Решение задач дифракции с условиями сопряжения на бесконечных границах раздела областей методами Фурье и потенциалов

Введение
Явлением дифракции (от лат. — ’’сЦЯгасШв" — разломанный) называется поведение волн различной природы в среде или средах, имеющих границы с теми или иными свойствами. Благодаря работам Пуанкаре и Зоммерфельда в конце девятнадцатого века стало ясно, что задачи теория дифракции — суть краевые задачи математической физики. Необходимость изучения таких задач обусловлена многочисленными их приложениями в физике, механике сплошных сред, геофизике, океанографии, медицине и др.(см., например, [33], [35]).
Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с конечной границей хорошо изучены. Гораздо меньше изучены краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с бесконечной границей. Это объясняется тем, что в этом случае методы теории потенциалов и Фурье сводят краевые задачи для эллиптических уравнений соответственно к интегральным уравнениям типа свертки и системам линейных алгебраических уравпепий с бесконечным числом неизвестных, являющимися дискретными аналогами инте-
2
гральных уравпепий типа свертки. Подробный обзор работ по поводу интегральных уравнений типа свертки и бесконечной системы линейных алгебраических уравнений дан в монографии [5]. Кроме того, для обеспечения единственности решения краевых задач для эллиптических уравнений в областях с бесконечной границей необходимо задавать условия па бесконечности. Эти условия, называемые "условиями излучения” или "принципом излучения”, для уравнения Гельмгольца А и + А2и = /, где / — достаточно гладкая финитная функция, были найдены А. Зоммерфельдом [41]. Доказательство принципа излучения для уравнения Гельмгольца было указано в 1933 году В. Д. Купрадзе [8]. Условия излучения и теоремы единственности для уравнения Гельмгольца стали предметом работ большого круга авторов (39, 37, 2, 3, 40, 1, 12] и других. В этих работах рассматриваются граничные задачи в бесконечных областях, когда среда занимает внешность некоторой ограниченной области. До недавнего времени не была доказана единственность решения задач математической теории дифракции с условиями сопряжения на бесконечных границах раздела областей. Впервые теорема единственности решения задачи математической теории дифракции для бесконечных областей с границей, простирающейся в бесконечность, была доказана Ф. Г. Мухлисо-вым [26].
Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами
3
к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе [11, 28, 29, 30, 31, 32], хорошо известны. Впервые удалось применить метод нотепциалов к решению задач дифракции с условиями сопряжения па конечной границе раздела областей Ф. Г. Мухлисову. В докторской диссертации Ф. Г. Мухлнсова [26] предложен способ нахождения потенциалов, сводящих задачу дифракции к регулярной системе интегральных уравнений.
Целью данной работы является изучение возможности распространения указанных результатов Ф. Г. Мухлисова на другие задачи математической теории дифракции. Доказывается теорема единственности решения задачи математической теории дифракции с условиями сопряжения на двух и трех границах раздела областей. Применяются методы Фурье и потенциалов к решению задач математической теории дифракции с условиями сопряжения на бесконечных границах раздела областей.
Диссертация состоит из введения и трех глав.
В первой главе даются постановки задач математической теории дифракции и доказывается единственность решений этих задач.
В 1.1 методом разделения переменных строятся пекоторые частные решения уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие на беско-
4
нечности условиям излучения. В 1.2 рассматривается задача дифракции, поставленная следующим образом. Требуется найти решения уравнений
да;- + \)и, = о С? = Т^) (о.і)
в областях = 1,3) соответственно, удовлетворяющих на
условиям сопряжения
Ч* - * Л.
о, длг а;+і и при Д —» оо условиям излучения
щ .. ..
аГ ' л>и>
сівн = 0(1) (і = Ї73). (0.3)
Здесь Г<4 Г<2) — непересекающиеся гиперповерхности в р - мерном Евклидовом пространстве Еру разбивающие Ер на три части Т«\ Т&\ ТО»; 5^ = 5дПТ0'),Т^) = (; = 173), где
5Л = {|х| = Д}, <?я = {\х\ < Л}.
Доказывается единственность решения задачи (0.1) — (0.3).
В 1.3 доказывается единственность решения задачи дифракции в случае, когда три непересекающисся бесконечные гиперповерхности = 1,3) разбивают р - мерное Евклидово пространство
5
Ер па четыре области 7’^ {і — 17?). Пупкт 1.4 посвящен доказательству единственности решения задачи дифракции в случае, когда две бесконечные и одна конечная гиперповерхности разбивают пространство Ер на 4 части.
Во второй главе, находятся формальные решения плоских задач дифракции с условиями сопряжения па двух параллельных прямых, на двух периодических кривых, на двух концентрических окружностях и на двух концентрических полуокружностях в полуплоскости.
В 2.1 рассматривается плоская задача дифракции на двух параллельных прямых у = аиу = 6об отыскании решений уравнений Гельмгольца
СШі + А Щ = 0 У = Т7Я), (0.4)
удовлетворяющих на прямых у = а, у = 6 условиям сопряжения
и? - и~+1 = /у,
І.М£_ і дит = _ і
<*} Оу <*у+1 ду
и на бесконечности — условиям излучения
/ \UtfdCR = 0(1),
<**
/ ^ - °С1) (і = Т75)> (0.6)
с
Ь)
где Ся = {(з,у) Є Е2 : х2 + у2 = Я2} — окружность, = Т^ПСд.Ау = ау/?у(ау > 0,/Эу > 0),ау,/?у— постоянные, /у и <р;- Є 5,
5 — класс бесконечно дифференцируемых функций д{х), удовле-
С помощью интегрального преобразования Фурье по переменной х задача (0.4) — (0.6) сводится к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений с условиями сопряжения в точках у — а, у — Ь, которая может быть решена методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью обратного преобразования Фурье формальное решение задачи дифракции представляется в интегральном виде. Приводится подробное обоснование полученного формального решения. В 2.2 рассмотрена плоская задача дифракции об отыскании решений уравнений (0.1) в областях = 1,3) соответственно, удовлетворяющих на бесконечных периодических кривых Г^(-7 = 1,2) условиям сопряжения (0.2), в которых правые части есть периодические функции с периодом 2тг, и при Д —»оо условиям излучения
творяющих неравенству |<^(*)| < иРи = 0,1,2,...
/ \UtfdCn = 0(1), с«
где Св = {(*, у) Є £2: ** + У1 = й2}; С#> = Г« П С*.
Решения задач (0.1), (0.2), (0.7) ищутся в виде рядов
00
(0.8)
7
где Х,-п(х) — пока неопределенные функции. Эти функции находятся из требования, чтобы вид решения (0.8) удовлетворял (0.1), (0.2), (0.7). В результате подстановки в условия сопряжения (0.2) получаем бесконечную систему алгебраических уравнепий относительно неизвестных коэффициентов. Разрешимость системы следует из известной теоремы [7{. В пункте 2.3 плоскость £? разбита на 3 части двумя концентрическими окружностями Сд, и Сл2 с общим центром в начале координат и радиусами Л\ и Я2 такими, что Я2 > #1- Обозначим через = {(х,у) Є : я2 + У2 < -К?}, =
{(ж, у) Є Еі: Л? < Xі + у2 < Д|), Г(3) = {(ж,у) Є Е? : х2 + у2 > Щ). Рассматривается задача об отыскании решений уравнений
2д*и< ди) д2и< х2 2гт Л _
г V + г V + + х>и’ =0 {3 = ^>
в областях соответственно удовлетворяющих усло-
виям сопряжения
'7* -
±а. _!_*ь.ш
о> 5г а;+і 0г и при Я -* со условиям излучения
/ |Ц>|2<2Сн = 0(1),
Ся
ди* ■' ” \ся = 0(\).
[ 1^3 .. тт
/ эГ 3 3
Ся
Методом разделения переменных строится формальное решение. Проведено обоснование полученного решения. В пункте 2.4 рас-