РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА ВАРИАЦИОННО-СТРУКТУРНОГО МЕТОДА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ
ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПРИ НЕОДНОРОДНОМ ДОКРИТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ
Задачи устойчивости и колебаний пластин сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных, которые нужно интегрировать при соответствующих данной задаче начальных и краевых условиях. Найти точное решение этих задач в случае сложной геометрии пластин и неоднородном докритическом состоянии, чаще всего, невозможно, поэтому для их решения, как правило, применяются приближенные методы. Ранее был предложен метод решения задач устойчивости изотропных пластин при неоднородном докритическом состоянии, базирующийся на применении теории R-функций и статического метода. В настоящем разделе предлагается обобщение этого метода для исследования собственных колебаний и устойчивости предварительно нагруженных ортотропных пластин. Поставленные задачи решались с помощью динамического и статического методов.
2.1. Развитие конструктивных средств теории R-функций для задач устойчивости пластин
Метод решения сформулированных в предыдущих подразделах краевых задач устойчивости, колебаний и закритического поведения пластин предложенный в данной работе, базируется на использовании RFM [79]. Основой RFM является построение структуры решения [81]. Пусть область, занятая пластиной - , ее граница - с участками .
С математической точки зрения задачи расчета пластин относятся к числу краевых задач для уравнений с частными производными и сводятся к нахождению в некоторой области решения уравнения
, (2.1)
где ,
- пространство, совпадающее с областью определения оператора ,
- функциональное пространство образов оператора , с краевыми условиями
, (2.2)
где - оператор граничных условий,
- искомое решение краевой задачи,
- известные функции краевой задачи.
Область , ее граница и участки относятся к геометрическим компонентам краевой задачи (2.1)-(2.2), а функции и операторы являются аналитическими компонентами. Метод R-функций [79] указывает пути учета геометрической информации на аналитическом уровне без какой-либо ее аппроксимации.
Предлагается решать поставленную задачу методом Ритца. Пусть А - положительно определенный оператор в пространстве Н. Тогда задача о построении решения уравнения (2.1) равносильна задаче о построении элемента пространства Н, который реализует минимум функционала [68]
. (2.3)
Эта последняя задача решается следующим образом. Выбираем последовательность элементов
, (2.4)
удовлетворяющих следующим четырем условиям:
1) все элементы принадлежат НА (области определения оператора А);
2) при любом n элементы линейно независимы;
3) последовательность (2.4) полна в НА;
4) все элементы удовлетворяют граничным условиям (2.2).
Строим линейную комбинацию первых n координатных элементов
с произвольными числовыми коэффициентами . Подставляем в функционал (2.3). Выбираем коэффициенты так, чтобы функция приняла минимальное значение. Т.е. составляем систему алгебраических уравнений
или
где - матрица Ритца,
- вектор правых частей системы Ритца,
- вектор, компонентами которого являются неопределенные искомые значения.
Элементы матрицы и вектора легко представить в виде соответствующих интегралов по области и, возможно, контурных интегралов по границе , т.е. . Вид элементов матриц и вектора будет представлен далее, в зависимости от решаемой задачи.
Так как оператор А положительный, то система уравнений разрешима. Найдя коэффициенты, определим приближенное решение . Остается нерешенным вопрос о выборе последовательности (2.4), удовлетворяющей четырем перечисленным условиям. Решение этой проблемы будем искать с помощью теории R-функций.
Одним из фундаментальных понятий в этой теории является структура решения. Структура решения краевой задачи определяется формулой
(2.5)
где - известная функция,
- оператор, отвечающий форме области с границей ,
- уравнения границы области и ее участков,
которая при любом выборе неопределенной компоненты точно удовлетворяет всем граничным условиям (или некоторым из них).
Структура (2.5) называется общей при удовлетворении всем краевым условиям (2.2) или частичной, когда удовлетворяется лишь часть краевых условий [81]. Построение полных структур является конструктивным решением, позволяющим преобразовать геометрическую информацию об области, занятой пластиной в плане, в аналитическую.
Отметим, что для приближенного решения любой бесконечномерной задачи вида (2.1) используется возможность ее сведения к конечномерной:
(2.6)
где - известные элементы функционального пространства НА, содержащего , образующие в нем полную, в смысле метрики рассматриваемого линейного пространства, последовательность,
- неопределенные компоненты.
Известно, что если является функцией из , , или другого аналогичного пространства, то в качестве можно выбрать полиномы (обычные, Чебышева и т.п.); тригонометрические полиномы; сплайны и др. [79].
Если в (2.5) подставить (2.6), то для линейных краевых условий, которые будут всюду рассмотрены далее, придем к следующей форме представления структуры решения краевой задачи (2.1):
(2.7)
где - известная последовательность,
- известная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям,
- вектор неопределенной числовой последовательности, подлежащей определению из условия стационарности функционала.
В данной работе будем использовать достаточно полные системы R-функций, для которых существуют сопровождающие их булевы функции, состоящие из отрицания, конъюнкции и дизъюнкции [79]:
Система :
(2.8)
Как показано в [79], при построении уравнения границ сложных областей для булевой функции можно формальной заменой в ней логических операций на операции системы , построить R-функцию таким образом, что область будет задана