Гідродинаміка та теплообмін потоку рідини в щілинних мікроканалах.

РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ІЗОТЕРМІЧНОЇ ТЕЧІЇ РІДИНИ
В ЩІЛИННОМУ МІКРОКАНАЛІ
В рамках даного розділу вирішувалась задача руху ламінарного ізотермічного
потоку нестисливої рідини, яка підлягає закону в’язкого тертя Ньютона, в
кільцевому мікроканалі. Метою дослідження було вивчення поведінки потоку рідини
при умові рівномірного розподілу поздовжньої швидкості на вході в канал з точки
зору традиційних уявлень, які базуються на використанні рівнянь Нав’є-Стокса.
Поставлена задача реалізовувалась шляхом проведення обчислювального
експерименту. Рішення системи диференційних рівнянь проводилось шляхом їх
заміни дискретними аналогами та подальшим вирішенням системи алгебраїчних
рівнянь [69, 70]. Одержана сукупність чисельних значень поздовжньої та
радіальної швидкостей, тиску, середнього тиску, узагальнювалась методами теорії
подібності та використовувалась для аналізу та порівняння з результатами
експериментальних досліджень.
Математичне формулювання задачі
При проведенні математичного експерименту приймалась наступна фізична модель
процесу. Течія стала, ізотермічна, ламінарна, рідина нестислива, ньютонівська.
Фізичні властивості рідини приймались незмінними [48]. Кільцевий канал
концентричний, гідравлічно гладкий, потік має осьову симетрію. Задача
двохвимірна, рух описувався в циліндричній системі координат. Розрахункова
область зображена на рис. 2.1.
Рис. 2.1 Розрахункова ділянка
Математична модель складалась з системи диференційних рівнянь динаміки:
(2.1)
Граничні умови до задачі мали наступний вигляд:
r = R1, 0r = R2, 0z = 0, R1z = L, R1Для рішення на ЕОМ, система диференційних рівнянь (2.1) подавалась у вигляді
скінченно-різницевих рівнянь, дискретизація вихідної системи виконувалась
методом контрольного об’єму [69]. Чисельне інтегрування виконувалось за неявною
різницевою схемою. Це обумовлювалось обмеженою стійкістю явної різницевої схеми
від величини кроку сітки, тоді як у неявних схемах величина кроку необмежена.
Рішення системи дискретних рівнянь виконувалось методом матричної прогонки.
Метод було апробовано та реалізовано в ІТТФ НАН України [71, 72].
Метод чисельного рішення математичної моделі
Для застосування скінченно-різницевого методу розрахункова область
розділювалась на підобласті, розміри яких суттєво менші за лінійні масштаби
задачі. Для кожної з підобластей складались рівняння динаміки в дискретному
вигляді. Кожне з рівнянь системи (2.1) складалось у своєму контрольному об’ємі
(підобласті), для цього використовувалась рознесена сітка. Рівняння
нерозривності складалось в об’ємі, зображеному на рис. 2.2, рівняння руху в
напрямку вісі oz складалось в об’ємі, зображеному на рис. 2.3, пересунутому
вперед відносно першого об’єму на половину кроку сітки. Контрольний об’єм у
якому складалось дискретне рівняння руху в напрямку вісі or приймався вище
першого на половину кроку сітки, рис. 2.4.
Рис. 2.2 Контрольний об’єм для рівняння нерозривності
Рис. 2.3 Контрольний об’єм для рівняння руху в напрямку вісі oz
Першій індекс після сіточних функцій pi,j, ui,j, vi,j відповідає кроку сітки по
вертикалі, другий – кроку по горизонталі. Рівняння нерозривності в дискретній
формі мало вигляд:
Рис. 2.4 Контрольний об’єм для рівняння руху в напрямку вісі or
Дискретні аналоги рівнянь руху в напрямку осей or, oz складались кожний для
свого контрольного об’єму. Метод побудови дискретних аналогів кожного з членів
рівнянь руху подається нижче. Вісь or:
Після перетворень рівняння динаміки відносно вісі or мало вигляд:
Вісь oz:
Різницеве рівняння динаміки відносно вісі oz мало вигляд:
Дискретний аналог системи диференційних рівнянь (2.1) мав вигляд:
Приведена система відповідає неявній схемі апроксимації за часом згідно з якою,
всі величини, які входять до рівнянь динаміки, відносяться до поточного кроку
за часом, на якому всі сіточні функції невідомі, крім величин, позначених „*”,
які відомі, та належать до попереднього кроку за часом. В зв’язку з тим, що
методами лінійної алгебри можна вирішити лише систему лінійних алгебраїчних
рівнянь, отримана система лінеаризовувалась. Для цього в добутку двох невідомих
величин виконувалась заміна, при якій одна з величин відносилась до поточного
кроку за часом, а друга – відома з попереднього кроку за часом, для якого дані
величини вже визначені (для першого кроку за часом вони будуть відповідати
початковим умовам). Таким чином, замість виразу використовувався вираз .
Подібна заміна має перший порядок точності апроксимації, але враховуючи, що
лінеаризація за допомогою двох доданків ряду Тейлора значно ускладнює вид
системи скінченно-різницевих рівнянь, такий метод приймався задовільним. Після
проведення лінеаризації система дискретних рівнянь набувала вигляду:
(2.2)
(2.3)
. (2.4)
Дробові значення індексів у величин, що входили до різницевих рівнянь (2.2),
(2.3), означали, що відповідна величина знаходилась в проміжку між вузлами
сітки, в яких задаються функції. Абсолютно стійкими є схеми, в яких
апроксимація членів з дробовими індексами виконується за схемою:
, де Cr – вагові коефіцієнти, значення яких визначається знаком :
Такі схеми мають назву „однобічна апроксимація проти потоку”. Апроксимація
змінних з дробовими індексами дозволила отримати систему алгебраїчних рівнянь
відносно значень невідомих функцій у вузлах сітки.
Після групування подібних членів система алгебраїчних рівнянь набула вигляду:
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Коефіцієнти при невідомих величинах сіточних функцій pi,j, ui,j, vi,j подаються
нижче.
;