Оглавление
0.1 Введение................................................... 2
1 Динамические системы с инвариантной мерой 9
1.1 Примеры динамических систем с инвариантной мерой ... 9
1.2 Системы с инвариантной мерой на группах Ли................ 16
2 Геометрические свойства некоторых многомерных интегрируемых систем 31
2.1 Многомерные интегрируемые аналоги
систем классической динамики............................. 31
2.2 Иерархия систем Фрама-Манакова и Клебша-Иереломова............................................. 38
2.3 Иерархия систем Стеклова-Лялунова-
Рубановского............................................. 49
2.4 Иерархия ФМКП и касательные пространства к конфокальным квадрикам................................................. 57
2.5 Решения ранга к и динамические системы иа расширенных многообразиях Штифеля и Грассмана............................. 67
2.6 Движение на орбитах ранга 2............................... 74
2.7 Системы Стеклова -Ляпунова и пучки линейных пространств. 88
3 Тета-функциональные решения 101
3.1 Обобщенная проблема обращения Якоби и обобщенные тега-функции...................................................... 101
3.2 Решения в обобщенных тэта-функциях....................... 119
4 Дискретные интегрируемые системы и преобразования Бэк-луида 135
4.1 Эллипсоидальный биллиард с квадратичным потенциалом
и без него.............................................. 135
4.2 Дискретные интегрируемые аналоги классических волчков Эйлера и Лагранжа............................................ 158
1
0.1 Введение
Во множестве классических интегрируемых систем механики особое место занимают знаменитая задача Якоби о геодезических на п-мерном эллипсоиде и динамическая система Неймана, описывающая движение точки на сфере в паче сил с квадратичным потенциалом. Данные системы линеаризуются на многообразиях Якоби (Якобианах) гиперэллиптических кривых (точнее, на их конечнолистных накрытиях). При этом поведение геодезических на эллипсоиде обладает замечательным свойством, описываемым теоремой Шаля: касательная прямая к геодезической Q(c,) одновременно касается п — 1 фиксированных квадрик, конфокальных с эллипсоидом.
Между динамической системой на T'Sn~l и задачей Якоби о геодезических имеется замечательная связь. В разное время она была обнаружена и исследована Г.Минковским [115]. В.Козловыы [19] и Ю.Мозером (35). Другая связь между решениями была найдена в [98].
Современный подход к исследованию этих и связанных с ними задач был инициирован Ю. Мозером в работах [35, 116], где были рассмотрены гамильтоновы системы на пространстве (х, у), где х,у £ Rn суть соответственно координаты и сопряжённые моменты. Указанные системы допускающие матричное пхп представление Лакса L = [/., /?], где матрица L имела следующую общую структуру
L = .4 + ш® x + fcr®j/ + cy®x + dy®y, А = diag(a, а„) = const,
где a,b,c,d — некоторые постоянные. (В частности, для системы Неймана на единичной сфере (х,х) = 1 с квадратичным потенциалом *(х,Лх) следует лаюжить <1 = 0, с = -Ь.) В силу представления Лакса, спектр матрицы L остаётся неизменным, что даёт п первых интегралов соответствующей динамической системы.
Отметим, что в общем случае ранг матрицы L — А равен двух». В связи с этим, следуя Мозеру, L получила название “возмущение рант 2” (rank 2 perturbation) постоянной матрицы А.
Впоследствие в работах |54, 55] было предложено естественное обобщение данной конструкции, где рассматривались гамильтоновы системы ва пространстве пар матриц (F, G) размерности n X к, снабжённом симплек-тнчесхой структурой J1 - tridl-^AdG). Указанные системы описывались представлением Лакса в виде матриц п х п
L = [L,B], L = A-r FoGt (1)
с некоторой невмроженной постоянной матрицей <т размерности к х к. С учётом этого, матрица L была названа “возмущением ранга к”. Матрицы Лакса с аналогичной структурой рассматривались также в [36,124]. Кроме
2
того, была указана тесная связь данных систем с динамическими системами на конечномерных орбитах коприсоединёиного представления алгебры петель л1(Л), описываемыми парой Лахса с рациональным спектральным параметром
где У — <7~х — І*, а I» — единичная матрица размерности к х к. Согласно (54, 55], гамильтоновы редукции последних систем по автомофиз-мам, сохраиящим матрицу Ы (иногда называемые редукциями Марсдена Вайнптйна), являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами и линеаризуются на якобиане спектральной кривой С = {(Л^(А) — ц1\ = 0}. Кроме того, было показано, «по в представление (1) можно ввести спектральный параметр ц таким образом, что соответствующая спектральная кривая {|Ц/і) — АІ | = 0} биряцнонально изоморфна кривой С. В этом смысле представления Лакса (1) и (2) называются (}уа.іьнилш.
В случае системы Неймана дуальная пара Лакса имеег размерность 2 х 2 и записывается в виде
Пары Лакса с матрицами вида (3) определяют так называемые системы Якоби (или мастер-системы) линеаризуемые на обычных или обобщенных якобианах гиперэллиптпческих спектральных кривых (см. (11, 31, 93, 131] и Главу IV данной диссертации). Как было отмечено авторами данных работ, полиномы ^(А),£п(А),Ьг\{Х) дают чисто алгебраическое описание афивных частей таких якобианов. С этой целью они были впервые введены Якоби. Кроме того, нули полинома ^12(А) определяют разделяющиеся переменные для мастер-систем. Для классической системы Неймана на единичной сфере (я,х) = 1 эти нули совпадают с известными сфероконическими координатами на ней.
Таким образом, системы, определенные указанными парами Лакса (2) с матрицами к У. к представляют собой важное обобщение мастер-систем. При к > 2, соответствующие спектральные кривые уже не являются ги-перэллиптическими.
Значительная часть известных конечномерных интегрируемых систем, такие как волчки Эйлера -Малахова, Лагранжа и Ковалевской, случай Клебша движения твёрдого тела в идеальной жидкости, обладают представлениями Лакса как в форме (1), так и в форме (2). Существуют однако
-Л/(А) = (Л/”(А), Л/(А)], ЛГ, Л/є *!(*), А є С, (2)
ЛГ=К + СТ(А1*-Л)"‘Р,
//(А) = [Л^(А),М(А)]>
(3)
3
системы, такие хак, например, интегрируемые случаи Стеклова и Ляпунова, которые, по-видимому, не допускают таких представлений.
Различпыс аспекты систем, порождаемых чарами Лакса (2) изучались многими авторами (см. [56] а также ссылки в этих работах). Б совре-менном подходе к гамильтоновым алгебраически интегрируемым системам основной интерес представляет то, что различные авторы называют либо разделяющиеся переменные, либо аналитические скобки Пуассона, либо координаты Дарбу (см. [11, 56, 95, 128)). А именно, комплексное фазовое пространство 2п-мерной системы со скобкой Пуассона {, } рас сматрииается как расслоение £ —> Ы, где база U есть подпространство спектральных алгебраических кривых ГА = {/(А, /т) = 0}, параметризуемое константами первых интегралов h)....,hn — коэффициентов этих кривых, причём в общем случае род ГА равен «, а слои суть п-мерные многообразия Якоби Jac(rA) (якобианы) этих кривых. Открытые подмножества данных якобианов изоморфны симметрическим произведениям Г11, точки которых суть неупорядоченные наборы (дивизоры) п точек Р\ = = »а кривой ГА.
Очевидно, что на каждой фиксированной кривой координаты Х.ц являются избыточными: одна из них является алгебраической функцией другой. Однако идея состоит в том, чтобы рассматривать пары (Aj,pi), (Ап,/<п) как независимые координаты на всём фазовом пространстве £. Пусть, кроме тою, данные координаты являются координатами Дарбу, ТО еСТЬ удовлетворяют Классическим СООТНОтеНИЯМ {Ai,Aj} = {fiiyftj} = 0, {А,-, р,} = Sij. Тогда, если известны выражения этих координат через первоначальные динамические переменные, то данная система может быть приведена х квадратурам в виде абелевых интегралов по методу Гамильтона-Якоби. В этом смысле данный подход представляет собой замечательный синтез симплектической и алгебраической геометрии. Кроме того, знание координат Дарбу позволяет осуществить процедуру квантования интегрируемой системы.
В настоящее время такие координаты вычислены для большинства известных конечномерных систем. В частности, следуя мощному методу функций Бейкера-Ахнезера ([29]), в статье [56] указывается конструктивный способ нахождения разделяющихся переменных для систем с парами Лакса вида (2), а также их приведения к квадратурам Абеля-Якоби.
Содержание диссертации. Широко распространено мнение, что интегрируемые системы являются гамильтоновыми. Существует, однако, более широкий класс систем, которые, по крайней мере a priori не являются гамильтоновыми, но обладают определёнными тензорными инвариантами, обобщающими понятие первого интеграла, в частности, инвариантной ме»
4
рой. На важность изучения подобных систем впервые обратил внимание А. Пуанкаре. Их изучение было продолжено в работах В. В.Козлова (см. [21]). который отметил существование большого числа интегрируемых систем с инваряаптной мерой, поведение которых не отличается от поведения интегрируемых гамильтоновых систем: фазовое пространство расслаивается на торы, а движение происходит по их прямолинейным обмоткам, хотя, в общем случае, неравномерно.
В Главе I даётся краткий обзор систем с инвариантной мерой, возникающих в задачах неголоиомной механики, среди которых особое место занимает знаменитая интегрируемая задача Чаплыгина о качении динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости и её различные обобщения. Здесь мы показываем, что, при некоторых ограничениях на начальные условия, в результате замены времени и части перемени»« данная задача сводится либо к уравнениям движения волчка Эйлера (или гиростата Жуковского-Вольтерра), либо к интегрируемому случаю Клеб-ша уравнений Кирхгофа.
Центральное место в главе занимает исследование уравнений Эйлера-Пуанкаре на унимодулярных группах Ли с кинетической энергией, являющейся суммой левоинвариаитной и правоинвариантиой метрик, а также некоторой их негамильтоновой модификации, так называемой Ь + 11-системы. Мы доказываем, что последняя обладает инвариантной мерой, а Теорема 1.2.3 даёт выражение для её плотности. Оказывается, что для случая группы 50(3) подобные системы порождают ряд известных и тегируемых задач неголоиомной механики, в частности, задачу о качении шара Чаплыгина или движении тела в шаровом подвесе.
В пределе, когда правой»!вариантной метрика становится вырожденной и сингулярной, Ь + Я-системы переходят в уравнения Эйлера- -Г1уанка1>с с левоинвариантной кинетической энергией п правоинвариатгпшми (в общем случае неговономными) связями на группе Ли, - - так называемые ЬЯ системы, изучавшиеся в работе [10]. Одна из наиболее интересных ЬЯ. систем — задача о движении п-мерного волчка Эйлера под действием связей, требующих, чтобы некоторые из компонент матрицы угловой скорости в пространстве были постоянными или равны нулю. £ 4- Я-системы представляют собой наиболее общий на данный момент метод построения систем с инвариантной мерой на группах Ли.
В Главе И рассматриваются геометрические и алгебро-геометрические свойства многомерных интегрируемых обобщений систем Эйлера, Клебша и Стсклова -Ляпунова, включая их гироскопические обобщения. Вначале даётся исторический комментарий о возникновении и исследовании этих систем и приводятся их известные представления Лакса с рациональным спектральных! параметром, найденные С. В. Манаковым и А. М. Перело-моным в [32, 37]. Данные пары Лакса позволяют построить нетривиальные
интегрируемые обобщения системы Клебша, такие как задача Тиссерана о движении тела в поле двух осесимметричных квадратичных потенциалов (см. также (68)) и аналог систем Неймана на многообразиях Грассмана
<7(2, п) (|3в1).
Затем для названных систем мы указываем другие представления Лак-са с параметром, определённым на (накрытиях) (гипер)эллиптпческих кривых, которые были найдены автором в (45, 84. 86]. Отметим, что для гироскопических систем Жуховского-Вольтерра и Стсклова Ляпунова Рубановского известны лишь только такие пары Лакса. Для многомерных систем Стеклова-Ляпунова мы также указываем соответствующую бига-мильгонову структуру, обеспечивающую их интегрируемость. При этом мы приходим к неожиданному, на первый взгляд, выводу о том, что такие системы оказываются обобщениями систем Эйлера Малахова на зо(т). Кроме того, мы строим представление Лакса для новой “гибридной" интегрируемой системы на пространстве зо(т) ф зо(т) ф К”, сочетающей в себе свойства систем Стеклова-Ляпувова и Клебша Переломова.
В продолжении данной главы рассматриваются частные решения систем Эйлера-Манакова и Клебша -Переломова соответствующие движению на сингулярных орбитах коприсоедииенного представления алгебр Ли $о{т) и е(п) соответственно. При этом мы показываем, что каждому такому решению соответствует некоторое подвижное линейное пространство (^-плоскость), касающееся набора фиксированных конфокальных квадрик. Многообразие таких касательных пространств оказывается тесно связанным с инвариантными многообразиями названных систем. Данные факт является обобщением замечательной геометрической конструкции, лежащей в основе интегрируемости классической Якоби о геодезических на п-мерном эллипсоиде — Теоремы Шаля. Более того, оказывается, что если данные квадрики связать с многомерным телом, то некоторый ортогональный базис в Л-плоскости совместно с нормальными векторами к квадрикам в точках касания образуют неподвижный в пространстве ортоюнальный репер. Данное свойство позволяет по решениям названных систем восстановить положение тела в пространстве, а также дать геометрическую интерпретацию движения свободного многомерного волчка ((47)), обобщающую результаты работы (26).
В последующих параграфах Главы II мы вводим и изучаем гамильтоновы динамические системы на расширенных (афпнных) многообразиях Штифеля У(А,т), которые порождаются парами Лахса вида (2), а редукции которых совпадают с ограничениями систем Эйлера-Манакова и Клебша-Переломова на орбиты коприеоединенного представления алгебр 5о{т) н е(п) ранга к, а также с аналогами системы Неймана на грассмаии-анах <?(Л,п). В этом смысле представления Лакса для систем на У[к,т) являются дуальными к известным Ь-А парам Малахова и Переломова.
6
Данное свойство позволяет применить изложенный в {56] метод нахождения разделяющихся переменных (координат Дарбу) на данных орбитах и приведения таких систем к квадратурам Абеля Якоби. Мы указываем явно квадратуры и координаты Дарбу на самом многообразии У(2, т), которые параметризуют движение волчка Эйлера непосредственно на группе 50(т) в простейшем случае ранга 2. При этом квадратуры представляют собой обобщенное отображение Абеля -Якоби, содержащее мероморфный дифференциал на спектральной гиперзллнптической кривой. Этот результат дополняет работу [57], где были вычислены координаты Дарбу на сингулярных орбитах ранга 2 в алгебре ао(ш).
В заключительном параграфе §2.7 мы рассматриваем интегрируемые динамические системы на прямом произведении У(&, т) х Е6*т, редукции которых совпадают с редукциями системам Стеклова-Ляпунова на орбиты ранга к в зо(гп) х во{тп). Первые системы допускают матричное представление Лакса размерности к х к, которое уже не может быть представлено в форме (2). Для случая ранга 2 наша Ь-А пара имеет размерность 2 х 2 и фактически даёт представление Лакса с рациональным спектральным параметром для классических систем Стеклова Ляпунова. С его помощью мы находим разделяющиеся переменные и приводим данные системы к квадратурам, которые оказываются стандартным отображением Абеля-Якоби, связанным к гиперэллиптической кривой, а также находим выражения для компонент матрицы вращения тела. В классическом случае тп = 3 наши формулы совпадают с виртуозными вычислениями Ф.Кёггсра в |103].
В Глане III в самодостаточной форме изучается проблема обращения обобщенного отображения Абеля-Якоби, содержащего, помимо голоморф-ных, мероморфные дифференциалы третьего рода на алгебраической кривой. Эта задача впервые рассматривалась в явной форме в монографии [75], а в {40, 125] были описаны её алгебро-геометрические свойства Мы указываем явные выражения для так называемых гииерэллиптических корневых функций (\VurzelDfunktjoncn) в терминах обобщенных тэта-функций и тау-функций — вырождений стандартных тэта-функций, в случае, когда один пли несколько периодов гиперэллиптического Якобиана устремляются к бесконечности.
Полученные нами выражения позволяют немедленно выписать тэта-фуикциональные решения рассмотренных выше систем для случая ранга 2, что составляет содержание §3.2.
Глава IV посвящена описанию и интегрированию некоторых обобщений классического эллипсоидального биллиарда и построению интегрируемых дискретных аналогов волчков Эйлера и Лагранжа.
В разделе §4.1 впервые указываются явные формулы отображения бил-
7
лиарда с квадратичным (гуковским) потенциалом, его представление в форме Лакса, решение в тэта-функциях, а также описываются его геометрические и симплсктнчсеие свойства, в частности, приводится производящая функция ограничения данного отображения на многообразие уровня интеграла типа энергии. Оказывается, что добавление потенциала существенно меняет симллектическую и алгебро-геометрическую структуру данной дискретной системы. Метод, с помощью которого были получены тэта-функциональные решения, отличается от использовавшихся в [8], (9) и основывается на вычислениях предельных значений мероморфных функций на обобщенных якобианах (|'18|).
В §4.2 мы рассматриваем модификацию описанною выше расслоения £ -» U, где база U есть подпространство гиперэллиптнческнх кривых {/г = Я (А)} рода д, а слои суть д + 1-мерные обобщённые Якобианы этих кривых. При этом мы строим отображение ВЛ|>Лі : £ —> £, ограничение которого на каждый неособый слой есть сдвиг на вектор, зависящий от параметров Л1? Аа. Данное отображение даёт аналог известной теоремы сложения для эллиптических функций на случай мероморфных функций на обобщённых якобианах и может бы ть представлено в матричной форме со спектральным параметром А
Ц\)Щ\) = Л/(А)Щ). (4)
Для случая мероморфных функций на обычных гиперэллиптнческнх якобианах подобная теорема сложения была впервые указана в |114j, а сё различные модификации — в [73,108, 118,119| в связи с дискретизацией ряда интегрируемых систем, линеаризуемых на таких якобианах.
Отождествляя затем L{А) в (4) с 2 х 2 матрицах™ Лакса для волчков Эйлера и Лагранжа, мы получаем их интегрируемые дискретные аналоги. При этом, в отличие от известных дискретизаций свободного волчка, указанных в (117), (65) и описывающих отображения в (ко)алгсбре so(3) (пространстве кинетического момента тела), мы получаем отображения непосредственно в группе SO(3) (после фиксирования кинетического момента в пространстве). Полученная нами дискретизация волчка Лагранжа имеет те же первые интегралы, что и классическая система и отличается от дискретизации, построенной в [СО]. Кроме того, впервые приводится геометрическая модель дискретного волчка Эйлера.
Значительная часть символьных вычислений и данной работе была проделана с помощью программы Maple V (Release 4). Автор глубоко признателен своему научному констультанту В.В.Козлову за всесторошою поддержку, А. Веселову, А. Левину, В. Кузнецову, Л. Гаврилову и офицн альным оппонентам за ценные замечания, а также всем членам своей семьи за терпение и помощь при подготовке рукописи диссертации.
8
Глава 1
Динамические системы с инвариантной мерой
1.1 Примеры динамических систем с инвариантной мерой
Очевидно, что каждая гамильтонова система имеет инвариантную меру, так как дивергенция ее правой части обращается в нуль. Помимо гамильтоновой динамики, другие нетривиальные примеры систем с инвариантной мерой возникает в неголономной механике, в частности в задаче о качении твёрдых тел но поверхности без проскальзывания. Пусть Р есть единственная тючка контакта тела с поверхностью качения, т и J — масса и тензор инерции тела по отношению к центру масс С, — угловая скорость тела, а % — скорость центра масс. Положим г = ОР. Вектор К = Ju + тг х (и х г) описывает кинетический момент тела относительно точки контакта Р. С учетом условия качения без проскальзывания
в системе отсчета, связанной с телом, уравнения движения можно представить в следующем виде
Эти уравнения нужно рассматривать вместе с дифференциальным уравнением для эволюции радиуса-вектора г.
Наиболее общий результат, касающийся существования инвариантной меры в этой задаче, получен В. Ярогцук [52]. \1ы приведем два важных случая.
1. Рассмотрим свободное качение плоского диска по сфере радиуса II. Выбирая подходящим образом оси, связанные с телом, мы можем поло-
ъо + и х г = О,
К + и у К = тг х (и хг).
(1.1.2)
9
жить г = (гг1г*,0)т| J = (11ак(А1, А2. >1 4-А2), где А1|Ая — известные величины. Положим также в этих осях и = (и|,и3,Шз)т. Из (1.1.1), (1.1.2) получаем следующую замкнутую систему уравнений
К + и х К = т(г,г)ш, г, — Дъь.'г, г2 = — Яид, г3 = 0.
Оказывается, что в фазовом пространстве (и;, г) эта система имеет инвариантную меру с плотностью
д = ((Аг + А2)г8 + (г, Л)) у/л, + А2 + тг3.
2. Рассматривается свободное качение выпуклой поверхности со сферическим тензором инерции У = А1 (I = (Пае (1,1,1)) по сфере. Пусть поверхность определяется уравнением /(г1,г21г3) = 0, а п(г) = «габ Г| —
единичный вектор внешней нормали в точке Р. Через Я, к,, к? обозначим соответсвенно матрицу Гессе для фупкции /(г) и две главные кривизны в точке касания Р. Условие (1.1.1) дает следующие кинематические уравнения в 3 X 3-матричном виде
(7(г) + й ‘1)г = -ихн(г), где ^(г) = (I — п®п)Я/|§пи!Г|. (1.1.3)
11оскольку оператор V (г) + Я~!1 новы рожден, отсюда вектор г однозначным образом выражается через г, и. Как показано в [52], система (1.1.2), (1.1.3) в фазовом пространстве (со, г) имеет инвариантную меру с плотностью
ц = (А + тг2)3/2(*, + 1/Я)(*2 + 1/Д)- (1.1.4)
В пределе, когда Я = ос (1/Я = 0), из (1.1.4) получаем плотность ипвари-аптиой меры для свободного качения тела на плоскости.
Интегрируемые системы с инвариантной мерой. В отдельных случаях иеголономные системы, описывающие качение без проскальзывания тела по поверхности, не только имеют инвариантную меру, но и являются интегрируемыми в квадратурах. Замечательным примером служит задача о качении тяжелого осесимметричного тела но горизонтальной плоскости, которая была решена Аппелем и Кортевегом в гипергеометрическнх функциях. Полное качественное исследование движения диска дано в |42].
Другим замечательным примером является задача Чаплыгина о качении динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости (|51)]). Рассмотрим следующее её обобщение. Пусть шар катится без проскальзывания по внутренней поверхности неподвижной сферы радиуса Я. Предположим, что шар несёт осесимметричный ротор, которого фиксирована в шаре и направлена едать единичного вектора с(. Пусть Мг — вектор
10
кинетического момента ротора по отношению к центру С шара. Из этого следует, что проекция Мт на I постоянна, поэтому вектор I = (Л/г,с/)е/ постоянен в системе отсчета, связанной с шаром. Пусть Р — точка касания шара со сферой, а у - единичный вектор, направленный из центра сферы к Р. Полный кинетический момент шара и ротора относительно Р задается вектором
К = ./ы + ( + Оу х (ыХ7) = Лу + ^- £>(01,7)7, (1.1.5)
/> = тР\ Л = і + ОІ,
где и, р, т обозначают соответственно угловую скорость, радиус и массу шара; З, Л суть тензоры инерции тара по отношению к точкам С и Р соот-ветственно. Поскольку связи, определенные уравнениями їр =иСги х 7 = О, допускают бесконечно малый поворот шара вокруг точки Р, по обобщенной теореме об изменении момента (см. (49)), вектор К остается постоянным в пространстве. В результате мы приходим к следующим уравнениям
К = Кхи, 7 = *7x0?, к = И/(Я-р). (1.1.6)
где, как следует из (1.1.5),
Ли + * = *+ £(*-, Л"17), Р = (/7,Л-17).
Таким образом, (1.1.6) представляет собой замкнутую систему шести скалярных дифференциальных уравнений для переменных и/, 7 либо К. 7. В первом случае явные уравнения имеют вид
Аы = (Ло> + С) х и + ^ (Л"*7, (Ль> + ()х и)7, ^ 1 ^
7 = ку х и.
Используя известное уравнение Лиувилля для плотности инвариантной меры, легко проверить, что данна система имеет интегральный инвариант
Шац&дЛ—Л&ъ, где /і=£*1/2". (1.1.8)
Поскольку плотность {і отлична от нуля, то XV есп. инвариантная мера. Заметим, что система (1.1.6), записанная в переменных Кл у имеет инвариантную меру
-і
= F^.
д( о?, 7)
Кроме того, система (1.1.7) имеет три независимых интеграла
(К» = (и, Ли?) - Da(w,7)3 = I, {К, К) S (Ли? 4-і- D{и?,7)7)2 = п,
(7,7) = 1. l,n = const.,
(1.1.9)
11
Таким образом если найдется четвертый интеграл, независимый с (1.1.9), то система окажется интегрируемой по теореме Якоби.
Известны два случая, когда такой интеграл существует. Пусть радиус R сферы стремится к бесконечности. В пределе в (1-1.7) получаем к = 1, и приходим к задаче о качении гироскопического шара по плоскости
Aw = (Ли; + £) х ы + j (Л-17, (Aw + () х wfr, (1110)
7 = 7 X w.
При этом, также как и кинетический момент К, вектор 7 неподвижен в пространстве, что влечет существование интеграла площадей
{К,у) = (Jw + £,у) = h, Л = const. (1.1.11)
Данное интегрируемое обобщение классической задачи Чаплыгина было найдено А.П.Маркеевым в [33|.
Во втором интегрируемом случае, обнаруженном в ([б]), следует положить I = 0, к — — 1. Тогда, вместо (1.1.11), имеем следующий интеграл
(АГ, 7) - Лт) “ h>' h' ~ const-
Заметим, что в силу определения к, условие к = -1 подразумевает геометрически нереальное соотношение р = 2R. Все же, данная ситуация имеет механическую интерпретацию: шар можно заменить сферой внутреннего радиуса р и массой т, которая обкатывает без проскальзывания неподвижную сферу радиуса R. Существует гипотеза, что в случае £ = О обобщенная система Чаплыгина (1.1.7) интегрируема для любого целого к и имеет дополнительный алгебраический интеграл степени > 1 но компонентам w.
Частное решение о качении гироскопического шара. Полное решение классической задачи о шаре Чаплыгина дано самим Чаплыгиным в его знаменитой работе |50]. Он свел уравнения движения к квадратурам, используя замену времени dt = цАт. Общее решение гироскопического обобщения данной задачи значительно более нетривиально.
Рассмотрим частный случай движения гироскопического шара, когда вектор углового момента К параллелен 7, то есть
К=пу, (7,т) = 1. (1.1.12)
Тогда второй и третий интегралы в (1.1.9), также как и интеграл площадей (1.1.11). становятся зависимыми. В силу (1.1.5), в фазовом пространстве (uj,7) соотношения (1.1.12) определяют семейство {,7л} инвариантных двумерных поверхностей
Jk = {Aw +1 = Ху, (7,7) = 1, X = h+D(u,y)}. (1.1.13)
12
Поверхности уровня первого из интегралов (1.1.9) (интеграла энергии) высекают одномерные многообразия на Зн — траектории системы (1.1.7).
Зафиксируем теперь некоторое значение 1ъ. Используя (1.1.13). выразим 7 через Ли; + ( и X, затем подставим его в (1.1.7). В результате получаем следующую систему уравнений
2
ЛЛ = (Ли + £) х со + 7в7Ху> (1.1.14)
7 = ((Ац/ + I) ж «, Л'1*), Р = (77, Л-17), (1.1.15)
которая совпадает с: системой (1.1.7) на многообразии Зи- (Очевидно, что если £ = 0, то 2 г 0, и (1.1.15) сводится к системе, описывающей движение волчка Эйлера, которая немедленно интегрируется. Используя (1.1.13), (1.1.15), далее находим
Следонательно, произведение РА'2 есть первый интеграл системы (1.1.15). Положим РА'2 = д, где константа д может быть функцией от Л, I. Используя (1.1.13), находим
$*л7л+*+(*.Л"Ч).
В дальнейшем будем предполагать, что Л ф 0 (случай /»= 0 соответствует тривиальному перманентному вращению гироскопического шара с угловой скоростью и = —Л"Ч). Теперь фиксируем значение д и выводим
X = И + 0(«,7) = Л + 0{1 + Ш))/Н. (1.1.17)
В силу (1.1.16), первое уравнение в (1.1.15) можно записать в виде
Ла> = (Леи + £) хш + — (Лй^ + (). (1.1.18)
Разделив обе части (1.1.18) на X, получим
^ (1(Ли7 + *)) = 1(Л« + <)хы. (1.1.19)
Теперь введем НОВЫЙ вектор X = (11,12,Х3)Г и время г такие, что
*=«/*, Л = Лт/Х. (1.1.20)
Тогда соотношение (1.1.17) дает
13
В результате, в новых переменных уравнения (1.1.19) примут вид
или
Наконец, поскольку матрица J симметрическая, то существует ортогональное преобразование
х = <ту, уеК3, 9Ле*>(3),
которое приводит 7 к диагональной матрице J^ = Ш~у7ш. При этом (1.1.21) принимает вид
Уравнения (1.1.22) по форме совпадают с системой Жуковского -Вольтерра, описывающей свободное движение гиростата, тяжелого тела несущего осесимметричный ротор (см. (17|, (134) и Главу 2). Постоянный вектор і связан с осевым угловым моментом ротора. Однако, собственные значения “тензора инерции” J' не обязательно положительны. Заметим, что параметры систем (1.1.21), (1.1.22) зависят от констант интегралов задачи Чаплыгина.
Из интеграла РА2 = д получаем А' = д}ц, где р = у/Т — плотность инвариантной меры системы (1.1.7). Таким образом, замена (1.1.20), приводящая наш случай к гамильтоновой системе (1.1.21), имеет тот же вид, что и преобразование в методе Чаплыгина приводящего множителя.
Заметим также, что композицию замен ео -* х, х -* у можно рассматривать как проективное преобразование трехмерного пространства (101,002,103). Согласно (134), другое проективное преобразование приводит гироскопическую систему Жуковского-Вольтерра к “однородной” системе волчка Эйлера. Таким образом, вели дано полное решение системы Эйлера, то решение системы Чаплыгина для случая К = Л-у можно найти через подстановки (1.1.20), (1.1.13).
Редукция к интегрируемому случаю Клебша уравнений Кирхгофа. Теперь вернемся назад к исходной задаче о шаре Чаплыгина с ( = 0 и рассмотрим случай, когда постоянный вектор кинетического момента К горизонтален, т.е. когда константа площади Л в (1.1.11) равняется нулю. Тогда интегралы (1.1.9), (1.1.11) можно переписать в виде
= [Гу + й)ху, с/ = М-Ч/а.
(1.1.22)
(со,Лео) - £>2(со,у)2 = /, (7со,Лео) = п- И1,
(7і7) = 1. (^ео,7) = 0.
(1.1.23)
14
Введем новый вектор Я = Уа?. Из (1.1.23) имеем
(0,7) = о, Р = п-т. (1.1.24)
Теперь умножим обе части уравнений (1.1.7) для к = 1 на плотность /і = \Л^7і А' *7) инвариантной меры (1.1.8) н прибавим вектор № к обеим частям первого уравнения. Тогда, используя соотношение
іі=-І>((7Ха>)1Л-1'у)//‘,
получаем
= ^л-чд X цГ'а) + ((^ х „.ГЧ?), ОЛ-‘7^л-7) /л--^((ГХ^.Л-Ч)/^, (1.1.25)
^7 = 7Х І-1У. (1.1.26)
Затем переходим к новому времени г и новому вектору М по формулам
сЫ = /і (іт, М = цСі = \i.1u. (1.1.27)
В результате, исиатьзуя хорошо известные тождества из векторной ал-
гебры и условие (С}, у) = (Л/, 7) = 0, из (1.1.25) получаем следующие уравнения
d „ w _l%, D (AA/.J-’A/)
— 7 = 7 x J~lM, A = J + Dl,
аг
(1.1.28)
которые имеют интеграл L(M, у) = (AM, J~lM)/(Jy, A~ly). Таким образом, на поверхности уровня (L(M,y) = £} система (1.1.28) совпадает со следующей системой
М = М х J~lM — .в1 у х Jy, £у = 7хГ'М, & = -гг-\ (1.1.29)
dr ат (let Л
Эти уравнения имеют вид уравнений Кирхгофа с функцией Гамильтона Н = j(Af, - ^5(7» Jl)- Кроме гамильтониана и тривиального ин-
теграла (7,7)1 система (1.1.29) имеет интегралы
(Л/, 7), (ДА/, Г'М) - W7,A-l7) (1.1.30)
и, следовательно, интегрируема по теореме Якоби. Данный интегрируе-
мый случай уравнений Кирхгофа обнаружен Клебтпем (|7б)). В Главе П мы рассмотрим его более подробно.
15
- Киев+380960830922