Оглавление
1. Сплетения и расщепляющие вложения тройных лиевых и суперлиевых систем 13
1.1. Алгебры Ли, Ът градуированные алгебры Ли. тройные лиевы системы.................................................. 13
1.1.1. База сплетения алгебр Ли и ее свойства ...........13
1.1.2. Сплетение алгебр Ли.............................. 16
1.1.3. Ъ2 - градуированные алгебры Ли и тройные лиевы
системы......................................... 17
1.2. Аналоги теоремы Калужнина-Краснера для алгебр, Ъ2 - градуированных алгебр Ли и тройных лиевых систем.................20
1.2.1. Точное представление расширения I = в ас-
социативной алгебре эндоморфизмов свободного модуля ..............................................20
1.2.2. Расщепление расширения Т(д. в алгебре эндоморфизмов [Еп<1с/*(^й*(£)]...................................21
1.2.3. Структура эндоморфизмов ^{Ь)......................23
1.2.4. Вложение расширений в сплетение...................30
1.2.5. Замечание о Ж2 - градуированных алгебрах Ли и
тройных Лиевых системах............................33
1.3. Супералгебры Ли и тройные суперлиевы системы.............34
1.3.1. База сплетения супералгебр Ли и ее свойства .... 34
1.3.2. Сплетение супералгебр Ли .........................43
1.3.3. Тройные суперлиевы системы........................44
1.3.4. Аналог теоремы Калужнина-Краснера для супералгебр Ли...................................................46
1.3.5. Замечание о тройных суперлиевых системах..........59
2. Представления четырехмерных лиевых и суперлиевых тройных систем симметрической и кососимметрической билинейных форм 60
2.1. Тройные системы, связанные с билинейными формами. . . 60
1
2.2. Линейные алгебры Ли зо(5, С) и 5о(4, С)....................61
2.3. Модули старшего веса над алгебрами 51(2, С) и 5о(4, С) ... 64
2.4. Конечномерные 50(5,С) - модули ............................65
2.4.1. Спектральная задача ограничения алгебры 5о(5,С)
на подалгебру 50(4, С)..............................65
2.4.2. Структура р - модуля на р0 - модуле V...............66
2.5. Бесконечномерные 5о(5,С) - модули......................... 76
2
Введение
Диссертация посвящена тройным лиевым и суперлиевым системам. Возрастающий интерес к этому классу тернарных алгебр можно объяснить, в частности, их связью с другими разделами математики (так, например, касательное пространство локальной аналитической лупы Бола несет структуру тройной лиевой системы). Удобство же формулировки некоторых физических законов на языке этих алгебр позволяет свести большинство соответствующих задач к задачам теории представлений.
Отметим сразу, что потребность во вводимых в первой главе этой работы операциях сплетения алгебр и супералгебр Ли, а также тройных лиевых и суперлиевых систем возникла не из нужд алгебры, в то время как в теории ноля их основное свойство универсальности имеет прозрачную интерпретацию. Групповой аналог этих операций известен давно, свойство его универсальности, а именно то обстоятельство, что сплетение А\В является вместилищем всех расширений группы В при помощи группы Л, было установлено в статье [1] Л.Калужнина и М.Краснера в 1951 году. Аналогичный универсальный объект появился позже и для расширений абелевой К - алгебры Ли \) при помощи К - алгебры Ли д. Его конструкция, даваемая леммой А.Л.Шмелькина в [3], использует понятие иньективной оболочки д - модуля I), а свойство универсальности следует из точности свободной резольвенты 1/^(д) - модуля К. И хотя трактовка понятий классической электродинамики Максвелла укладывается в рамки языка расширений абелевых алгебр Ли (чуть ниже мы остановимся на этом подробнее), ничто не заставляет нас при постановке соответствующих алгебраических задач ограничиваться этим классом, равно как и самим классом алгебр Ли. В этом смысле особую роль играет конструкция сплетения алгебр Ли, предложенная в 1995 году Ю.П.Размысловым, установившем свойство ее универсальности, не прибегая к аппарату гомологической алгебры, а также конструкции сплетения супералгебр Ли, тройных лиевых и суперлиевых систем, рассматриваемые в первой главе данной диссертации, которая посвящена установлению свойства их универсальности, т. е. доказательству аналога теоремы Калужнина -
3
Краснера для этих обьектов (теоремы 1.2.1, 1.2.2, 1.3.2, 1.3.3).
В работе определяются сначала операция сплетения алгебр и Ъ2 - градуированных алгебр Ли (показано, что на I) ? д можно ввести 22 - градуировку, если таковой обладают алгебры Ли I), д). Далее определяется сплетение супералгебр Ли, а затем, используя введенные конструкции, строятся сплетения тройных лиевых и суперлиевых систем. В случае алгебр и супералгебр Ли выяснена принадлежность базовой алгебры сплетения конкретному многообразию (предложение 1.1.2, теорема 1.3.1).
Вторая глава данной диссертации посвящена представлениям 4-мерных лиевых и суперлиевых тройных систем симметрической и кососимметрической билинейных форм, явному построению формул для матричных элементов канонических образующих этих алгебр в конечномерных представлениях, обобщение таких формул на случай бесконечномерных представлений. Но существу, решение этой задачи непосредственно связано с решением задачи о неприводимых представлениях изоморфных алгебр Ли зо(5,С) = зр(4,С), для которых в конечномерном случае такие формулы были получены И.М.Гельфандом и М.Л.Цетлиным в [4] для любой алгебры Ли зо(п,С), п > о. Используя идею авторов ветвления 5о(5,С) зо(2,С)0зо(2,€) показывается, что любое конечномерное
неприводимое представление алгебры зо(5,С) в может быть реализовано в конечной прямой сумме алгебры многочленов от четырех переменных Г = к[х, у, и, т;] с естественным действием на ней зо(2,С)0 зо(2,С), на которой канонические операторы особым образом однозначно доопределяются по старшему весу. Для указанных операторов выводятся явные формулы матричных элементов в естественном базисе (х*у*икг1)г каждой прямой компоненты Г\ которые не являются формулами Гельфанда-Цетлина (теорема 2.4.1). Далее для каждой пары комплексных чисел АьА2 таких, что А2, Аа + А2 £ Ъ на подпространстве простран-
ства С{я,у,«,и} ’’обобщенных” многочленов, определяемом решеткой Х>(А1, Аж + А2) = {(А1 + *,А1 + А2+7)|* + <7 = 2к\ :,7,/с € 2}, строится (теорема 2.5.1) двухпараметрическое семейство бесконечномерных зо(5, С) -модулей. При этом показывается, что каждый зо(5,С) - модуль из этого семейства является прямой суммой неприводимых зо(5, €) - подмодулей в количестве от одного до девяти слагаемых, соответствущих классам эквивалентности на решетке Х>(А1, Аа 4- А2) по введенному специальным образом отношению. Среди этих прямых компонент всегда содержится неприводимый модуль старшего веса (АЬА2), причем для каждой пары (АьА2) € С, Аь А, + А2 £ Ъ он явным образом указывается (предьявлено соответствующее подмножество решетки 2>(Аь А! +А2)) — теорема 2.5.2.
Таким образом, оказываются реализоваными почти все неприводимые факторы модулей Берма над алгеброй Ли зо(5,С).
4
О некоторых алгебраических аспектах теории поля.
1. Расширения абелевых идеалов. Первая группа уравнений Максвелла. 13 классической теории электромагнитного поля рассматривают два векторных поля: электрическое поле Е = Е(х,у,г,Ь) = (Ех,Еу,Ег) и магнитное поле Н = Н(а:,у, .г,*) = (ЯХ,ЯУ, Яг), которые удовлетворяют уравнениям Максвелла. Выпишем первую группу этих уравнений (для среды без электрической и магнитной поляризации):
ЭЕЯ ЭЕУ = 1 дПх
ду дг с д1
дЕ1_дЕ±_ 1 дИу дг дх с <9*
дЕ1_дЕх_ 1 дНг дх ду с д1
+ ^4-^ = 0 дх ду + дг
Параллельно приведем хорошо известный факт из теории алгебр Ли (который можно найти, например, в [10]):
Лемма. Пусть д — (метабелева) к - алгебра Ли с умножением: [ , ] : 00л9 0? Ь — абелев идеал в д. Тогда д0 = д/Ь — (метабелева) алгебра
Ли, является д0 - модулем относительно присоединенного действия и существует 2- коцикл / : 0о А 0о —>• Ь) т.е. кососимметрическая функция двух аргументов, удовлетворяющая условию:
О = д/ = (а;<Т(1)/(аг<г(2)? хсг(3)) ~ /([^а(1)> Я<т(2)]> х<т(3))- (1)
И наоборот, если {) — д0 - модуль со структурой абелевой алгебры Ли на нем, / — некоторый 2-коцикл на д0 со значениями в 5, то можно построить "стандартное* расширение д/ = (до,Ь>Я абелевой алгебры Ли () при помощи до как /с-линейное пространство до $ I) с умножением:
(х 4- т) * (у + п) = [ж, у] + хп - упг = /(а:, у), я, у € д0; п,тб().
При этом, если до — метабелева алгебра Ли, то д/ также является мета-белевой алгеброй Ли. Возьмем теперь в качестве до четырехмерную абелеву алгебру Ли с базисом {Тх, Ту, 7>г, "Р*}, а в качестве \) — пространство
5
бесконечно дифференцируемых функций от четырех переменных Зададим на I) структуру д0 - модуля, положив У/г 6 Ь
Ги* к =
Цг, и € {х,у,г} «=<•
Определим функцию / : до Л д0 ->• 1) следующей таблицей (считаем, что вверху по горизонтали стоят левые аргументы, а слева но вертикали — правые):
Гх Гу Г2 Г(
Гг 0 Нг -Ну Ех
Гу -Ня 0 Нх Еу
Г2 Ну -Нх 0 Ег
Гг -Ех -Еу -Ег 0
В этом случае условие (1) принимает вид:
о = д} = 52 ^(л)/№г(0ъР*м)»
(2)
где суммирование ведется по всем четным перестановкам на множестве из трех букв {а,/?,7}; аг,/?,7 6 {г,у,,г:,*}. Таким образом, вместо (2) имеем С? = 4 уравнения, которые, как нетрудно видеть, являются ни чем иным, как первой группой уравнений Максвелла.
2.Характеристическая метабелева алгебра Ли электромагнитного поля. Лемма А.Л.Шмелькина о расщеплении и существование электромагнитного потенциала. Принцип калибровочной инвариантности. Вторая группа уравнений Максвелла.
Таким образом, мы видим, что задание электромагнитного поля эквивалентно аданию 2-коцикла / а, следовательно, и расширения 0/ абелевой алгебры Ли {) при помощи четырехмерной абелевой алгебры Ли до = (Гх,Гу,Г2,Гг). В д/ рассмотрим подалгебру д^, порожденную Гх,Гу,Г2,Гг. Ясно, что д'у можно представить в виде стандартного расширения (до>0,|/)» гДе Ь' — подмодуль д0 - модуля (), порожденный компонентами Ех, Еу, Ег, Я*, Ну, Н2. Алгебру д'( назовем характеристической метабелевой алгеброй Ли электромагнитного поля.
В классической теории электромагнитного поля из первой группы уравнений Максвелла выводится существование скалярного поля Ф(х,у, г Л) и векторного поля А(я, ?/,£,*), называемых соответственно скалярным и векторным потенциалами, через которые поля Е и Н выражаются с помощью следующих формул:
Н = гоЬ А.
(3)
6
- Киев+380960830922