Оглавление
Введение 4
Глава 1. Существование «в малом» по времени и единственность решений краевых задач для уравнений одномерного вязкого газа 18
§1.1. Постановка задач........................................... 18
§1.2. Теоремы существования решения задач «в малом» по времени . 21
§1.3. Теоремы единственности..................................... 29
Глава 2. Априорные оценки и разрешимость «в целом» по времени в пространствах Соболева 33
§2.1. Краевая задача с однородными граничными условиями для скорости ........................................................... 33
§2.2. Задача истечения газа из области .......................... 58
§2.3. Задача протекания газа через область....................... 76
Глава3. Существование «в целом» по времени задач для системы уравнений Навье-Стокса в пространствах Гёльдера 82
§3.1. Глобальная разрешимость краевой задачи с однородными граничными условиями для скорости................................... 82
2
§3.2. Глобальная разрешимость задачи истечения газа из области . . 95
§3.3. Глобальная разрешимость задачи протекания газа через область 98
Библиографический список 101
3
Введение
Полная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа или система уравнений Навье-Стокса представляет собой интересный и важный класс систем дифференциальных уравнений в частных производных [7]. [33). В теории таких систем одной из центральных является проблема однозначной разрешимости «в целом» как по времени, так и по данным (без каких-либо требований их малости).
Изучение вопросов единственности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса началось в 1959 году с работы Дж. Серрина [56]. В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Отметим также более раннюю статью Д. Граффи [42] о единственности классических решений для баротропного газа.
Первый результат по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получил в 1962 г. Дж. Нэш [53]. Он доказал существование классического решения задачи Коши «в малом» по времени. Этот результат несколько иными методами был повторен и обобщен в работах Н. Итая [43], А.И. Волытерта. и С.И. Х}'дя-ева [17].
Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В.А. Солонниковым [34] и А. Тани [58|.
Разрешимость задачи Коши для уравнений Навье-Стокса «в целом» по времени, по при условии, что начальные данные близки к состоянию покоя,
4
т. е. «в малом» по данным, была установлена А. Матсумурой и Т. Нишидой [51], [52].
Первый результат по однозначной разрешимости «в целом» по времени и по данным был установлен в 1968 г. Я.И. Канелем [28] в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа (р = Rpу). Для модели Бюргерса (р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая [44], [45] и А. Тани [59].
В 1976 г. A.B. Кажихов [21] впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого 'теплопроводного газа. В дальнейшем цикл работ A.B. Кажихова [22] - [26], [49], В.В. Шелухина [26], [35] - [37], [49] позволил построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа.
Данные исследования легли в основу монографии [7, гл. 2], в которой изложены результаты о существовании «в целом» и единственности регулярных обобщенных решений начально-краевых задач для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа при начальных данных из (П). Теорема об устойчивости таких решений в сильной норме содержится в работе A.A. Амосова [1].
В работах A.A. AiVfocoBa и A.A. Злотника получено существование «в целом» (слабых) обобщенных решений указанных задач при начальных данных из Lq(Ü) с некоторыми q [3], [4]. При несколько более жестких условиях на начальные данные в [3] установлена единственность и устойчивость обобщенных решений. Более ранний результат об устойчивости имеется в работе М. Паду-лы [54].
Необходимо отметить также работы A.A. Амосова и A.A. Злотника для
5
уравнений движения вязкого баротрогіного газа в случае негладких начальных данных [5], [6]. Для вязкого теплопроводного газа в случае разрывных начальных данных отметим работы этих же авторов [18], [19], X. Фуджиты Яшимы, А. Новотны, М. Падулы [46] и Г.-К. Чена, Д. Хоффа, К. Тривисы [40]. В работе [2] A.A. Амосовым получен результат о существовании глобальных обобщенных решений для вязкого реального газа при весьма произвольных больших разрывных начальных данных специальным полудискретным методом.
Известны работы В.А. Вайганта, A.B. Кажихова [14] - [16], Е.В. Лукиной [31], М. Падулы [55], Д. Хоффа [47], Г.-К. Чена, М. Кратки [41] по локальной и глобальной разрешимости задач для уравнений многомерного движения -* вязкого газа.
Проблеме глобальной разрешимости задач протекания для систем уравнений одномерного движения вязкого газа (баротрониого или теплопроводного) посвящены работы С.Я. Белова [8] - [10] и В.А. Вайганта [И].
Как правило, в описанных выше работах область, в которой доказывается существование решения «в целом» по времени, является либо полосой {(х,£)| - оо < х < оо, 0 < t < Т}. либо цилиндром {(я,£)1 а < X < Ь, 0 < t < Т}, где а, 6, Т - заданные постоянные.
Для вязкого газа известны результаты по глобальной разрешимости задачи со свободной границей об истечении газа в вакуум [7], [21), [50] и задачи о поршне, который двигается по заданному закону [7]. В обеих этих задачах скорость движения границы s(t) области, занятой газом, совпадает со скоростью движения материальной точки с координатой s(£), т. е. u(s(t),t) = ds(i)/dt, 0 < t < Т. Другими словами, газ через границу s(t) не течет, и этот факт играет решающую роль при доказательстве теорем существования, по-
6
скольку область определения решения в лагранжевых координатах становится фиксированным цилиндром.
В нашей работе для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа доказывается однозначная глобальная разрешимость начально-краевых задач в нецилиндрических убывающих по времени областях {{x,t)\ 0 < х < $(t), О < t < Т}, где х = s(t) -заданная гладкая невозрастающая функция.
В статьях С.Я. Белова [39] и К.О. Казёикина [20] рассматриваются задачи протекания вязкого баротропного газа через канал фиксированной длины. В |20] устанавливается только существование глобального обобщенного решения и по сравнению с [39] расширен класс начальных данных. Здесь исследование проводится в лагранжевых массовых координатах с применением метода приближенных решений.
В работах И.А. Калиева, A.B. Кажихова [25], [48] исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи со свободной границей, моделирующей процесс фазового перехода между вязким газом и твердым телом. При этом возникает вспомогательная задача, описывающая движение вязкого теплопроводного газа в криволинейной области, доказывается единственность и существование ее локального решения. В статье И.А. Калиева |27] сделаны дополнительные предположения для упрощения одномерной задачи из [25], [48], а именно, в уравнении баланса энергии для газовой фазы пренебрегли слагаемыми, содержащими скорость, и доказана теорема существования и единственности глобального классического решения.
В настоящей работе рассматривается полная система уравнений (модель Навье-Стокса), описывающая движение совершенного политропного газа
7
[7, C. 16J, (33, С. 161):
>-**■ «*> (дд дв\ д2в (ди\2 ди . .
4s+"s)”*a? + 4ai) т
в нецилиндрической области Пт == {(®,t)|0 < ж < s(£), 0 < t < Т}. Область Пт занята вязким теплопроводным газом и х = s(t) - известная гладкая функция. Изучается случай, когда область сужается со временем, то есть ds(t)/dt < 0. Здесь рОМ), u(x9t)9 p{x,t) и 0(x9t) - плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа; p.. R,x - положительные константы: вязкость, газовая постоянная и коэффициент теплопроводности газа соответственно.
Уравнения (0.1) - (0.3) представляют собой весьма сложную систему дифференциальных уравнений в частных производных: уравнения импульса (0.2) и энергии (0.3) являются параболическими относительно искомых функций u(x, t) и в(х, £), а уравнение неразрывности (0.1) можно трактовать как уравнение первого порядка относительно плотности р(х, t).
В области Пу для системы (0.1) - (0.3) ставятся следующие краевые задачи.
Задача G0. Найти функции p(x}t)9u(x9t),9(x9t), удовлетворяющие системе уравнений (0.1) - (0.3), если в начальный момент и на границах выполняются условия
р{Х) £)|г=о = Ро(^)? v>(X) £)Jt=o = i 9{_x9t)\t=o 00 (я), % ^ [0)«5o]j (0*4)
o(x,t)\x=0 = el(t), 6(x,t)Us{t] = 02(t), fe(o,n (0.5)
uMU(t) = 0, t € [0,Г], (0.6)
u(x,t)\x=o = 0, t € [0,Т]. (0.7)
8
Здесь и впоследствии 5о = §(0). Под условием (0.7) понимается, что газ «прилипает» к границе х = 0.
Приведем условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0,0), (5о,0) для задачи Со:
^о(0) = 0, и0(50) = 0, (0.8)
0о(О) = 01(О), 0оЫ = 02(О), (0.9)
ЦЩвх(0) - ДАь(О)0О(О) - Дро(0)6»Оо:(0) = 0, (0.10)
+ ЦЩххЫ ~ (^о)<90(^о) “ ЯроЫМ5о) = 0, (0-11)
роЫ (^(О)-^Ы^) -
= нОоххЫ + АШох(во) - ДроЫ0оЫ«о*Ы, (0-12)
Ро(0)6>к(0) = яв0х:г(0) + ци1х(0) - Нро{0)во(0)щх(0). (0.13)
Задача Сх. Найти функции р(ж,$),и(ж,£),0(ж,£), удовлетворяющие си-
стеме уравнений (0.1) - (0.3), если в начальный момент и па границах вы-полняются условия (0.4) - (0.6) и
и(М)|х=о = МО <0, £ Е [0,Т]. (0.14)
Условие (0.14) означает, что газ может вытекать из области через границу х = 0.
Для задачи вх предполагается выполнение условий согласования: (0.9), (0.11), (0.12) и
Ио(о) = «1(0), мо(5о) = о, (0.15)
Ро(0)(«к(0) + гло(0)г£0а:(0)) = рщхх(0) - Яр0ж(О)0о(О) - Яро(0)<ЫО)> (0.16)
МОХМО) + «о(О)0о»(О)) = явохЛ0) + М«ог(0) - ДЛ(0)^(0)1Ю,(0). (0.17)
- Киев+380960830922