РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА І ФОРМАЛІЗАЦІЯ ОПИСУ КОНТАКТНОЇ ЗАДАЧІ МЕХАНІКИ
Вступ
У математичному плані контактні задачі відносяться до класу задач механіки суцільних середовищ із змішаними граничними умовами і зводяться, у загальному випадку, до необхідності розв'язування інтегральних рівнянь. Початково-крайові контактні задачі можна сформулювати в диференціальній, інтегральній або варіаційній формах. Варіаційні формулювання, зокрема, формулювання контактних задач у вигляді варіаційних нерівностей грають важливу роль у вивченні питань коректності початково-крайових задач, існування і единості розв'язків.
У цьому розділі наведені різні варіанти постановки контактної задачі, розглянуто методи формалізації опису постановок контактних задач теорії пластичності з використанням варіаційних принципів. Описано проблемно-орієнтовану мову FORTU-3, за допомогою якої користувач має можливість описувати математичну модель і чисельну схему розрахунку контактної задачі в пружно-пластичній постановці.
2.1. Постановка контактної задачі механіки
2.1.1. Загальна постановка. Дослідження деформацій і напруження в місцях силового контакту деталей є одним з найскладніших розділів математичної теорії пружності. Початки теорії деформації пружних тіл в місцях контакту на основі використання загальних рівнянь теорії пружності і методів теорії потенціалу були закладені в роботі Г. Герца [3]. Теорія контактних напружень і деформацій має велике практичне значення, і тому формули для визначення розмірів зони контакту, зближення дотичних тіл і найбільшого тиску набули широкого розповсюдження. В основі всіх теоретичних висновків лежать такі припущення:
* матеріал дотичних деталей однорідний і ізотропний, а їхні поверхні достатньо гладкі;
* навантаження, що прикладені до тіл, викликають у зоні контакту тільки пружні деформації, що підпорядковуються закону Гука;
* зона контакту дуже мала в порівнянні із загальними поверхнями дотичних деталей;
* сили тиску нормальні до поверхні стикання тіл;
* силами тертя по поверхні контакту нехтують.
У результаті торкання двох тіл та їх деформації під дією стискаючих сил точки поверхні отримують переміщення [143]. Припущення про малу зону контакту в порівнянні із загальною поверхнею дотичних тіл дозволяє використовувати для визначення переміщень розв'язок теорії пружності про деформацію тіла великих розмірів, що обмежено площиною (пружний напівпростір), під дією зосередженої на ньому сили, перпендикулярної до граничної площини (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Пружний напівпростір під дією сили
Якщо позначити через ? переміщення довільної точки А граничної площини в напряму нормалі до цієї площини, то переміщення визначається за відомою формулою Бусинека [144]
, (2.1)
де r - відстань від точки, до якої прикладено зосереджену силу Р, до точки, у якій обчислюється переміщення;
Е - модуль пружності матеріалу тіла;
? - коефіцієнт Пуассона;
k = - коефіцієнт, що узагальнює властивості матеріалу.
Залежність переміщення ? від відстані r по формулі (1.10) показана штриховою лінією на рис.1.1.
У результаті стискання стичних тіл по граничній зоні контакту, яка утворилася, стискуюча сила Р буде розподілена у вигляді нормального тиску. Переміщення ? деякої точки А граничної площі від дії тиску Р можна визначити, використовуючи принцип незалежності дії сил як суму переміщень від елементарних сил рdF :
, (2.2.)
де r - відстань від точки А, у якій визначаються переміщення ?, до точки, у якій прикладено елементарну силу pdF.
Залежно від форми стичних тіл міняється форма зони контакту і розподіл тиску Р, тобто змінюється і величина переміщень.
Із виразів (2.1) і (2.2) витікає, що по мірі віддалення точки, у якій визначають переміщення, від початку координат величина ? зменшується і на нескінченності дістає нуля. У зв'язку з цим можна дійти висновку, що система координат х, у, z жорстко пов'язана з тілом на нескінченності, тобто, що знайдені переміщення є переміщеннями точок тіла щодо дуже віддаленої від місця, до якого прикладено сили і, отже, недеформованої частини тіла.
2.1.2. Задача про жорсткий штамп. У контактних задачах теорії пружності розглядається напружений стан, що виникає в притиснутих одне до одного пружних тілах. Одне з тіл, зокрема, може бути абсолютно твердим (жорсткий штамп), а пружне тіло представлено пружним напівпростором. Розв'язування цієї задачі при деяких додаткових припущеннях виявляється достатнім для розв'язування більш загальної задачі Герца про контакт двох тіл.
Хай у момент часу деформівне середовище вільне від напруження і заповнює область з регулярною межею [145]. На частинах межі і , відповідно, задані компоненти вектора переміщень і вектора поверхневих сил , . Переміщення частини межі обмежені жорстким штампом В, форма і положення якого визначаються рівнянням
, (2.3)
де х - матеріальна точка з координатами . При < 0 точка знаходиться всередині штампа, >0 - зовні штампа. Задача про визначення напружень і деформацій в області зводиться до наступної системи рівнянь і нерівностей [123]:
, (2.4)
, на , (2.5)
, на (2.6)
, (2.7)
, (2.8)
, (2.9)
, (2.10)
, (2.11)
,
(2.12)
де - вектор зовнішньої нормалі до межі ; - тензор напруження; - вектор об'ємних сил, f - коефіцієнт тертя, а точка позначає диференціювання за часом. Оскільки в рівняннях (2.4) сили інерції не враховуються, тому час t відіграє роль параметра. Тут (2.4) - рівняння рівноваги, (2.5) - (2.6) - граничні умови на відповідних частинах межі. Співвідношення (2.7) - (2.12) виражають умови контакту. Нерівності (2.7) - (2.9) є умовами непроникнення у штамп, а (2.10) - (2.12) описують закон тертя Кулона. Частина межі, для якої виконуються співвідношення (2.9), утворює область фактично