Эллиптические уравнения с разрывными нелинейностями и некоторые вопросы оптимального управления

2
ОБОЗНАЧЕНИЯ
На протяжении всей работы использованы следующие обозначения.
Е^ - /? -мерное евклидово пространство,
Х~ (^4, произвольная точка в нем,
-О - ограниченная область в Е^ , т.е. открытое связное множество, содержащееся в каком-нибудь шаре достаточно большого радиуса,
£ - фиксированное число, большее п ,
ЗС - граница множества С ,
С - замыкание (? .
Для обозначения функции р использована следующая запись Р^ Р(У) или у -> р(у) , или р(') ,
Р^У) “ значение функции ^ в точке у , р) - область определения функции ^ ,
5 - равно по определению или тождественно равно,
/>14^ -У = р( х, ^ ± У
Е-*0
/Г
/У" с ' •• 3 - множество натуральных чисел,
£ г£, ,Г в {*,2; »),
Ч'Нхх - норма в пространстве К(щ
/I -II г, £2 - норма в пространстве (Р1).
Определения функциональных пространств
1Г(Л),^(Л),^(Щ СУЩ С°°(Я)
берутся из работы [23].
Если не могут возникнуть недоразумения, символ в обозначениях норм и пространств опускается.
з
Вукзой С с индексами или без них обозначаются постоянные, конкретные значения, которых в данном контексте несущественны, причем буквой с с одним и тем же индексом или просто без индекса могут обозночаться различные постоянные .
Га а £ (Л)х і/12) •• X /2 Ш) X іич^) (Г)
^ ' %
у
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов разрешимости смешанной краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка с разрывными нелинейностями (PH)
у [ У,.(х,и)их +^<4^1+5 К(*,*
ЪХ, А * J . *
+ Х(Х,и} *=■/(*) ^ (0'1)
с'г<г с
и изучению вопросов существования решения в задачах оптимального управления для эллиптических уравнений с PH.
Термин "разрывные нелинейности", вошедший в литературу в последние годы, употребляется для подчеркивания того факта, что функции, входящие в уравнение (или в граничное условие) могут быть не только нелинейными, но и разрывными ПО и.
Изложение ведется в терминах вариационных равенств, соответствующих определению обобщенных решений краевых задач для уравнения (ОЛ) в смысле книги 0.А.Ладыженской и Н.Н. Уральцевой [23],
В рамках уравнений с PH могут быть изучены многие физические процессы (процессы кристаллизации и плавления, фильтрации, широкий круг задач со свободными границами). До сих пор уравнения с PH, несмотря на их практическую важность, изучены недостаточно. Это отчасти объясняется математической сложностью таких уравнений, которая, разумеется, зависит от характера нелинейностей и разрывов, а также от того,
£
каким образом разрывные нелинейности входят в рассматриваемое уравнение.
В большинстве работ, относящихся к эллиптическим уравнения!-! с PH, рассматриваются или уравнения вида
1_и + Х(Ц) = / (*), (0*2)
где [_ - линейный равномерно эллиптический оператор, т.е. уравнения, разрывная нелинейность в которых не входит под знаком дифференцирования, или квазистационарные задачи типа Стефана. В частности, краевую задачу Дирихле для уравнений вида (0.2) изучали / Ма$£оЬо) С А. 3.[зз, 93].
В настоящей работе основное внимание уделяется эллиптическим уравнениям, разрывная нелинейность в которых входит под знаком дифференцирования. Такие уравнения возникают, например, при изучении процессов кристаллизации.
В литературе обычно различают две постановки задач с фазовыми переходами (задач типа Стефана) - классическую, когда неизвестная граница раздела фаз ищется в виде однозначной, достаточно гладкой поверхности, и обобщенную, в которой (в отличие от первой) допускается существование так называемой двухфазной зоны (дисперсной области), т.е. множества ненулевой меры точек пространства, где температура среды совпадает с равновесной температурой.
Имеется обширная литература, посвященная задачам с фазовыми переходами. Так задачи (типа) Стефана в классической постановке изучались, например, в работах Б.В.Базалий [2, з] М.А.Бородин [?, £] , И.И.Данилюк [/У, /2] , А.М.Мейрманов[2£]
6
У,Фельгенхауэр[3//]; [ С о ff а refft [36] , А- Frtednia П,
А KiHclerPehrer [37]у J.-F /?ocfr<ßues [М]. Теория обобщенного решения задач Стефана для описания процессов кристаллизации развита в монографии H.A.Авдонина [1] . В частности, в этой работе указывается, что в задачах кристаллизации при возникновении двухфазной зоны классическое решение перестает существовать, а обобщенное решение достаточно полно описывает двухфазную зону. А.М.Мейрмановым [27] построен пример нестационарной двухфазной задачи Стефана (с достаточно гладкой правой частью), которая имеет только обобщенное решение в смысле O.A.Олейник [2 «?] (для одномерных эллиптических уравнений, как это следует из результатов § 3 главы П, построение примеров, для которых существует лишь обобщенные решения, совсем несложно). Этим обосновывается целесообразность исследования многих физических процессов с точки зрения неклассических (обобщенных) постановок.
Вкратце остановимся на некоторых методах исследования уравнений с PH.
В литературе имеется множество работ (например, А.Д.Ляш-ко, И.Б.Бадриев, М.М.Карчевский [2 S] , В.Н.Павленко [30] ), в которых уравнения с PH изучаются методом монотонных операторов. Систематическое изложение этого метода дано в монографии М.М.Вайнберга \fO] . В частности, этим методом в [3 0] доказаны теоремы разрешимости абстрактных уравнений с разрывными операторами, которые затем применяются при изучении задачи Дирихле для уравнений вида (0.2).
К методу монотонных операторов тесно примыкает интенсивно развивающийся метод применения вариационных неравенств (Г.До— во и Ж.-Л.Лионе [/£] , Ж.-Л.Лионе [24] , D. /Civc/erPe/irer [3<Р]).
7
Как показывают работы М.А.Бородина, то (основываясь на предложенной К.Байокки и Э.Мадженесом идее - подходящим образом заменить неизвестную функцию), к вариационному неравенству с монотонным оператором удается свести также некоторые эллиптические краевые задачи, разрывная нелинейность в которых входит под знак дифференцирования. Так в работе [8] этим методом установлены существование и единственность решения двумерной однофазной квазистационарной задачи Стефана. Кроме того, показана также аналитичность свободной границы.
Этим же методом изучена аналогичная трехмерная однофазная квазистационарная задача Стефана ЗгЕ ЕоЗпоик [Щ] . Здесь уместно отметить, что одним из классов задач с PH, для изучения которого методика применения вариационных неравенств разработана наиболее полно, являются краевые задачи с разрывной нелинейностью, входящей лишь в граничное условие. Вопросы регулярности решения таких краевых задач для общего квазилинейного эллиптического уравнения рассмотрены А.Домаркасом [15^
Для исследования (как теоретического, так и численного) задач (типа) Стефана применяется предложенный И.И.Данилгоком и
В.Е.Кашкахой [/3] вариационный метод (см.также Б.В.Базалий и
В.Ю.Шелепов [#] , И.И.Данилюк [/1] , В.Е.Кашкаха [/£} ). Этот метод основан на сведении исходной задачи к задаче отыскания стационарных точек интегрального функционала с переменной областью интегрирования. Однако применение этого метода требует некоторой гладкости границы раздела фаз.
Другим методом близкие задачи с PH исследовались Е.В.Рад-кевичем[3^] ♦ Е.В.Радкевичем и А.С.Меликуловым [32].
Разрешимость некоторых частных случаев задачи (2.4) главы I отмечена в работе 0.А.Олейник [26].
Для более точного охарактеризована полученных в настоящей работе результатов разрешимости необходимо остановиться на некоторых особенностях математических моделей (в нашем случае вариационное равенство (2.4) главы I), допускающих переходные зоны ненулевой меры. Указанные особенности проиллюстрируем на краевой задаче
-Ли (х)-ь с и(лУ- х(и(х))+р(х) / / £-0 (0.3)
и(х) ^ О / х € сР-/2 (0.4)
исследованной С А. [42].
Ради удобства изложения предположим, что функция / € Е \ {/о} имеет только одну точку { г /0 разрыва первого рода и через 1 о] обозначим замкнутый интервал с концевыми точками . Тогда переходная зона
определяется как множество Х20 , состоящее из всех тех точек и области -С1 , при которых С/(У/ - . Если мера
множества _Г?0 больше нуля, то искомой, вообще говоря, является также функция X Жи(х')) для Х€ Л0. В силу
этой особенности различают "однозначное” и "многозначное" решение или, соответственно, решение типа I и типа П. А именно, о решении типа П (на множестве Л0 ) говорят в том случае, когда априори предполагается, что множество значений п (К) искомой функции х-* ЖЦ(х)) ; X £ Л0 содержится в интервале -/ ( ^о) у и 0 решении типа I - если кроме того, предполагается, что множество значений /?(Х) , х еЛ0 состоит толь-
ко из одной точки. Ясно, что любое решение типа I является также и решением типа П.
Необходимость введения решений типа П обосновывается примерами С А. Лиаг/ [42} , показывающими, что решение типа I
9
существует далеко не всегда. В этой же работе приводятся условия, при выполнении которых задача (0.3)-(0.4) имеет решение и 6 К»
- типа I,
- типа П, но не имеет решения типа I.
Таким образом, обобщенное решение той или иной краевой задачи для столь общего уравнения - как (0.1) - следует понимать как решение типа П.
Здесь уместно отметить, что в литературе, как правило, считается, что разрывные функции, входящие в рассматриваемое уравнение или в граничное условие, имеют лишь конечное число-точек разрыва первого рода по функционально^ аргументу и . Большой интерес представляют также случаи, когда исходная функция = X ) терпит разрыв на некоторой поверхности $(х) $ сс?/7т/ . в литературе уравнения с PH такого
типа практически не исследованы. Однако, исследования в этом направлении могут иметь применения в задачах Стефана для термодиффузионной системы уравнений (постановка таких задач дана Н.А.Авдониным [1] ), которая в квазистационарном и упрощенном случае рассматривается в § 9 главы I.
В диссертации методом сглаживания (аппроксимации) исходных разрывных нелинейностей и осуществлением предельного перехода доказывается существование обобщенного решения (типа П) в пространстве И//[12) п с"(Л) для достаточно широкого класса смешанных краевых задач для уравнения (0.1).
Отметим, что теоремы существования классического решения для ряда двухфазных квазистационарных задач Стефана получены, например, Б.В.Базалием [2] , М.А.Бородиным [?] , В.Е.Кашка-хой |/3} . Теоремы существования и единственности обобщенного
/о
решения для многофазных нестационарных задач Стефана в одних из наиболее широких функциональных классов даны O.A.Олейник [2?]» и также в книге O.A.Ладыженской, В.А.Солонникова, H.H. Уральцевой {22] • Тем не менее, эти теоремы существования и единственности обобщенного решения не переносятся на соответствующие квазистационарные задачи Стефана. Трудности, которые возникают при попытке перенести указанные теоремы, в некоторой степени освещаются в § I главы П.
В литературе проблема единственности решения краевых задач для уравнения (0.1) в обобщенной постановке в сколь-нибудь общих случаях не исследована. Примеры неединственности, построенные в § 2 главы П, показывают, что класс единственности решения вариационного равенства (2.4) главы I не является столь обширным, как класс существования. Особого внимания заслуживает работа И.И.Данилюка [/2] , в которой показано возникновение неединственности решения двухфазной квазистацио-нарной задачи Стефана, моделирующей реальный физический процесс. Однако, примеры неединственности, построенные в § 2 главы П для более простой задачи (см.также замечание 2.3 главы П), не являются следствием результатов И.И.Данилюка.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Литература упорядочена по алфавиту, сначала советские авторы, а потом - иностранные. В библиографии включены только цитированные книги и статьи.
Текст в каждой из трех глав разбит на параграфы. Формулы нумеруются, независимо в каждой из глав, т.е. формула является j -ой формулой с -го параграфа. При ссылках на формулы другой главы указывается номер соответствующей главы. Та же система нумерации принята и для определений, лемм, теорем, замечаний и следствий.
11
Первая глава диссертационной работы посвящена изучению (в неклассической постановке) вопросов существования решения смешанной краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка с PH. Понятие обобщенного решения вводится в § 2 при помощи вариационного равенства (2.4). Основным результатом главы I являются теоремы существования (теоремы 7.1 и ЮЛ). В главе I также показано, что исходную задачу (2.4) можно аппроксимировать так, что последовательность решений аппроксимированных задач сходится сильно в пространстве у;(л! к некоторому решению исходной задачи. 3 § 9, основываясь на методику доказательства теоремы 7.1, устанавливается существование обобщенного решения (определяемого подходящим образом) краевой задачи для упрощенной термодиффузионной системы уравнений в КЕазистационарном случае.
В главе П обсуждаются вопросы единственности решения вариационного равенства (2.4) главы I. Приводятся примеры, показывающие, что решение указанной задачи (2.4) неединственно даже в том случае, когда допускаются лишь зоны перехода нулевой меры. Выделяются также некоторые классы единственности обобщенного решения для уравнения
Ли* ^ (Ж*# = / / ' ■
%
Глава Ш посвящена некоторым приложениям результатов разрешимости уравнения (0.1) в задачах оптимального управления. Основное содержание этой главы составляют теоремы существования оптимального управления эллиптическими уравнениями с разрывными нелинейностями. В § 3 приводятся также необходимые условия экстремума для сглаженной задачи оптимального управления.