РОЗДІЛ 2
НЕСТІЙКІСТЬ НУЛЬОВИХ РОЗВ’ЯЗКІВ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З КВАДРАТИЧНОЮ
ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ
Розвиток диференціальних рівнянь починається з робіт Ньютона І. і Лейбніца Р.
(XVII ст.). Основною задачею того періоду розвитку було – знаходження
загального розв’язку. Тоді була створена велика кількість елементарних методів
інтегрування диференціальних рівнянь. Цілі класи цих рівнянь і методи їх
розв’язку пов’язані з іменами видатних математиків того часу Клеро А.,
Даламбера Ж., Лагранжа Ж., Лапласа П.С., Ейлера Л.
Проте з часом, виявилось, що для багатьох диференціальних рівнянь проблема
знаходження загального розв’язку не має розв’язку. Тому наступний період
розвитку досліджень цих рівнянь почався саме з постановки питання про існування
розв’язку. Точне формулювання і перше розв’язання цієї проблеми для досить
широкого класу рівнянь належить Коші О. (перша половина XIX сторіччя). На
відміну від інших вчених, Коші О. вважав необхідним спочатку знаходити і
доводити умови існування розв’язку. “Тоді кожне завдання стало б визначеним, а
цей факт дозволяв не тільки спростити відомий розв’язок задачі, але і почати
вирішувати нові проблеми” [111]. Звідси виникли відомі “задачі Коші” та умови
їх існування. Теореми існування та єдиності розв’язку задач Коші мали не тільки
теоретичне значення, вони були тим містком, за допомогою якого можна було
застосовувати методи теорії диференціальних рівнянь до задач природознавства.
Вони визначали умови існування та єдиності розв’язків, причому їх можна було
знаходити з довільним степенем точності.
В кінці XIX сторіччя почалося активне використання методів диференціальних
рівнянь до задач астрономії і “небесної механіки”. Тому природно виникла
потреба в якісній теорії, засновником який став Пуанкаре А. Задача якісній
теорії полягала в тому, що не розв’язуючи систему диференціальних рівнянь,
можна було сказати про поведінку як окремого розв’язку, так і поведінку системи
в цілому. Пуанкаре А. привів класифікацію особих точок систем рівнянь.
Паралельно з Пуанкаре А. працював видатний учений Ляпунов А.М.. Він ввів
основні положення теорії стійкості руху, дослідив стійкість станів рівноваги і
окремих рухів механічних систем з скінченим числом параметрів. Крім того, він
одержав умови, коли для з’ясування якісної картини поведінки динамічних систем
досить лише перше наближення, і відокремив “критичні” випадки, тобто випадки,
коли першого наближення недостатньо. До нього більшість вчених вважали, що
якісний портрет поведінки системи можна отримати на підставі дослідження лише
системи першого наближення, а це часто приводило до невірних висновків.
Ляпунов А.М. запропонував якісні методи дослідження. Однією з основних його
заслуг по праву вважається “другий метод Ляпунова”. Доведені в рамках цього
методу основні теореми мали великий вплив на подальший розвиток якісної теорії
диференціальних рівнянь і її застосування при дослідженні різних механічних і
фізичних систем. [96]
2.1. Нестійкість нульових розв’язків систем диференціальних
рівнянь
Досить цікавим і парадоксальним є той факт, що з одного боку робіт, присвячених
дослідженню стійкості руху різних систем налічується величезна кількість, а з
іншого – робіт по дослідженню нестійкості не так вже й багато. В той же час, як
випливає з робіт, присвячених проблемам нелінійної динаміки, зацікавленість до
умов появи нестійкості останнім часом різко зросла.
Для лінійних стаціонарних систем диференціальних рівнянь проблема нестійкості
розв’язується при наявності власних чисел з нульовою дійсною частиною і
непростими елементарними дільниками, або наявністю хоча б одного власного числа
з додатною дійсною частиною. Причому нестійкість для лінійних систем носить
глобальний характер, тобто нестійкий розв’язок прямує до нескінченості.
Для нелінійних систем, на жаль, робіт з дослідження нестійкості значно менше.
Окремі результати приведені в [80-88, 97]. Причому нестійкість, як правило,
розглядається лише локально.
В другому розділі дисертаційної роботи розглядаються нелінійні системи
спеціального вигляду. А саме, диференціальні рівняння з квадратичною правою
частиною. Це дає можливість отримати більш конкретні результати і сформулювати
відповідні теореми в коефіцієнтному вигляді.
Одні з перших результатів про нестійкість нульового розв’язку систем
диференціальних рівнянь загального вигляду були отримані Ляпуновим А.М. в його
історичній роботі [59]. У ній були закладені основні положення теорії стійкості
руху, введено поняття нестійкості, на основі якого отримано ряд теорем про
нестійкість нульового розв’язку в околі початку координат, тобто локальної
нестійкості. Приведемо основні означення і твердження які будуть
використовуватися.
Нехай задана система нелінійних диференціальних рівнянь вигляду
, , , (2.1)
де – векторна функція, яка задовольняє умови існування і єдиності розв’язків в
деякій області , що містить початок координат і , тобто є розв’язком системи.
Довільний розв’язок системи, який задовольняє початковій умові , позначимо
через .
Означення 2.1 Розв’язок системи (2.1) називається нестійким, якщо для деякого і
як завгодно малого існує момент часу і розв’язок , що задовольняє початковим
умовам , такий, що при буде виконуватись , хоча .
Приведемо основні теореми про нестійкість нульового розв’язку, які
сформульовані і доведені в [5, 6, 15, 32, 36, 37, 55, 59, 62, 111].
Теорема 2.1. [59, стор.87] Якщо диференціальні рівняння (2.1) збуреного руху
такі, що можна знайти функцію , яка мала б в силу цих рівнянь знакосталу
похідну , причому допускала б нескінченно малу вищу грани
- Киев+380960830922