Моделирование нелинейных нестационарных задач динамики пространственных конструкций МКЭ

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Краткий обзор литературы
1.1. Анализ математических моделей нестационарного деформирования упругопластических сред и тонкостенных элементов конструкций.
1.2. Обзор численных методов решения нелинейных задач нестационарного деформирования конструкций
1.3. Методы численного моделирования контактного взаимодействия деформируемых тел.
1.4. Численное моделирование взаимодействия конструкций с грунтовыми средами
1.5. Методы решения задач нестационарного деформирования фубоироводов с протекающей жидкостью
1.6. Выводы из обзора. Цели и структура диссертационной работы.
2. Конечно-элементная модель нестационарного упругопластического деформирования конструкций
2.1. Определяющая система уравнений
2.2. Метод расчета напряженно-деформированного состояния отдельных элементов конструкций при импульсных воздействиях
2.2.1. Восьмиузловон конечный элемент для решения трехмерных задач динамики сплошных сред и оболочек
2.2.2. Четырехузловой конечный элемент для решения трехмерных задач динамики оболочек
2.2.3. Конечный элемент для анализа нелинейных трехмерных задач нестационарного деформирования стержней (трубопроводов с жидкостью)
2.2.4. Интегрирование определяющей системы уравнений но времени
6
8
8
16
25
35
38
41
47
47
52
56
60
65
72
3
2.2.5. Численная рсализия граничных условий 73
2.3. Регуляризация и монотонизация численного решения трехмерных задач нестационарного деформирования элементов конструкций. 75
2.3.1. Тетраэдры пониженной жесткости как способ
подавления мод нулевой энергии 75
2.3.2. Алгоритм консервативного сглаживания численного решения. 77
2.3.3. Регуляризация матрицы масс н повышение шага интегрирования по времени. 79
2.4. Конечно-элементное моделирование контактного взаимодействия деформируемых тел. 81
2.4.1. Вспомогательные операции вычислительной схемы описания движения контактной границы. 82
2.4.2. Решение задачи контакта, сформулированной для узловых скоростей перемещений (метод "скоростей"). 94
2.4.3. Решение задачи контакта, сформулированной в узловых
силах (метод "сил"). 101
3. Программная реализация методики. Решение тестовых задач. 106 3.1.11рограммный комплекс "Динамика-3" 106
3.2. Анализ точности методики решения в задачах нестационарного деформирования от дельных конструктивных элементов 108
3.3. Тестирование алгоритмов и программ численного моделирования контактного взаимодействия
деформируемых тел 123
3.4. Анализ точности численной схемы решения задач динамики составных конструкций 127
3.5. Апробация конечно-элементной методики моделирования нестационарного деформирования грунтовых сред в задачах
4
соударения 132
4. Экспериментальный и теоретический анализ упругопластического деформирования массивных тел и оболочек при импульсных и ударных воздействиях 135
4.1.1 {аклонный удар алюминиевого цилиндра по стальной преграде. 135
4.2. Проникание стального цилиндра в прямоугольную алюминиевую пластину. 139
4.3. Численное моделирование больших формоизменений упругопластической цилиндрической оболочки при
осевом сжатии 144
4.4. Импульсное обжатие торца трубы с овальным
поперечным сечением. 147
5. Численное решение трехмерных задач динамики конструктивных элементов ядерных энергетических установок (ЯЭУ) 151
5.1. Выпучивание страховочного купола ЯЭУ при падении на
него плиты перекрытия 151
5.2. Нестационарное деформирование опорной конструкции внутрикорпусной шахты ядерного реактора 154
5.3. Динамическое выпучивание гидрозатвора при его обжатии 156
5.4. Деформирование трубопроводов при импульсных и ударных воздействиях I59
5.4.1. Деформирование трубопроводов при их лерекрегеном соударении 159
5.4.2. Нестационарное упругопластическое деформирование трубопровода при соударении с пластиной 161
5.4.3. Деформирование заглубленного в грунт трубопровода
при падении на него самолета 168
5.4.5. Численное моделирование нестационарных колебаний трубопровода с жидкостью при различных начальных и
граничных условиях
6. Нестационарное деформирование контейнеров и опорных конструкций в аварийных ситуациях.
6.1. Исследование выпучивания стоек стеллажа при падении на дно шахты.
6.2. Численный анализ динамического деформирования поддона с контейнерами при их аварийном падении с погрузчика.
6.3. Численное моделирование упругопластического деформирования контейнеров при ударном нагружении.
6.4.. Численное исследование нестационарного деформирования взрывозащитной камеры (ВЗК)
7. Основные результаты и выводы
8. Список литературы
9. Приложение (таблицы и рисунки к диссертации, акт о внедрении)
6
ВВЕДЕНИЕ.
Методы расчета поведения конструкции при ударном и взрывном нагружении являются одной из актуальных и сложных проблем механики деформируемого твердого тела Ударные и взрывные воздействия характерны для ряда современных технологических процессов в машиностроении, крупномасштабном строительстве и других отраслях техники. Особую актуальность приобрели проблемы безопасности объектов нефтегазового комплекса, атомной энергетики, контейнерных перевозок взрывчатых, токсичных и радиоактивных веществ. При проектировании несущих и защитных конструкции, решении задач безопасности центральная роль отводится вопросам обеспечения их прочности и надежности в аварийных ситуациях, которые возникают в результате террористических актов, природных и техногенных катастроф и сопровождаются интенсивными динамическими воздействиями. Процессы нестационарного деформирования конструкций в настоящее время остаются малоизученными. "Это обусловлено:
• многообразием конструкции, включающих в себя тонкостенные элементы (стержни, пластины и оболочки) и массивные тела (днища, уплотнители, узлы крепления и т.д.);
• контактным взаимодействием конструктивных элементов между собой и окружающими (заполняющими) телами или средами;
• образованием, распространением и взаимодействием волн деформаций и напряжений;
• возможным появлением пластических деформаций и зон разрушений:
• большими перемещениями, формоизменениями и другими нелинейными
эффектами.
Эти и другие особенности затрудняют не только аналитическое, но и численное решение задачи. Эффективность анализа нестационарного деформирования сложных конструкций значительно снижается, если методика решения не учитывает особенности геометрии и напряженно-деформированного состояния отдельных конструктивных элементов.
7
В связи с изложенным выше представляются актуальными разработка, развитие и обоснование современных численных методов и алгоритмов решения трехмерных нелинейных задач деформирования конструкций при ударном и взрывном нагружении, позволяющих на относительно грубых сетках с приемлемыми затратами вычислительных ресурсов получать удовлетворительные по точности результаты.
Диссертационная работа выполнена в НИИ механики Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского в соответствии с планом научно-исследовательской работы института.
Считаю своим долгом выразить благодарность научному консультанту Заслуженному деятелю пауки РФ, академику РАИН, доктору физико-математических наук, профессору В. Г. Баженову за многолетнее плодотворное сотрудничество, сформировавшее мое научное мировозрение и тему диссертационной работы.
8
1. КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.
1.1. АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕСТАЦИОНАРНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД И ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ.
При описании движения исследуемого юла в механике сплошных сред исходят из двух методов [140 ] , отличающихся выбором независимых переменных. Согласно методу Ла1ранжа параметры, характеризующие деформируемое тело (напряжения, деформации, температура и т.д.) могут быть выражены как функции материальных координат. В случае эйлерова описания сетка фиксируется в принимаемой системе отсчета. В приложениях с успехом использовались как представление Лагранжа [178.299,314.357]. так и представление Эйлера [211, 257, 355] . Каждому из них присущи определенные преимущества и недостатки, своя облапь эффективной применимости. В литературе [51,211, 305. 314], посвященной обсуждению этого вопроса. в частности отмечается следующее.
Достоинство лагранжевых переменных связано с движением расчетной сетки вместе со средой. Это даег возможность автоматически определять границы области и линии раздела сред. В процессе решения задачи расчетная область аппроксимируется разностной сеткой с одним и тем же количеством узлов. Таким образом, если при деформировании не происходит значительных искажений сетки, то начальная точность решения задачи сохраняется. При использовании лагранжевого метода не возникает особых проблем с учетом информации, характеризующей историю нагружения, необходимую при анализе упругопластического деформирования. При использовании Эйлеровых переменных для учета истории нагружения требуется формирование соответствующих процедур.
Наиболее серьезным недостатком метода Лагранжа является то. что ячейка будучи деформируемой не может искажаться беспредельно, по-
9
скольку это. как правило, сопровождается уменьшением шага интегрирования по времени и потерей точности решения. Подобные трудности осложняют, например, анализ соударения тел с большими скоростями, решение задач, в которых поверхности раздела между различными средами сталкиваются между собой и т.д. Таким образом, если в процессе движения сетка расчетной области искажается настолько, что требуется ее перестройка. то более подходящим может стать метод Эйлера.
Эйлеровы переменные обладают тем преимуществом, что позволяют проводить расчеты без каких-либо затруднений и при сильных деформациях и больших относительных перемещениях. Однако эффективность метода Эйлера значительно снижается рядом недостатков:
• в нем трудно определять малые изменения параметров при исследовании движения в большой области;
• возникают проблемы с определением границ;
• число узлов разностной сетки расчетной области меняется в процессе счета, что приводит к понижению точности решения задачи.
Для многих задач не подходит ни чисто лагранжев. ни чисто эйлеров метод. Так. например, в задаче о взрыве заряда ВВ внутри оболочки, заполненной жидкостью или газом, целесообразно расчет оболочки по лагран-жевому методу сочетать с расчетом жидкости или газа с помощью эйлеровых переменных. Развитию методов, сочетающих преимущества лагранже-вого и эйлерового способа описания движения среды, посвящены работы [179, 233, 305]. Так. например, в [179] используются три варианта перемещения узловых точек:
• узлы перемещаются со средой как в переменных Лагранжа;
• остаются фиксированными как переменных Эйлера;
• перемещаются произвольным образом, что позволяет осуществлять перестройку сетки в процессе счета.
Эти методы, обладая большой общностью и универсальностью, имеют сложную логическую структуру, что делает их более трудоемкими.
10
Таким образом, исходя из результатов исследований других авторов [211, 105. 314], можно сказать, что при умеренных деформациях, рассматриваемых i настоящей работе, целесообразно использовать лагранжевые переменные.
Для описания упругопластического поведения материала применяют соотношения теории пластичности. Общие уравнения связи между напряжениями и деформациями для траекторий произвольной кривизны сформулированы A.A. Ильюшиным в работе/142/. Однако трудоемкость этой методики и отсутствие экспериментальных данных ограничивает ее применение. На практике наибольшее распространение получили деформационная теория пластичности и теория течения.
Деформационные модели устанавливают связь между конечными значениями тензоров деформации и напряжений. Наиболее распространенной среди теорий этого направления является теория малых упругопластических деформаций A.A.Ильюшина /141,213/. Основными достоинствами этой модели являются ее математическая обоснованность, относительная простота и приемлемая точность результатов для процессов простого нагружения. Однако при непропорциональных знакопеременных нагружениях в задачах нестационарной динамики теория малых упругоиластических деформаций неприемлема. В теории течения рассматривается связь между скоростями или приращениями деформаций и напряжений. Подробный обзор теорий течения и их приложений приведен в /171.239/. Для решения многих исследовательских и прикладных задач применялись соотношения упругопластического течения Праидтля-Рейса (модель упругоидеальнопластического тела). Обобщением этих теорий на упрочняющиеся материалы являются дифференциальные теории пластичности. В основе дифференциальных теорий лежит ассоциированный закон течения, согласно которому в точке нагружения направление вектора скорости пластических деформаций совпадает с нормалью к поверхности текучести (для регулярных точек). Поверхность текучести в процессе деформирования может смещаться в пространстве напряжении, менять форму и размеры. Для изо-
тропных материалов начальная поверхность текучести хорошо описываем ся уравнением Мизеса. Среди дифференциальных теорий широкое распространение получили теории, основанные на концепции кинематического и изотропного упрочнения. Эти теории имеют более широкую область применимости и более удобны в численной реализации, чем теории деформационного типа.
Большой вклад в развитие дифференциальных моделей теории пластичности внесли работы Р.Л. Арутюняна и A.A. Вакуленко/19/, А.Ю. Ишлинского/145/, 10.1'. Коротких/184/. В.В. Новожилова и Ю.И. Кадаше-вича /148/ , В. Прагера /252/. В.И.Кукуджанова /193/ и др. Многочисленные исследования показали, что результаты расчетов по теории течения с использованием комбинированного упрочнения в основном соответствуют экспериментальным данным, хотя и имеются некоторые отклонения /203/.
Многими исследователями /70. 208, 254, 306, 307,341, 367/ было установлено, что изменение скорости деформаций на несколько порядков (от
-3 -I +4 -1. _ „ ,
10 с до 10 с ) влечет за собой заметные изменения в диаграмме деформирования. В связи с этим возникла необходимость построения определяющих уравнений среды в широком диапазоне скоростей деформаций для решения задач динамики упругопластических конструкций.
11ервые попытки определения закономерностей деформирования металлов при высоких скоростях нагружения предпринимались еще в начале этого века. Уже тогда было установлено существенное отличие таких характеристик материала как предел текучести, предел прочности, остаточные деформации. при динамическом деформировании от их значений в статическом случае. Однако, прогресс в этой области длительное время был ограничен как трудностями, связанными с необходимостью измерений быстротекущих процессов, так и сложностью теоретического изучения проблемы.
В настоящее время предложено несколько моделей для описания упругопластического деформирования металлов при динамическом нагру-
12
женин. Наиболее простой является модель Рахматулина-Кармана, основывающаяся на предположении, состоящем в том. что между напряжениями и деформациями существует такая же функциональная зависимость, как и в статике, но вид ее отличается от статической и представляет собой усредненную в некотором диапазоне скоростей деформаций динамическую зависимость а - п ,,(к) . Благодаря своей простоте подобный подход получил
широкое распространение и , как показывает практика, он в ряде случаев дает удовлетворительные результаты. Методика экспериментального определения зависимости о = о (с) была предложена в работе Ленского /202/.
Другой подход к описанию материалов при динамическом нагружении базируется на предположении о существовании в случае одномерного растяжения-сжатия зависимости вида:
^•= 4/(а,е)^ + Ф(а.е) (1.1.1)
а1 си
где первое слагаемое в правой части формулы (1.1.1) характеризует мгновенную. или упругую реакцию материала, а второе определяется при бесконечно медленном деформировании. Вид функции Ф определяет переходное повеление среды при конечных значениях г . Конкретная форма функций Ф и Т может быть определена на основе экспериментальных кривых С -о(е.ё)
, полученных при квазистатических и динамических испытаниях с помощью мерного стержня Гопкинсона.
В задачах нестационарного деформирования, для которых характерно знакопеременное нагружение, теории течения, вследствии их высокой алгоритмичности обладают некоторыми преимуществами по сравнению с деформационной теорией. Некоторые варианты численной реализации соотношений теории течения представлены в работах /145,183,211/.
Тонкостенные элементы конструкций обладают рядом особенностей, допускающими при соблюдении некот орых условий, построение разрешающей системы уравнений и граничных условий с меньшим числом независимых переменных. Это позволяет существенно экономить вычислитель-
13
ные ресурсы, что является решающим фактором при анализе трехмерных задач нестационарного деформирования, отличающихся исключительной трудоемкостью. Обзор методов сведения трехмерной задачи к двумерной, решение которой приближенно восстанавливает трехмерные ноля смещений, деформаций и напряжений в оболочечных элементах конструкций приведен в работах В.З. Власова /75/. A.C. Вольмира /77/, В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова /61/, С.А. Амбарцумяна /15/. A.B. Кармишина, А.И. Жукова и др. /152/, Н.А.Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова /14/, В.В. Васильева/68/. К.З. Галимова, В.II. Паймушина /80/, Л.10. Коссовича/185/,
А.К. Перцсва, Э.Г. Платонова /243/, Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко. Г.П. Голуб /103/, А.Е. Богдановича /58/ и обзорных статьях Э.И. Григолюка,
И Т. Селезова /102/, A.A. Дудченко, С.А. Лурье. И.Ф. Образцова /123/, А.К. Галиньша /83.84/. Л.Я. Айнолы. У.К. Нигула /10/. Э.И. Григолюка, К.А. Когана/101/, H.A. Кнльчевского/165/. Ю.В. Немировского, В.И. Самсонова /219/. А.Ф. Крегерса, Г.А. Тетерса /292/, П.З. Лугового /204/.
Существующие способы понижения размерности задачи в теории пластин и оболочек можно разделить на три группы: 1) метод гипотез.
2) асимптотический метод , 3) метод разложения перемещений и напряжений в ряды по нормальной координате.
Метод гипотез базнруегся на некоторых априорных предположениях относительно характера напряженного и деформированного состояния оболочки, позволяющих получить двумерную краевую задачу, эквива-лентную в некотором смысле трехмерной. Первым вариантом теории оболочек такого типа является теория Кирхгофа-Лява. Ее применение в задачах нестационарной динамики затрудняется тем. что они являются параболическими, вследствии чего их решение не имеет волнового характера и, следовательно, не описывает полностью переходных процессов, возникающих при изгибных деформациях оболочки. В последующем уравнения этой теории уточнялись С.П. Тимошенко /380/, Я.С. Уфляндом /300/,
Р. Миндлиным /372/, М.В. Дубинкииым /122/, П. Нагди /373/, Т. Лнном,
14
Г. Морганом /366/, H.A. Алумяэ /12/, АЛ. Айнолой /6-9/, М.П. Галиным /81,82/, У.К. Ннгулом/10/, В.Н. Пай мушиным/241/, Г.И. Петрашснем /244.245/, Н.З. Якушевым /323/.
В асимптотическом методе искомые функции определяются в форме разложения по степеням малого параметра, зависящего от толщины оболочки. Этот метод применялся И.Я. Штаерманом /313/. К. Фридрихсом и Р. Дресслсром /347/, АЛ. Гольденвейзером/89-91/, Б.Е. Пободрей /247/, Н.С. Бахваловым. Г.П. Панасенко /54/ и другими авторами. В задачах динамики асимптотический метод был развит в работах Л.Ю. Коссовича /185/ и Ю.Д. Каплунова /149/. Для успешного применения асимптотического метода желательна предварительная информация об основных свойствах напряженного состояния, что снижает его эффективность . Кроме того, некоторые трудности связаны с определением граничных условий, которым должны удовлетворять дифференциальные уравнения, интегрируемые на определенном этапе приближения.
Метод рядов основан на разложении перемещений или напряжении в ряды по некоторым заданным функциям толщииной координаты и подстановке аппроксимирующих рядов в уравнения теории упругости. В результате подстановки получаются дифференциальные зависимости, из которых находятся коэффициенты этих разложений искомых функций в ряд. Метод рядов применялся в работах А. Коши /342/, C. 11уассона /377/, Ф. Краусса /364/, H.A. Кильчевского/164/, П. Эпстейна /345/, Е. Кен нарда /363/, У.К. Нигула/222/, И.Т. Селезова /286/. И.Н. Векуа /71/. В.В. Новожилова, Л.И. Слепяна /231/. H.A. Абросимова, В.Г. Баженова /4/ и других авторов. Метод рядов имеет некоторые недостатки. В частности, удовлетворение начальных и краевых условий с заданной точностью требует относительно более высокой точности уравнений. При формальном усечении аппроксимирующих рядов в разложении могут остаться члены такого же порядка малости, что и отброшенные. Поэтому успешное применение метода рядов
15
требует асимптотического анализа порядка малости отбрасываемых членов.
Действие интенсивных нагрузок может приводить к большим перемещениям тонкостенных элементов конструкций, не описываемым линейной теорией. Необходимость исследования таких процессов обусловила интенсивное развитие нелинейных теорий оболочек. Большой вклад в развитие геометрически нелинейной теории оболочек внесли работы И.Г. Бубнова, 13.3. Власова, A.C. Вольмира, К.З. Галимова, Х.М. Муштари, В.В. Новожилова, И.Г. Терегулова и др./75,77.79.102,216,217/. Можно выделить два подхода к описанию геометрической нелинейности.
В нервом подходе /7.29.53.217 и др./ рассматриваются соотношения нелинейной теории упругости /229.230/, записанные в криволинейной системе Гауссовых координат, связанной со срединной поверхностью неде-фор.мированной оболочки.
Во втором подходе/299/ используются кинематические соотношения, связывающие скорости деформаций и скорости перемещений для текущей метрики упругопластической среды. В теории оболочек этот подход был развит В.Г. Баженовым, В.И. Дресвянниковым, Е.А. Уитмером. A.C. Сахаровым и др. /28.121,210.365/. Трудоемкость второго подхода, связанная с необходимостью пересчета координат узлов сеток и определением углов Эйлера на каждом временном шаге, компенсируется более широкой областью применимости при решении геометрически нелинейных задач.
Поскольку любой способ построения математической модели деформирования оболочек является приближенным, возникает вопрос о рамках ее применимости. Решению этого вопроса посвящены работы P.M. Фин-кельштейна/232/, Х.М. Муштари /215/, У.К. Нигула/220/, Э.В. Росса /2001.
В.В. Новожилова, Л.И. Слепяна /231/, Г.И. Петрашеня /244,245/, В.Г. Ключниковой/169,170/, H.A. Абросимова. В.Г. Баженова/3.4/и др.
Установлено /231.245/, что параболическая система уравнений теории оболочек Кирхгофа-Лява достаточно хорошо описывает колебания, у ко-
16
торых длина волны не менее 10 толщин. Для описания коротковолновых переходных процессов необходимы гиперболические аппроксимации, например, уравнения типа Тимошенко. Вычислительная практика показывает, что теория оболочек типа Тимошенко обеспечивает приемлемую точность результатов для волновых процессов с длинами волн порядка 2-3 толщин и более. При этом для перемещений область применимости шире, чем для деформаций и напряжений.
В задачах нестационарною деформирования применение теории оболочек ограничивается также и изменением нагрузки во времени. В работах В.В. Новожилова. Л.И. Слепяна /231/У.К. Нигула /221/показано, что теория оболочек типа Тимошенко имеет более широкую область применения, чем теория Кирхгофа-Лява. Установлено существование областей неприводимости (окрестносги фронтов распространяющихся волн, контурные поверхности, зоны сосредоточенных воздействий), в которых справедливы лишь трехмерные уравнения теории упругости. 11аибольшнй поперечник областей неприводимости имеет относительный порядок малости равный порядку малости толщины оболочки.
1.2. ОБЗОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ НЕСТА11ИОНАРИОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
Интег рирование разрешающей системы уравнений, описывающей динамические нелинейные процессы деформирования сложных конструкций, возможно только при использовании численных методов и современной вычислительной техники. Обзоры численных методов решения задач механики сплошных Сред можно найти в /195,295/. Среди всего многообразия численных методов применительно к рассматриваемому классу задач можно выделить характеристические методы, методы конечных разностей, вариационно-разностный метод и метол конечных элементов.
17
Мсгод характеристик /258/ основан на выделении фронтовых разрывов и позволяет с высокой точностью решать задачи о распространении упругих волн в однородных средах. Однако его применение осложняется при анализе динамики составных конструкций, где необходимо учитывать многократное взаимодействие скачков. В свя зи с этим получили развитие характеристические конечно-разностные методы. Различные варианты этого метода предложены в работах В.Н. Кукуджанова /194-197/ и других авторов. Недостатки метода характеристик связаны с определенными трудностями при решении нелинейных задач и сложной логикой расчета особенностей и построения многократных взаимодействий скачков.
В этом плане более универсальными являются метод конечных разностей и метод конечных элементов.
В методе конечных разностей /30,87,197,258.279/ для приближенного решения задачи, описанной системой дифференциальных уравнений в частных производных, расчетная область разбивается на ячейки, вершины которых образуют разностную сетку области. Искомые функции заменяются совокупностью их узловых значений, вычисляемых из дискретного аналога определяющей системы уравнении. Последний получается из исходной системы уравнений на основе аппроксимации производных по пространственным координатам с помощью некоторых разностных соотношений. Для регулярных, нсискажающихся в процессе деформирования сеток, при этом часто используют простые разности первого или второго порядка /351,311,257,368/. Одной из самых популярных схем МКР является схема "крест", предложенная в работе/201/. отличающаяся простотой и высокой алгоритмичностью по сравнению с другими схемами сквозного счета. Неудобства простейших аппроксимаций производных проявляются при построении разностных соотношений для неоднородных участков сетки либо вблизи границ расчетной области. Устранение этих неудобств возможно с помощью формул естественной аппроксимации частных производных по пространственным переменным /233/, внесшим значительный прогресс в
18
теорию и практику конечно-разностных методов. Среди многочисленных работ, использующих "естественную" аппроксимацию, можно выделить работу МЛ. Уилкинса /299/. в которой излагается численная схема решения нестационарных задач упругопластического деформирования в двумерной постановке. Решение осуществляется на сетках, состоящих из четырехугольных ячеек, перемещающихся вместе с деформируемой средой. В линейных задачах схема имеет второй порядок аппроксимации [351] и, как показали вычислительные эксперименты, может применяться для исследования быстро]фотекающих процессов деформирования упругопластических тел, поведение за пределом упругости которых описывается теорией Прандтля-Рейсса. Так, с помощью схемы [299] были решены задачи о деформировании медной пластины при взрыве заряда ВВ на поверхности, о действии взрыва ВВ. расположенною внутри железного цилиндра , об упругопластическом деформировании цилиндра при продольном ударе о жесткую стенку и т.д. Схема Уилкинса применялась и другими авторами [108,110.182,263,315] . В [182] она обобщена на среды, описываемые более сложными уравнениями состояния, а в [ 263] на решение задач о разрушении твердых тел при импульсных воздействиях. Проведенные расчеты показали. что хотя метод Уилкинса позволяег исследовать процессы, имеющие место при импульсных воздействиях, он допускает нефизические искажения ячеек сетки, при которых компоненты тензора скоростей деформаций. вычисленные по схеме [ 299 ], равны нулю. Эти искажения разностной сетки, называемые неустойчивостью типа "песочные часы". появляются при распределении перемещений, дтя которого характерно равенство скоростей в противоположных углах четырехугольной ячейки (диагонали ячейки движутся параллельно самим себе как жесткое целое).
В этом случае могут возникнуть значительные отклонения от ожидаемого гладкого поля скоростей (скоростной "шум" [207]), приводящие к пилообразной картине смещений. В такой ситуации схема [ 299 ] допускает перехлест ячеек разностной сетки, появление отрицательных объемов, од-
19
ностороннес нарастание энергии и потерю точности, в результате чего численное решение задачи теряет свою адекватность воспроизводимому физическому процессу.
Поскольку скорости перемещений узлов разностной сетки в этом случае не порождают скорости деформации, то типы искусственной вязкости, зависящие от скорости деформации теряют свою эффективность [207]. В связи с этим появился ряд работ [207,291,314,382] , в которых предлагается для подавления скоростного шума использовать искусственную вязкость специального вида. В (291) описывается контурная и угловая вязкости, препятствующие искажениям сетки, связанными с обращением в ноль одной из сторон ячейки или одного из ее углов. Эти же принципы построения искусственной вязкости используются в работах [207,314]. Следует отметить, что введение искусственной вязкости (тензорной, угловой, контурной и т.д.) повышает уровень диссипативных свойств схемы. При этом доля дис-сипируемой энергии в некоторых задачах может достигать десятков про-ценгов от общей энергии и более, в силу чего возможны значительные искажения численного решения [276, 305], что неоправдано. например, при анализе упругих колебаний. По этой причине в работах [276, 291] наряду с искусственной вязкостью вводят в расчеты треугольные сетки. Как показало решение модельных упругих и упругопластических задач [276] треугольные сетки позволяют проследить за интегральными характеристиками решения па значительных интервалах времени по сравнению с периодом колебаний рассчитываемого элемента по низшей частоте. Однако точность решения при грубом разбиении оказывается весьма низкой, что снижает эффективность применения треугольных сеток. В некоторых работах для подавления "скоростного шума" вводится распределение деформаций по элементу, зависящее от пространственных координат. Так в [184] предложена методика равномерного деформирования ребер (РДР). Работоспособ ность методики РДР продемонстрирована в [ 262] результатами решения тестовых задач.
20
Под действием импульсных интенсивных нагрузок расчетная область может претерпевать сильные искажения, в следствие которых при использовании схемы Уилкинса [299] не исключено аварийное прерывание счета. В такой ситуации решение задачи становится затруднительным без эпизодической коррекции сетки. Некоторые общие соображения, регламентирующие перестройку сетки сформулированы в[ 270]. Там же изложен один из возможных способов перестройки сетки. Варианты интерполяции искомых величин со старой сетки на новую приведены в [74,109]. В [109] эффективность перестройки сетки иллюстрируется на примерах продольного соударения упругопластического цилиндрического стержня о жесткую преграду и проникания недеформируемого полубесконечного конуса в деформируемую преграду. Сопоставление времени счета показало, что перестройка разностной сетки позволяет существенно (в первой задаче в шесть раз) ускорить решение задачи, когда происходят значительные деформации расчетной области. Решение же второй задачи, как отмечается в [109] , без перестройки сетки довести до конца не удается.
Вариационно-разностные методы при описании движения деформируемой среды исходят из какого-либо вариационного принципа (Дала.мбера-Лагранжа, Журдсна и т.д.). Дискретизация разрешающей системы уравнений основана на тех же подходах, что и в методе конечных разностей. В задачах газовой динамики ВРМ развивался в работах Л.Д. Самарского /209.277,279/, в динамике упругопластических тел, пластин и оболочек - в работах /28.29.121/ и др.
В мегоде конечных элементов /85.133.210.238.256/ расчетная область также разбивается на ряд ячеек - конечных элементов. В каждом КЭ задается стандартная система базисных функций (функций форм), аппроксимирующая перемещения, деформации и напряжения. Численное решение находится из минимизации вариационной задачи на введенном множестве базисных функций. Благодаря целому ряду положительных качеств (универсальность, независимость вычислений в отдельных элементах,
21
возможность уточнения решения путем повышения порядка апроксимации и т.д.) VIКЭ получил широкое распространение. Разработанный для решения задач статики в последующем метод конечных элементов был применен и для анализа процессов нестационарного деформирования. Как правило при решении трехмерных задач динамики применяют наиболее простые типы конечных элементов : тетраэдры с линейной аппроксимацией перемещений или 8-узловые КЭ ("кубики"). Последние в некоторых случаях также допускают неустойчивость типа "песочных часов" или моды нулевой энергии. Как показано в /327.332.373/ моды нулевой энергии связаны с отсутствием полилинейных членов в аппроксимации скорости перемещений.
Вариационно-разностный и конечно-разностный методы по существу являются упрощенными вариантами метода конечных элементов. В частности, дискретные соотношения, вытекающие из КРМ или ВРМ, могут быть получены исходя изМКЭ при использовании определенных функций форм и сокращенного интегрирования.
Созданию конечных элементов для исследования деформирования тонкостенных конструкций посвящены работы многих отечественных и зарубежных авторов. Подробные обзоры работ но конечным элементам для оболочек содержатся в /85,88,133.349/. Выделяются два направления. В нервом из них. традиционном, сначала решается задача приведения, позволяющая понизить размерность определяющей системы уравнений. Способы решения этой задачи обсуждались в начале главы. На следующем этапе проводится конечно-элементная дискретизация поверхности приведения. Такой подход при исследовании деформирования составных конструкций, включающих массивные тела и оболочки, имеет определенный недостаток. Поскольку в отдельных подобластях необходимо использовать различные способы аппроксимации перемещений, возникает проблема их стыковки, решение которой, вообще говоря, требует дополнительных исследований и обоснования.
22
Поэтому в рамках метода конечных элементов /327,374.379/ получили развитие численные схемы второго направления, в которых деформирование тонкостенных конструкций описывается определяющей системой уравнений, сформулированной с позиций механики сплошных сред без учета гипотез теории оболочек. 11ри дискретизации задачи в каждом конечном элементе вводятся аппроксимирующие функции, учитывающие особенности геометрии и напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек.
Разработке балочных (стержневых) конечных элементов посвящено большое число работ. Однако многие предлагаемые в публикациях балочные К'З не обладают достаточной универсальностью и не пригодны в случае произвольной пространственной геометрии, произвольной формы поперечных сечений, конечных прогибах и углах поворота. Методы решения задач нелинейного деформирования стержней в статической и динамической постановке изложены в работах Ы.А.Ллфутова [13], В.Л. Светлиц-кого.О.С. Нарайкина [284], A.A. Илюхина [144]. В.А. Полищук, В.Д. Чу-бань[249], С.Н. Зайцева [126], Л.И. Шкутина [312], В.И.Гуляева [115]. K.S. Surana, R.M. Sorem [378], E.N. Dvorkin, E.Onate, J.Oliver [344], K.J. Bathe [330] и других авторов. Как и при исследовании деформирования оболочек построение конечных элементов балочного типа может быть основано на рассмотрении балки как трехмерного тела, либо на предварительно сформулированной одномерной балочной модели деформирования сплошного тела. Первый подход целесообразно применять при исследовании составных конструкций, в которых стержни взаимодействуют с оболочками и массивными телами. Второй подход дает определенные преимущества при исследовании отдельных стержней или стержневых систем.
В методе граничных интегральных уравнений /56,65,296/ ноле перемещений внутри тела с помощью фундаментальных решений выражается через граничные перемещения и поверхностные силы, к определению которых и сводится задача. Понижение размерности задачи в методе ГИУ по
23
сравнению с МКЭ или МКР существенно сокращает число неизвестных и объем обрабатываемой информации. Кроме того, метод ГИУ точно удовлетворяет дифференциальным уравнениям внутри тела, что позволяет обеспечивать высокую точность расчетов в зонах концентрации напряжении. Однако, алгебраическая система уравнений, получающаяся в результате применения метода ГИУ. имеет полностью заполненную матрицу коэффициентов при неизвестных. В МКЭ матрицы дискретного аналога определяющей системы уравнений имеют больший порядок, но являются ленточными и редкозаполненными. Метод ГИУ ориентирован на решение линейных задач теории упругости и вязкоупругости, а МКЭ широко используется при анализе геометрически и физически нелинейных задач. Понижение размерности, являющееся основным достоинством метода ГИУ, наиболее эффективно проявляется в неограниченных средах. Характерным примером такой задачи является исследование волн напряжений в пространстве с полостью /294,296/. В ограниченных телах понижение размерности может не дать положительного эффекта. Гак, в работе /158/было проведено сопоставление метода гранично-временных элементов /296 / и МКЭ /43/ на нестационарных задачах упругого деформирования куба и пластины с зиго-ванным отверстием. Анализ показал, что конечно-элементная методика /43/ в рассмотренных задачах позволяет с меньшими затратами вычислительных ресурсов достигать лучшей точности результатов. Последующие исследования показали, что при измельчении сетки в расчетах по методике /296/ получаемое решение сходится к конечно-элементному решению /43/.
Область определения задач динамики кроме пространственных переменных включает время. Поэтому важным моментом построения численной схемы является дискретизация определяющей системы уравнений по времени. Возможно одновременное и последовательное пространственно-временное деление области определения. В нервом варианте /238/ задача сводится к системе алгебраических уравнений, составленной относительно сеточных неизвестных на всех временных слоях. Необходимость формиро-
24
вання и обработки большого объема информации црипятствует широкому распространению этого метода.
Последовательная пространственная и временная дискретизация задачи приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, для интегрирования которой применяют обычно конечно-разностные схемы. В зависимости от особенностей рассматриваемого класса задач применяют явные/3,38.121.299/, неявные/69,151,197,311,328/и смешанные/331,335,352-355,381/схемы интегрирования. При решении геометрически и физически нелинейных задач нестационарного деформирования в большинстве случаев используют явные трехслойные схемы второго порядка точности относительно шага интегрирования по времени. В этом классе задач явные схемы интегрирования выгодно от личаются от неявных схем простотой и экономичностью, поскольку матрицы в дискретном аналоге уравнений движения имеют как правило диагональный вид. Однако явные схемы условно устойчивы и шаг интегрирования по времени определяется минимальным по области размером конечного элемента. Поэтому при локальных импульсных или ударных воздействиях применение явных схем инте1рировання может стать неэффективным.
Неявные схемы интегрирования по времени имеют преимущество при анализе гладких решений, например, низкочастотных колебаний упругих конструкций. Если доказана безусловная устойчивость схемы, шаг интегрирования по времени определяется из соображений точности решения. А условия точности на гладких решениях менее жесткие, чем условия устойчивости, что может компенсировать затраты на решение сложных систем уравнений.
Совмест ное использование /331,352-355/ явных и неявных методов интегрирования уравнений движения по времени может быт ь целесообразным при решении задач, имеющих концентраторы, сосредоточенные внешние воздействия или локальные смятия конечно-элементной сетки, возникающие в результате высокоскоростного соударения. В общем же случае
25
при объединении этих методов теряется алгоритмичность, возникают проблемы стыковки отдельных подобластей, в которых применяются разные способы интегрирования.
1.3. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КОН ТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ.
Разработка методики и алгоритмов решения задач взаимодействия двух и более деформируемых тел является достаточно трудоемкой актуальной проблемой. В последние годы накоплен довольно значительный опыт анализа таких задач в одномерной и двумерной постановках, однако пространственные трехмерные задачи в этой области мало исследованы.
Для достижения удовлетворительною согласования численных и экспериментальных или теоретических исследований необходимо рассматривать общую постановку задачи контактного взаимодействия элементов конструкций. При этом возникает ряд трудностей вычислительного характера. В частности, в большинстве случаев заранее невозможно определить даже области границ каждого из тел, на которые приходится контактное взаимодействие, так как тела могут значительно изменяться в процессе нагружения и деформирования. Заметное влияние на ход и результат процесса, особенно при относительно больших скоростях взаимного столкновения, может оказывать нелинейность поведения материалов, вызванная различными причинами. Поэтому для полного изучения проблемы в широком диапазоне скоростей взаимодействия необходимо решать динамическую задачу с учетом геометрической и физической нелинейности и целого ряда механических эффектов.
Реализация такого комплексного подхода является весьма сложной задачей даже в двумерной постановке. Поэтому в большинстве случаев либо принимается ряд упрощений, либо рассматриваются отдельные аспекты контактного взаимодействия.
26
Так. при рассмотрении класса задач с достаточно простой геометрией соударяс.мых тел и простыми законами поведения материалов допускается аналитическое решение той или иной сформулированной задачи [11,25,76,100,131.192.266-269].
С усложнением геометрических форм конструкции и соответственно ее нагружения, усложняется и методика решения. Одномерный подход используется в основном при рассмотрении усложненных моделей поведения материалов, например, при возможном его разрушении (23.116.117,175.303]. Однако большинство численных исследований в настоящее время проводится в двумерной постановке.
Число разработанных алгоритмов контактного взаимодействия для осесимметричных или плоских задач (двумерных) довольно значительно [35,109.136.178.272,304].
В этих алгоритмах расчет производится в два этапа. На первом из них производится определение предварительных значений скоростей и координат граничных узлов сетки для каждого тела в отдельности. При этом расчет производится без учета сил контактного взаимодействия. Далее на втором этапе определяется текущее положение контактной границы в виде совокупности отрезков, последовательно соединяющих граничные узлы сетки. Эта операция основана на выделении пересечения взаимодействующих областей. Для всех узлов, принадлежащих контактным поверхностям, определяются контактные усилия. После нахождения величин контактных усилий (нормальных и касательных к контактной границе либо проекции на оси глобальной неподвижной системы координат) производится коррекция значений скоростей узлов контактных границ.
Главное отличие в алгоритмах заключается в основном в различной реализации краевых условий на контактных границах и разной степени точности используемых методов.
Для выявления большинства качественных и количественных особенностей происходящих процессов необходим наиболее точный и пра-
27
вильный учет сил контактного взаимодействия. Как правило, даже при изначально совпадающих узлах разбиения границ взаимодействующих элементов конструкции, происходит их дальнейшее смещение относительно друг друга во времени. Вследствие этого для нахождения узловых сил реакций при несовпадающих в общем случае сетках используются различные приемы.
Например, в работе Уилкинса [299] предлагается одну из контактирующих поверхностей считать фиксированной границей в течение заданного шага по времени Д1, а другой границе предписывается следовать движению ограничивающей линии скольжения.
Для определения контактных напряжений или давлении могут использоваться также уравнения сохранения импульса и следствия из закона сохранения энергии, а именно равенство работ поверхностных сил на границах тел Г, и Г2 [272]. Как отмечено в [272], решение одно- и двумерных контактных задач по методике [272] может давать значительную погрешность дтя задач, в которых напряжения и деформации в течение всего времени контакта локализуются вблизи зоны контакта.
В других методиках допускается перекрытие контактных границ, которому препятствуют нормальные усилия, пропорциональные величине зазора [66,177.274]. Однако, в пространственных задачах крайне затруднительно отследить взаимоперсссчсние двух, вообще говоря, произвольных поверхностей, даже если они аппроксимируются достаточно малыми четырехузловыми конечными элементами с плоскими гранями. К тому же через четыре узла в общем случае невозможно провести плоскость, что приведет к позере точности численного решения.
В работах [20.21,136,137] компоненты узловых скоростей, нормальные к контактной границе, приравниваются друг другу. Величина общего значения нормальной составляющей считаегся заданной функцией от скоростей трех участвующих во взаимодействии узлов и напряженно-деформированного состояния материалов, прилегающих к точке контакта.
2*
Так как один или несколько узлов другой границы могут пересекать один из двух отрезков, примыкающих к узлу первой границы, для реализации контактных условий вводится третий этап, на котором для каждого узла из всех откорректированных значений выбирается такое, которое обеспечит взаимное непересечение контактных границ. В данном алгоритме не используются статические граничные условия, вследствие чего не требуется нахождение узловых контактных сил. Отметим, что такая процедура корректировки компонент скоростей граничных узлов может приводить к нарушению закона сохранения количества движения.
В работах [31.35] рассматриваются алгоритмы, использующие условия непроннкания по нормали и свободного скольжения но касательной к поверхности, а также условия жесткой склейки контактирующих между собой тел в двумерной постановке. Данные алгоритмы являются симметричными. поскольку в качестве так называемой базовой (основной) границы выбирается каждая поверхность, находящаяся в контакте, поочередно. При рассогласовании сеток вводится вспомогательная совмещенная сетка, состоящая из узлов исходных сеток граничных поверхностей и фиктивных узлов, которые появляются п результате объединения основных сеток. На каждую пару смежных узлов совмещенной сетки накладываются кинематические ограничения (равенство соответствующих компонентов скоростей) и статические условия (равенство с точностью до знака компонент контактных давлений). Используя эти равенства в каждом узле совмещенной сетки определяются величины контактных давлений, после чего строится их совмещенная эпюра. Вектора контактных узловых усилий находятся интегрированием этой эпюры по кривой, являющейся соответствующей контактной границей каждого из тел. Затем корректируются узловые скорости в нужных направлениях ( по нормали либо проекции на оси общей системы координат). Этот алгоритм трудно реализуем в пространственных задачах, так как интегрирование совмещенной эпюры контактных давлений по трехмерной произвольной поверхности контакта затруднительно.
29
В работе [304] условие непроникання формулируется в виде равенства нормальных компонент скоростей. Для обеспечения этого условия к узлам контактных границ прикладываются сосредоточенные силы. Чтобы определить эти усилия, составляется система линейных алгебраических уравнений, исходя из условия непроникання. В процессе проникания расчетных сеток друг в друга такой алгоритм приводит к общей системе разрешающих уравнений, связывающей движение всех граничных узлов. Поэтому, как отмечено в [304], возникает некоторая нефизичность: скорость распространения возмущении вдоль поверхности контакта становится бесконечной.
В методике [67] условия контакта вводятся в уравнение виртуальных работ с помощью метода множителей Лагранжа, в качестве которых используется нормальная нагрузка контактного взаимодействия, подлежащая определению. В итоге задача сводится к системе алгебраических уравнений с недиагональной матрицей для узлов на контактной границе. Решение ее производится итерационным методом Гаусса-Зейделя. При этом последовательно для каждой пары "граничный узел-граничный отрезок" варьируемся величина контактного давления, что приводит к изменению координат и скоростей контактных узлов. Данная операция производится до тех пор, пока для всех контактных пар "граничный узел-граничный отрезок" не будет выполнено с заданной точностью условие, обеспечивающее принадлежность узлов к контактной границе.
Учет трехмерности в методиках и алгоритмах численного решения контактных задач заметно увеличиваег число параметров, которые необходимо оценить в ходе анализа проводимых численных экспериментов. В настоящее время известны труды [92,96,166,167,179,337,338,358.371] авторов, работающих в этом направлении.
Широкое распространение получили проекционные методы, основанные на следующих предположениях [356 - 360]. Эти предположения являются обобщением метода Уилкинса [299] на трехмерные задачи. Граница
30
одного из взаимодействующих тел считается основной, а граница второго тела подчиняется движению первой. Вычисления проводятся в два этапа. На первом этапе определяются узлы подчиненной поверхности, пересекающие треугольные элементы основной поверхности без учета сил контактного взаимодействия. На втором этапе проникшие узлы по нормали сносятся на граничную поверхность соответствующего элемента. Перемещение узла вспомогательной сетки приводит к изменению его скорости. Соответствующее изменение количества движения распределяется по узлам треугольного элемента основной граничной поверхности. Такое распределение осуществляется исходя из законов сохранения количества движения и моментов количества движения пропорционально площадям треугольников, образованных вершинами исходной сетки и узлам подчиненной поверхности. Далее по закону Ньютона определяются узловые силы контактного взаимодействия.
Данная методика решения трехмерных контактных задач является довольно несложной в программной реализации, однако не обладает достаточной точностью в виду своей явной ассиметрии.
Развитие этой схемы был предложен в работах [166. 167], где для до-сгнжения симметрии расчета контактных поверхностей роль основной границы передается взаимодействующим телам по очереди в процессе счета.
В работах [332 - 335] используется модификация алгоритма контактного взаимодействия [360]. Аналогично вводятся так называемые основные элементы и вспомогательные узлы. Однако при конечно-элементной дискретизации областей, занимаемых деформируемыми телами, используется изопараметрический шестигранный элемент. Для того, чтобы ускорить процесс идентификации, область контактною взаимодействия подразделяется на меньшие зоны, образуя единую ячеечную структуру для обоих поверхностей контакта. Определяется номер ячейки, которой принадлежит вспомогательный узел ударника и основной элемент мишени, и после определения нового положения вспомогательного узла вычисляется изменение
31
его скорости Ду = Лг / Д1. где Дг - общее перемещение вспомогательного узла. Затем проводится корректировка скорости вспомогательного узла, а потеря количества движения этого узла по формулам (336 - 338] переводится соответствующим узлам четырехугольной грани основного элемента. И хотя в данном алгоритме используется удобный для построения сетки элемент, здесь, как и в предыдущем алгоритме, не достигается равенства скоростей узлов контактирующих между собой поверхностей.
В работе [356] условие непроникания формулируется из условия равенства компонент скоростей в направлении нормали к контактной поверхности. При этом на основной поверхности вводится фиктивный узел, соответствующий вспомогательному узлу, и для него производится аппроксимация скорости по вершинам ячеек сетки основной поверхности. Для нахождения скоростей с учетом контактного взаимодействия используются законы сохранения количества движения и моментов количества движения относительно двух осей, расположенных в плоскости треугольника. который принадлежит граничной поверхности. В этом же алгоритме также производится корректировка узловых скоростей в области контакта с учетом трения. Поскольку алгоритм базируется на описании контакта только одного подчиненного узла с элементом, что в процессе деформирования может не выполняться, в случае, когда в одну треугольную грань попадает несколько узлов, требуется итерационное уточнение скоростей взаимодействующих узлов. Здесь же даются рекомендации по выбору основной поверхности:
1) желательно, чтобы основная поверхность имела более высокую плотность но сравнению со вспомогательной (масса вспомогательных узлов не должна значительно превышать массу узлов основной сетки);
2) характерные размеры конечно-элементной сетки вспомогательной пове-рохнети не должны превышать таковые для основной:
3) форма деформирования основной поверхности должна быть вогнута в сторону вспомогательной поверхност и.
32
Как указано в [356], эти требования могут быть смягчены последовательной заменой ролей контактирующих поверхностей. Такой подход реализован в работе [167]. Однако следует отметить, что его применение может быть ограничено в задачах, в которых конечно-элементные сетки соуда-ряемых тел значительно деформируются, в силу чего трудно удовлетворить требованиям 2)-3), предъявляемым к основной поверхности. Кроме тою, смена ролей контактирующих поверхностей затруднена при моделировании контакта несущих слоев с легким заполнителем, поскольку может нарушится требование 1).
В работе [361] производится уточнение описанных ранее алгоритмов с учетом возможного разрушения материала в процессе соударения.
Алгоритм [178] основан на достройке расчетных ячеек вокруг контактных узлов. В первоначальный момент взаимодействия считается, что узлы контактной зоны преграды имеют ту же скорость, что и контактные узлы ударника. Далее, по [178]. рассчитываются все необходимые величины без учета контактного взаимодействия. 11осле этого выполняется процедура коррекции скоростей контактных узлов при соблюдении условия непрерывности нормальной составляющей вектора скорости и свободного проскальзывания в касательном направлении. В области преграды вокруг точки контактного узла ударника достраиваются фиктивные конечные элементы, равные по объему прилегающим к этому узлу конечным элементам ударника. В достроенных фиктивных элементах средние напряжения определяются интерполяцией по напряжениям в элементах преграды, попавших в фиктивные элементы. Нормальные составляющие скорости и силы в контактном узле ударника вычисляются по напряжениям в примыкающих к нему элементах и но напряжениям, определенным в соответствующих фиктивных элементах. Приращение нормальных составляющих скоростей на контактной поверхности в узле ударника и точке преграды считаются равными и определяются из силового воздействия на систему фиктивных и истинных элементов.