РОЗДІЛ 2
ЗАГАЛЬНА МЕТОДИКА ТА ОСНОВНІ МЕТОДИ ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧ НЕПАРАМЕТРИЧНОЇ ІДЕНТИФІКАЦІЇ
2.1. Загальна задача ідентифікації
У розділі 1 роботи було відмічено, що для підвищення якості керування необхідно враховувати вплив не тільки випадкових збурень, які діють на об'єкт, але й вплив зміни параметрів об'єкта. При цьому точки дотику випадкових впливів не співпадають з входами і виходами системи. Таку схему показано на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Функціональна схема динамічної системи.
Динамічна система описується системою векторно-матричних рівнянь.
де X(t) - вектор стану об'єкта;
W(t), V(t) - вектори випадкових впливів;
Y(t), Z(t) - вектор вихідних величин;
U(t) - вектор вхідних впливів;
A(t) - матриця розмірністю n?n, яка характеризує параметри об'єкта;
?(t) - вектор, який характеризує зміну параметрів об'єкта;
G(t) - матриця розмірністю n?m, яка перетворює вхідні впливи;
L(t), C(t) - матриця розмірністю p?n, яка характеризує параметри вибору;
F(t) - матриця розмірністю n?n, яка перетворює зміну параметрів об'єкта.
Будемо вважати, що система інваріантна відносно випадкових збурень . Задача вимірювання стану об'єкта полягає у знаходженні значення вектора за значеннями вектора вихідної величини . Наявність помилок вимірювання , вектора параметрів призведе до появи помилок вектора ,
X?(t)=X(t)-Xэ(t),
де Xэ(t) - вектор при відсутності помилок N(t) та ?(t).
Таким чином, вектор-функції X(t), X?(t), Xэ(t) розглядаються як множина векторів у n-мірному просторі. Введення скалярного добутку
,
і задача зводиться до мінімізації даної норми.
Геометрично модель цього процесу для двомірного випадку показана на рис. 2.2.
Зв'язок між вектором вхідних впливів і вектором стану визначається за допомогою рівняння:
,
де ?(t1,t0) - перехідна матриця системи.
Відомо, що параметри перехідної матриці при U=const залежать тільки від параметрів об'єкта керування, що дає можливість для ідентифікації параметрів об'єкта керування за результатами спостереження за вектором стану X(t). З рис. 2.2 видно, що вектор стану системи X(t) додається у вимірювачі з вектором похибок вимірювання n(t) і перетворюється у вихідний вектор Y(t). Положення та величина цього вектора в даний момент випадкові, тому сумарний вектор Y(t) знаходиться в деякому конусі станів.
Рис. 2.2. Геометрична інтерпретація знаходження X(t).
Вектор стану Y(t) додається до вектору завади V(t), утворюючи при цьому сумарний вектор Z(t), який поступає на вхід фільтра з матрицею перехідних функцій L(t,S). Фільтр вибирає з множини векторів Z(t) такий, який після його перетворення дає вектор оцінки X0(t). Якщо критерієм вектора являється мінімум норми помилки X? і якщо вектор завади має гаусівський розподіл, то цій умові задовольняє фільтр Калмана-Б'юсі. Побудова такого оптимального фільтра є окремою задачею, тому при розгляді методів ідентифікації, не знижуючи вимог, будемо вважати, що вектор завади V(t)=0. В цьому випадку задача зводиться до визначення динамічних характеристик об'єкта за результатами спостереження за станом вектора вхідного U(t) та вихідного Y(t) сигналів. Для вирішення цієї задачі запропоновано багато способів, які можна розділити на два напрями: параметрична та непараметрична ідентифікація.
2.2. Апроксимація перехідних характеристик об'єктів методами Сімою
Методи Сімою в значній мірі відрізняються один від одного. Серед методів Сімою використовуються метод площ, таблиць та асимптот (логарифмування) [64, 65, 77].
Метод площ найбільш зручний для обробки на ЕОМ. У зв'язку з цим, розглянемо більш детально метод площ, а також у загальних рисах метод асимптот. Для апроксимації перехідних характеристик на ЕОМ раціонально використати алгоритм апроксимації, побудований на спільному застосуванні методу Сімою та методу систем заміщення з тим, щоб апроксимація перехідних характеристик виразами 2-го чи 3-го порядків проводилась методом Сімою, а 4-го та більш високого порядків ? методом заміщення.
Перехідна характеристика об'єкта моделювання вищого порядку із самостабілізацією має вигляд кривої. Її потрібно апроксимувати рівнянням динаміки, як вище показано, 4-го порядку:
, (2.1)
де m(t) - вхідна функція, (t) - вихідна функція, k, a,, ..., a4 - коефіцієнти.
Визначимо початкові умови вхідної та вихідної функцій, а також
похідні вихідної функції. Експериментальне визначення перехідних характеристик починається із сталого (статичного) режиму. Розглядаючи рівняння (2.1) в приростах, ми можемо для початкового статичного режиму (коли t=0) записати:
(2.2)
Значення (2.2) для початкового режиму будуть початковими умовами вхідної функції m(t), вихідної функції (t), а також її похідних. У момент часу t=0 під час експериментального визначення перехідної характеристики подається ступінчасте збурення m(t)=m0.
Об'єкти з позитивною самостабілізацією характеризуються також кінцевим сталим режимом (коли ). Для кінцевого сталого режиму ми можемо записати:
(2.3)
Під час апроксимації перехідної характеристики потрібно знайти значення коефіцієнтів рівняння (2.1).
Коефіцієнт передачі об'єкта знаходиться за допомогою залежності:
(2.4)
Для визначення коефіцієнтів аг, аг, а3, а4 перетворимо певним чином рівняння (2.1). З врахуванням (2.4) ми можемо його записати:
(2.5)
Визначення