РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗІЇ В БАГАТОФАЗНИХ ВИПАДКОВО НЕОДНОРІДНИХ ШАРУВАТИХ ТІЛАХ НА ОСНОВІ ЗАКОНІВ ФІКА
Для вирішення проблеми врахування різних фізичних властивостей фаз і ефектів міжфазних границь у цьому розділі пропонується підхід до опису процесів масопереносу у випадково неоднорідних дво- та багатофазних шаруватих тілах. При цьому розглядаються крайові задачі дифузії, що формулюються на основі законів Фіка для цілого тіла. Тоді коефіцієнти рівнянь є випадковими функціями координат. Розглядаються випадки шару та півпростору, і досліджуються дифузійні процеси домішкової речовини, коли фази в тілі мають рівномірний ймовірнісний розподіл та бета-роподіл включень; усереднення поля концентрації відбувається за ансамблем конфігурацій фаз.
2.1. Дифузія домішки у двофазному стохастично неоднорідному півпросторі
2.1.1. О с н о в н і п о н я т т я. Явища переносу (дифузія, теплопровідність і внутрішнє тертя) полягають у виникненні спрямованого переносу маси (дифузія), внутрішньої енергії (теплопровідність) та кількості руху (в'язкість або внутрішнє тертя). Явищем дифузії називається процес перерозподілу частинок компонент тіла до встановлення в середині фаз рівноважного розподілу їхніх концентрацій. Результатом дифузії є вирівнювання хімічних потенціалів. В однофазній системі при постійній температурі та за відсутності зовнішніх сил дифузія вирівнює концентрацію компоненти в усій системі. Якщо на тіло діють зовнішні сили або підтримується градієнт температури, то в результаті дифузії встановлюються градієнти концентрацій окремих компонент.
Дифузійним потоком називається результуюче перенесення маси речовини даного хімічного сорту шляхом дифузії за одиницю часу через одиницю поверхні. Напрям вектора співпадає з напрямом нормалі до поверхні, через яку перенос маси є максимальним. За сталого тиску та температури в ізотропному середовищі дифузійний потік дорівнює (перший закон Фіка)
, (2.1)
де - кінетичний коефіцієнт, який через коефіцієнт дифузії можна подати так: ,
- густина середовища;
- концентрація речовини,
- набла оператор Гамільтона.
Зміна концентрації в цьому випадку описується рівнянням дифузії (другий закон Фіка)
, (2.2)
де крапкою позначено скалярний добуток.
Відмітимо, що якщо не залежить від координат і концентрації, то рівняння (2.2) приймає вигляд
,
тут - оператор Лапласа.
Приймемо надалі, що рівняння (2.2) з відповідними граничними та початковими умовами описує дифузію речовини як у кожній фазі, так і в тілі в цілому. При цьому характеристики середовища , є детермінованими або випадковими функціями координат у відповідності до даних про фазову структуру матеріалу.
2.1.2. О б'є к т д о с л і д ж е н н я т а п о с т а н о в к а з а д а ч і. Нехай в дисперсному стохастично неоднорідному середовищі шаруватої структури дифундує домішкова речовина. Тіло складається з двох твердих фаз, в яких фізичні властивості частинок домішки можуть суттєво відрізнятись. Приймаємо, що фази в тілі розподілені рівноймовірно. Вважаємо, що об'ємна частка однієї фази (будемо називати її матрицею або базовою фазою), яку надалі відмічаємо індексом 0, набагато більша за іншу (рис.2.1).
Дифузію домішкової речовини у випадково неоднорідному двофазному півпросторі описує наступне рівняння, коефіцієнти якого є випадковими функ-
Рис. 2.1. Одна з можливих реалізацій шаруватої структури тіла
ціями просторової координати з рівномірними функціями розподілу
. (2.3)
Тут - випадкове поле концентрації домішкової речовини в тілі,
- випадкова густина скелету,
- випадковий кінетичний коефіцієнт дифузії.
При цьому вважаємо, що густина скелету і кінетичний коефіцієнт є сталими в об'ємі кожної фази.
На функцію накладаються наступні крайові умови
, (2.4)
, . (2.5)
Введемо у розгляд випадковий оператор типу одиничного сходинкового оператора Хевісайда [138]
(2.6)
Область з об'ємом займає і-й шар j-ої фази;
і - номер шару, ,
- кількість шарів сорту j (j=0;1). Тобто
, . (2.7)
Тут - об'єм, який займає j-та фаза,
V - об'єм тіла.
Зазначимо, що для одновимірного випадку (шарувате тіло) оператор представляє собою різницю двох сходинкових функцій Хевісайда [36], кожна з яких є випадковою функцією.
Тоді коефіцієнти рівняння (2.3) можна подати через функцію (2.6) таким чином
, . (2.8)
При цьому
. (2.9)
Співвідношення (2.9) означає суцільність тіла. Підставляючи подання (2.8) в рівняння (2.3) і враховуючи [29], що
, (2.10)
де - стрибок кінетичного коефіцієнта на границях шару
- дельта-функція Дірака;
- границя шару
- точки границі підобласті
отримаємо
, (2.11)
де оператор набуває вигляду
. (2.12)
Тут - "верхня" границя шару (випадкова величина);
- характерна (середня) ширина шару j-ої фази.
Додамо і віднімемо в рівнянні (2.11) невипадковий оператор , означений на всьому проміжку (),
. (2.13)
Тоді, враховуючи (2.9), маємо
. (2.14)
Позначимо
. (2.15)
Розв'язок крайової задачі (2.14), (2.4), (2.5) будемо шукати у вигляді нескінченного інтегрального ряду Неймана [138].
2.1.3. С х е м а р о з в'я з а н н я з а д а ч і. Вважаємо праву частину рівняння (2.14) джерелом, тобто неоднорідність середовища розглядаємо як внутрішні джерела.
Нехай - функція концентрації домішкової речовини в тілі з характеристиками , , яка задовольняє однорідне рівняння
(2.16)
і крайові умови (2.4), (2.5), тобто [96]
. (2.17)
Позначимо через незбурену функцію Гріна, яка задовольняє рівняння для точкового джерела і необхідні крайові умови. Розв'язок неоднорідного рівняння
з крайовими умовами (2.4), (2.5) запишемо через функцію Гріна наступним чином
.
Тоді, використавши (2.14), отримаємо інтегродиференціальне рівняння для знаходження поля концентрації
. (2.18)
Зауважимо, що рівняння (2.18) еквівалентне вихідній крайовій задачі.
Ряд Неймана будуємо шляхом ітерування інтегрального рівняння (2.18). Що