РОЗДІЛ 2
ЧИСЛОВО-АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ОБЕРНЕНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ФІЛЬТРАЦІЇ НА КОНФОРМНІ ТА КВАЗІКОНФОРМНІ ВІДОБРАЖЕННЯ
Викладено методи поетапної параметризації характеристик процесу та середовища для числового розв'язування нелінійних крайових задач на конформні і квазіконформні відображення в криволінійних чотирикутних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, які реалізовано у вигляді пакету програм для ПК IBM PC/AT, що дозволяє провести розрахунки ряду фільтраційних характеристик. Збіжність розроблених алгоритмів проілюстровано за допомогою графіків при різних параметрах розбиття області комплексного потенціалу.
На базі методу почергової параметризації та методу сумарних зображень Г.Положія розроблено комбінований підхід до розв'язування поставлених задач на конформні відображення з використанням відомих переваг останнього методу (запис розв'язку у вигляді аналітичних формул, локалізація нелінійності, можливість вибіркового рахунку та ін.). Запропоновано нові крайові задачі, при розв'язані яких використано переваги формул сумарних зображень.
2.1. Обернені крайові задачі на конформні відображення однозв'язних криволінійних чотирикутних областей
2.1.1. Математична постановка задачі. Розглянемо модельну задачу про знаходження гармонічної функції (потенціалу) в однозв'язній криволінійній чотирикутній області , обмеженій чотирма гладкими кривими , , , , які в точках перетинаються під прямими кутами, при умовах: , , (де - зовнішня нормаль до відповідної кривої) [5, 11, 98, 99]. Шляхом введення гармонічної функції (функції течії), комплексно спряженої до , i заміною останніх двох граничних умов на умови: , ( - невідомий параметр, повна витрата), дану задачу замінимо більш загальною задачею на конформне відображення фізичної області на прямокутник (область комплексного потенціалу) (1.16), (1.17), при відповідності чотирьох кутових точок [66, 36 - 38] (див. рис. 2.1).
Рис. 2.1. Фізична область та відповідна їй область комплексного потенціалу
Обернена крайова задача на конформне відображення області на при невідомому має вигляд
, (2.1)
(2.2)
Оскільки функції та задовольняють умові Коші-Рімана (2.1), то кожна із них є гармонічною в області , що дозволяє звести дану задачу до розв'язування в рівнянь Лапласа при заданих нелінійних крайових умовах (2.2) та умовах Коші-Рімана на границі області , які в деяких випадках зручно замінити на умови ортогональності ліній течії та еквіпотенціальних ліній до відповідних ділянок границі фізичної області (див., напр., [70, 100])
(2.3)
Перехід від прямих до обернених задач має ряд переваг, а саме:
1. Обернена задача ставиться в прямокутнику (пряма - в криволінійному чотирикутнику );
2. Автоматично вирішується проблема побудови сітки (більше того, сітка в , що відповідає рівномірній сітці в , є гідродинамічною сіткою руху);
3. Одночасно із побудовою гідродинамічної сітки руху визначається фільтраційна витрата , при цьому, зазначимо, що нелінійність, яка породжується переходом від прямої задачі до оберненої є локалізованою і суттєво не впливає на хід розрахунку даної задачі;
4. При вивченні на фільтраційних полях (фонах) різних процесів і явищ конвекції, масообміну, дифузії та ін. розчинних речовин, що забруднюють область.
Тому, доцільним є побудова конформних ортогональних сіток, які зручні, а іноді і необхідні, для числових методів розв'язування тих чи інших крайових задач математичної фізики.
2.1.2. Алгоритм числового розв'язування. В області площини визначимо рівномірну ортогональну сітку , де - кроки сітки відповідно по та .
Для числової побудови відображення прямокутника на криволінійну чотирикутну область (при відповідності кутових точок) запишемо різницевий аналог задачі (2.1), (2.2) у рівномірній сітковій області (сітці) .
Як відомо [101], кожен із доданків оператора Лапласа , (, ) можна апроксимувати трьохточковими операторами та з точністю та (шаблон "хрест")
, . (2.4)
Але, з метою більш точнішого врахування геометрії області для апроксимації оператора Лапласа використаємо шаблон "ящик" - дев'ятиточкову різницеву симетричну схему з ваговими коефіцієнтами
~ (2.5)
Тут і надалі схеми типу (2.5) мають другий порядок апроксимації. Збіжність та стійкість таких схем повністю досліджена в [101].
Тому, рівняння Лапласа для спряжених гармонічних функцій та замінимо, згідно з схемою (2.5), такими різницевими рівняннями
(2.6)
де - ваговий коефіцієнт, від вибору якого залежить стійкість, точність та швидкість збіжності різницевої схеми [101].
Тут і надалі .
Крайові умови - функції, що визначають фізичну область - апроксимуємо точково-різницевими рівняннями, в які входять граничні вузли
(2.7)
З метою забезпечення ортогональності сітки за рівняння зв'язку приграничних вузлів з граничними вузлами використаємо умови ортогональності ліній течії та еквіпотенціальних ліній до відповідних ділянок границі фізичної області (2.3), які апроксимуємо за схемою типу ЧВЦП [106] такими числово-аналітичними різницевими рівняннями
(2.8)
Конформний інваріант криволінійного чотирикутника (відношення сторін прямокутника ) є невідомим (оскільки невідома витрата ) і визначається в процесі розрахунку. Формулу для наближеного знаходження даної величини одержимо на підставі умови "конформної подібності в малому" відповідних чотирикутників (прямокутників) двох областей
, (2.9)
Тоді фільтраційну витрату знайдемо за формулою
. (2.10)
Різницева постановка задачі описується системою рівнянь (2.6) - (2.9).
Алгоритм наближення розв'язку оберненої диференціальної задачі (2.1), (2.2) різницевою задачею (2.6) - (2.9) в загальному випадку побудуємо шляхом поетапної параметризації величини (або значення витрати Q), граничних та внутрішніх вузлів сітки з використанням ідей методу блочної ітерації для аналітичного обґрунтування