РОЗДІЛ 2
НЕЛІНІЙНІ ОБЕРНЕНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ФІЛЬТРАЦІЇ НА КОНФОРМНІ ТА
КВАЗІКОНФОРМНІ ВІДОБРАЖЕННЯ ДЛЯ ДВОЗВ’ЯЗНИХ МОДЕЛЬНИХ ОБЛАСТЕЙ
Відомі математичні моделі процесів осесиметричної фільтрації поширені на
випадки довільних двозв’язних модельних областей, обмежених еквіпотенціальними
лініями. Розроблені методи розв’язування відповідних нелінійних крайових задач
на конформні та квазіконформні відображення, які реалізовані у вигляді пакетів
програм для подальшого комп’ютерного моделювання. Збіжність розроблених
алгоритмів проілюстровано за допомогою графіків при різних параметрах розбиття
області комплексного потенціалу.
2.1. Обернені крайові задачі на конформні відображення. Проблема вибору
природного розрізу та врахування роздвоєння відповідної лінії течії у випадку
двозв’язної модельної області
2.1.1. Математична постановка задачі. Розглянемо модельну задачу на знаходження
гармонічної функції (потенціалу) в двозв’язній криволінійній області GZ, ,
обмеженій двома гладкими замкненими контурами (або ) – внутрішній, (або ) –
зовнішній, при умовах: , , [21,22,28,29,48] (див. рис. 2.1).
Рис. 2.1. Фізична область та відповідна їй область квазікомплексного потенцiалу
Ввівши гармонiчно спряжену до функцію течiї , зафіксувавши на внутрішньому
контурі деяку точку A та здійснивши умовний розріз вздовж відповідної лінії
течії (через AD та BC на рис. 2.1 позначено відповідно верхній та нижній береги
розрізу) переходимо до більш загальної задачі на конформне відображення
[22,23,29] утвореної при цьому однозв’язної області на відповідну прямокутну
область комплексного потенціалу з невідомим параметром (повною витратою) при
відповідності чотирьох кутових точок (рис. 2.1):
(2.1)
Через геометричну складність області (криволінійний чотирикутник) та
тривіальність відповідної їй області комплексного потенціалу (прямокутник) ми
розглядатимемо замість прямої задачі на конформне відображення обернену до неї.
Перехід до оберненого відображення автоматично вирішує проблему побудови сітки
при використанні сіткових чисельних методів, дозволяє побудувати
гідродинамічною сітку руху речовини в області , визначити фільтраційну витрату
, що є суттєвим при вивченні різних процесів і явищ конвекції, масообміну,
дифузії та ін. розчинних речовин, що забруднюють область, на фільтраційних
полях (фонах).
Відповідна до (2.1) обернена крайова задача на конформне відображення області
на при невідомій витраті та природному розрізі запишеться у вигляді:
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Останню задачу ми і будемо розв’язувати. Модифікуємо її для більшої зручності
комп’ютерної реалізації алгоритму розв’язування. Той факт, що функції та
задовольняють умовам Коші-Рімана (2.2), а, отже кожна з них окремо є
гармонічною в області , дозволяє звести дану задачу до розв’язування в рівнянь
Лапласа , які є значно зручнішими при розв’язуванні на комп’ютері, при заданих
нелінійних крайових умовах (2.3), (2.4) та умовах Коші-Рімана на ділянках та
границі області . Останні крайові умови зручно замінити на умови
ортогональності ліній течії та еквіпотенціальних ліній до відповідних ділянок
границі фізичної області [23,29,90]:
(2.5)
Довільність вибору точки та вибір розрізу вздовж відповідної лінії течії
дозволяє також замінити умови (2.4) більш прийнятними для комп’ютерної
реалізації рівняннями Лапласа .
2.1.2. Різницевий аналог задачі та алгоритм чисельного розв’язування. Введемо в
області рівномірну ортогональну сітку , ; , ; , , , де – параметри розбиття
області комплексного потенціалу, а , – кроки сітки відповідно по змінним та .
Рівняння Лапласа будемо апроксимувати двояко: використовуючи в одному випадку
п’ятиточковий шаблон типу “хрест”, а в другому – дев’ятиточкий шаблон типу
“ящик” [76,99]. Отримаємо системи сіткових рівнянь (2.6) та (2.7) відповідно,
які будемо розв’язувати у внутрішності сіткової області та розрізі :
(2.6)
(2.7)
де .
Використані числові схеми мають другий порядок апроксимації. Їх збіжність та
стійкість повністю досліджена в [99,100].
Умови ортогональності (2.5) у сітковій області записуються [21,22, 90] у
вигляді:
,
(2.8)
Відповідні (2.3) сіткові рівняння записуються у вигляді:
(2.9)
Невідому витрату будемо знаходити за формулою , де – конформний інваріант
області (відношення сторін прямокутника ), який можна одержати на підставі
умови “квазіконформної подібності в малому” відповідних елементарних
чотирикутників двох областей:
(2.10)
де .
Отже, різницева постановка задачі описується системою рівнянь (2.6) – (2.10).
Система умовно складається з чотирьох груп рівнянь:
апроксимованих рівнянь Лапласа (2.6) та (2.7);
різницевих аналогів умов ортогональності ізоліній до границі фізичної області
(2.8);
умов відповідності граничних вузлів двох областей та умов періодичності (2.9);
рівняння для наближеного знаходження величини g (2.10).
Кожній з перелічених груп рівнянь (окрім передостанньої) відповідає своя група
невідомих: координати внутрішніх вузлів сітки для першої групи, граничних
вузлів сітки – для другої та значення витрати Q – для (2.10). Група рівнянь
(2.9) може бути автоматично виключена з системи різницевих рівнянь за рахунок
використання параметричного задання контурів та , що обмежують область ,
замість неявного способу їх задання та зберігання значень невідомих координат
вузлів розрізу при комп’ютерній реалізації алгоритму в одних і тих же комірках
пам’яті ЕОМ. Алгоритм знаходження наближеного розв’язку різницевої задачі
(2.6)–(2.10) побудуємо шляхом поетапної параметризації з використанням ідей
методу блочної ітерації для аналітичного обґрунтування його збіжності [82]. Це
означає, що ми буде
- Киев+380960830922