РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МЕТОДА НОРМАЛИЗАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
В УСЛОВИЯХ ДЕЙСТВИЯ ПРОЕКТИВНОЙ
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
2.1. Обоснование выбора метода последовательной нормализации проективных преобразований
Методы нормализации разделяют на параллельные и последовательные. К первым относятся методы, когда за один шаг определяются все параметры преобразования, ко вторым - когда последовательно определяют параметры преобразований, иногда переходя к промежуточным изображениям. В литературе встречаются только параллельные методы нормализации проективной группы.
Основным из известных методов построения функционала параллельной нормализации в условиях действия проективной группы является метод определения образа для четырех точек изображения, три из которых не лежат на одной прямой, поскольку сложное отношение четырех точек является главным инвариантом в проективной геометрии [6, 26, 63 - 66]. В случае работы с силуэтными изображениями этот подход является порой единственно возможным, поскольку в этом случае работа с изображением является анализом его контура. Для нормализации изображения необходимо для входного и эталонного изображений определить четыре характерных изгиба контура. Такой метод нормализации относится к параллельным.
Рассмотрим этот метод на классическом примере [25]. Пусть изображение, поступающее в зону действия СТЗ, находится на стандартном листе ABCD размера аxb; фигуры A'B'C'D' и A''B''C''D'' получены в результате проективного искажения фигуры ABCD (рис. 2.1). Пусть координаты расположения фигур известны. Необходимо получить нормализатор для фигуры A'B'C'D', а также получить общий вид нормализатора для приведения фигуры A'B'C'D' к A''B''C''D'', т.е. построить общий вид нормализатора по четырем точкам.
Рис. 2.1. Проективные искажения:
исходная фигура - ABCD, искаженные - A'B'C'D' и A''B''C''D''
Параметры проективного преобразования (1.13) в этом случае для фигур ABCD и A'B'C'D' определяются по формулам [25]:
(2.1)
где , , , ,
AB, AD - длины отрезков.
По определенным параметрам проективного преобразования для фигуры A'B'C'D' формулами (2.1) можно построить обратное преобразование , с помощью которого можно привести ее к фигуре ABCD:
(2.2)
где x, y - координаты эталона,
- координаты искаженного изображения [25].
Пусть - обратное преобразование для фигуры A'B'C'D', - обратное преобразование для фигуры A''B''C''D'' вида (2.2). Тогда фигуру A''B''C''D'' можно привести к A'B'C'D' преобразованием
, (2.3)
где - прямое проективное преобразование фигуры ABCD в A''B''C''D''.
Таким образом, если известны образы четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, можно получить по их координатам обратное преобразование по формуле (2.3).
Другой известный подход к нормализации проективных искажений основан на алгебраической задаче нормализации пар квадратичных форм [73, 78].
Однако, сложность вычислений в этом методе не позволяет считать его удовлетворительным для применения в реальных зачах, и на данный момент для его технической реализации требуются дополнительные исследования. Отметим, что оба эти метода являются параллельными методами нормализации (одновременное определение параметров преобразования, связывающего входное и эталонное изображения), обладают большой трудоемкостью и применимы в случае, когда группа преобразований не имеет большого количества параметров.
Сложность проективного преобразования обуславливала интерес к изучению некоторых характерных подгрупп, в частности, группы ортогональных проективных преобразований, где матрица П в преобразовании (1.12) удовлетворяет условию , Е - единичная матрица третьего порядка.
Принцип нормализации таких преобразований предложен в [73] с использованием финитных функций. Для этого вводят функции трех переменных , , :
=, =.
Полученные функции , являются продолжением по однородности в евклидовом пространстве распределенной яркости эталонного и входного изображений. Из преобразования (1.12) следует, что
,
где , что задает линейную ортогональную зависимость функций , .
Для осуществления процедуры нормализации необходимо, чтобы функции , были финитными. Для этого представим их в следующем виде:
Очевидно, что и для введенных функций справедливо соотношение
.
Используя преобразование Фурье, получим взаимосвязь между функциями в виде:
,
где = , - преобразование Фурье функции в .
Представим функцию в виде разложения в равномерно сходящийся ряд по однородным полиномам, что приводит к равенству однородных полиномов:
,
где
.
Зависимость между последним полиномом и эталонным изображением можно представить в явном виде:
,
где D - поле зрения.
Линейной формой переменных с коэффициентами , , является однородный полином . Тогда справедливо соотношение
,
где , .
Для определения неизвестных элементов матрицы П используется метод сечений, который основывается на представлении исходного изображения в виде бинарных изображений с нулевыми и единичными значениями в зависимости от того, наблюдается ли яркость в точке исходного изображения. При достаточно большом количестве сечений m от входного и эталонного изображений получаем переопределенную систему
, ,
решение которой позволяет определить искомые параметры матрицы П.
Основным недостатком данного подхода нормализации ортогональных проективных преобразований является не универсальность при работе с изображениями различной яркости. В методе предполагается, что каждое полученное бинарное изображение обладает эквивалентными характеристиками, что на прак