Оглавление
Введение 1
1 Качение колеса с армированной шиной по плоскости без проскальзывания 12
1.1 Моделирование колеса с армированной тиной.................. 12
1.2 Уравнения движения.........................................20
1.3 Равновесие колеса и статические характеристики тины........23
1.4 Качение колеса с постоянной скоростью......................27
2 Модифицированная модель колеса с армированной шиной 31
2.1 Учет нелинейностей в связях и упругости материала боковин шины 31
2.2 Уравпетшя движения.........................................38
2.3 Равновесие колеса и статические характеристики шины........41
2.4 Качение колеса с постоянной скоростью......................43
3 Качение колеса с армированной шиной по плоскости с проскальзыванием 46
3.1 Учет сил сухого трения в модели колеса с армированной тиной . 46
3.2 Уравнения движения.........................................53
3.3 Простейшие движения заблокированного колеса................56
3.3.1 Поступательное прямолинейное движение....................56
3.3.2 Верчепие с постоянной угловой скоростью..................60
4 Численное определение формы бандажа и его малых колебаний 64
4.1 Определение формы срединной линии бацдажа вне зоны контакта 64
4.2 Собственные частоты и формы шины...........................66
4.2.1 Свободное колесо.........................................66
4.2.2 Нагруженное колесо.......................................70
Заключение 75
Приложение 77
Приложение А........................................................77
Приложение Б........................................................80
Приложение В........................................................88
Литература 99
Введение
Колесо было изобретено более пяти тысяч лет назад. Шли столетия, колесо совершенствовалось, но настоящая революция произошла только в 19-м веке -была изобретена шина. Геометрически пиша представляет собой горообразную поверхность; механически - сосуд с деформированными стенками, заполненный 1-азом высоко1Х) давления; по структуре - это композиция с высокими эксплуатационными характеристиками; с химической точки зрения шина состоит из материалов, имеющих макромолекулы с длинными цепями. Покрышка автомо-
I бортовая лекта,
2- боковика.
3- слом корда,
4 • брокер,
5 - протектор.
6 беговая дорожка,
7 - каркас,
В- пятка.
9 - борт покрышки,
10 - носок,
II ■ проволочное кольцо,
12 - кропктельныо ленты крыла.
бильной шины, как видно из рисунка, имеет непростую конфигурацию и состоит из нескольких конструктивных элементов:
Корд - обрезинеииый слой ткани, состоящий из частых прочных нитей основы и редких тонких нитей утка, которые обеспечивают хорошее обрезинивание нитей корда, высокую гибкость и прочность. Корд изготавливается из хлопкового, вискозного или капронового волокна. В настоящее время большее применение находит металлокорд, имеющий нити, свитые из стальной проволоки, толщиной около 0,15 мм. Есть и более дорогие материалы, например кевлар, которые не получили массового распостранеиия по причине своей дороговизны. В радиальной шипе корд каркаса натянут от одного борта к другому без перехлеста нитей. Направление натяжения нитей явствует из названия. Гонкая мягкая оболочка каркаса по наружной поверхности обтянута мощным гибким брекером - поясом из высокопрочного нерастяжимого корда, как правило, стального.
Каркас - важнейшая силовая часть шины, обеспечивающая ее прочность, воспринимающая внутреннее давление воздуха и передающая нагрузки от внешних сил, действующих со стороны дороги, на колесо. Каркас состоит из
1. протектор
2. плечевая зона
3. боковина 4.брекер
5. каркас
6. борт
ВВЕДЕНИЕ
одного или нескольких, наложенных друг на друга слоев обрезиненного корда.
Врекер - часть шины, состоящая из слоев корда и расположенная между каркасом и протектором шины. Он служит для улучшения связей каркаса с протектором, предотвращает его отслоение под действием внешних и центробежных сил, амортизирует ударные нагрузки и повышает сопротивление каркаса механическим повреждениям. В брекере нити корда в смежных слоях пересекаются друг с другом и с нитями корда соприкасающегося слоя каркаса, т.с. расположены диагонально, независимо от конструкции шины.
Протектор - массивный слой высокопрочной резины, соприкасающийся с дорогой при качении колеса. Но наружной поверхности он имеет рельефный рисунок в виде выступов и канавок между ними, так называемую "беговую дорожку". Протектор предохраняет каркас от механических повреждений, от него зависит износостойкость шины и сцепление колеса с дорогой, а также уровень шума и вибраций. Рисунок рельефной части определяет приспособленность шины для работы в различных дорожных условиях.
Плечевая зона - часть протектора, расположенная между беговой дорожкой и боковиной шины. Она увеличивает боковую жесткость шины, воспринимает часть боковых нагрузок, передаваемых беговой дорожкой и улучшает соединение протектора с каркасом.
Боковины - часть шины, расположенная между плечевой зоной и бортом, представляющая собой относительно тонкий слой эластичной резины, являющийся продолжением протектора на боковых стенках каркаса и предохраняющий его от влаги и механических повреждений.
Борт - жесткая часть шины, служащая для ее крепления и герметизации (в случае бескамерной шины) на ободе колеса. Основой борта является нерастяжимое кольцо, сплетенное из стальной обрезиненной проволоки. Состоит из слоя корда каркаса, завернутого вокруг проволочного кольца, и круглого или профилированного резинового наполнительного шнура. Стальное кольцо придает борту необходимую жесткость и прочность, а наполнительный шнур - монолитность и эластичный переход от жесткою кольца к резине боковины. С наружной стороны борта расположена бортовая лента из прорезиненной ткани, или корда, предохраняющая борт от истирания об обод и повреждения при монтаже и демонтаже.
Таким образом, автомобильная шина представляет собой сложную механическую систему, задача моделирования которой важна с теоретической и прикладной точек зрения.
Задаче о качении абсолютно твердых и деформируемых тел посвящено значительное ’шело работ теоретического и прикладного характера. Уже более полувека внимание ученых и инженеров привлекает проблема качения колес с пневматическими шинами. Интерес к этому кругу задач значительно возрос в последние десятилетия в связи с появлением новых технологий и конструкций шин, а также в связи с развитием вычислительных и аналитических методов при исследовании динамики качения колес с пневматическими шинами.
Теория качения представляет область механики, в которой определяются силы, действующие на катящееся деформируемое или абсолютно твердое колесо в области контакта с недеформируемой или деформируемой опорной по-
2
ВВЕДЕНИЕ
верхностью, выявляются зависимости этих сил от фазовых переменных, т.е. координат, характеризующих положение диска колеса, и их производных по времени, а также отыскиваются уравнения кинематических связей при качении. Кроме того, к теории качения относится разработка экспериментальных методов определения упомянутых зависимостей, коэффициентов жесткости и кинематтлеских параметров деформируемого колеса.
В теории качения рассматриваются два вида движений: стационарное качение, сопровождающееся равномерным и прямолинейным перемещением цептра колеса при постоянной ориентации его диска в пространстве и неизменной реакции в области контакта, и нестационарное качение, при котором движение диска колеса может быть произвольным, а реакция изменяется во времени. Болес простая теория стационарного качения предшествовала развитию теории нестационарного качения.
В области нестационарного качения все результаты можно подразделить на две группы. К первой относятся очень немногочисленные исследования, касающиеся формулирования определяющих уравнений теории нестационарного качения, устанавливающих связь между реакцией в области контакта с опорной поверхностью и фазовыми переменными абсолютно твердого диска колеса. Второй группе принадлежат многочисленные работы, в которых изучается динамика практически важных конкретных систем с использованием той или иной теории качения. В настоящее время число работ второй группы выросло на порядок. В некоторых из этих работ содержатся предложения, оказавшие определенное влияние на развитие теории нестационарного качения, а также способы и результаты определения параметров колеса с шиной. В работах первой группы выделяют два подхода: модельный и феноменологический.
Модельный подход характеризуется рассмотрением колеса с конкретным представлением деформируемой периферии в виде непрерывной совокупности элементов в форме пружин или деформируемых стержней, связанных нитями, балками, кривыми брусьями и т.д., которые моделируют, в частности, и оболочку под давлением (шину). Описанная конструкция деформируемой периферии допускает математическое описание в форме совокупности дифференциальных операторов, которые можно рассматривать как математическую модель деформируемого колеса. Для колеса с пневматической шиной на результат составления определяющих уравнений в теории качения должны влиять конструктивные особенности шины: оболочка переменной толщины, нетонкая, неоднородная, анизотропная (из-за различного расположения питей корда и слоев каркаса).
Получил также распространение феноменологический подход, при котором соотношения, характеризующие зависимости сил и моментов, действующих на колесо, от параметров движения, носят эмпирический характер, а связь между константами теории и практическими данными устанавливается опытным путем. При этом внутренняя структура деформируемого колеса и детальный характер взаимодействия элементов деформируемой периферии колеса с опорной поверхностью не рассматриваются. Таким образом, предмет изучения представляется в виде некоего "черного ящика", поведение и свойства которого определяются его внешними характеристиками.
3
ВВЕДЕНИЕ
Проблемам качения пневматических колос автомобиля и самолета был посвящен ряд исследований, основывающихся на различных подходах к выбору моделей и набора параметров, характеризующих взаимодействие колеса с опорной поверхностью.
Впервые на явления упругой деформации при качении и на юс последствия обратил внимание Осборн Рейнольдс. В 1874 году в журнале Engineering он указал на то, что явление продольного псевдоскольжения (или упругого скольжения)1 должно наблюдаться при качении колес железнодорожного состава по рельсам. Эго явление проявляется в несовпадении пути, пройденного центром колеса локомотива, и произведением угла поворота колеса на его радиус. Кажется, будто большую часть пути колесо проходит качением, а маленькую часть - кок бы скольжением, причем эта последняя составляет тем большую долю пути, чем больше сила тяги. Сущность явления состоит в том, что материалы обладают упругостью, и если при посредстве колеса земле передается сила тяги, то условие равновесия сил требует, чтобы материал колеса сжимался (относительное местное уменьшение длины окружности колеса в точке контакта), тогда как земля оказывается растянутой. Таким образом, получается, что по растянутому всюду материалу пути катится всегда сжатый материал колеса. Качение колеса беспрерывно возобновляет его отставание, вызванное этим явлением, что и создает упругое скольжение.
Затем в 1925 году автомобилистами (Г. Брулье) было обнаружено явление бокового псевдоскольжения (или поперечного упругого скольжения, или бокового увода2). Боковой увод легко наблюдать на автомобилях. Если закрепить каким-то образом рулевое управление и слегка нажать на педаль газа, чтобы придать автомобилю некоторую скорость, тогда автомобиль опишет круг. Если прибавить газ, то автомобиль опишет круг большего радиуса. Следует подчеркнуть, что боковой увод наблюдается у балонного колеса, которое катится без проскальзывания. Это явление обусловлено наличием у колеса деформируемой периферии. Под действием боковых сил, например на повороте (центробежные силы), колесо упруго отклоняется и катится "криво"в направлении, образующем угол с геометрической плоскостью недеформированного колеса, которая совпадает с видимым направлением качения.
Теория нестационарного качения, объединяющая явления продольного и бокового псевдоскольжений применительно к движению локомотива, была развита в 1926-1928 годах Ф.М. Картером |30). Картер феноменологически ввел линейные соотношения для продольной и боковой составляющих реакции в области контакта в функции от соответствующих псевдоскольжений.
Боковая составляющая реакции в функции бокового псевдосколъжения изу-
1 Впервые явление псевдосколъжения наблюдалось в ременной передаче. Это явление состоит в том, что при вращении двух жестких шкивов, связанных ременной передачей (один шкив ведущий, а другой - ведомый), отношение угловых скоростей вращения шкивов не совпадает с отношением их радиусов. Вследствие упругого растяжения ремня произведение угловой скорости ведущего шкива на его радиус оказывается больше произведения угловой скорости ведомого шхнва на его радиус. Это отклонение возрастает с увеличением передаваемого момента. Tax им образом, происходит как бы скольжение ремня относительно шкивов, хотя в действительности скольжение отсутствует. Описанное явление получило название псевдоскольжения или крипа (creep (англ.) - ползти)
^Термин, предложенный академиком Е.А. Чудаковым
4
ВВЕДЕНИЕ
чал ас ь с точки зрения динамики автомобиля И. Рокаром [22]. В его работе бьшо подробно рассмотрено явление бокового увода колеса и предлагалась линейная зависимость утла увода3 /3 от поперечной силы Ь'2.
Ъ = КР,
Р = ьх2, (А)
Р2 = нх2.
Далее с целью "вписать"новое явление в рамки теоретической механики предлагалось рассматривать недеформпрусмые колеса, снабженные свойством упругого скольжения и бокового увода. При такой схематизации пропадает кинематическое уравнение связи, которое накладывается на балоняое колесо при его качении без проскальзывания и содержит величину поперечной деформации пневматика Х2. Но в уравнениях движения появляется член, связанный с наличием поперечной силы, которая пропорциональна углу увода. Рокар сформулировал свою гипотезу увода в случае отсутствия наклона колеса (к = 0). Таким образом, эта гипотеза применима лить при изучении движения таких экипажей, оси колес которых остаются всегда параллельными плоскости дороги. Поэтому область использования гипотезы Рокара является довольно ограниченной. Опа не охватывает, папример, движений велосипеда и мотоцикла, переднего колеса шасси самолета при упругой стойке, передних колес автомобиля при учете наклона осей шкворней и т.д.
В большинстве исследований, оспованпых на этом подходе ставится целью определение компонент сил реакции и моментов действующих на колесо при контакте с опорной поверхностью как функций от параметров движения, в частности от продольного и поперечного скольжения (псевдоскольжепия).
Теория качения пневматика Ж.Х. Грейдануса (33] является более полной по сравнению с теорией Рокара. В качестве параметров, характеризующих деформацию пневматика, выбираются отклонение "средней"точки линии контакта от своего равновесного положения и угол поворота касательной к линии качения4 в "точке хонтакта". Эти параметры определяют силы и моменты взаимодействия шины с дорогой и участвуют в формулировке неголономных связей.
Явление увода, возникающее при качении наклонного колеса с пневматиком, ориентация средней плоскости которого сохраняется постоянной, было описано в работах Ю.А. Ечеистова {10] и Е.А. Чудакова [23, 24]. Это явление они объясняют возникновением поперечной силы и момента сил, стремящихся повернуть колесо в сторону угла его наклона. Для малого угла к наклона плоскости колеса можно принять, что поперечная сила Е2 и момент Мх пропорциональны величине утла к, где коэффициенты пропорциональности могут быть найдены из опыта.
Ъ = Схк,
М, = С2к.
Теория, разработанная М.В. Келдышем и описанная им в работе (14] по изучению явления шимми5, является классическим примером феноменологического подхода. В модели Келдыша деформация пневматика характеризуется
*епттде (фр.), или квазивираж по терминологии Рокара
4или путевой кривой, или грузовой линии, согласно американской терминологии
5 Шимми - это название модного западного танца. На переднем колесе трехколесного пхас-
5
ВВЕДЕНИЕ
расстоянием Л от линии пересечения диаметральной плоскости смещенного обода колеса с опорной плоскостью до центра площадки контакта до деформации, углом р от этой линии до средней линии площадки контакта до деформации, углом к наклона плоскости диска колеса по отношению к вертикали и смещения h опорной плоскости в вертикальном направлении. Реакция опорной плоскости на пнсвматик сводится к нормальной реакции N, поперечной реакции /*2, моментам М\у Л/з- Предполагается, что центр колеса в своем движении мало отклоняется от прямолинейного и равномерного, а составляющие реакции являются линейными функциями параметров упругой деформации в центре области контакта.
F2 — оЛ 4- aNn,
Mi = -oN\ - PNk, (CI)
M3 = 6у?.
Величины а, 6, а у р зависят от внутреннего давления р в пневматике и нормальной нагрузки N. Точное определение этих констант должно проводиться статическими испытаниями.
Из допущений об отсутствии скольжения в центре контакта следует, что касательная к экваториальной линии деформируемой периферии совпадает с касательной к линии качения и точно так же в этой точке совпадают кривизны обеих линий. Причем используется гипотеза о линейной зависимости кривизны от трех параметров деформации
— = Д1А — Л.20 — А3К. (^2)
И
Влияние ширины области контакта проявляется только в значениях коэффициентов теории, а проскальзывание в области контакта не рассматривается.
Способы понижения порядка системы дифференциальных уравнений теории Келдыша, позволяющие построить ряд приближений, предложены Ю.И. Неймарком и H.A. Фуфаевым (19).
В работе И.И. Метелицына (18] предлагалось моделировать поверхность шины частью поверхности тора, однако, в далъпейптем деформации сводились к перемещению грузовой линии вдоль оси колеса, а сила и момент пропорциональны этому перемещению и его производной по натуральному параметру в
точке контакта. Кроме того, Метелицын считает, что соотношение (С2) нельзя рассматривать, как уравнение кинематической связи, т.к. уравнения связей по самой идее должны выражать соотношения, которые соблюдаются, какие бы силы пи действовали на колесо. Соотношение же (С2) может быть осуществлено, если подобрать надлежащие внешние силы, но при произвольных силах оно не соблюдается.
си самолета (как и на передних колесах автомобиля) при определенной скорости движения наблюдается явление самовозбуждения колебаний. Эти колебания состоят из поворотов колеса относительно вертикальной оси и боковых смещений и получили название "шимми". На автомобиле явление шимми стало наблюдаться при переходе на баллонные колеса и связано с наличием упругости пневматика. Явление шимми часто называют "флаттером колеса", и оно имеет много аналогий с флаттером несущих поверхностей самолета. Впервые самолеты "затанцевали"у американцев. Уже у первых машин с трехколесным шасси переднее колесо при некоторой скорости начинало произвольно поворачиваться вокруг стойки - то немного вправо, то чуть-чуть влево. Самолет съезжал с бетонной дорожки и зарывался носом в землю, а того хуже - стойка ломалась на большой скорости
6
- Киев+380960830922