СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...........................................................8
1.1 Объект исследований...........................................8
1.2 Актуальность темы.............................................8
1.3 Цель работы...................................................9
1А Идея, положенная в работу.....................................9
1.5 Задачи исследования..........................................10
1.6 Научная новизна работы.......................................11
1.7 Достоверность результатов....................................12
1.8 Теоретическая и практическая ценность работы.................13
1.9 Основные положения, выносимые на защиту......................13
1.10 Публикации...................................................16
1.11 Апробация диссертационной работы.............................16
1.12 Личное участие автора........................................17
1.13 Структура и объем работы.....................................18
ГЛАВА I. ВЗАИМОВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН И КОЛЕБАНИЙ В РАСТЯНУТЫХ СТРУНАХ.............................19
1.1 Поперечные колебания струн щипковых музыкальных инструментов в период воздействия на струну.....................22
1.2 Поперечные колебания струн щипковых музыкальных инструментов после воздействия исполнителя.....................................24
1.3 Продольные колебания струн щипковых музыкальных инструментов после окончания воздействия медиатора в рамках традиционной постановки...........................................26
2
1.4. Продольные колебания струн щипковых музыкальных инструментов в период воздействия исполнителя......................32
1.5. Продольные колебания струн щипковых музыкальных инструментов после окончания воздействия медиатора в рамках
новой постановки...................................................35
1.6. Анализ полученных решений для продольных колебаний............36
1.7 Анализ причин возникновения продольных колебаний на
частотах поперечных на основе волновых решений.....................38
1.8. Определение поправок к спектрам поперечных колебаний с
учетом произвольной формы медиатора................................45
1.9 Определение методами малого параметра поправок к спектрам поперечных колебаний с учетом упругости заделки струны.............48
ГЛАВА II. ВЗАИМОВЛИЯНИЕ КРУТИЛЬНЫХ, ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН И КОЛЕБАНИЙ........................................51
2.1 Волны и колебания в витых струнах и канатах....................51
2.1.1. Дифференциальные уравнения движений струн с навивкой........52
2.1.2. Уравнения при малых динамических деформациях................54
2.1.3. Анализ и решения полученных уравнений.......................57
2.1.4. Анализ условий резонанса между различными типами движений 59
2.1.5. Дифференциальные уравнения движений струн с навивкой
в случае малых углов свивки........................................61
2.2 Продольно-крутильные волны и колебания в напряженных тонкостенных трубах................................................64
2.2.1.Вывод дифференциальных уравнений крутильно-продольных движений...........................................................64
2.2.2. Решение уравнений для случая постоянной скорости закручивания трубы.................................................66
2.2.3. Вывод линеаризованных уравнений распространения
з
крутильных и продольных волн и колебаний.........................68
2.2.4. Решения линеаризованных уравнений распространения
крутильных и продольных волн и колебаний.........................70
2.3. Распространение поперечно-продольных волн и колебаний в мембранах......................................................73
2.3.1. Вывод уравнений поперечно-продольных движений предварительно напряженных мембран...............................73
2.3.2. Распространение сдвигово-продольных волн и колебаний в
предварительно напряженных тонких пластинах......................76
2.4 Распространение волн и колебаний в тяжелых и предварительно деформированных канатах..........................................78
2.4.1. Вывод уравнений распространения волн и колебаний
в тяжелых канатах................................................78
ГЛАВА III. ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОСТИ НА ПОПЕРЕЧНО-ПРОДОЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ РАСТЯНУТЫХ ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ И СТРУН..........................................................82
3.1. Вывод уравнений движения растянутых стержней................82
3.2. Распространение поперечных волн в тонких стержнях и
струнах с малой жесткостью.......................................84
3.3. Особенности распространения продольных колебаний в тонких стержнях и струнах...............................................89
ГЛАВА IV. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ГИБКИХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАТЯНУТЫХ СТРУН НА ЧАСТОТАХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ....................................91
4.1. Уравнения поперечно-продольных колебаний натянутых струн. Амплитудно-частотные характеристики продольных колебаний.........91
4
4.2. Экспериментальное определение вынужденных
продольных колебаний............................................94
4.3. Резонанс между модами продольных и поперечных колебаний....100
ГЛАВА V. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОПЕРЕЧНО-ПРОДОЛЬНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ СТРУН..........................103
5.1. Задача управления продольными колебаниями струн продольным граничным режимом на одном конце
при закрепленном другом.........................................104
5.2. Управление продольными колебаниями с помощью поперечного граничного режима при закрепленном втором конце. Граничное условие первого рода для продольных составляющих.....................................................106
5.3. Граничное управление продольными колебаниями струны с помощью поперечной силы, приложенной на одном конце..............115
2і
5.4. Задача о граничном управлении при Г = —.....................116
а
5.5. Резонансное увеличение амплитуды продольных
колебаний с помощью поперечного граничного режима................124
5.6. Управление поперечными колебаниями с помощью продольного смещения на одном из концов струны при закрепленном другом..............................................125
5.6.1.Вывод уравнения поперечных колебаний ограниченной
струны для случая продольного смещения одного из концов..........125
5.6.2. Влияние продольных колебаний на поперечные.
Управление поперечными колебаниями струны с помощью продольных колебаний.............................................127
5
ГЛАВА VI. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ О ВОЗБУЖДЕНИИ И СВОБОДНЫХ ПОПЕРЕЧНО-ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТРУИ ЩИПКОВЫХ И КЛАВИШНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ............131
6.1. Возбуждение и свободные поперечно-продольные колебания
струн щипковых инструментов...................................131
6.1.1. Воздействие жесткого медиатора на струну. Случай движения в одной плоскости................................................132
6.1.2. Воздействие жесткого медиатора на струну. Случай разворота медиатора......................................................135
6.1.3. Анализ уравнений и получаемых решений...................138
6.2. Возбуждение и свободные поперечно-продольные колебания струн клавишных инструментов.........................................154
ГЛАВА VII. К РЕШЕНИЮ ПРОБЛЕМЫ УДАРА ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ ПО ГИБКОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ СТРУНЕ ПРИ ВОЗНИКНОВЕНИИ ДЕФОРМАЦИИ СЖАТИЯ..............................................162
7.1. Новые случаи удара по гибкой деформируемой струне, приводящие к возникновению областей сжатия.........................164
7.2. Анализ неустойчивости движения гибкой струны
в случае возникновения деформации сжатия...........................166
7.3. Постановка и приближенное решение задачи о движении
струны, имеющей начальные зоны сжатия..............................167
7.4. Решение задачи об абсолютно неупругом ударе клином по
струне при абсолютно неупругом взаимодействии......................172
ГЛАВА VIII. ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВЕРТЫВАНИЯ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ НА ОКОЛОЗЕМНОЙ ОРБИТЕ......................................176
б
8.1. Математическая модель для задачи развертывания тросовой системы на низкой околоземной орбите.......................180
8.2. Результаты вычислений..................................184
8.3. Анализ натяжения троса в конце размотки................191
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................199
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...........................................205
7
ВВЕДЕНИЕ
1.1 Объект исследований.
Объектом исследований являются волновые взаимодействия в элементах и системах, распространение и взаимовлияние поперечных, продольных и сдвиговых волн и вызванных ими колебаний, обусловленных учетом нелинейных членов в тензоре деформаций на примере колебаний струн, канатов, мембран, тонких стержней и тонкостенных труб с учетом динамических воздействий на них. Исследованы условия возникновения резонансов различных типов между модами отдельных колебаний, изучена возможность граничного управления поперечно-продольными колебаниями струн.
Также рассмотрены процессы распространения поперечных и продольных волн и колебаний в натянутых струнах при ударе по ним.
1.2 Актуальность темы.
До последнего времени при рассмотрении колебаний (и динамических нагружений при этом) струн, канатов, мембран и других элементов гибких связей исходили из того, что эти колебания можно считать поперечными. В последние годы благодаря работам Ю.А. Демьянова было установлено, что вклад продольных колебаний в динамическое деформирование и нагружение гибких связей одного порядка со вкладом поперечных колебаний, хотя амплитуды поперечных колебаний на порядок больше продольных. В результате исследований было показано, что имеют место вынужденные продольные колебания, которые происходят на частотах поперечных колебаний. С участием автора было показано, что при определенных обстоятельствах возможны резонансные явления между
продольными и поперечными колебаниями. Кроме того было установлено, что в период каких-либо динамических воздействий на гибкие связи возникает дополнительный спектр поперечно- продольных колебаний, который оказывает существенное влияние на процесс колебаний и на процесс динамического нагружения в последующий период после окончания воздействия. Результаты работы применялись к определению нагружения и колебаний элементов музыкальных инструментов. Для строительных конструкций установленные результаты позволяют определить новые расчетные случаи нагружения (например, опор подвесных мостов и линий электропередач, башен, крыш стадионов и других конструкций, соединенных гибкими связями, испытывающими какие-либо динамические воздействия).
1.3 Цель работы.
Целью работы является исследование обнаруженных вынужденных продольных колебаний в деформируемом твердом теле, которые возникают из-за наличия поперечных, сдвиговых, крутильных колебаний (в зависимости от геометрии твердого тела и характера нагружения). Изучение резонансных явлений, возникающих при совпадении частот отдельных мод колебаний различных типов, а также возможного разрушения твердого тела из-за резонансного увеличения амплитуды колебаний. Исследование новых типов волновых слабонелинейных взаимодействий, ранее не учитываемых при динамических расчетах гибких связей, инженерных конструкций и их элементов. Целью также является изучение распространения с учетом взаимного влияния продольно-поперечных и сдвиговых волн и колебаний на примере колебаний струн, канатов, мембран, балок.
1.4 Идея, положенная в основу работы.
Идея, положенная в основу диссертации, состоит в том, чтобы на основе корректно проведенного асимптотического анализа нелинейных
9
нестационарных дифференциальных уравнений распространения волн и колебаний в элементах и системах (струнах, канатах, тонких стержнях, мембранах, тонкостенных трубах) исследовать основные закономерности распространения продольно-поперечных и сдвиговых волн и колебаний в предварительно напряженных деформируемых твердых телах при учете нелинейных членов в разложении тензора деформации.
1.5 Задачи исследования.
• Решение задачи поперечно-продольных колебаний растянутых струн. Определение условий резонанса между отдельными модами собственных продольных колебаний и вынужденных продольных колебаний на поперечных частотах. Волновая интерпретация вынужденных продольных колебаний
на частотах поперечных.
• Постановка и решение задачи распространения продольных, поперечных и крутильных волн и колебаний в витых канатах, струнах с навивкой и тонкостенных трубах.
• Решение задачи о влиянии жесткости на распространение волн и колебаний в растянутых стержнях и струнах.
• Экспериментальные исследования вынужденных продольных колебаний гибких деформируемых предварительно натянутых струн на частотах поперечных колебаний.
• I Остановка и решение задач граничного управления продольнопоперечными и крутильными волнами и колебаниями в струнах и тонкостенных трубах. Взаимовлияние продольных и поперечных составляющих движения.
ю
• Постановка и решение динамической задачи о возбуждении и свободных колебаниях струн щипковых инструментов с учетом произвольной формы медиатора и сдвига частот из-за податливости Пространственные волновые и колебательные процессы в струнах.
• Решение динамической задачи о возбуждении и свободных колебаниях струн клавишных инструментов.
• Постановка и исследование задачи распространения продольно-поперечные волны и колебания в тяжелых и предварительно деформированных струнах.
• Решение задачи удара твердым затупленным телом по гибкой деформируемой струне при наличии деформации сжатия.
• Постановка и решение задачи о размотке тросовой системы на околоземной орбите.
1.6 Научная новизна работы.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- Получение асимптотических слабо нелинейных уравнений поперечных, продольных, изгибных и крутильных колебаний струн, мембран, стержней, труб. Решение задач распространения поперечно-продольных волн и колебаний с учетом их взаимодействия в новой постановке.
- Теоретические исследования и экспериментальные данные о том, что в предварительно напряженных телах различной геометрии существуют вынужденные продольные колебания на частотах поперечных, крутильных колебаний являются новыми.
11
- Впервые определено экспериментально, что вклад продольных составляющих в динамическое нагружение растянутых струн оказывается одного порядка с вкладом поперечных и крутильных колебаний.
- Теоретические и экспериментальные исследования резонансных явлений между поперечными и продольными колебаниями.
- Поставлены и решены задачи граничного управления поперечно-продольными колебаниями струн в рамках линеаризованной системы уравнений.
- Поставлены и решены задачи динамического воздействия на музыкальные струны. Определены спектры поперечных и продольных колебаний в данной постановке. Даны постановка и решение задачи, описывающей волновые и колебательные процессы в струнах щипковых музыкальных инструментов в период воздействия исполнителя за счет построения модели взаимодействия медиатора со струной как динамического взаимодействия «струна - движущееся тело». Учтен пространственный характер этого взаимодействия и определена пространственная волновая картина, возникающая при этом. Рассмотрено влияние поперечно-продольных волновых процессов на характер движения медиатора и, следовательно, манеру игры исполнителя.
Исследования в области распространения и взаимодействия продольных, поперечных, сдвиговых волн и колебаний в твердом теле с учетом нелинейности тензора деформаций, представленные в работе, являются новыми.
1.7 Достоверность результатов.
Достоверность результатов работы определяется применением общих законов механики и физики, корректных постановок и строгих математических методов решения поставленных задач.
12
Составленная программа численного счета тестировались путем сравнения с имеющимися аналитическими решениями, и это сравнение показало очень хорошее согласование численных и аналитических результатов. Численный метод при решении задач динамического воздействия медиатора и молоточка фортепиано на струну можно назвать полуаналитическим, так как искомые величины определялись в виде сходящихся рядов точных аналитических решений.
Проверкой достоверности теоретических выводов являются результаты проведенных экспериментов но измерению спектров звучания электрогитары с помощью современной компьютерной программы цифровой обработки акустических спектров музыкальных инструментов. Сравнение амплитудно-частотных характеристик акустических спектров с результатами теоретических расчетов подтвердило правильность последних.
1.8 Теоретическая и практическая ценность работы.
Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что результаты работы являются точными аналитическими решениями и носят достаточно общий характер. Они могут быть использованы в изготовлении музыкальных инструментов. Эти результаты были использованы для расчетов при производстве музыкальных струн с навивкой. Применительно к строительным конструкциям установленные результаты позволяют определить новые расчетные случаи нагружения конструкций, соединенных гибкими и негибкими связями, испытывающими какие-либо динамические воздействия.
1.9 Основные положения, выносимые на защиту.
13
Решение задачи поперечно-продольных колебаний растянутых струн. Обнаружено, что хотя продольные смещения на порядок меньше поперечных, их вклад в динамическое нагружение струны одного порядка с поперечными составляющими. Поэтому решенная задача с учетом продольных динамических составляющих натяжения в струне более полно описывает механизм передачи воздействий на присоединенные к ней элементы. Обнаружено, что наряду с собственными продольными колебаниями существуют вынужденные продольные колебания на поперечных частотах. При совпадении частот отдельных мод поперечных и продольных колебания возможны резонансные явления.
Получены дифференциальные уравнения и решены задачи распространения продольных, поперечных и крутильных волн и колебаний с учетом их взаимного влияния в витых канатах, струнах с навивкой, тонкостенных трубах и мембранах, а также тяжелых и предварительно деформированных канатах с использованием нелинейного тензора деформаций. Полученные уравнения для продольных составляющих являются неоднородными, что обусловлено влиянием поперечных и крутильных воздействий. Показано, что вклад продольных и поперечных и крутильных составляющих в динамическое нагружение этих элементов одного порядка, при этом возможны резонансные явления между модами продольных, крутильных и поперечных колебаний.
Решение задачи о распространении волн и колебаний в растянутых стержнях и струнах с учетом жесткости. Показано, что в негибких средах возникают вынужденные продольные колебания на поперечных частотах при этом также как и в гибких средах возможно увеличение амплитуды колебаний при совпадении собственных и вынужденных частот. Наличие малой жесткости, характерной для музыкальных струн, приводит к незначительному изменению частот всего спектра поперечно-продольных колебаний, образованию групп гармоник близких по частотам, а также к
14
существенному изменению формы струны в местах соударения, креплений и на фронте поперечной волны.
Проведены экспериментальные исследования вынужденных продольных колебаний предварительно натянутых струн на частотах поперечных колебаний. Экспериментально подтверждено наличие вынужденных продольных колебаний на поперечных частотах и увеличение амплитуды при совпадении собственных и вынужденных частот продольных колебаний растянутых струн. Вынужденные продольные возмущения наряду с поперечными являются источником колебаний присоединенных к струне элементов и конструкций.
Постановка и решение задач граничного управления продольнопоперечными и крутильными волнами и колебаниями в струнах и тонкостенных трубах. Показано, что с помощью граничного режима можно управлять поперечно-продольным движением струн, переводя их из одного состояния с заданными профилями координат и скоростей в другое за определенное конечное время. При этом определены условия управления продольными колебаниями с помощью поперечных или крутильных граничных режимов и наоборот.
Постановка и решение динамической задачи о возбуждении и свободных поперечно-продольных колебаниях струн щипковых и клавишных инструментов под влиянием произвольной формы медиатора, молоточка и сдвига частот из-за податливости заделки. Проведенное в диссертации рассмотрение процесса воздействия на струну как процесса взаимодействия струны в течение определенного конечного времени с телом, движущимся по некоторому закону, привело к новым задачам определения компонентов смещения, деформаций и скоростей частиц струны и, как следствие, спектров колебаний струны музыкального инструмента. Определение спектров колебаний при учете а) решения задачи для периода воздействия, б) впервые выполненного теоретического определения собственных и вынужденных продольных колебаний.
15
Пространственные волновые и колебательные процессы в струнах. Установлена связь между волновыми и колебательными процессами в струнах и манерой игры исполнителя. Рассмотрено влияние поперечнопродольных волновых процессов на характер движения медиатора и, следовательно, процесс звукоизвлечения.
Постановка и решение задачи удара твердым затупленным телом по гибкой деформируемой струне при наличии деформации сжатия. Найдены условия возникновения таких режимов. Проанализированы волновые процессы, возникающие при воздействии струны на клин с различными углами раствора (или на полуплоскость), в случаях, когда скорость точки схода струны с клина больше (сверхзвуковой случай) или меньше (дозвуковой) скорости распространения продольной волны в ней. Впервые обнаружено, что и для дозвукового случая существуют режимы (даже при абсолютно неупругих взаимодействиях), когда в струне возникают области отрицательных деформаций. Установлено, что такие режимы являются динамически неустойчивыми и приводят к возникновению не описанных ранее в литературе нестационарных процессов деформирования струн.
1.10 Публикации
Основное содержание диссертации опубликовано в 31 работе, список которых представлен в конце диссертации, из них 16 - в реферируемых изданиях, 13 - ведущих изданиях, входящих в перечень ВАК. В них опубликованы основные результаты диссертации. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором.
1.11 Апробация диссертационной работы.
Основные материалы и результаты исследований докладывались и получили положительную оценку:
16
• на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. 2006 г.
• на международной конференции «Современные проблемы газовой и волновой динамики», посвященной памяти академика
Х.А. Рахматулина в связи со 100-летием со дня его рождения. Москва. 2009г.
• на Международной конференции, посвященной памяти академика Х.А. Рахматулина в связи со 100-летием со дня его рождения. Бишкек. 2009г.
• на X XV школах-семинарах «Современные проблемы
аэрогидродинамики», (2002 - 2007) (председатель акад. Г.Г. Черный, тезисы опубликованы в Изд. МГУ)
• на Ломоносовских чтениях в Московском Государственном Университете с 2005 по 2010 год
• на научных семинарах кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ (руководитель семинара акад. Е.И.Шемякии)
• на научных семинарах Акустического института им. H.H. Андреева
• на научном семинаре кафедры композитов механико-математического факультета МГУ под руководством проф. Победри Б.Е.
• на научном семинаре в Институте механики МГУ (руководители чл.-корр. РАН А.Г. Куликовский, проф. A.A. Бармин и В.П. Карликов)
• на научном семинаре Института проблем механики РАН (руководители акад. Д. М. Климов и АЛО. Ишлииский)
• на научном семинаре в отделе математической физики МИАН им. В.А. Стеклова (руководитель акад. В.В. Владимиров)
• на научных конференциях МГУл
1.12 Личное участие автора.
17
Основные результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно. Из совместных публикаций в работе использованы результаты, полученные непосредственно автором.
1.13 Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения, списка используемых литературных источников к каждой главе, содержит 215 страниц, включая рисунки и таблицы.
Особую благодарность автор хотел бы выразить Демьянову Юрию Андреевичу, благодаря настойчивости и участию которого была выполнена данная работа.
Автор благодарит всех сотрудников кафедр прикладной математики и математического моделирования МГУл за поддержку.
Большая благодарность всем сотрудникам кафедры газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ за полезное обсуждение, консультации и помощь.
Автор выражает признательность Херувимову A.C., Афанасьеву A.B. и Брюквиной О.Ю. за помощь в численных расчетах.
18
ГЛАВА 1
ВЗАИМОВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН И КОЛЕБАНИЙ В РАСТЯНУТЫХ СТРУНАХ.
Поперечно-продольные колебания струн музыкальных инструментов.
При ударе по струне медиатором время, в течение которого он воздействует на струну, находится в пределах от 0.01 сек. до 0.05 сек.
Данное время было установлено Брюквиным A.B. и автором в результате экспериментальной проверки. За это время поперечные и продольные волны успевают пробежать и отразится на участках между точками заделок и медиатором. Все это приводит к тому, что в период воздействия исполнителя в струне возникают поперечно-продольные колебания, которые будут восприниматься декой (основным источником звука) и влиять на дальнейшее её звучание. Частоты данных колебаний будут выше частот основного спектра колебаний струны. Методом разделения переменных, решая задачи для продольных и поперечных составляющих, можно найти амплитуду этих колебаний.
Полученные ниже решения позволяют определить распределение продольных и поперечных составляющих векторов смещений и скоростей в момент окончания воздействия медиатора (или пальца исполнителя).
Считая полученные распределения за начальные условия для уравнений поперечных и продольных колебаний, и учитывая граничные условия в местах заделки, можно решить задачу определения спектра поперечнопродольных колебаний струны после воздействия исполнителя. При определении спектров как поперечных, так и поперечно-продольных колебаний в струнах щипковых инструментов в соответствии с постановкой, предложенной лордом Рэлеем, задавалось начальное
19
- Киев+380960830922