Численное моделирование течения в атмосферном пограничном слое над лесным пологом

Содержание
Содержание....................................................................2
Введение......................................................................3
1. Обзор литературы..........................................................3
2. Общая характеристика работы..............................................37
Глава 1. Атмосферное течение над однородным лесным пологом....................45
1.1 Метод моделирования крупных вихрен (Large Eddy Simulation)............45
1.2 Постановка задачи. Описание области течения и численного метода 53
1.3 Когерентные структуры в процессе формирования турбулентного течении
(mixing transition).........................................................57
1.4 Статистические характеристики течения.................................67
1.5 Когерентные структуры в развитом турбулентном течении.................83
1.6 Заключение к главе 1..................................................91
Глава 2. Атмосферное течение над неоднородным лесным пологом..................93
2.1 Постановка задачи.....................................................93
2.2 Структура течения, результаты расчетов................................95
2.3 Сопоставление результатов LES с экспериментальными данными 102
2.4 Заключение к главе 2.................................................105
Глава 3. Распространение пассивном примеси над лесным пологом................107
3.1 Постановка задачи....................................................107
3.2 Волны Кельвина - Гельмгольца и перенос примеси.......................110
3.3 Динамика течения.....................................................114
3.4 Распространение примеси в развитом турбулентном течении..............119
3.5 Заключение к главе 3.................................................130
Глава 4. Моделирование течения над разреженным лесным пологом с помощью пакета FDS...................................................................132
4.1 Описание программного пакета EDS.....................................132
4.2 Постановка задачи....................................................138
4.3 Результаты численного моделирования..................................142
4.4 Заключение к главе 4.................................................151
Заключение..................................................................153
Библиографический список использованной литературы...........................159
Приложение. Краткое описание пакета FIRESTAR 3D..............................173
1. Алгоритм численного решения.............................................173
2. Параллельные вычисления.................................................177
Введение
Представленная работа посвящена изучению турбулентного режима течения воздуха внутри растительного покрова и влияния лесных массивов на структуру атмосферного пограничного слоя. Интерес к этой проблеме обусловлен тем обстоятельством, что развитие растительности в сильной степени зависит от процессов обмена теплом, влагой и углекислотой в растительном сообществе. Зеленые насаждения в городах создают особый микроклимат с температурными и влажностными характеристиками, отличными от фоновых. Таким образом, исследование трансформации свойств воздушной массы при натекании на растительность, которая обусловлена в первую очередь турбулентным обменом, имеет определенное значение для градостроительства. Кроме того, для прогнозирования глобальной циркуляции, теплового и водного режимов атмосферы необходимо принимать во внимание взаимодействие воздушных течений с крупными лесными массивами (например, в тропических лесах). Численное моделирование течения в атмосферном пограничном слое над лесным пологом представляет несомненный интерес с точки зрения рационального природопользования, развития технологий прогнозирования и управления природными системами.
1. Обзор литературы
Атмосферный пограничный слой
Атмосферный пограничный слой (atmospheric boundary layer, ABL) -это область атмосферы, структура которой формируются иод влиянием земной поверхности. Наблюдаемые в этом пограничном слое потоки массы, импульса и тепла возникают вследствие взаимодействия с земной поверхностью: трения, испарения, теплопередачи, неоднородностей
4
поверхности и т.д. Турбулентное течение в атмосфере представляет собой суперпозицию взаимодействующих вихревых структур различных размеров (временных масштабов), варьирующихся от миллиметра (секунды) до нескольких километров (часов).
Рис. 1 Структура атмосферного пограничного слон (взято из работы [1)).
Схематическое изображение различных слоев в атмосферном течении, а так же характерные вертикальные распределения средней скорости t/, напряжении Рейнольдса —uw и турбулентной кинетической энергии к
Структура атмосферного пограничного слоя схематически изображена на рис. 1. В соответствии с доминирующими процессами и характерным масштабом течения в нижней части атмосферы можно выделить три слоя [1J: поверхностный слой (surface layer), Экмановский слой (Ekman layer) и свободную атмосферу (free atmosphere). По мере приближения к земной поверхности средняя скорость течения стремится к нулю вместе с турбулентной кинетической энергией и турбулентными пульсациями. Поскольку рассматриваются течения при больших числах Рейнольдса, влиянием вязкости можно пренебречь всюду, за исключением тонкого вязкого подслоя (viscous sublayer), расположенного вблизи нижней поверхности. Над этой областью находится подслой шероховатости
5
(roughness sublayer), где турбулентное течение формируется под влиянием неровностей нижней поверхности. В инерциальном подслое (inertial sublayer), расположенном на достаточном удалении от земли, атмосферный поток имеет свойства логарифмического турбулентного пограничного слоя, характер течения определяют инерционные составляющие. Поверхностный слой, состоящий из вязкого, шероховатого и инерционного подслоев, образует по высоте 10% от всего атмосферного пограничного слоя [1], основную часть которого формирует Экмановский слой. В этом регионе важную роль играют силы Кориолиса, в отличие от поверхностного слоя, где доминирует трение. Выше атмосферного пограничного слоя находится свободная атмосфера, где средняя скорость течения считается постоянной
си-
Различные атмосферные модели описывает течения на различных масштабах: от геофизических течений в свободной атмосфере, до
турбулентного движения в поверхностном слое. В представленной работе рассматриваются течения в поверхностном слое атмосферы, которые наблюдается над лесным пологом.
Систематические исследования поверхностного слоя атмосферы, проводимые уже в течение около пятидесяти лет, подробно рассматриваются в книге [2]. И если в первой половине этого периода основное внимание уделялось изучению относительно простых течений над ровной поверхностью или травяным покровом, то последние 20 лег все больше внимания обращается к более сложным конфигурациям: течению над неоднородным растительным пологом или обтеканию холмов и возвышенностей. Основная трудность, возникающая в процессе накопления знаний об этом предмете, связанная со сложностью измерений и получения математических уравнений, возникает из-за хаотичности и непредсказуемости самого предмета исследования - турбулентности. Если до появления высокопроизводительных вычислительных ресурсов исследования в этой области основывались, в основном, на экспериментах, а также
6
двумерных полуэмпирических моделях, то в настоящее время ведутся активные исследования, связанные с расчетами трехмерного турбулентного течения в поверхностном слое атмосферы.
Первые попытки измерения количественных характеристик турбулентности в атмосфере можно отнести к работам Тейлора 1917 года, и которых исследовались анизотропия течения и турбулентный поток импульса. В 1930 году Скрас (ЭсгаБе) для измерения скорости атмосферного потока использовал анемометр с отклоняющейся пластиной и пропеллером, а для регистрации изменения сигнала использовался самописец. В шестидесятых годах прошлого века появление допплеровских измерителей скорости и других приборов с быстрым откликом на изменение сигнала, данные которых обрабатываются с помощью ЭВМ, позволило значительно продвинуться в экспериментальном изучении характеристик атмосферного течения. Существовавшие до этого времени инструменты с медленным откликом на изменение сигнала, такие как чашечный анемометр и термометр, позволяющий по изменению температуры судить о скорости ветра, давали представление лишь об осредненных характеристиках потока. Новые методы визуализации течения и обработки сигналов позволили обнаружить крупномасштабные когерентные структуры в сдвиговом и пограничном турбулентном течениях, которые содержат основную часть кинетической энергии. В середине 70-х годов подобные методы стали применяться к изучению потока над растительным пологом, что привело к наблюдению различных когерентных вихрей в подслое шероховатости.
Возникающие при описании турбулентного течения математические сложности были не менее значительными, чем экспериментальные. Уравнения Навье- Стокса, нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных, определяющие вид воздушного течения, как правило, невозможно решить аналитически для практически значимых конфигураций. Различные модели и подходы, используемые при
изучении турбулентных течений, обсуждаются, например, а недавней монографии [3], [4].
В экспериментах обычно измеряют не мгновенные значения скорости, а некоторые осредиенныс величины. Уравнения, описывающие поведение подобных осредненных характеристик, можно получить из уравнений Ыавье - Стокса, применяя специальные процедуры фильтрации или осреднения. В таком случае для замыкания получившейся системы уравнений необходимо привлекать некоторые дополнительные эмпирические соображения, отказываясь тем самым от математической строгости, и принимая некоторое инженерное приближение. Неоценимое значение в процессе решения получившихся приближенных уравнений имеет вычислительная техника, позволяющая получить численное решение рассматриваемых уравнений.
К настоящему времени достаточно хорошо исследованы особенности структуры воздушного потока и турбулентного режима в горизонтальном однородном, стационарном приземном слое атмосферы на достаточном удалении по вертикали от элементов шероховатости подстилающей поверхности. Основные результаты здесь получены отечественной научной школой и ее представителями А.Н. Колмогоровым, А.М. Обуховым, A.C. Мониным [5]. Базовые идеи теории подобия Монина - Обухова, заложенные в пионерских работах этих ученых (например, [6]), получили дальнейшее широкое развитие. Вертикальные турбулентные потоки импульса и тепла являются важными характеристиками течения в ииерциальном подслое стратифицированной атмосферы, которые описывает теория Монина — Обухова.
Однако теория Монина - Обухова неприменима в шероховатом подслое атмосферного пограничного слоя, где определяющую роль в структуре течения играет растительный покров. В присутствии растительного полога с высотой //, размер шероховатого подслоя атмосферного течения увеличивается и составляет 2-3//, при этом в нем
8
можно выделить дополнительный регион - подслой растительного полога. Изучению процессов в шероховатом подслое атмосферного течения над растительным пологом посвящена представленная диссертация.
Течение над однородным покровом растительности. Эксперимент
Обширное описание экспериментальных работ, посвященных изучению турбулентного течения в поверхностном слое атмосферы над растительным покровом, содержится в книгах [7] и [2], обзорах [8], [91 и [10|. Семейство вертикальных профилей различных статистических характеристик, содержащееся в работе [11], изображено на рис. 2. Экспериментальные данные соответствуют 12 различным опытам с нестратифицированным течением над горизонтально однородным пологом растительности, таким как лес, поле с посевами и модельный растительный покров в опытах с аэродинамической трубой (АТ). Некоторые детали каждого эксперимента представлены в таблице 1. Данные изменяются в широком диапазоне высоты растительного полога //, и плотности шероховатости Я, которая определяется как отношение общей площади элементов растительности в направлении потока к единице площади земной поверхности. На рис. 2 изображены следующие статистические моменты первого и второго порядков: средняя скорость течения и, напряжения Рейнольдса им/, стандартные отклонения горизонтальной и вертикальной
гш -им'I(аист]У). В приведенных обозначениях и и \/ соответствуют
турбулентным пульсациям горизонтальной и вертикальной компонент скорости, соответственно. Высота г измеряется от поверхности земли 11 нормируется по отношению к высоте растительного полога И на рис. 2. В качестве единиц измерения скорости используется скорость потока на высоте
/ — Л.'2
компонент скорости <Уи=и/2)
9
растительного покрова £/#, а также скорость трения, которая определяется
при помощи напряжении Рейнольдса и4 = .
Результаты наблюдений для различных типов растительности па рис. 2 имеют много общих черт, но также демонстрируют различия, связанные с особенностями морфологии растительного покрова. Наиболее явное общее свойство - неоднородность распределений по вертикали: статистические величины быстро уменьшаются с координатой внутри растительного полога при г<Н в результате действия сил трения. Во-вторых, па уровне 2-11 наблюдается точка перегиба в профилях средней скорости (рис. 2, а). Количественную оценку расстояния, на котором наблюдается характерный перепад скорости вследствие действия сдвигового механизма, можно получить на основе длины смешения = ии / и'}п где и'н - производная от горизонтальной скорости по вертикальной координате. Как видно из таблицы 1, значения составляют порядка 0.5II и изменяются в значительных пределах в зависимости от Л и морфологии растительного покрова.
Таблица 1 Характеристики растительных покровов
Тип полога Я, м 1 Я 1 Uh/u* 1 Lstll Ссылка
Стержни АТ 0.06 0.23 3.3 0.85 Raupach et al., 1986 [12]
Пшеница АТ 0.047 0.47 3.6 0.57 Brunet ct al., 1994 [13]
Стержни АТ 0.19 1 5.0 0.49 Scgincr ct al., 1976 [14]
Кукуруза 2.6 1.5 3.6 0.39 Shaw ctal., 1974 [15]
Кукуруза 2.25 1.45 3.2 0.46 Wilson et al., 1982| 16]
Эвкалипт 12 0.5 2.9 0.58 1 le опубликовано
Сосна 20 2.05 2.5 0.29 Dcnmcad and Bradley, 1987 [17]
Осина 10 1.95 2.6 0.58 Amiro, 1990 [18]
Сосна 15 1 2.2 0.50 Amiro, 1990[18]
Ель 12 5 2.4 0.44 Amiro, 1990 f 18]
Ель 12 5.1 4.0 0.30 Gardiner, 1994 [ 19]
Лиственный лес 24 2.5 2.8 0.12 Baldocchi and Meyers, 198S [20]
В-третьих, в работе [П] отмечается также, что при z>2h
характеристики течения (отсутствующие на рис. 2) соответствуют инерциальному подслою поверхностного слоя атмосферы. В термически однородной пестратифицированной атмосфере средняя скорость течения
10
имеет логарифмическое распределение, подобный профиль наблюдается в турбулентном пограничном слое [21]. При этом характерные значения дисперсий (7и/и, и / и, составляют 2.5 и 1.25, а гии,=~0.32; течение в инерциальном подслое обсуждается в книге [22].
и/\Л
2 ■ 1—ч е ' ' ' I- 4 1
1.5
« 1
ГЖ .
0.5 0 Г 1 L . 1_ -
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
- uw/u,2
3
aju.
- г.
-o— WT Strips -o— WT Wheat ~o— WT rods Shaw com — Wilson com
• Moga forest
• - Uriarra forest
Amiro aspen •*— Amiro pine Amiro spruce Gardiner spruce Baldocchi decid
uw
Pile. 2 Cc.viciicTBO вертикальных профилей статистических величин, характеризующих турбулентность в растительном покрове: (a) UlUu, (Л) -uw / и\
(с) av / и , (<0 <sw / и , (*) -rlIW
11
В-четвсртых, непосредственно над растительным покровом при H<z<2H статистические характеристики течения, как можно видеть на рис. 2, принимают следующие значения: аи /м, = 1.5 — 2, <7И,/и, »1.1 и ruw ~-0.5, отличные от величин в инерциальном подслое. Большее значение коэффициента корреляции компонент скорости /у|К, характеризующее течение как более “организованное”, соответствует подслою шероховатости, который, как правило, формируется при И<г< 2Н.
Основный вывод, рассматриваемый в работе [11] на основе обсуждения результатов различных экспериментальных данных, заключается в аналогии между атмосферным течением над растительным покровом и турбулентным сдвиговым слоем, в то время, как ранее полагалось, что поток над растительным пологом аналогичен течению в турбулентном пограничном слое. Точка перегиба в вертикальном профиле средней скорости является источником развития гидродинамической неустойчивости, приводящей к формированию характерной системы когерентных вихрей, подобной той, чю наблюдается в сдвиговом течении [23]. Для того, чтобы обсуждаемый сдвиговый механизм проявил себя в атмосферном потоке, сила трения со стороны элементов растительности должна превосходить некоторое пороговое значение. В роли своеобразного управляющего параметра, описывающего плотность растительного полога, может выступать произведение коэффициента аэродинамического сопротивления CD и безразмерной величины LAI (Leaf Area Index), характеризующей общую поверхность элементов растительности в объеме, имеющем высоту Н и единичную площадь основания. Параметр CD х LAI был впервые предложен в работе [24], в которой также рассматривалось влияние этой величины на вид вертикального профиля средней скорости течения. Характерное значение CdXLAI, при котором наблюдается развитие сдвиговой неустойчивости, имеет величину порядка 0.1 [25].
Для численного моделирования атмосферного течения над пологом растительности широко применяются различные модификации двух
12
основных методов: моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) и решения нестационарных осреднеиных уравнений Рейнольдса-Навье-Стокса (Reynolds - Averaged Navicr Stokes, RANS). В настоящей работе используется метод LES, который позволяет рассчитать не только средние значения полей скорости, давления и т.д., но и их пульсациониые компоненты. Основная идея метода заключается в том, что большие масштабы турбулентности рассчитываются явно, а влияние более мелких вихрей моделируется с использованием, так называемого подссточного замыкания [26]. Подробно метод будет изложен в главе 1. При численном решении системы уравнений, описывающей течение па “крупных” масштабах, применяется классическая концепция вычислительной гидродинамики, которая заключается в дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных [27]. Решение соответствующей системы линейных алгебраических уравнении позволяет рассчитать искомые поля скорости, давления и т.д. в конечном числе ячеек, образующих
вычислительную сетку, для дискретного набора моментов времени. По сравнению с методом RANS подход LES требует больших вычислительных ресурсов, что оправдывает использование параллельных вычислений.
Результаты представленной диссертации получены при помощи
параллельных расчетов на основе технологий ОрепМР (главы I -3) и MPI (глава 4).
Когерентные структуры
Турбулентные потоки, в том числе и атмосферное течение над лесным пологом, можно рассматривать как суперпозицию вихрей различных масштабов, представляющих собой когерентные структуры в распределении скорости, завихренности и давления. Эти когерентные структуры,
возникающие в результате неустойчивости основного среднего течения, продолжают взаимодействовать с ним. Крупные вихри, содержащие основную часть кинетической энергии течения, играют определяющую роль
13
в турбулентном переносе энергии. Следует отметить, что термин “когерентная структура'*, который можно определить как вихрь, обладающий высокой степенью упорядоченности, является многогранным и имеет много различных интерпретации [28].
Для регистрации когерентных структур в атмосферном течении над растительным покровом широкое применение получили пространственные и временные корреляционные функции скорости. Достаточно подробные наблюдения пространственных автокорреляций в различных сечениях для горизонтальной и вертикальной компонент скорости в экспериментах с аэродинамической трубой проводились в работе [29]. Полученные результаты указывают на присутствие характерной эллиптической области (длиной 10И и высотой АН), вытянутой вдоль направления потока и наклоненной под углом 20° к горизонту, в которой наблюдается сильная корреляция скорости.
Другим методом, получившим широкое распространение для изучения атмосферного течения над растительным пологом, является “пороговый анализ по квадрантам” (quadrant - hole analysis) [30]. Такой подход использовался в работе [31] для исследования течения над полем пшеницы, а затем применялся для изучения течений в аэродинамической трубе [12], над злаковыми полями [32] и в лесных массивах [19], [20J. Основная идея этого метода заключается в том, чтобы дать количественную оценку для вклада интенсивных порывов ветра в перенос импульса, тепла и других характеристик течения. В когерентных вихрях над растительным пологом наблюдается преобладание “выметания” (sweep, событий с положительным отклонением горизонтальной скорости и > 0 и отрицательной вертикальной скоростью w < 0) над эжекцией (éjection, и < 0 и w > 0).
В конце 70-х годов стало известно, что временная эволюция скалярных величин, связанных с потоком над растительным покровом (таких как температура, влажность или концентрация примеси), указывает на присутствие так называемых наклонных структур (‘ramp’ structures). При
14
наблюдении временных сигналов в различных точках пространства был сделан вывод о том, в течении возникают интенсивные порывы ветра (“выметание”), проникающее в растительный полог из вышележащего поверхностного слоя. При прохождении такой наклонной структуры через некоторую точку в пространстве там наблюдается резкий скачок скалярной величины, что было впервые продемонстрировано в работах [33] и [34]. Подобные исследования получили продолжение в работе [35], в которой изучались микрофронгы температуры и влажности. Было показано, что при прохождении границы когерентной структуры внутри лесного массива сначала наблюдается слабая эжекция, а затем значительное “выметание”.
При исследовании временных сигналов скалярных величин мощным инструментом оказался вен влет-анализ [36] and of [37], вносящий некоторую объективность в процесс определения микрофроптов. Однако эти исследования по-прежнему относились к изучению временных выборок, дающих лишь косвенную информацию о пространственной форме когерентных структур.
Обсуждаемая в работе [11] аналогия между турбулентным сдвиговым течением и атмосферным течением над растительным пологом относится не только к вертикальным распределениям статистических величин, но и формированию когерентных структур. Характерный размер таких вихрей в направлении потока Ад- можно оценить при анализе временного сигнала вертикальной компоненты скорости на высоте Н. При сопоставлении \х и длины смешения Ls в экспериментах с различными типами растительности можно установить следующее универсальное соотношение: Ад-=8.1 Ls [И]. Поскольку в развитых турбулентных сдвиговых течениях размер типичных когерентных структур лежит в интервале 7 < ЛX/Ls < 10, можно полагать, что в обеих ситуациях они имеют похожий вид. Найденное соотношение справедливо при условиях нейтрально стратифицированной атмосферы. В работе [38] экспериментально изучается влияние неоднородного
15
температурного распределения, которое видоизменяет полученное соотношение.
Анализ экспериментальных данных, проводимый в работе [391 па основе метода разложения по подходящим ортогональным функциям (Proper Orthogonal Décomposition, POD), указывает на существование
крупномасштабных когерентных структур в течении. Суть этого метода, впервые предложенного для исследования турбулентных течений в работе
[40], состоит в выборе последовательности ортогональных собственных функций и соответствующих им собственных значений, которая сходится оптимальным образом, а ее сумма представляет турбулентную кинетическую энергию. Пространственная структура турбулентного течения описывается собственными функциями, а большая скорость сходимости
последовательности собственных значений (стремящейся к нулю) указывает на присутствии в течении крупномасштабных вихрен, содержащих основную часть энергии.
В результате применения такой процедуры к трехмерному полю скорости, полученному в экспериментах с аэродинамической трубой [29], были обнаружены характерные когерентные вихри. Такие структуры, ориентированные вдоль направления основного течения, представляют собой связанную пару вращающихся в противоположных направлениях вихрей, представленных на рис. 3. .При этом обнаруженная пространственная структура течения позволяет объяснить наблюдаемое преобладание событий типа “выметание” в кросскорреляции пульсаций скорости u\v .
В условиях атмосферного потока над гибкой растительностью (например, поля злаковых культур) можно наблюдать бегущие волны, вызванные колебаниями элементов растительности. Подобное явление, наблюдавшееся над полем пшеницы, получило название “хонами” (‘honami’)
[41], [42], а аналогичный процесс для водной растительности называется “монами” (‘monami’) [43]. По-видимому, эти, схожие на первый взгляд, явления, имеют различные механизмы. Водное течение вблизи придонной
16
области характеризуется существованием точки перегиба в профиле средней скорости, ведущей к развитию неустойчивости Кельвина - Гельмгольца. Формирующиеся при этом характерные волны Кельвина-Гельмгольца, распространяющиеся на уровне верхней границы растительного полога, приводят к наблюдаемым волнам [44], [45].
-т— -1— —I*- |» —г- —т>- -!> -> -*г 1 -V—
1 -* -• -* —» —* *-* -* -» / г и ■
• А > -V -♦ "> » ^ -> -* -♦ -♦ г 7 /• ■
» г 7 г -* -♦ —* -Н ^ ^ ^ » "> -* —* -♦ г 1 7 »• ■
• ** 1 г л -♦ —> —+ ^ -* —* -• г 7 • 7
' г- к N \ г ^ ^ —» -* ** * 1 Т 7 -
>. «. V г -* —> —* —* * 7 7 7
" 1 1 V 1 !, ' ^ Л. 1 1 1 к к
■6 -5 -4 -3 -2 •1 0 1 2 3 4 5 6
■3
у/Ь
б
Рис. 3 Типичные когерентные структу ры в течении нал растительным покровом (взято из работы (39]). Восстановленное векторное иоле скорости в л>г («) и у-г (#)
сечениях
В случае атмосферного течения возникает иная картина. Волны, распространяющиеся в полях сельскохозяйственных посевов, тесно связаны с турбулентным переносом импульса к поверхности земли, и как показано в работах Финнигана [46], [47], такой перенос во многом определяется крупномасштабными когерентными структурами с размером порядка высоты растительного покрова [48]. Результаты экспериментов, которые обсуждаются в работах [49] и [50], указывают на то, что длина волны, характеризующая пространственный период наблюдаемых хонами, зависит от скорости самого потока. Напротив, если считать справедливой аналогию
х/11
>
-<■
а
«т- »4 ^ -V-Ч——ь > »г-»-
ч \ л \ \ V 4 »' -I * * *- "> /* /»
V / •. V V 4 4 4 4 4 I .»-».л.*.*-*-«*-*-*-*-*-*-*-*
Ч «. ^ 4 V ^
ч <— <—4— / I \ —►—> ,»
4 ^ ^ ^ { К "Ч "4^" Vх 4 ^^—4—V—^ ^ —* —* -* "* ”* “* —• — * —
4- 4- <-<-<—<—<-4 < < < < 4 '*-* 1 -■» — >—>"■>
«Ь 4- »- <— < ■<<<<<—<—<— •- 1 -* —> ’ > ■> >->■>> ->->
<Ц
-4
-3
«и.
•2