусть х 7= 0, % > 0. Положим для некоторой функции р(£)
8
(вопрос о существовании этого интеграла изучается далее в работе), где .4 - функция Эйри:
А(9) = [ ег,'е+^(1^. (0.20)
J К
Известно (см., например [74] и [49]), что функция А бесконечно дифференцируема на всей числовой прямой, удовлетворяет уравнению
Ая(е) = ±еЛ(в), (0.21)
A(0)<tf = i [ А(в)М = | (0.22)
и для неё справедливы асимптотики
c~|0|m/2_1/4siii(2|0/3[3/2 + ^то) при 0-оо,
(0.23)
c*#m/2-1/4exp(-2(i9/3)3/2) при 0 -> -foe,
где т = 0,1,2,... , с*,<рт - некоторые константы. В дальнейшем будет показано, что (при соответствующих условиях на ц)
•Л т ххх ~ 0 ДЛЯ X ф 0, J\t=.Q = 0, J|i=0+0 = '7|г=0-0 = lh
что оправдывает использование для функции .7 термина ’‘граничный потенциал” .
Заметим, что при х > 0 эта функция была впервые введена в статье [49]
(см. также [50]) и использовалась там для построения решений смешанных
задач в nj и Qj для линеаризованного уравнения КдФ (однако, свойства типа (0.15)—(0.18) установлены не были). В случае же х < 0 эти работы содержат формулу для решения соответствующей смешанной задачи в П7 для линеаризованного уравнения КдФ, но эта формула уже содержит производные от краевых функций ti-i, щ и, поэтому, в настоящем исследовании не используется. Вместе с тем, нетрудно видеть, что для получения
л(т)(0)
оценки решения в 1/2 достаточно обнулить краевые значения только для самой функции, но не для производной. Поэтому, в частности, для получения указанной оценки не надо строить решение линейной смешанной задачи в П^,а можно использовать граничный потенциал ,7. Необходимо только обеспечить, чтобы согласно (0.18) производная 1Х имела след при х -»> 0 — 0, принадлежащий ^(О, Т).
Из формулы (0.23) нетрудно видеть, что функция А, а следовательно, и .7 имеют абсолютно различное поведение иа различных бесконечностях. Это приводит к отличным друг от друга методам исследования •/ при х > 0 и х < 0. Если при х > 0 быстрое убывание А позволяет изучать J аналогично тепловым потенциалам (см. [51]) исходя из самой формулы (0.19), то при х < 0 приходится переходить к Фурье-образам и рассматривать получающиеся осцилляторные интегралы. Некоторые из идей исследования подобных интегралов, развитые в настоящей статье, восходят к работам [27, 28].
Отметим, что з недавно вышедшей статье [52] при исследовании смешанной задачи в П£ для уравнения КдФ с краевым условием (0.9) также, фактически, используется граничный потенциал J. При этом, в отличие от методов настоящей работы, для изучения свойств •/ применяется преобразование Лапласа. Одним из основных результатов этой статьи является построение нелокального класса корректности задачи (0.1),(0.6).(0.9) при щ е я1(1+), «I 6 Я3/6(0,Г), ио(0) = и 1.(0) (ср. с нижеследующей . Теоремой 5.4).
Нетрудно видеть, что в приведённых выше результатах о задаче Коши для уравнения (0.2) допускается больший порядок роста нелинейного слагаемого (6 < 4 в неравенстве (0.5)), чем в случае аналогичных смешанных задач (5 = 1) при ненулевых краевых условиях. Это связано именно со
10
спецификой получения оценки решения в Li исходя из равенства (0.14). Некоторое ослабление данного условия (не более чем квадратичного роста д ) для. задачи в П£ было впервые достигнуто в статье [53]. Основной идеей метода явилось одновременное получение оценки решения в нормах L-i и Я1 на основе аналогов двух законов сохранения (0.4). В этой работе было введено следующее одностороннее условие: для любого 6 > 0 существует константа с(£) > 0 такая, что
/ д{в) d6 < 6\и\10^ + с{6)и2 Ум S К. (0.24)
J о
При выполнении условия (0.24) была установлена нелокальная разрешимость задачи (0.2),(0.6),(0.9) в пространстве 1,^(0, Т; Я1(М+)) если «о £ Я1(М+), ui Е Я[(0,Т), До(0) — ^i(0), но вопрос о единственности построенных решений был оставлен открытым (кроме того, в этой статье была доказана нелокальная корректность рассматриваемой задачи в пространствах более гладких функций). В настоящем исследовании на основе объединения идей работы [53] и работы [94] указанный пробел восполняется.
Кроме уравнения КдФ (и его обобщений типа (0.2)) существуют и другие уравнения, моделирующие нелинейные волновые процессы в диспергирующих средах. Например, уравнение Кавахары
itt — и>хх£хх 4" Ь^ххх 4“ = 0 4 (0.2-5)
описывает распространение волн в жидкости под ледяным покровом (см.
6]—[8]). Кроме того, соответствующие модели строятся ы в случае неодномерных волновых процессов. Например, уравнение Захарова - Кузнецова
ut + (ихх -f Uyy 4- uzz)z 4- иих = 0 (0.2G)
11
для трёхмерных волн и
щ ■+■ (ихх + иуу)х + иих = 0 (0.27)
для двухмерных волн описывает ионно-звуковые волны в плазме, помешенной в магнитное поле (см. [9]—[11]). Общий вид уравнений типа (0.25)-(0.27) может быть записан в виде
Щ - С2к+\^,х;Ох)и +с[[\'£д{и) = 0, (0.28)
где X = (хи... ,хп) е Кг\ д = (ди-.. :дп), С%к+\ ~ линейный дифференциальный оператор нечётного порядка (2к -ь 1), к £ N. В случае £’2к+1 = Х^=1 ^хХ-2к(х: Ох), где С'2к - эллиптический оператор порядка 2к, д\ = ... = дп, в работе [54] были получены результаты о нелокальной разрешимости задачи Коши для подобного уравнения если щ £ а функция д удовлетворяет некоторым условиям ограничения роста типа (0.5) (при к > п/2 + 1 установлена также единственность построенных решений). В основе доказательства нелокальных оценок решения в этой статье лежат аналоги законов сохранения (0.4). Различные свойства линеаризованных уравнений типа (0.28) с постоянными коэффициентами (в частности, эффект локального сглаживания) изучены в работах [55, 561-В настоящей работе установлены результаты о разрешимости задачи Коши для уравнения (0.28) при нерегулярной начальной функции из £2(®п) ■ На оператор накладываются условия, обеспечивающие апри- •
орную оценку решения в Ь-2 и наличие эффекта локального сглаживания. В частности, для получения аналога оценки (0.7) предполагается (2к 4-1)-гиперооличность оператора £$*+\ в некотором направлении (см. [57]—[59]) (это условие, например, выполнено для уравнений Кавахары и Захарова -Кузнецова в положительном направлении оси От). При дополнительном
условии убывания начальной функции в данном направлении установлена нелокальная корректность рассматриваемой задачи.
В случае уравнения (0.28) третьего порядка (к = 1) в настоящей работе результаты аналогичные задаче Коши получены также для смешанной задачи в области Щ = (0,Т) х К", где М+ = {х € : х\ >0}. При
этом, предполагается также, что соответствующий оператор £3 - оператор с постоянными коэффициентами, не имеет младших членов и является 3-гиперболическим в положительном направлении оси 0;г 1. В этом случае удаётся построить граничный потенциал, аналогичный граничному потенциалу для линеаризованного уравнения КдФ в П£, и исследовать его свойства так, чтобы обеспечить выполнение соответствующих аналогов условий (0.15)—(0.17).
Отметим, что смешанные задачи для линейных уравнений типа (0.28) с различными типами краевых условий были изучены в [60] ,[57]—[59].
Вопрос о нелокальной разрешимости задачи Коши для уравнений типа (0.28) в пространствах гладких функций упирается в вопрос о существовании для данных уравнений законов сохранения (или их аналогов) типа (0.4). В частности, для (2 4- 1)-мерного уравнения Захарова - Кузнецова (0.27) справедливы следующие равенства (в случае гладких и убывющпх на бесконечности решений):
Наличие этих законов сохранения позволяет доказать нелокальную разрешимость задачи Коши для уравнения (0.27) при до 6 Я1(М2) методами статьи [54]. Однако, вопросы о единственности построенных решений, а также о разрешимости в пространствах более гладких функций остаются, при этом, открытыми. В настоящей работе на основе идей статей [27, 28]
(0.29)
(здесь В~1и - первообразная функции и по переменной я). Нетрудно видеть, что второй из законов сохранения (0.31) бесполезен в случае уравнения КПП. С другой стороны, если по аналогии с уравнением КдФ умножить (0.30) на 2ир(х), где р - некоторая гладкая, положительная, возрастающая функция, и проинтегрировать по Е2, то нетрудно получить равенство
1
<а
хС~р <1х<1у 4- 3 / / у?хр' с1хс1у — и2р'" (1х4у +
к2 J J «/ 3 к2
+ а.уу (О^иуУ’р' йх&у — ^ Л игр (1х(1у =0. (0.32)
Тогда при надлежащем выборе р в случае уравнения КПП из равенства (0.32) можно получить оценку производных их и }иу. являющуюся аналогом эффекта локального сглаживания (0.7). Таким образом, в частности, свойства уравнений КП1 и КПП существенно различны.
В работе [68] был построен класс нелокальной корректности задачи Коши для уравнения КПП при ио 6 Я?(Е2) для любого 5 > 0, аналогичный соответствующему классу для уравнения КдФ из [29] (см. также [69, 70]). В этих же работах отмечено, что используемый там метод неприменим для уравнения КП1.
Нелокальная корректность задачи Коши для уравнения КП1 (без условия малости начальных данных) установлена только в случае периодической начальной функции (см. [71, 72]). Результаты о нелокальной разрешимости задачи Коши для уравнения типа КП1 (с нелинейностью ириХ11 < р < 4/3) получены в статье [73].
В настоящей работе устанавливаются теоремы о нелокальной разрешимости задачи Коши для обобщённых уравнений КП1 и КПП (которые являются новыми и для самих уравнений КП).
Перейдём теперь к детальному описанию результатов настоящей ра-
боты. Прежде всего, введём некоторые обозначения, общие для всех разделов.
Если х = (х1?... ,хп) 6 п 6 N, то для любого целого о7 > 0 положим D*' = daj/dx*j. Для любого мультииндекса а = (а1?..., схп) положим = D*'... D**, |о-| = оц 4- Нап. Пусть также для любого т 6 N .
рг/1 = (Е^х/)2)1/2-
\а\=т
Будем также использовать обозначения х1 = (аг2, • • ■, хп), ol = (аэ, •.., схп) • Пусть Q - некоторая, вообще говоря неограниченная, область в Шп.п в N. Для любого целого т > 0 символами С™ (О) и С'™(П) будем обозначать пространства функций, обладающих всеми частными производными до порядка т включительно, непрерывными и ограниченными в Q (соответственно в Q). Положим C&(Q) = C-^(Q), Сь(0) = С'Р(П). Через Со°(П) = 'D(Q) обозначим пространство бесконечно дифференцируемых функций, имеющих компактный носитель, лежащий в Q. Положим
+0О
Hm(Q) = , Я°°(0) = f] ЯШ(П). Введём анизотропные простран-
т=1
ства Соболева
Hm,(Q) = {/(*) : / € Ха(П),1)™/ € L2(Q).D^,f € ^(П) при И = /}.
Для р 6 [1,-foo) и нецелого 5 > 0 символом W*(Q) обозначим пространство Слободедкого
№(*) - щт\р
где [s] - целая часть числа 5, {5} = s - [s]. Пусть также
\D*f{x) - D«f(y)\
w;(Q).{/«и^О): £ //г1-"»<»}•
С (П) = (/ 6 q J(fi): ^ sup -------------------------------------»----------< ос}
|aj=M I
16
- пространство Гёльдера. Введём пространство равномерно Дины непрерывных функций
Ср(П) = {/ 6 СИП) : »Р /
Qn{y:(y-x|<l}
Для любого натурального т положим
С£(П) = {/ б СГ(П): D°tf € еда, |а| = т} .
Пусть I - некоторый интервал (вообще говоря, неограниченный) вещественной оси, X - банахово (или полное счётно-нормированное) пространство. Через Сь{1\Х) и Сб>и.(/;Х) будем обозначать пространства непрерывных (соответственно слабо непрерывных) ограниченных отображений 7 в Л'. Положим
СПТ,Х) = {/(0 : D3J g Cb(I,X),0 < j < m},
C?(Ï\X) = {fit) : D\f g Cb(l,X)yj > 0}.
Символом Cq°(I]X) обозначим пространство функций из С^°(1;Х), имеющих компактный носитель в I.
Пусть 1 < р < -Ьоо. Символ LP(I\X) используется в общепринятом смысле для обозначения измеримых по Бохнеру суммируемых со степенью р (существенно ограниченных при р = +оо) отображений I в X (см., например, [75]). Заметим, что согласно [75] C'b>w(7:Х) С Loo (7; А"). Для
V-
т € N положим
W?il-X) = {/(f) : Dif g Lp(I,X),0 < j < m}.
Для -S G (0,1), 1 < p < +oo положим
W;(I:X) = {/(f) : / g LP{I,X), jj < oo}.
Ixl
17
Заметим, что согласно [76] если $р < 1, то для числовых функций пространство Cq°(/) всюду плотно в Wp(I). Аналогично устанавливается и плотность пространства Cq°(I:X) в W*(I\X). Кроме того, если продолжить нулём при t < О функцию /, заданную в / = R+, то согласно [51] при $р < 1
И/Ни'ДЛЛ) < c(s,p)||/||№f.(R+;,V>-
Если Q = Rn, то соответствующий символ R в обозначениях для функциональных пространств будем опускать: Lp = Lp(Rn), W™ — W™($Ln),
Нт = Ят(1"), нт'1 = Hmi{Rn). S = S(R")> S' = S'(R"), Cb = Cb(Rn) n
Т.Д.
Для функций, определённых на полупространстве R” = {х Є R” : хч > 0}, положим LPt+ = Ьр(Щ), W™+ = И7(К5), Н™ = Нт(Щ), Н™'1 = Нт-1(Щ) и для р > 0
LpA.fl = {/(*) ; (1 + xiff Є Ір,+ }.
Кроме того, положим Сь,+ = = CJ°(R4)>
a,+^ = {/(ас) : (1 + пУ»/ Є С*,+}.
Аналогично для функций, заданных на полупространстве R" = {а; Є Rn : ач < 0}, положим Ip,_ = Ip(R2), И'™. = W™(Rn_), Я™ = Яга(ЕІ), С'0“_ = C§°{R^).
Через 5+ и 5_ обозначим сужения пространства Шварца быстро убы- •
——д ■ ^
вающнх функций S на R+ и R_ соответственно, а для (5 > 0 через и сужения на R+ и R* пространства Se3xp = {/ Є С00 :
|| exp(/?|x|/2)/(m)||£2 < оо Vm}.
Другие специальные функциональные пространства будут определены ниже.
18
Если X - некоторое линейное топологическое пространство, X* ~ сопряжённое к нему, / 6 X, Е € Л’*, то положим {Р, /) = Р(/).
Символами ^ п ^г-1 будем обозначать соответственно прямое и обратное преобразования Фурье, понимаемые как операции в 5', где 5' - пространство обобщённых функций медленного роста (см., [77]). Например, для / £ 5' и ф £ 5 справедливо равенство {Р~1[}'],Ф) = где
•7Г“1[0](О = (2тг)-» /?п е*(х,&ф(х) (1х. Кроме того, будем также использовать прямое и обратное преобразования Фурье по части переменных Х\ или хг и обозначать их ТХ1, Рх> и соответственно.
Далее, для х € Мп и /г > 0 через и>н(х) будем обозначать ядро усреднения с параметром к. а именно, и^х) = Н~пи{х/К), где и £ С^{{—1,1 )п), и/ > 0, = 1. Тогда символом /А(ж) = {/(у)^^(х — у)) обозна-
чим среднюю функцию для (вообще говоря, обобщённой) функции / (см., например, [77, 78]).
Через 7/(0), где 0 Є К, обозначим функцию типа ” срезки”, а именно, у Є С°°(К), у > 0, 7?' > 0, //(0) = 0 при 0 < 0, г)(в) = 1 при 0 > 1, у(в) + /7(1 - 0) = 1, у’(в) > 0 при 0 < 0 < 1, 771/2 Є С°°(Щ. Положим /7о(0) = П(2 - |0|).
Символом д*{и) для функции д Є С(Щ будем обозначать первообразную
Глава 1 посвящена изучению свойств некоторых решений типа потенциалов для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза и его обобщений.
В § 1 исследуются свойства граничного потенциала ./, заданного фор-
19
мулой (0.19) для линеаризованного уравненияя КдФ
"Щ “Н Иххх — 9.
(0.33)
В случае х > 0 быстрое убывание функции Эйри А при 0 ->• +ос обеспечивает сходимость интеграла (0.19) уже при р £ Ь\{{),Т) и, при этом. 3 становится функцией бесконечно дифференцируемой при x>Q,0<t<T, и быстро убывающей к нулю вместе со всеми своими производными при х -гос. Однако, если перейти к случаю а* < 0, то, прежде всего, встаёт вопрос о существовании функции 3, так как согласно (0.2-3) А!'{в) не ограничена при 0 -» —ос. Поэтому, в данном разделе функция 3 при х < О вводится и исследуется сначала для гладкой функции р, а в общем случае определяется замыканием на основе установленных оценок в гладком случае. Приведём основные оценки для потенциала 3, которые с учётом сказанного выше для простоты изложения сформулируем для гладкой функции
Теорема 0.1. Пусть р £ С$°+у а функция 3 задана равенством (0.19). Тогда для любых Т > 0, с € (0,1/6) и 0 < #о < хо
1И1с([о,Л ;£!,+) -
1Р11с([0Л;£1,_) ^ с(-^1 $) !1 А* II Ц'15,,е'м(0,Т) ’
(0.34)
(0.35)
II ^На2(Пх) — Иа'Н Р^1/в(0,Г}’ яир||'^1к-ло,т) < сСЛИмИи/^од.);
Л/ ^0
(0.36)
(0.37)
•20
||Л|и1(0,т;Сб1+) < c(r)||/i||^(0iT,, (0.38)
||^*|Ui(0,r;C[-ro,0]) < c{T,£,Xo)\\fJ>\\wW+:{OTy (0.39)
!|•/**I!^,(0,T;C[—x0,—^ol) < с(Г,е,*0,«о)||А«11^(0|Л- (0.40)
Приведённая теорема вытекает из нижеследующих Лемм 1.4-1.6 и Следствия 1.1. В этом же параграфе рассмотрен вопрос о точности некоторых из полученных оценок (0.34)—(0.40).
В § 2 для случая линеаризованного уравнения КдФ с ’"младшим” членом
Щ + нххх + аих = 0 (0.41)
прп х > Ü вводятся граничный потенциал Ja (совпадающий с потенциалом J. заданным формулой (0.19), при а = 0) и. дополнительно, некоторый "объёмный” потенциал Ка п исследуются их свойства.
В § 3 построен граничный потенциал в полупространстве Ut = (0, Т) х
IR" при п > 2 для линейного эволюционного уравнения нечётного порядка
с постоянными коэффициентами
щ - Pik+i(Dx) = 0, (0.42)
где
JWi(Ar)= Y. a°D*’ ■ (а43)
|a|=2Jfc+l
(k - произвольное натуральное число, х = (a?i,...,xn) 6 К”, п > 2). Пусть Pjbfc+i(0 = S|a|=2fc+1 - символ оператора В2к+\, где ( € R",
для мультииндекса а = (ai,..., ап). Положим
<ЫО ü -^-Р2к+i(f) (0.44)
21
и рассмотрим дифференциальный оператор <?2*(Дс) с символом С?-_ч-(£)-Положим
Единственным условием, накладываемым на оператор Рм+іі^х) ? является условие эллиптичности построенного оператора С}2к(Ас).
Искомый граничный потенциал введём формулой
где і > 0, х 6 Е*, а /г(£, х1) - некоторая функция, определённая в 5«, =
Нетрудно видеть, что уравнение (0.33) является частным случаем (0.42)
пиитический. Нетрудно видеть так лее, что при х > 0 функция 7 из равенства (0.19) совпадает с соответствующей функцией 73, определённой формулой (0.47) для Р3(£) = -£3,£ = ^ Е К. Тогда аналогично § 1 в данном параграфе устанавливается, что (при соответствующих условиях на функцию (л) функция 1-2к+1 определена, бесконечно дифференцируема и удовлетворяет уравнению (0.42) при х £ Е”,£ > 0; ]%к+\ быстро убывает К нулю вместе СО всеми СВОИМИ производными при Х[ —» +ос. Кроме того, ’Ьш |Х1=0+о= х') ПРИ * > 0 и, следовательно, эта функция действи-
тельно является граничным потенциалом.
Лгм{х) = Т~1 (х)
(0.45)
и при і > 0
Ьм = I J (22к(&х)С2к+і(і
0 К"-»
(0.47)
Еі х Ел_і.
+
И, очевидно, ЧТО ДЛЯ него соответствующий оператор (^2 = —ЗВ\ - ЭЛ-
Для потенциала -І-їм устанавливаются оценки, аналогичные (0.34), (0.36),(0.38). Приведём соответствующий результат для случая к = 1, следующий из Теорем 3.1 и 3.2.
Теорема 0.2. Пусть оператор , заданный равенством (0.41) ~ элли-
птический. тогда для любых Т > 0 и е > О
!! ’ \ р) ||(7([о1т];£,2,+) + ^
< ^'(^^)(|ІА('!и«+,(0Т;І2) + И^ІІГ2(0,Гіі^2/5) 5 (0*48)
[ ||р,/з(«,•;м)І||іоо+ * < С7(/^;к+) =
</*4.
= с(у ||я«,-)|1с-^^+ и %011с,'<Мг). (0.49)
К+ Е+хЕ+
Глаза 2 посвящена исследованию смешанных задач для неоднородного обобщённого уравнения КдФ
Мі + м«х + аи* + ($(«))* = /(<,Ж). (0.50)
Без ограничения общности будем всегда предполагать, что
5(0) = </( 0) = 0.
Заметим, что все полученные здесь результаты являются новыми и для самого уравнения КдФ (0.1).
В § 4 установлены вспомогательные результаты о смешанных задачах в
V*
, Щ и С}т для линеаризованного уравнения КдФ.
Для описания результатов, полученных для самого уравнения (0.50), содержащихся в § 5 - § 9, введём некоторые специальные обозначения. Для функции /(£,£)> где х £ К, положим
0ГТ /*т+1 Л \ 1/2
/ / {і,х) ёхИ) ,
_ 0 дт '
23
Г£
K(f--T)=sup( [
m>0 '■JO
*l(f\T) = ( / sup/V, 2') eft) ' ,
VO *>0 '
+oc \ 1/2 A+(/;T)= (V sup /2(f,.t)) ,
n,_0 (f,ar)€[0,T]x[m,m+l]
+00 ^ ^2
л2 (/;r) = (XT sup /2(*>*)) •
^(ї,х)€[ОТ]х(-т-1,-т] 7
Введём также индукцией по т некоторые специальные функции Фт(лг), связанные с уравнением (0.50) и начальной функцией щ. Положим
Фо(х) = щ(х).
Далее, пусть т > 0 и для любого / < т функции Ф( уже определены. Рассмотрим формальное выражение
ИГ1 f (0,1) - *'"-,(*) - в*'т-і(*) -
Преобразуем его, применяя для слагаемого в квадратных скобках известные правила дифференцирования произведения и композиции функций. В полученном выражении заменим все производные DltDku (заметим, что I < гп — 1) на Ф/(*)(®) • Результат этих операций и обозначим через Фт(х). Например,
Фі(х) = /(0,х) - - аи^{х) - У(«о(а:))«о(х).
В § 5 и § 6 рассматривается смешанная задача в по лупо лосе П^ = (0. Г) х Ш.+ для уравнения (0.50) с граничными условиями
а(0,21) = щ(х), х > 0; a{t,0) = •ui(i), 0 < t < Т. (0.51)
—m— I
о, \1/2
f (tsx) dxdt)
24
§ о посвящён обобщённым решениям данной задачи, когда нелинейность д имеет не более чем квадратичный рост. Устанавливаются нелокальные результаты о существовании, единственности и непрерывной зависимости от данных задачи подобных решений.
Введём функциональные пространства где р > 0, в которых
будут строится решения. Положим
*г.+.о = {/(*>*) : / € СУ«.([0-Т}', L2i+), Aq (/*;Т) < оо}, а если ,в > 0, то
4+S = Ш*. *)'ft Q-([0,71; L2,+A А?(Л; г) <
Л ^ £2(0,Т;X-2.+,(.^-i/2))}'
Для описания свойств краевой функции щ для произвольного интервала / С R и любого £ > 0 введём функциональные пространства
г,(/) = 15/б+£(/) П w21/6(/)> ВД = ВД п wl>\i).
Приведём теперь результат о существовании и единственности обобщённых решений, вытекающий из Теорем 5.1 и 5.2 настоящей работы. Аналогичный результат в случае задачи Коши для обобщённого уравнения КдФ типа (0.50) был ранее установлен в статьях [25, 26].
Теорема 0.3. Пусть функция д £ Cfl(IR), причём для некоторой константы Со > 0
l</( w)l ^ соМ ^и € (0.52)
Предположим, что щ £ £-2,+,/ь wi £ Г£(0,Т), / € £i(0, Т; Z.-2.+,/?) для некоторых Т >0, в > 0 и е > 0. Тогда существует обобщённое решение решение задачи (0.50), (0.51) из пространства Х^+^. При 0 > 3/8
построенное решение единственно в этом пространстве.
Установлена также непрерывная зависимость решения от данных задачи в пространстве Х^+ ^ . Кроме того, в предположении более быстрого убывания решения при х 4-ос доказана единственность и непрерывная зависимость решений в классе функций, на которые не накладываются никакие условия гладкости (Теорема 5.3).
В этом же параграфе получены результаты о нелокальной корректности рассматриваемой задачи при щ € Н\ , щ £ 1У4ч3(0, Т) (Теорема 5.4) в пространстве функций
1г.+ = {Них) : / 6 С'([0,Т];+ А +(Д;Т) + А2+(/;7’) < ос}.
В § б задача (0.50),(0.51) изучается в предположении более сильного, чем квадратичный роста функции д. Приведём, для примера, результат о существовании и единственности решения в пространстве Уг, + .
Теорема 0.4. Пусть функция д Е С3(М), для неё справедливо неравенство (0.24) и> кроме того, либо / = 0. либо для некоторой константы с
|<?(д)| < с(\и\™ + И) \/и £ К. (0.53)
Предположим, что до £ Яд , и\ £ Н[(0,Т), до(0) = ДЦ0), / Е 1-2(0. Т; Я|). Тогда существует единственное обобщённое решение и(*, х) задачи (0.50),(0.51) из пространства Ут,+ .
V
Этот результат является следствием Теоремы 6.3 о корректности задачи * (0.50), (0.51).
В данном параграфе установлены также результаты о нелокальной корректности рассматриваемой задачи (при выполнении условий ограничения роста (0.24) и (0.53)) в пространствах более гладких функций, если до € Н\к или до £ Н1Ш при натуральных к (Теоремы 6.1 и 6.2).
26
В § 7 изучается смешанная задача в полуполосе Пг = (О.Г) х для уравнения (0.50) с граничными условиями
Ц0,т) = «о(я), х < 0; u(t, 0) = мг(^)> ^*(£>0) = Дз(£), 0 < t < T.
(0.54)
При изучении задачи в всюду предполагается, что нелинейность g
имеет не более чем квадратичный рост.
В данном параграфе устанавливается нелокальная корректность задачи (0.50),(0.54) в классе обобщённых решений. Введём специальное функциональное пространство. Положим
Х-т,- = {/(*,*) : / € а,№([0,Г];12>.),Ао(Л;Г) < <х>}.
Теорема 0.5. Пусть для функции g выполнены т,е же условия, что и в Теореме 0.3. Предположим, что щ € , щ € W[ +С(0,Т),
«з € Lo(0:T), f G Li(0sT: Lo-) для некоторых T > 0 и e G (0,1/6). Тогда существует единственное решение u(t,x) задачи (0.50),(0.54) из пространства Х™_.
Данный результат является следствием Теоремы 7.1 (о существовании обобщённых решений) и Теоремы 7.2 (о единственности и непрерывной зависимости подобных решений).
В § 8 рассматриваются более гладкие решения смешанной задачи в П^ для неоднородного уравнения КдФ
ut + иххх + аих + иих = /(£, х). (0.55)
к устанавливаются результаты о нелокальной корректности такой задачи в соответствующих классах.
При этом, для получения априорных оценок решения используется (наряду с аналогами законов сохранения (0.4)) также и аналог следующего закона сохранения для самого уравнения КдФ (0.1) при а = 0
Именно поэтому теоремы данного параграфа доказаны для уравнения (0.55), а не для более общего случая уравнения (0.50).
Введём функциональное пространство
Приведём, для примера, результат о существовании и единственности нелокального обобщённого решения рассматриваемой задачи в пространстве Yj-, следующий из Теоремы 8.1.
Теорема 0.6. Пусть щ в H'i. и2 £ Я!(0,Т). щ 6 И^3(0.Г), / £ Т2(0,Т;/Я) для некоторого Т > 0, ио(0) = 112(0) ♦ Wq(0) = из(0). Тогда существует единственное обобщенное решение u(t,x) задачи (0.55), (0.54) из пространства IV- .
В данном параграфе установлены также результаты о нелокальной корректности рассматриваемой задачи в пространствах более гладких функций. если щ £ Н:)к или щ £ Hlk*2 при натуральных к (Теоремы 8.2 и 8.3).
В § 9 рассматривается смешанная задача в ограниченном прямоугольнике Qt = (0, Г) х (0,1) для уравнения (0.50) с граничными условиями
гг(0,ж) = «оМ» х £ [0,1];
•ы(£,0) = U[(t), u(tA) = U2(t), ux(tA) = из(<), 0 < t < Т. (0.56)
Ут,- = if(t,x) : f Є С([0,Г]; ЯІ),АДД„;Г) + АД/;Г) < ос}.
28
Как и в случае задачи в полуполосе Щ данная задача изучается в предположении, что нелинейность g имеет не более чем квадратичный рост. Локальное сглаживание для задачи в ограниченном прямоугольнике переходит в глобальное.
Введём функциональное пространство
A'r(ü,l) = {/(*,*):/€ С([0>Г];Х2(0,1)),/1 € C(QT)}.
Теорема 0.7. Пусть для функции g выполнены те же условия, что и в Теореме 0.3. Предположим, что щ £ ^(0,1), и\ £ ГД0,Г), щ 6 W’f/6+e(0.T), «з G 12(0,т), / € Х^О.Г^гСОЛ)) для некоторых Т > О и с £ (0,1/6). Тогда сугцест.вуегп. единст.венное решение и(1.х) задачу. (0.50),(0.56) из пространства AV(0,1).
Данный результат является следствием Теоремы 9.1 (о существовании обобщённых решений) и Теоремы 9.2 (о единственности ы непрерывной зависимости подобных решений).
В данном параграфе установлены также результаты о нелокальной корректности рассматриваемой задачи в пространствах более гладких функций, если щ £ Я'3*(0,1) при натуральных к (Теорема 9.3).
В главе 3 рассматриваются граничные задачи для квазилинейных уравнений нечётного порядка в случае нескольких пространственных переменных.
§ 10 посвящён обобщённым решениям задачи Коши для уравнения
Ut - C2k+i(t,x:Dx)u + àivxg(u) = (0.57)
в слое Пг = (0,Т) х Rn с начальным условием
д|(=0= ио(*), х € (0.58)
29
где к € М, п 6 М, х = (яь ... ,я„) 6 Мп,
£2л+1(^х;Их)= аЖ,х)й°у (0.59)
|а|<2*+1
9 = (Рь — ^л)> <иу,^(«) = л(°) = °- Устанавливаются
нелокальные результаты о существовании, единственности и непрерывной зависимости от данных задачи обобщённых решений.
Положим
Р2*+1(М;Дг)= ^2 (0-60)
|о|=2*+1
Пусть Р-2к+\(Ъх;£) = £|а|-2*+1 <*<*(*, *‘)£а - символ оператора Р2л-+ь г^е £ = (£ь€ П£п, £а = •■•££*> и аналогично (0.44) рассмотрим
дифференциальный оператор <22&(^я;.0*) с символом
<22к{1,х-,£) = ^-Р2М(Ь,х;0- (0.61)
Основные условия, накладываемые на оператор £2*+1 > позволяющие обеспечить наличие оценки решения в пространстве Р2 и эффект локального сглаживания, состоят в следующем:
1) существует константа с0 > 0 такая, что для любых t £ [0,Т] и любой функции г(т) 6 Н'2Ш
Сък+1У • ус1х < со / V1 с1х. (0.62)
Лй»
2) оператор (^2к^,х: Д.) с символом, определённым равенством (0.61), является сильно эллиптическим в Ш1п равномерно по £ 6 [0, Т], то есть существует константа 6 > 0 такая, что для любых (*,я) £ Пт и £ € К”
2 к
(0.63)
30