РАЗДЕЛ 2
МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОЦЕНКИ ОБСТАНОВКИ В СТАЦИОНАРНЫХ УСЛОВИЯХ
2.1. Геометрическая модель сетки для описания поля f(x, y, t) интенсивности агрессивной среды
В соответствии с введенными выше понятиями, на плоскости рассматривается множество точек с координатами , в которых значения поля заданы в дискретные моменты времени Аналитического описания поля не существует, а значения , регистрируемые датчиками на постах контроля, отражает его истинное значение с относительной погрешностью . Существующие ПК для АСКРО [3] расположены в области (т.е. в зоне наблюдения) нерегулярно (см. рис. 2.1.), но более или менее равномерно распределены по этой области.
Поскольку поле интенсивности воздействия, , используется для определения дозы облучения или иного воздействия на людей или объекты как при их нахождении в произвольных пунктах, так и при передвижении по дорогам в регионе , в соответствии с требованиями, изложенными в разделе 1, возникают следующие базовые задачи:
Задача 2.1 - двумерной аппроксимации (по ) поля в стационарном случае или для фиксированного момента времени
Задача 2.2 - трехмерной аппроксимации (по ) поля в нестационарном случае или для фиксированных моментов времени
Задача 2.3 - вычисление обычных или криволинейных интегралов первого типа от функции по аппроксимациям задач 2.1 или 2.2.
В данном разделе решение этих задач дается для стационарных условий и для однородного нестационарного распределения АС.
Рис. 2.1. Схема расположения постов радиационного контроля
Хмельницкой АЭС
Поскольку функция используется для вычисления суммарного воздействия АС в области , непрерывность производной для аппроксимирующей ее функции не требуется. Поэтому для ее линейного приближения удобно воспользоваться простой сегментной аппроксимацией [22, 38], являющейся частным случаем сплайнов.
2.2. Линейная интерполяция поля по узлам регулярной сетки S
Поскольку для двумерной линейной интерполяции используются три узла, в качестве естественной сегментации области могла бы выступать триангуляция этой области на 2-симплексы (треугольники) с вершинами (0- симплексами) в узлах сети . Однако, хотя использование для решения задач 2.1 - 2.3 симплициальных интерполяций, основанных на нерегулярной сети точек , возможно [38, 91], оно не эффективно в вычислительном отношении ввиду (1) возможных изменений сети , требующих перестройки всей модели, (2) повышения трудоемкости моделей вследствие необходимости использования существенно более сложных (по сравнению с регулярным случаем) формул, причем без увеличения точности, (3) неоднозначности симплициальной триангуляции области и малой вариации значений поля от узла к узлу, которая, по оценочным данным, сравнима с погрешностью датчиков.
Кроме того, поскольку при двумерной интерполяции многочленом степени
, (2.1)
узлы не должны лежать на кривой -го порядка (на прямой, при ; кривой второго порядка, при , и так далее), что не всегда может быть обеспечено ввиду расположения точек из вдоль линейных объектов (дорог и т.п.), использование сети нельзя признать адекватным.
Известно, что использование при многомерной интерполяции полиномов степени выше 1 - 2 существенно повышает трудоемкость (что очень существенно для данного класса задач) без адекватного повышения точности; тем более это справедливо для данного случая, когда функция задается результатами полевых измерений на нерегулярной сетке, причем с достаточно большой погрешностью. Поэтому для решения задачи 2.1 предлагается использовать линейные интерполяционные модели, основанные на рассмотрении прямоугольной равномерной сетки с шагом по обоим координатам, и, а для задачи 2.2 - совокупность этих же сеток по сечениям времени.
В подобных случаях [22, 91] ограничиваются интерполяционным многочленом первой степени, коэффициенты которого находят по трем узлам, в качестве которых в данном случае естественно брать значения в точках из сети .
Пусть , - произвольная сетка с шагом , которая покрывает область . Назовем квадраты, на которые она разбивает плоскость, ячейками. Пусть - та часть сетки , ячейки которой образуют минимальное покрытие выпуклой оболочки сети .
Рассмотрим некоторый узел и инцидентные ему ячейки. Допустим, что в трех из них расположены точки (рис. 2.2), по которым для фиксированного момента времени определяется линейная интерполяция поля вида
. (2.2)
Тогда и любая точка, принадлежащая определяемому ими 2-симплексу , или треугольнику ?, определяет в нем (совместно с любыми двумя точками из ) ту же линейную интерполяцию, если значение поля в ней определяется соотношением (2.2); в частности, точка на рис. 2.2. Пусть - координатная -окрестность точки , то есть квадрат с центром в и стороной (на рис. 2.2 эта область ограничена пунктиром). Тогда в области ? уравнение (2.2), заданное для точки , дает ту же интерполяцию, что и интерполяция по триангуляции с узлами , и близкую к ней в смежной "пустой" ячейке, в силу малой вариации функции и отсутствия в ней точек сети .
Рис. 2.2. Узлы сети D и сетки S
Найдем минимальное расстояние между узлами сети :
, (2.3)
и положим . Тогда, по построению, ячейка сетки с шагом не может содержать более одного узла сети .
Далее, поскольку узлы сети , по условию, равномерно распределены в области , имеющей форму круга заданного радиуса , то для того, чтобы в четырех ячейках регулярной прямоугольной сетки , инцидентных вершине , располагалось, в среднем, три узла сети , необходимо, чтобы отношение числа узлов к числу ячеек сетки с шагом в круговой области удовлетворяло условию
. (