РОЗДІЛ 2. ДИНАМІКА НЕЧІТКИХ СИСТЕМ
На фоні швидкого розвитку математичної теорії керування та інтенсивного
впровадження її результатів при створенні нових і модернізації існуючих
технічних систем, практично одночасно в багатьох наукових центрах почали
розпочинатися спроби застосування загальних підходів теорії управління для
розробки математичних моделей соціальних і економічних систем. Специфіка
останніх заключається в тому, що елементи, які її складають (людина, група,
колектив і т.д.), на відмінність від елементів технічних систем, володіють
активністю – властивістю до цілеспрямованої поведінки, тобто до вибору дій в
відповідності до власних пріоритетів і бажань.
Отже, при виборі керуючих впливів необхідно передбачати можливі реакції
керованих суб’єктів і використовувати такі механізми прийняття управлінських
рішень, які б дозволяли максимально точно враховувати і узгоджувати інтереси
керуючого органу і керованих суб’єктів. Коло задач організаційного управління,
в яких використовуються подібні механізми, достатньо широке – від управління
технологічними процесами до прийняття рішення на рівні регіонів і країн.
Прикладами можуть служити процедури оцінки діяльності структурних підрозділів;
механізми мотивації (стимулювання), що спонукають керованих суб’єктів
розпочинати певні дії в інтересах керуючого органу; процедури розподілення
матеріальних і фінансових ресурсів на основі інформації про ефективність їх
використання, представленої претендентами на здобуття ресурсів і т.і.
2.1. Моделі динаміки нечітких систем
Розглянемо задачу моделювання динаміки неперервних та дискретних динамічних
багатоелементних активних систем з незалежними елементами. Особливу увагу
приділимо системам з нечіткою невизначеністю - нечіткім системам.
Відмітимо, що моделювання та аналіз динамічних систем, що функціонують в умовах
невизначеності (наявність перешкод, неврахованих факторів, помилок та інше),
приводять до необхідності застосування математичних методів обробки нечіткої
інформації.
Потрібно зауважити, що формальні модельні представлення з реалізаціями
невизначеностей на заданих допустимих множинах легко розповсюджуються на широко
вжиті останнім часом нечіткі моделі, методи побудови і функціонування яких
базується на принципах теорії нечітких множин і нечіткої логіки [64, 65, 24,
66, 67].
На цьому шляху можуть бути отримані узагальнення традиційних методів
дослідження динаміки систем, теорії управління і оптимізації. В частинному
випадку, замість детермінованої задачі одночасного керування усім сімейством
“рівноправних” об’єктів здійснюється перехід до задачі управління нечітким
пучком траєкторій динамічної системи, яка визначається рішенням відповідного
нечіткого відображення, яке утворюється нечіткою множиною допустимих
невизначених факторів, з наступним запровадженням до такої задачі результатів
теорії оптимального керування детермінованими системами [24].
На практиці в нечітких динамічних системах широко використовуються постановки
задач моделювання та управління, що відрізняються від класичних лише
розширенням множини станів до поняття нечіткої множини.
Функціонування процесів та явищ нечітких динамічних систем може бути описане
[56] нечіткими неперервними:
, (2.1)
нечіткими різницевими:
(2.2)
або нечіткими матричними диференціальними рівняннями:
, (2.3)
де – нечітке відображення з Х в Х з функцією належності , .
Операція “” означає максимальну композицію, яка для (2.1) і (2.2) відповідно
має вигляд:
, (2.4)
. (2.5)
Використання диференціального аналога при роботі з нечіткими множинами, в
загальному випадку, має більш теоретичний характер. Тому зосередимо увагу на
досліджені різницевих нечітких моделей вигляду (2.2) з неперевними та
дискретними універсальними множинами Х.
2.2. Властивості розв’язків нечітких систем
Нехай множина , де – деяке наперед задане додатне число, визначає дискретні
моменти часу. Позначимо через послідовність моментів часу з , впорядкованих за
зростанням.
Будемо розглядати наступну різницеву нечітку систему:
(2.6)
де – компактна множина початкових станів, – нечіткі множини в можливих станів
системи в моменти часу , що визначають розв’язки системи, – деякі нечіткі
відображення з в , що визначають переходи системи, .
Визначення 2.1. Траєкторією системи (2.6) назвемо послідовність , для елементів
якої справедливі співвідношення:
. (2.7)
Варто помітити, що будь-який розв’язок системи (2.6) складається з множини
траєкторій.
Визначення 2.2 Траєкторію системи (2.6) будемо називати регулярною (РТС), якщо
для її елементів справедлива умова:
. (2.8)
Нечіткі стани в моменти часу складаються з елементів траєкторій системи .
Очевидно, що, якщо система (2.6) має єдину регулярну траєкторію, то нечіткі
стани , є регулярними нечіткими множинами в . Розв’язок системи (2.6) в даному
випадку залежить від вибору множини . При цьому РТС для (2.6) може бути єдиною
або може існувати довільна кількість РТС в залежності від .
В системі (2.6) залишається невідомою природа та характер дії операторів .
Однак, треба відмітити, що за умов неперервності операторів задане рекурентне
співвідношення визначає послідовність нечітких множин , з елементів яких
утворюються довільні траєкторії системи (2.6). Таким чином, можна стверджувати,
що справедливий
Висновок. Нечітка різницева система (2.6) за умов неперервності операторів
завжди має розв’язок, який, взагалі кажучи, може бути неєдиним для початкових
даних .
Розглянемо частинний випадок нечіткої різницевої системи (2.6). Будемо вважати,
що універсальна множина станів системи Х є дискретною. Це означає, що існу
- Киев+380960830922