РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ТЕРМОВЯЗКОПЛАСТИЧНОСТИ В
ОРТОГОНАЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Для получения разрешающих уравнений осесимметрично нагруженных составных
оболочек вращения, состоящих из изотропных и ортотропных слоев, будем исходить
из основных геометрически нелинейных геометрических и статических уравнений в
форме В.В.Новожилова [180]. Для решения задачи воспользуемся системой
криволинейных ортогональных до деформации координат . Геометрические и
статические уравнения приведем в случае малых удлинений и сдвигов. В качестве
физических уравнений для неупруго деформирующихся изотропных слоев
воспользуемся соотношениями термовязкопластичности, описывающими простые
процессы нагружения и процессы деформирования по траекториям малой кривизны
[241, 252]. В качестве уравнений состояния для упруго деформирующихся
ортотропных слоев воспользуемся обобщенным законом Гука.
2.1. Перемещения и деформации элемента твердого тела
Рассмотрим твердое тело объемом , ограниченное поверхностью , на части которой
заданы напряжения, а на части – перемещения. При деформировании этого тела
произвольная его точка получает перемещение
, (2.1)
где – ортогональные орты, касательные к координатным линиям до деформации; –
проекции вектора перемещения на оси . В равенстве (2.1) и далее по
повторяющимся индексам в одночленном выражении предполагается суммирование в
пределах от 1 до 3 или в каких либо других пределах, если об этом будет особо
оговорено.
Формулы дифференцирования ортов по координатам определяются равенствами
; (2.2)
;
,
где – параметры Ляме, зависящие от выбора системы координат. Символ означает,
что остальные соотношения получаются из приведенных путем круговой перестановки
индексов 1, 2 и 3. Равенства (2.2) дают возможность продифференцировать
произвольный вектор, заданный своими проекциями на естественные оси координат
.
Орты , касательные к координатным линиям после деформации, в общем случае не
являются ортогональными. Они выражаются через орты недеформированной системы
координат соотношениями
, , (2.3)
; (2.4)
;
,
, .
В равенствах (2.3), (2.4) обозначено: – линейные части тензора деформации; –
повороты элемента тела вокруг недеформированных координатных осей. Величины
являются модулями векторов , а величины – относительными удлинениями в
направлениях координатных осей .
В дальнейшем будем рассматривать малые удлинения и сдвиги, т.е. будем
предполагать, что относительными удлинениями можно пренебречь по сравнению с
единицей, а синусы углов сдвига можно заменить самими углами [180].
Деформации в элементе тела образуют симметричный тензор, компоненты которого
определяются равенствами
, (2.5)
.
Компоненты девиатора деформаций находятся по формуле
, (2.6)
где – средняя деформация
; (2.7)
– символ Кронекера
(2.8)
Интенсивность деформаций сдвига определяется выражением
. (2.9)
Объем элементарного параллелепипеда находится по формуле
. (2.10)
Равенства (2.1) – (2.10) представляют собой геометрические соотношения
геометрически нелинейного деформирования твердого тела в случае малых удлинений
и сдвигов.
2.2. Уравнения равновесия и статические граничные условия
При отсутствии объемных сил уравнения равновесия в векторной форме имеют вид
[180]
, (2.11)
где ; – вектор напряжения, действующий на грани элементарного деформированного
параллелепипеда, которая до деформации была перпендикулярна координатной линии
; означает нормаль к этой деформированной грани; , – площади деформированной и
недеформированной грани. В случае малых удлинений и сдвигов отношение этих
площадей равно единице и [180].
Разложение векторов по ортам деформированной системы координат представляется в
виде
, (2.12)
где – составляющие напряжений, действующих на гранях деформированного
косоугольного параллелепипеда, по направлениям ортов деформированной системы
координат. В случае малых удлинений и сдвигов компоненты напряжений совпадают с
компонентами тензора обобщенных напряжений [180].
Разложение векторов по ортам недеформированной системы координат определяется
равенствами
, (2.13)
, (2.14)
,
.
Компоненты девиатора напряжений определяются равенствами
, (2.15)
где – среднее нормальное напряжение
. (2.16)
Интенсивность касательных напряжений и октаэдрическое касательное напряжение
вычисляются по формулам
, (2.17)
, (2.18)
Главные нормальные напряжения находятся из равенств [241]
; (2.19)
; ;
; ,
где – главные значения девиатора напряжений; – угол вида напряженного
состояния; – третий инвариант девиатора напряжений.
Уравнения равновесия можно также получить из начала возможных перемещений,
выражающего условие равенства работы внутренних и внешних сил на любой системе
возможных перемещений. Математическая формулировка этого начала при принятых
допущениях имеет вид [180].
, (2.20)
где символ означает вариацию соответствующих величин. Интегрирование в левой
части равенства (2.20) распространяется по объему тела до деформации, а в
правой – по части поверхности тела, на которой заданы напряжения. Здесь –
составляющие поверхностной нагрузки, действующей на наклонной площадке с
нормалью , по направлениям
, (2.21)
где – направляющие косинусы внешней нормали к рассматриваемой площадке до
деформации.
Вытекающие из уравнения (2.20) статические граничные условия имеют вид [180]
. (2.22)
Соотношения (2.11) – (2.14), (2.20) – (2.22) являются статическими уравнениями
геометрически нелинейного деформирования твердого тела в случае малых удлинений
и сдвигов.
2.3. Оп
- Киев+380960830922