РОЗДІЛ 2
ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАДАЧ ОПТИМІЗАЦІЇ ДИНАМІКИ ПУЧКІВ ТРАЄКТОРІЙ В НЕПЕРЕРВНИХ СИСТЕМАХ З ПРОМІЖНИМИ УМОВАМИ
2.1. Аналіз проблеми та постановки задач
У другому розділі вивчаються задачі оптимізації динаміки пучків траєкторій в неперервних системах з проміжними умовами на траєкторії системи. Характерною рисою таких задач є наявність незалежних між собою сімейств траєкторій , що розвиваються в силу систем диференціальних рівнянь для кожного значення із множини параметрів . В якості характеристики пучків траєкторій розглядається мінімізація по вектору параметрів оптимізації інтегрального функціоналу ?37,38,90,91?, що складається із сум кратних інтегралів, визначених в проміжних точках . При цьому точки переключення також можуть залежати від параметрів оптимізації ?29,34,38?.
У підрозділі 2.2 розглянуто узагальнену оптимізаційну задачу, особливістю якої є наявність додатково незалежної від пучків траєкторії , що розвивається в силу заданої системи диференціальних рівнянь. Значення в проміжних точках входять в праві частини всіх диференціальних рівнянь для пучків, а також в проміжні умови і в підінтегральні вирази критерію якості, що вносить специфіку в виведення необхідних умов оптимальності. Таким чином маємо наступну задачу.
Задача 2.1. Мінімізувати інтегральний критерій якості (по перерізам пучків в проміжних точках) для узагальненої задачі при наявності диференціальних рівнянь для пучків траєкторій, системи диференціальних рівнянь для незалежної траєкторії , проміжних умов спеціальної структури (в які входять і початкові умови для диференціальних рівнянь) та умов, що зв'язують проміжні точки та параметри оптимізації .
Для такої узагальненої задачі сформульовано і доведено необхідні умови оптимальності допустимого процесу задачі (теорема 2.1).
У підрозділах 2.3 та 2.4 розглядаються спрощення загальної задачі, для яких необхідні умови оптимальності виписуються у більш конструктивному вигляді ?37?, що представлено у вигляді окремих теорем (теореми 2.2,2.3).
Задача 2.2. Мінімізувати інтегральний критерій якості (по перерізам пучків в проміжних точках) для задачі оптимізації динаміки пучків траєкторій в системах загального вигляду з проміжними умовами, в якій не враховується незалежна від пучків траєкторія .
Розглядається також задача оптимізації систем зі змінною структурою ?4,24,52,102? для пучка траєкторій ?37?, яка є частинним випадком задач 2.1 та 2.2. В цьому випадку диференціальні рівняння для сімейства траєкторій визначаються лише на проміжку () при спрощеній структурі проміжних умов, що дозволяє виписати скачки спряжених змінних задачі у явному вигляді.
Задача 2.3. Мінімізувати інтегральний критерій якості (по перерізам пучків в проміжних точках) для задачі оптимізації динаміки пучків траєкторій в системах зі змінною структурою.
У підрозділі 2.5 розглянуто задачу оптимізації динаміки пучка в неперервних системах з розривними фазовими координатами (зі скачками першого роду в точках переключення) ?38? як подальше спрощення задач з попередніх підрозділів. Одержана задача еквівалентна також постановкам з підрозділу 1.2 роботи. При цьому формули обчислення похідних від критерію якості по вектору параметрів оптимізації отримано з використанням іншого підходу, на основі доведених у розділі 2 теорем 2.1?2.3 про необхідні умови оптимальності. Зроблено також порівняння отриманих формул з результатами підрозділу 1.2 дисертаційної роботи.
Отримані результати дозволяють виписати частинні похідні від критерію якості по параметрам оптимізації, що використовуються в ітераційних процесах пошуку оптимального розв'язку ?120,38?.
Перейдемо тепер безпосередньо до математичних постановок.
2.2. Необхідні умови оптимальності для узагальненої оптимізаційної задачі
Постановка задачі. Нехай на відрізку числової осі задана множина точок , де ? знак транспонування. Введемо також множину параметрів оптимізації , тоді можемо сформулювати наступну оптимізаційну задачу:
, (2.1)
, , , (2.2)
, , (2.3)
, (2.4)
, , (2.5)
, . (2.6)
Тут , ; , .
В задачі (2.1)?(2.6) зроблено наступні позначення і припущення:
?проміжні умови (2.2), що мають виконуватись для всіх станів із перерізів мають спеціальну структуру. Це означає, що для функцій вимагатимуться обмеження, які конкретизовано нижче у зауваженні 2.1;
?через позначено образ множини в силу системи (2.4) при даному в момент часу , тобто , . Позначимо також ;
?припускатимемо, що при будь-якому значенні параметра розв'язки і систем (2.4), (2.5) з врахуванням проміжних умов (2.2), (2.3) визначені та єдині на для довільних початкових умов , . Початкові умови для вектора мають однозначно визначатись із проміжних умов (2.3), а ? із (2.2);
?будемо вважати, що система рівнянь (2.2), (2.3) сумісна і точки , , в яких накладаються проміжні умови, однозначно визначаються із них для кожного ;
?крім того, нехай скалярні функції, , , , , , ; ; ; , що використовуються в (2.1)-(2.6) - неперервно-диференційовані по всім змінним; вектор-функції , - неперервні разом зі своїми частинними похідними до другого порядку включно; якобіан переходу від множини до при заміні змінних в кратному інтегралі відмінний від нуля, де ? наперед задані компактні множини ненульової міри;
?похідну від скалярної функції по вектору будемо вважати вектор-рядком з відповідними компонентами, а величини , , і подібні до них? вектор-стовпцями.
Серед особливостей задачі (2.1)?(2.6) варто відмітити наявність інтегральних доданків у критерії якості (2.1), а також траєкторій , які не утворюють пучка (на відміну від сімейств траєкторій , що утворюють пучки , ).
Накладання додаткових обмежень на співвідношення (2.2) можна пояснити тим фактом, що вони повинні виконуватись для всіх траєкторій з перерізів відповідних пучків. Це означає, що для (2.2) має бути можливість перетворення до такого вигляду, що кожне -те обмеже