РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ R-ФУНКЦИЙ
И МЕТОДОВ АППРОКСИМАЦИИ
2.1. Аналитическое описание границ геометрических объектов неклассической формы
конструктивными средствами теории R-функций
Впервые понятие R-функции было введено академиком В.Л. Рвачевым в 1963 г. после
опубликования в Докладах Академии наук СССР статьи “Об аналитическом описании
некоторых геометрических объектов” [94]. В статье автор предложил способ
построения уравнения границы произвольного геометрического объекта (ГО). Таким
образом, были решены обратная задача аналитической геометрии и проблема
построения координатных последовательностей для реализации проекционных и
вариационных методов, что в свою очередь послужило толчком для создания метода
R-функций – современного эффективного метода математического моделирования.
Сформулируем обратную задачу аналитической геометрии. Пусть в задан ГО с
кусочно-гладкой границей , и требуется построить функцию , положительную внутри
, отрицательную вне и равную нулю на . Уравнение будет в неявной форме
определять геометрическое место точек, представляющих границу области . В
дальнейшем, следуя работам В.Л. Рвачева, можно также использовать термины
«чертеж» или «локус», под которыми необходимо понимать множество точек , для
которого с помощью некоторой системы элементарных функций и констант путем
образования их суперпозиций можно написать уравнение вида . Причем функция
будет являться элементарной функцией и иметь вид единого аналитического
выражения. Функция может быть достаточно просто построена с помощью теории
R-функций для ГО произвольной формы.
Определение 2.1. R-функцией (функцией В.Л. Рвачева), соответствующей разбиению
числовой оси на интервалы и , называется такая функция, знак которой вполне
определяется знаками ее аргументов.
Здесь, несколько нарушая строгость, во избежание использования трехзначной
логики, ноль отнесем к положительным числам. При этом одновременно с R?функцией
оказывается заданной некоторая сопровождающая функция двузначной логики с тем
же числом аргументов. Поэтому можно дать также следующее эквивалентное
определение R-функции.
Определение 2.2 [87]. Функция называется R-функцией, если существует такая
булева функция , что , где двузначный предикат
Из определения 2.2 следует, что функция называется R-функцией, если ее булев
знак равен булевой функции булевых знаков аргументов , . Каждой R-функции
соответствует единственная сопровождающая булева функция. Обратное неверно, и
одной и той же булевой функции соответствует бесконечное множество (ветвь)
R-функций. Множество R-функций замкнуто, то есть суперпозиция R-функций также
является R-функцией.
Определение 2.3. Система функций , составленная из R-функций, называется
достаточно полной, если множество всех суперпозиций элементов (множество
-реализуемых функций) имеет непустое пересечение с каждой ветвью множества
R-функций.
Достаточным условием полноты системы является полнота системы соответствующих
сопровождающих булевых функций. Одной из наиболее употребительных полных систем
в множестве булевых функций является система .
Пусть даны система опорных областей и булева функция . Построим предикат,
определяющий область , сконструированную из опорных областей по логическим
правилам, определяемым булевой функцией , с помощью следующих логических
операций над множествами: «» – пересечения, «» – объединения и «» – дополнения.
Формально это можно записать в виде
. (2.1)
Переход от предикатного способа задания области в виде (2.1) к аналитическому
виду с помощью неравенства может быть осуществлен с использованием основной
теоремы теории R-функций.
Теорема 2.1 [87]. Пусть даны опорные области , – предикатное уравнение,
определяющее сложную область , есть R-функция, для которой является
сопровождающей. Тогда неравенство определяет область , а уравнение – ее
границу.
Построение R-функции , для которой является сопровождающей, легко осуществить с
помощью какой-либо из достаточно полных систем R-функций, например, системы :
(2.2)
Здесь – R-конъюнкция, – R-дизъюнкция, , . В частности, используют .
Из теоремы 2.1 следует, что переход от предикатной формы задания области к
уравнению ее границы осуществляется с помощью формальной замены на , на , а
символы – на символы R?операций , соответственно. Получим в итоге аналитическое
выражение, определяющее в элементарных функциях требуемое уравнение границы .
При этом для внутренних точек области , а для внешних .
При из системы (2.2) получаем систему , которая наиболее легко реализуема в
вычислительном плане, а ее R-операции и коммутативны и ассоциативны.
Недостатком этой системы является недифференцируемость R?операций вдоль прямых
. При получаем систему , которую чаще всего используют на практике.
Соответствующие R-операции и имеют разрывы производных лишь в точке .
Существуют также и другие достаточно полные системы R-функций , , , [86, 87,
91].
Определение 2.4 [86, 87]. Уравнение границы области называется нормализованным
до -го порядка, если функция удовлетворяет условиям
, , , (2.3)
где – вектор внутренней нормали к , определенный в ее регулярных точках.
Условия (2.3) означают, что вдоль нормали к функция ведет себя примерно как
функция расстояния точек этой нормали от границы . Например [87],
нормализованное до первого порядка уравнение может быть получено из уравнения
следующим образом. Если удовлетворяет условиям и , то функция , где ,
удовлетворяет условиям , во всех регулярных точках границы .
Если в , то для построения нормализованного до первого порядка уравнения можно
воспользоваться форм
- Киев+380960830922