Решение стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики

-г -
СОДЕРЖАНКЕ
ВВЕДЕНИЕ.....................................................3
ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ЭЛЕКТРОГВДРОДШАМИКИ ... 7
§1. Постановка задачи электромагнитной гидродинамики
в случае неограниченной области ................... 7
§2. Теорема существования ........................... 19
§3. Краевая задача электрогидродинамики в случае
неограниченной области ........................... 33
§4. Краевая задача электрогидродинамики в случае
ограниченной области ..... ...................... 40
§5. Простейшая краевая задача электрогидродинамики . 49 •
§6. Простейшая краевая задача двухкомпонентной
электромагнитной гидродинамики ................... 62
ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
И ЭЛЕКТРО ГИДРОДИНАМИКИ............................81
§7. Постановка разностной задачи электромагнитной
гидродинамики .................................... 81
§ 8. Существование и единственность решения разностной
задачи электромагнитной гидродинамики ............ 87
§9. Сходимость разностной схемы .....................100
§10. Модельная разностная задача
электрогидродинамики ............................ 114
ВЫВОДЫ.....................................................126
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА....................................127
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
Во многих прикладных задачах вычислительной математики приходится решать вопросы, связанные с механикой жидкости. Большинство процессов, связанных с движением жидкости, протекает в условиях присутствия электромагнитного поля, в той или иной мере воздействующего на жидкость.-Во многих процессах действие поля необходимо учитывать. В этих случаях складывается картина взаимодействия гидродинамических и электромагнитных сил.
Диссертация посвящена исследованию стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики.
Для таких задач рассматриваются вопросы существования обобщенных решений. Предложены разностные схемы для численного решения краевых задач электромагнитной гидродинамики к электрогид-родинамики в области, граница которой является идеальным проводником. В случае параллелепипеда рассмотрены вопросы существования к единственности решения разностной схемы для задачи электромагнитной гидродинамики, и доказана сходимость разностной схемы со скоростью второго порядка.
Математическая модель электромагнитной гидродинамики строилась на основе уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости с учетом действия электромагнитного поля - силы Лоренца, уравнений Максвелла и обобщенного закона Ома. Определяющими моментами рассматриваемой математической модели являются предположение о малой концентрации заряженных частиц и обобщенный закон Ома.
- 4 -
Диссертация состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена исследованию существования обобщенных решений стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики к электро-гидродинамики. Здесь рассмотрены три типа задач, каждый из которых имеет свои особенности. В задачах первого типа пространство все заполнено диэлектриком или вакуумом, кроме некоторого объема Ов котором движется жидкость. Задачи второго типа рассмотрены только для случая электрогидродинамики. Здесь область П , в которой изучается явление, состоит из области Па , заполненной жидкостью, и области Пг , окружающей Па и заполненной диэлектриком. От всего пространства область Л - П4 иП% изолирована идеальным проводником, так что вне а все поля отсутствуют. Задачи третьего типа - наиболее простые к в некотором смысле модельные. В них все явления изучаются только внутри объема , заполненного жидкостью, граница которого является идеальным проводником.
Вопросы существования обобщенных решений стационарных краевых задач гидродинамики и магнитной гидродинамики рассматривались в [9, 10]. Задачи гидродинамики к магнитной гидродинамики можно рассматривать как задачи электромагнитной гидродинамики в случаях равенства нулю диэлектрической и магнитной проницаемостей жидкости £ - 0 , уи = 0 и равенства нулю диэлектрической проницаемости жидкости £ = 0 соответственно.
В §§ 1-3 рассматриваются краевые задачи электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики первого типа. Задачи электрогидро динамики, в отличие от магнитной гидродинамики ( £ - О ), можно рассматривать как частный случай электромагнитной гидродинамики, когда магнитная проницаемость жидкости равна нулю
- 5 -
(уи=0 ), В §§2, Зна основе методов, разработанных для гидродинамики и магнитной гидродинамики, доказываются теоремы существования обобщенных решений краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики. При этом на исходные данные задач здесь накладываются существенные ограничения, которые можно трактовать как ограничения на концентрацию носителей зарядов в жидкости. В этом проявляется принципиальное отличие рассматриваемых задач от задач гидродинамики к магнитной гидродинамики, в которых жидкость не содержит зарядов.
В 54 диссертации рассматривается краевая задача электро-гидродинамики второго типа, то есть задача, в которой объем с жидкостью-Л. * помещен в некоторую область .0 , граница кото-
рой является идеальным проводником. Для данной задачи доказывается теорема существования обобщенного решения.
В §5 рассмотрена краевая задача электрогидродинамики третьего типа с граничными условиями разного рода на различных частях границы области Л ^ , которая считается идеальным проводником.
В §6 первой главы рассмотрена краевая задача двухкомло-яентной электромагнитной гидродинамики. В данной задаче жидкость содержит заряженные частицы двух сортов. Методами, аналогичными однокомлонентному случаю, доказывается теорема существования обобщенного решения.
Вторая глава посвящена методам численного решения стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики третьего типа.
В §7 второй главы содержится описание сеточных областей и ставится разностная задача электромагнитной гидродинамики
- 6 -
в параллелепипеде, граница которого является идеальным проводником. В восьмом параграфе исследуется существование и единственность решения данной разностной задачи. В § 9 доказывается сходимость разностной схемы со скоростью второго порядка. Аппроксимация уравнений Навье-Стокса отличается в граничных точках сеток от используемой в [5], и сходимость разностной схемы доказывается в несколько иных нормах, чем в [5], где сходимость может быть доказана со скоростью порядка 3/2.
В § 10 рассматривается модельная разностная задача элек-трогидродинамики, решение которой существует и имеет априорную оценку при любых известных внешних воздействиях, оказываемых на жидкость. Для данной разностной задачи рассмотрен итерационный процесс, аналогичный используемому в Г53 для разностной задачи гидродинамики.
В заключение поясним обозначения, используемые в диссертации. Буквами (С к С с цифровыми индексами обозначаются различные положительные константы, причем, если не оговорено противное, нумерация констант в каждом параграфе самостоятельная.
В первой главе работы используются пространства Lp (О) и для скалярных и векторных функций. При этом используется один и тот же символ.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15, 16 ] к докладывались на семинарах факультета ШиК и механико-математического факультета МГУ, Отдела вычислительной математики, Вычислительного центра АН СССР, ИМ имени М.В. Келдыша, Московского энергетического института.
- 7 -
ГЛАВА І
НЕКОТОРЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ НЕСШШШОЙ ЖИДКОСТИ В ЭЛЖТРОМ1НИТНОМ ПОЛЕ
§1. Постановка задачи электромагнитной гидродинамики в случае неограниченной области.
Если жидкость однородна и изотропна, а концентрация носителей зарядов в жидкости мала, то для описанім течения жидкости в электромагнитном поле будем иметь следующую систему уравнений
-1Лн ♦ £ и» Цк -
И - О, (1'2^
где ЪС - вектор скорости р - гидростатическое давление, -объемная плотность заряда, ^ - плотность тока, ^ - коэффициент кинематической вязкости, р - плотность, - магнитная проницаемость жидкости, ф - внешние силы, действующие на жид-кость, а Е и Н - векторы электрической и магнитной напряженности, удовлетворяющие уравнениям Максвелла
'ий Е = о, (і.з)
И = I , (1.4)
сігіс(1.5)
сім) уи Н - О, (1.6)
здесь 8 - диэлектрическая проницаемость жидкости.
- 8 -
Чтобы замкнуть систему уравнений необходимо еще задать закон Ома
^ = с^й + с^ЗЁ +б'(£+уи,й’‘Й)-12)У (1>7)
Здесь (о - проводимость среды, $ - коэффициент подвижности,
%) - коэффициент диффузии зарядов.
Пусть жидкость заполняет ограниченную односвязную область Л i . Остальную часть пространства й а , заполненную диэлектриком или вакуумом, обозначим п*. Границу раздела обозначим
- у *♦
£ . Требуется определить и , р , Е , Н , ^ К £ , удовлетворяющие в уравнениям (1.1), (1.2), (1.7) и во всем пространстве - системе (1.3)-(1.6), причем вне Г11 полагаем
О , и = О .
Сформулируем граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции. Вектор скорости и должен удовлетворять условию прилипания
й |5= о. (1.8)
Векторы Е и Н должны удовлетворять определенным условиям на границе различных сред. Будем считать, что на границе £ имеется поверхностный заряд ст, тогда для системы (1.3)-(1.6) получим следующие граничные условия
Г - с Р I + п С - г сг> I
ь* С У1 |£ ~ ($ ^ст > |$ “ , (1.9)
уи<Н?) |л вУмгН?)|5 , Н*}|5 = Н?|* . (1.10)
"*■ —у —V -V ^
Здесь Е* = Е-К1, Нп = Н-а нормальные составляющие Е и
Н > причем предполагается, что вектор нормали \Ъ направлен внутрь Х1г ; Ег= £ - К--Еп , = Н - кг - Нп; Ес0. Нс0,
8с, JUІ - значения Е , Н , ^ , уи в Л. • , I = % .
- 9 -
На бесконечности электромагнитное поле задано
Е1|Х|=0о~ ^ ||ЭС| =ео ~ • (1.11)
Хотя величина поверхностного заряда С^.ст появляется в процессе движения жидкости в электромагнитном поле и зависит от условий самого течения, тем не менее будем считать, что <^ст задано. При таком подходе недостающее граничное условие для уравнения (1.7) может быть сформулировано в одном из следующих видов:
1(15 = ^гр (1.12)
задается объемная плотность заряда вблизи стенки;
здесь оС , jb £ [ О, Л ] - параметры, X > О , Q - заданная функция. Возможны также различные комбинации этих условий на различных частях границы S .
Отметим, что функции £ , ju и Сэ определены во всем пространстве 12 3 и являются, вообще говоря, разрывными. Будем для определенности считать, что
( £< = const в .О 4 I Const в П1
{ £«.(*) в Л а. 5 /(х)=|д(х)в П, ’
= const > О в .Q ^
О в
Будем предполагать, что поверхность S принадлежит классу С*-, £(х) и ук(;с) имеют непрерывные ограниченные первые производные В , и что
СГ(х) =
- ю -
v) = const >0,0= coyest >o, о < So 4 £ (aü £ 1°,
o< juo ^ jm(x) 4 ru0 f % - const >0,2) = const >o.
Vz / \
Считая, что заданная функция ^.ст € VC/j, у S), построим вектор Е0 , удовлетворяющий условиям (см. [ 10], главу II, §2)
£«- Ёоо6 Li(fca), W* (ül), ^ = -f,z,
—►
cU/v £ E о ~ 0 в и в П1(
'wt Eo - о в Л* и в .п.^,
е с") - С р I А с^) I са)| р = F
CiCon s ~ Oz,C-on j s + С^.ст , tot |s= U0r|s, |x| = oo 00
-V
к вектор Но , удовлетворяющий условиям
н„-н„6 Ц(е,), w,'(гц), u-f, г,
‘to'f Н = с в Л( „ в Лг,
4/)i Н - 0 в -Q* и в Л^,
/*«, Hot Is25 ЙЯ|,, Но ],x,eer Ноо.
Введем новые неизвестные векторы е = Е - Е„. ft.* Н-- Но » тогда система (1.1)-(1.7) перепишется в виде
-^дй
U. + V-к.У-х,к ~ jp С^(е + Ео)- кХлл+ Ho)t^Xlt+
+ &ioHo:tJ = "j5'^(p + "i ( lhll+Z%'Ha)) t ?, cLv û = 0,
4Xft e - 0,
^ ~ d >
cLv&ë = fy,
—>
dwyk = o,
1.13)
1.14)
1.15)
1.16)
1.17)
1.18)