ГЛАВА 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ПОЛЮСОВ ФУНКЦИЙ ЦЕПИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА МОДИФИКАЦИЙ
2.1. Введение
Среди известных методов вычисления нулей, полюсов функций цепи можно выделить (как указывалось в гл.1) два общепризнанных класса:
1. Вычисление корней полиномов оператора после раскрытия определителя матрицы коэффициентов [14,32,60,68] (предварительно находятся коэффициенты полинома определителя символьными [61-64] или численно-символьными методами [9,15,27,32,90,91]).
2. Вычисление собственных значений матрицы иммитансов системы уравнений равновесия путем приведения ее к блочно-треугольному (для пассивных цепей - к блочно-диагональному) виду путем ортогональных преобразований (QR-алгоритм [19,33]).
К недостаткам методов обеих групп следует отнести то, что информация о структуре схемы исcледуемой цепи практически не используется на этапе поиска корней, в то время как ее использование на этапе раскрытия определителя позволило бы получить весьма эффективные методы и алгоритмы [1,2,3,19,31,32,58] для упрощения трудоемкой процедуры нахождения корней полиномов.
Математические критерии оценки погрешности вычислений также, как правило, не связаны с конкретными технологическими параметрами точности реализации разрабатываемых цепей.
Поэтому в данной работе предлагаются алгоритмы вычисления нулей, полюсов функций цепи с повышенной точностью, позволяющие использовать информацию о структуре цепи, основанные на использовании метода модификаций [1-6,36,37,69-72].
2.2. Алгоритм поиска корней определителей
(алгебраических дополнений) на базе метода модификаций
Алгоритм поиска корней определителей (алгебраических дополнений) на базе метода модификаций заключается в следующем. Определитель ? матрицы иммитансов системы уравнений равновесия является, как известно [26,56], линейной функцией изменяемого параметра W (проводимости-в канонической системе узловых напряжений):
, (2.1)
где - определитель матрицы при отсутствии ветви с параметром W (т.е. при W=0), - суммарное алгебраическое дополнение; c, d - номера узлов, к которым подключен источник тока (направленный от c к d), управляемый напряжением между узлами a и b (потенциал a выше, чем потенциал b); W - передаточная проводимость этого источника. Если W - проводимость двухполюсного компонента, то a=c; b=d. Если какой-либо из узлов a, b, c, d соединен с общим, то в формуле для раскрытия суммарного алгебраического дополнения алгебраическое дополнение с соответствующим индексом отсутствует.
Пусть теперь численное значение определителя вычислено при , т.е. при таком значении комплексной частоты , которое является корнем определителя.
Тогда, очевидно, что если , то наличие в (2.1) приведет к изменению координат корней, в том числе и корня . Новое значение корня (при ) при подстановке в (2.1) даст следующий результат: , (2.2)
откуда (2.3)
Как видно из (2.3), при W=0 значение . При других значениях параметра получим новые значения корня . Таким образом, получена в явном виде зависимость проводимости W от соответствующих ей значений координат каждого из корней (m - степень полиномa определителя ?), в то время как задача поиска корней формулируется для полинома ?(p) (при заданном номинальном значении параметра ), что приводит к общеизвестным вычислительным трудностям.
Алгоритм поиска корней на базе метода модификаций основывается как раз на использовании явной зависимости (2.3) (при известных корнях полинома ), а не на традиционных алгоритмах поиска корней полинома (при известной проводимости W).
Для поиска новых значений корней достаточно произвольно или целенаправленно изменять прежние координаты корней , соответствующие цепи, в которой параметр W=0 (для этого предварительно находят корни определителя при W=0).
Трудоемкость вычисления прежних значений корней зависит от сложности и структуры схемы, определителем которой является в (2.3).
Очевидно, как бы сложна и громоздка не была схема цепи, обнулением проводимостей отдельных ветвей ее можно свести к более простой (например, к единственному дереву или к ряду обособленных подсхем), для которых значения корней могут быть найдены весьма просто (по аналитическим формулам, например).
Далее, последовательно "выращивая" по формуле (2.3) ранее обнуленные проводимости ветвей (путем изменения для каждого всех ранее вычисленных корней ), получим значения координат корней для исходной сложной схемы.
Равенство (2.3) будет выполняться также при любом новом значении , в том числе и тогда, когда не является корнем определителя матрицы, т.е. когда проводимость W будет комплексной или мнимой.
Поэтому на значения параметра , получаемые по формуле (2.3) должны быть наложены дополнительные условия.
1. Так как параметр W - это проводимость g или S, емкость С или индуктивность L, то он не может принимать комплексных значений (критерий принадлежности траектории корня).
2. При "выращивании" параметра зависимость должна быть монотонной неубывающей (критерий принадлежности собственной траектории корня ), так как если происходит движение действительно по траектории данного корня в соответствующем направлении, то каждому следующему новому значению будет соответствовать большее, чем предыдущее, т.е. увеличивающееся, значение параметра . В противном случае (немонотонность зависимости ) происходит переход на другую траекторию.
3. При вычислениях с конечной разрядностью и комплексных значениях корней значение параметра W может оказаться (или оказывается) комплексным.
В этом случае (в соответствии с параметрическим критерием оценки точности вычислений, описанным в разделе 2.5) необходимо оценить на данной частоте эквивалентные мнимой части параметра W "паразитные" емкостные вет