Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных уравнений

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ....................................................................4
ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
СИНГУЛЯРНЫХ И1ГГЕГРАЛОВ...........................................27
§1.1. некоторые вопросы конструктивной теории функций.....................28
1°. Об ортогональности производных некоторых систем функций.............28
2°. Об одном классе ортогональных полиномов.............................32
3°. Полиномы Л.В. Канторовича и их сходимость...........................42
§ 1.2. Квадратурные формулы для сингулярного интеграла с ядром Коши на
отрезке...................................................................47
§ 1.3. Оптимизация квадратурных формул для сингулярных интегралов..........54
ГЛАВА 11. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ...............................62
§ 2.1. Постановка задачи и вспомогательные результаты из общей теории приближенных
методов...................................................................62
§ 2.2. Общий проекционный метод и его сходимость...........................65
§ 2.3. Приложения к полиномиальным методам.................................69
2.1°. Метод Галеркина...................................................70
2.2°. Метод коллокаций..................................................71
2.3°. Один полиномиальный метод.........................................71
2.4°. Некоторые замечания...............................................73
2.5°. Приложения к сплайн - методам.....................................73
§ 2.4. Метод механических квадратур........................................75
§ 2.5. Проекционные методы решения с.и.у...................................80
§ 2.6. Метод вырожденных ядер..............................................82
ГЛАВА III. ОБ ОДНОМ ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ,
ПОРОЖДЕННОМ СИНГУЛЯРНЫМ ИНТЕГРАЛОМ..................89
§3.1. Определение и конструктивные свойства прост ранства \¥р.89
§ 3.2. О приближенном решении характеристического сингулярного
интегрального уравнения в пространстве \УР...............95
§ 3.3. О приближенных решениях сингулярных интегро-дифференциаль-ных уравнений..........................................99
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.............................111
-4-
ВВЕДЕНИЕ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.
Диссертация посвящена прямым и, в частности, проекционным методам решения различных классов одномерных сингулярных интегральных и интегрально-дифференциальных уравнений (кратко: с.и.у. и с.и.д.у.); а также приближенным методам вычисления сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта.
1. Актуальность темы. Хорошо известно [14, 27, 55, 11, 62], что многочисленные теоретические и прикладные задачи математики, механики, астрофизики, электродинамики, теории упругости и т.д. приводят к различным классам сингулярных интегральных и сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. В подавляющем большинстве случаев решить такие уравнения в замкнутом виде не удается. Поэтому как для теории (которая в настоящее время достаточно хорошо разработана), так и для практики, важна и необходима разработка приближенных методов их решения с соответствующим теоретическим обоснованием. Под теоретическим обоснованием [63] следуя академику Л.В. Канторовичу, мы понимаем следующий круг вопросов:
1) Доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений.
2) Доказательство сходимости приближенных решений к точному решению.
3) Установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.
Далее заметим, что когда даже в весьма редких частных случаях существуют решения с.и.у. в замкнутом виде, то для доведения результата до числа требуется вычисление сингулярных интегралов (с.и.). Поэтому естественно возникает необходимость разработки приближенных методов вычисления с.и.
За последние годы значительное развитие получили приближенные методы вычисления с.и. [9, 13, 29, 43] и решения различных классов с.и.у. и
-5-
с.и.д.у [9, 15-20, 49, 59, 60]. Однако, несмотря на сказанное выше, здесь все еще остается много нерешенных задач, связанных со строгим теоретическим обоснованием приближенных методов, а также с их сравнительным анализом. Настоящая диссертация в некоторой степени восполняет этот пробел.
2. Цель работы. Работа посвящена вопросам дальнейшего развития методов приближенного вычисления с.и. с ядрами Коши и Гильберта и оптимизации методов по порядку; разработке прямых методов решения ряда классов интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с теоретическим обоснованием.
3. Методика исследований. При выводе и обосновании получаемых в работе результатов существенно используются некоторые положения из конструктивной теории функций, общей теории приближенных методов функционального анализа, теории функций и приближений, теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений; при этом мы следуем методике изложенной в монографиях Б.Г. Габдулхаева [22,27, 30].
4. Научная новизна. Получен ряд новых квадратурных формул для с.и. и дан способ оценки погрешности к.ф. для с.и. с ядрами Коши и Гильберта. Доказана оптимальность по порядку некоторых из этих к.ф. на ранее нерассмотренных классах аналитических, гармонических и целых функций. Предложены полиномиальные методы, сплайн-методы и различные варианты метода механических квадратур решения ряда классов с.и.у. Построено функциональное пространство \УР, в котором сингулярный оператор с ядром Коши, ограничен при любых 1 < р < оо. В метрике указанного пространства дается эффективная оценка приближенного решения характеристического с.и.у. и сингулярного интегро-дифференциального уравнения.
5. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты пополняют общую теорию приближенного интегрирования, могут найти применения при дальнейшем развитии приближенных методов при решении конкретных прикладных задач, встречающихся в механике, математической физике и других областях, приводящих к с.и., с.и.у. и с.и.д.у.
-6-
Диссертация является самостоятельным исследованием автора, по ее материалам им опубликованы 12 работ [105-116]. В работах [113-115], постановки всех задач принадлежат первому соавтору - научному руководителю профессору Билсуру Габдулхаевичу Габдулхаеву, остальная часть выполнена автором. В работе [116] вклад авторов примерно одинаков.
Значительные результаты в этой области получены В.В. Ивановым [60], A.A. Бабаевым [3], Б.Г. Габдулхасвым [27, 30], И.К. Лифановым [9], М.А. Шешко [104]. В развитие приближенных методов решения таких задач весомый вклад внесли также Пресдорф [85], Д.Г. Саникадзе [89, 90], Б.И. Мусаев [78, 79] и другие. Подробный обзор полученных в этом направлении результатов и обширную библиографию можно найти в специальных обзорных работах В.В. Иванова [56], Б.Г. Габдулхаева [14] и в монографиях этих же авторов [22, 60].
Ниже мы кратко остановимся лишь на работах, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации. Рассмотрим с.и. видов:
Первые результаты по квадратурным формулам (к.ф.) для с.и. вида (0.1) получены В.В. Ивановым (см. [60]). Б.Г. Габдулхаев (см. гл. I [22]) подробно исследовал наиболее удобные для приложений интерполяционные к.ф. для с.и. (0.2). Им получены весьма эффективные равномерные оценки погрешности этих формул на различных классах функций.
Исследования Б.Г. Габдулхаева по к.ф. для (0.1) и (0.2) продолжены в диссертациях его учеников Л.А. Онегова [84], Р.Н. Шарипова [101], Л.А. Апайчевой [1]; в работах Б.И. Мусаева и В.В. Салаева [79], Ф.Д. Гахова и И.Х. Фесчиева [43] и других.
Далее остановимся на некоторых результатах Г.Н. Пыхтеева и ряда его последователей. В работах [87, 88] выводятся формулы для вычисления
с.и. (0.1) при р(/) = 1 и = 2, иx(t)е 1Г[-1; 1]. Эти формулы содержат
(0.1)
(0.2)
-7-
полиномы Чебышева и специальные функции - полилогарифмы. Им указаны некоторые классы функций, от которых с.и. вычисляется точно. В работах Д.Г. Саникидзе [89; 90] получен ряд к.ф. для с.и. (0.1), основанных на выделении регулярной части с.и. и применении к последней какой-либо известной к.ф. Погрешности предлагаемых к.ф. оцениваются для непрерывно дифференцируемых плотностей.
В работах М.А. Шешко [103, 104] рассматриваются вопросы сходимости к.ф. для с.и. (0.1) в классе плотностей На, 0 < а < 1; в качестве узлов к.ф. приняты корни полиномов >1коби с весом p(t)=(l-t)a(l+t/ при а > -1, ß > -1. В частности при а > 0, ß > 0 установлены некоторые равномерные оценки на [-1; 1].
В работе A.A. Бабаева и P.C. Садырханова [3] для с.и.
при Ь = [а; Ь], где а, Ь - действительные числа, вводится к.ф. и доказывается ее равномерная сходимость на любом внутреннем для [а; Ь] отрезке и устанавливается скорость сходимости. В работе болгарских математиков
[66] рассматриваются различные к.ф. для с.и. (0.1) при /?(/) = (1-г) 2, устанавливаются оценки погрешности к.ф. в равномерной и среднеквадратичной метриках.
В последние годы появилось довольно большое количество работ, посвященных методам приближенного вычисление с.и. В связи с этим возникла задача построения и исследования наилучших (т.е. оптимальных) в каком-либо смысле методов вычисления различных классов сингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения по Коши.
Заметим, что вопрос об оптимизации квадратурных формул для регулярных интегралов в настоящее время можно считать достаточно хорошо разработанным (см. монографии Н.С. Бахвалова [7], В.И. Крылова [72], С.М. Никольского и Н.П. Корнейчука [82]), чего нельзя сказать об оптимизации к.ф. для сингулярных интегралов. Дадим краткий обзор.
Первые результаты по оптимизации квадратурных формул для с.и. получены В. В. Ивановым [57], а затем (другим способом и в иной
-8-
постаповке) Б .Г. Габдулхаевым [21-24], см. также [34].
Задача оптимизации к.ф. для с.и. (0.2) поставлена в гл. 1П монографии [22] следующим образом: с.и. (0.2) вычисляется приближенно с помощью к.ф.
J(x\s)~ JNx = J(P„x;s), xeF<zX у Рп е д>п, (0.3)
?п: X —> Хп с С2я,
где Х = Сгг или L2(0, 2п), F = (х) - некоторое множество из X, а &I={PJ - некоторое множество конечномерных операторов Рп, отображающих X на подпространство Хп X размернос ти не выше N=N(n), где п - некоторое натуральное число. За оптимальную оценку погрешности класса к.ф. (0.3) предложена величина:
Vn(F)= inf inf sup || Jx~JPnx ||X, (0.4)
Xn<zX Pne ЧРп XGFCX где внешний inf берется по всем конечномерным подпространствам ХпаХ
размерности не выше N=N(n).
При этом в гл. III [22] рассмотрены пять классов операторов ?>п={Рп)>
Рп:Х—>Хп, и в каждом случае на основе результатов конструктивной теории функций и теории поперечников множеств в пространствах С2* и и (0, 2л) установлены достаточные условия оптимальности (по порядку и асимптотической) к.ф. для с.и. (0.2) на ряде классов функций.
Ясно, что формула (0.3) эквивалента следующей:
J(x\s)~ J{Pllx-,s) = YJ\(s)fk(x), Jt6 C„, (0.5)
Jt=l
где {A*(s))f = {AjiV)} с С2л. - некоторая система непрерывных функций, не зависящих от плотности х(ст), а {/к}\ - некоторая система непрерывных (вообще говоря, нелинейных) функционалов в пространстве С2г. В частном случае, когда fk(x) = x(sk),k = \,N , где {j*}" - некоторая система попарно неэквивалентных узлов, имеем к.ф. в обычном смысле:
N
Jx~JN(x\s) = YJK(s)x(skX (0.51)
к=1
-9-
т.е. построенную на основании информации, заданной значениями плотности в узлах. В этом случае оптимальная оценка погрешности определяется следующим образом:
Vn(F)= inf sup II Ух|| Си. (0.41)
xeF
В работе [23] для с.и. с ядром Гильберта, плотность которого принадлежит компактному множеству FcC2ff, предложен метод оптимизации квадратурных формул, основанный на теории поперечников компактов в функциональных пространствах С2я и L2(0, 2л). В частности, установлены достаточные условия оптимальности но порядку, а также асимптотической оптимальности, ряда классов квадратурных формул на некоторых компактных классах гладких периодических функций. Исследования по оптимизации квадратурных формул для с.и. продолжены в работах JI.A. Онегова [84], Л.А. Апайчевой [1], Б.И. Мусаева [78] и других; подробный результат соответствующих результатов имеется в обзорной работе [14] и диссертации Р.Н. Шарипова [101]. В работе [21] для одномерного с.и. с ядром Гильберта рассмотрена оптимизация квадратурных формул с простыми фиксированными равноотстоящими узлами на классах дифференцируемых функций, определяемых модулем непрерывности. В работе Ю.И. Маковоза и М.А. Щсшко [76] показана оптимальность по порядку на классе На [-1, 1], 0 < а < 1 , к.ф. для с.и. с ядром Коши, основанной на аппроксимации плотности интерполяционными полигонами в равноотстоящих узлах.
Начиная с тридцатых годов прошлого века, когда ещё не было полной ясности в теории сингулярных интегральных уравнений, стали разрабатываться приближенные методы их решения (М.А. Лаврентьев, М.В. Келдыш, Г. Мультхоп). В настоящее время теорию приближенных методов решения с.и.у. можно считать достаточно хорошо разработанной. Основные результаты в этом направлении изложены в монографиях В.В. Иванова [54, 60], Б.Г. Габдулхаева [22, 27, 30], С.М. Белоцерковского - И.К. Лифанова [9], М.А. Шешко [288].
-10-
Дадим краткий обзор результатов по прямым методам решения одномерных сингулярных и интегро-дифференциальиых уравнений с интегралами в смысле главного значения по Коши. По определению академика С.Л. Соболева, прямыми методами решения операторных (в том числе и сингулярных) уравнений называются такие приближенные методы, которые приводят к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этими методами мы и пользуемся при решении некоторых классов с.и.у. и с.и.д.у. из глав II и III этой диссертации.
Рассмотрим с.и.у. нормального типа с подвижной особенностью
Ах = а(1)хЦ)+— \^-с1т+2-: Гй(г,0*(г)й(г=у(г), г (0 б) 71 • Т — 1 2 7П “ ' '
/ (*\ 2п г — г 1 2~
Ах = а(г)*(0 + 0х(т)с1т = у(0 (0.7)
0
где а, Ь, И (по обоим аргументам) и у - известные непрерывные функции, х - искомая функция, а у - единичная окружность с центром в начале координат.
В работах [26, 27, 30] предложено обоснование проекционных методов решения с.и.у. вида (0.6) и (0.7); рассмотрены методы коллокации, Галеркина, подобластей и наименьших квадратов в пространстве Нр, Ц (1 < р < «О, Н%( 1 <р<со, 0<Р< 1)и С. Установленные оценки
погрешностей исследуемых методов, обладающих тем свойством, что они автоматически прослеживают структурные свойства коэффициентов этих уравнений. Первые результаты по методу механических квадратур (м.м.к.) для уравнения (0.7) получены Б.Г. Габдулхаевым в работах [18,39]. Им предложены вычислительные схемы м.м.к., основанные на применении квадратурных формул по И=2п+1 равноотстоящим узлам, и дано их теоретическое обоснование в пространстве гёльдеровых функций Нр (0 < р < 1). В работе [38] дано теоретическое обоснование в пространстве функций Ь^Ь^О, 2п) вычислительных схем м.м.к. из [18,19,39], и установлены эффективные оценки погрешности; при этом равномерная сходимость м.м.к. была доказана как следствие сходимости в среднем. В случае с с.и.у. с ядром Гильберта в работах [29, 35] рассмотрены