РОЗДІЛ 2
УЗАГАЛЬНЕННЯ МЕТОДУ ОЦІНЮВАЛЬНОЇ ФУНКЦІЇ ДЛЯ ІНТЕРПОЛЮВАННЯ КРИВИХ ДРУГОГО
ПОРЯДКУ
У даному розділі розглядаються дискретні властивості кривих другого порядку,
співвіднесених до вершини. З врахуванням їх інтерполяційних особливостей
одержується нове узагальнення методу оцінювальної функції, у якому зміна одного
параметру оцінювальної функції призводить до побудови іншого виду кривої.
Узагальнений МОФ застосовується до сполучення двох та трьох вузлів. Крім того,
розглядається використання узагальненого МОФ при побудові поверхонь другого
порядку.
2.1. Узагальнення методу оцінювальної функції для кривих другого порядку
2.1.1. Дискретні моделі кривих другого порядку співвіднесених до вершини.
Відомо, що криві другого порядку належать до конічних перерізів [19], тобто
утворюються внаслідок перетину кругового конусу січною площиною, що не
проходить через його вершину, а отже, мають спільну природу, і вочевидь, що
вони володіють однаковими дискретними властивостями. Розглянемо їх побудову у
декартовому координатному просторі.
Канонічні рівняння еліпса, гіперболи і параболи [19], відповідно мають вид:
(2.1)
де х, у – координати поточної точки кривої, a, b – параметри, .
На рис. 2.1 показані зображення кривих, що описуються вище вказаними
рівняннями. Як видно з рисунка, еліпс та гіпербола симетричні відносно обох
координатних осей, а парабола симетрична відносно осі Ох.
Рис.2.1. Зображення еліпса, гіперболи та параболи
Якщо початок О декартової прямокутної системи координат взяти у вершині еліпса,
гіперболи, та параболи, а вісь Ох направити до найближчого фокусу (рис. 2.2.
а), то для еліпса, гіперболи та параболи формули перепишуться відповідно:
де .
Ці три рівняння, згідно [19], об’єднуються в одне
(2.2)
e - ексцентриситет.
При e <1 рівняння (2.2) визначає еліпс, при e >1 – гіперболу, при e =1 –
параболу.
Проведемо всі три криві через точки з координатами О (0, 0) та А (а, b) (рис.
2.2. б).
а) b)
Рис. 2.2. КДП, співвіднесені до вершини
Тоді загальне рівняння набуде виду:
(2.3)
(2.4)
де k - деяка змінна, така, що для гіперболи для параболи для еліпса
Відповідно зміниться і симетрія фігур, тепер всі фігури симетричні відносно осі
Ох. Тому достатньо дослідити дискретні властивості кривих в одній чверті,
наприклад, в першій, решту частин мають аналогічні властивості і їх можна
побудувати шляхом дзеркального відображення [95]. Таким чином, для змінної х
досліджувана область значень визначається площиною , .
Моделлю кривої може служити ламана [43, 57], що утворюється внаслідок перетину
дотичних, проведених до цієї кривої, їх напрямок повинен співпадати з напрямком
того чи іншого вектору (визначається застосуванням чотирьох або восьми
векторних алгоритмів), а від довжини залежить точність відображення кривої
[39]. Для того, щоб визначити напрямки таких дотичних необхідно обчислити або
їх тангенс кута нахилу до осі Ох, або похідну від функції у цій точці [51,
82].
Дослідимо функцію (2.4) за допомогою похідної:
. (2.5)
Похідна не існує, якщо
та перетворюється в нуль при
У точках, координата х яких задовольняє цим рівнянням змінюється поведінка
кривої, а отже, і напрямки векторів дотичних.
Розглянемо як розміщені значення х-ів на числовій прямій для кожної кривої
(рис.2.3). На проміжку від до , у збільшується для всіх кривих, а на проміжку
від до, у збільшується для параболи та гіперболи, а для еліпса – зменшується.
Для еліпса змінні набувають таких значень х1=2а, х2=0, х3=а; для параболи –
х2=0, а х1 та х3 не існують; для гіперболи – х2=0, а х1 та х2 набувають
від’ємних значень, а отже, не належать області визначення кривої. На цих
проміжках кути нахилу дотичних змінюються до кривої, а отже і типи приростів,
що використовуються для інтерполювання.
Рис.2.3. Критичні точки для еліпса, гіперболи та параболи відповідно
На рис. 2.4 показано області інтерполювання, що визначаються точками х1, х2,
х3, область Р2 обмежується значеннями ,.
Визначимо точку переходу, в якій відбувається зміна горизонтального приросту на
вертикальний, і навпаки. Для цього визначимо області, в яких дотичні до кривої
утворюють з віссю х кути, що лежить в межах від 90° до 45°, від 45° до 0°, це
стосується області Р1 та в межах від 90° до 135°, від 135° до 180°, це
стосується області Р2. Відповідно значення кутового коефіцієнта для області Р1
належить проміжку [0, 1] та більше 1, а для області Р2 [-1, 0] та менше –1
[90].
Рис.2.4. P1, P2 - області інтерполювання, для яких характерні різні напрямки
векторів дотичних (показано ті, що співпадають з твірними растру)
Вектор, перпендикулярний до кривої в точці (х, у), згідно з теорією векторного
поля визначається за формулою [90]:
В точці, для якої справедлива умова
відбувається перехід між областями, в яких змінюється тип приросту з
горизонтального на вертикальний.
Взявши градієнт від функції (2.3), одержимо рівність
(2.6)
Точка, в якій виконується наступна умова є граничною при визначенні лінійності
зміни координати. Поки відбувається одиничний приріст по координаті у, і для
лінійно змінюється координата х.
В області Р2 точка траєкторії, в якій відбувається зміна координатного приросту
визначається шляхом симетричного відображення лінії, що описується рівнянням
(2.6) відносно меншої осі еліпса. Її рівняння матиме вид:
. (2.7)
На рис.2.5 показано яким чином будуть розділені області інтерполювання різними
типами приростів.
Рис.2.5. Зміна типів приростів для різних областей інтерполювання
2.1.2. Узагальнення методу оцінювальної функції.
Відомо з [80], що вирази д