РОЗДІЛ 2
ПРИНЦИП РІЗНОТИПНОСТІ ТА МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ І
АЛГОРИТМИ АНАЛІЗУ ТА ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗУ СКЛАДНИХ СИСТЕМ З ВИСОКОЮ ЦІНОЮ ВІДМОВИ З УРАХУВАННЯМ КРИТЕРІЇВ НАДІЙНОСТІ, ЕФЕКТИВНОСТІ
ТА РЕСУРСНИХ ОБМЕЖЕНЬ
В даному розділі розглядаються постановки однокритеріальних та багатокритеріальних задач оптимізації надійності та ефективності складних систем з ВЦВ, а також алгоритми їх розв'язання, які використовуються як базові на стадії ЖЦ ? проектуванні при аналізі структури систем та їх складових частин. Задачі, що розглядаються, виникли з практичних потреб забезпечення тривалих термінів активного існування КА, систем КА (на підприємствах НВО "Прикладної механіки" та КБ ВО "ПОЛЕТ"), використовують механізми принципу різнотипності при забезпеченні вимог до надійності систем. Вони поєднуються у єдину системну задачу за логікою їх використання, сценаріями взаємодії з ЛПР при генерації та знаходженні оптимальних проектних рішень в рамках СППР оптимізації надійності.
2.1. Моделі та алгоритми оптимізації надійності паралельно- послідовних систем, елементи яких допускають два типи відмов
При проектуванні складних радіоелектронних систем, які є складовими при створенні КА (НВО "Прикладної механіки"), виникають задачі оптимального резервування, коли підсистеми (елементи) допускають два типи непрацездатних станів - "обрив" і "коротке замикання" [17, 94, 100, 378, 404, 411]. Зменшення імовірності відмови типу "обрив" досягається за рахунок паралельного з'єднання елементів, а при послідовному з'єднанні поліпшується надійність системи стосовно відмов типу "коротке замикання".
Аналіз надійності структурно-складних систем та вивчення імовірнісних характеристик систем, елементи яких допускають відмови двох типів ? "обрив" і "коротке замикання" розглядались в фундаментальній роботі Е.Мура і К.Шеннона [218], де об'єктом дослідження була імовірність безвідмовної роботи таких систем, і для -елементної системи запропоновані формули для визначення точного значення надійності і її верхніх та нижніх оцінок.
Дослідження властивостей надійності таких систем та задача максимізації надійності їх структурних схем аналізувались в монографії Р.Барлоу та Ф.Прошана [17], а також у роботах [378, 404, 411], але ефективного оптимізаційного алгоритму запропоновано не було, у зв'язку з складною комбінаторною природою задачі.
Розглянемо задачу синтезу структури системи, коли задане фіксоване число однакових елементів, і необхідно вибрати паралельно-послідовну (рис. 2.1.а), або послідовно-паралельну (рис. 2.1.б) структурну схему, що забезпечує максимальну надійність системи. Припускається, що імовірності відмов елементів статистично незалежні. Нехай кожен елемент розглянутої системи може знаходитись в одному з трьох станів: у працездатному ? з імовірністю , у стані відмови типу "обрив" з імовірністю , або у стані відмови типу "коротке замикання" з імовірністю . В силу попарної несумісності цих станів має місце рівність , звідки
. (2.1)
З формули (2.1) випливає, що, незважаючи на залежність і , через несумісність відмов двох типів, імовірність безвідмовної роботи елемента визначається за безумовними і . Тоді, очевидні обмеження на і :
Рис. 2.1. Паралельно-послідовна (а) та
послідовно-паралельна (б) структурні схеми
Розглянемо паралельно-послідовну та послідовно-паралельну структурні схеми, які створені з'єднанням паралельних ланцюжків (ширина схеми) та однотипних елементів (рис. 2.2.).
Рис. 2.2. Паралельно-послідовна схема з паралельними ланцюжками та однотипними елементами в них (а), послідовно-паралельна схема з послідовних схем по однотипних паралельних елементів (б).
Надійність паралельно-послідовних і ? послідовно-паралельних систем на рис. 2.2. обчислюється відповідно [17]:
(2.2)
(2.3)
Оскільки функції надійності та в (2.1) та (2.2) симетричні (лише міняються місцями і ), то надалі зупинимось на паралельно-послідовних схемах, оскільки, все, що справедливо для них, буде справедливо і для послідовно-паралельних систем.
В роботі [62] запропоновані верхня та нижня оцінки для систем складної структури, елементи яких мають два типи відмов, і приводиться приклад для оцінки надійності мостикової схеми за певних умов на і .
Якщо задачу максимізації надійності розглядати без врахування обмежень на техніко-економічні показники (число резервних елементів), то, як відомо з [17], існує обмеження на кількість елементів в структурній схемі, що максимізує показник надійності. При фіксованій кількості елементів в послідовних ланцюжках і фіксованих значеннях і існує таке число паралельних ланцюжків в схемі, що максимізує , яке обчислюється [17]:
Якщо ? ціле, то функцію надійності максимізує як , так і .
Використання різних видів та способів резервування є необхідним при проектуванні КА, тому і виникла практична необхідність реалізації задач оптимального резервування з двома типами відмов. Ця задача є підзадачею загальної задачі оптимального резервування виду (1.4)-(1.6) або (1.7)-(1.9). При розв'язанні загальної задачі (1.7)-(1.9) знаходяться оптимальні кількості резервних елементів в підсистемах та оптимальна паралельно-послідовна структура (конфігурація з'єднання елементів) та відповідні значення та при фіксованих і [126, 212, 257].
При дослідженні задачі оптимального резервування з двома типами відмов в роботах [54, 58] звертається увага на те, що загальна кількість варіантів реалізації структури таких систем оцінюється числом розбиттів цілого на частини. В [126] задача оптимізації надійності структури послідовно-паралельних систем з елементами, що мають два типи відмов була формалізована і розглянута на множині розв'язків, які є лексикографічно впорядкованими розбиттями цілого числа на частини [317] (див. варіанти структурних схем рис. 2.1. та 2.2.). Запропонована в [126] формал