Численное моделирование особенностей течений идеального газа и двухфазных смесей газа с частицами

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА И ДВУХФАЗНЫХ СМЕСЕЙ ГАЗА. С ЧАСТИЦАМИ
Содержание
Стр.
Введение...................................................... 4
Глава 1. ПОСТ РОЕНИЕ ПРОФИЛЕЙ И МОТОГОНДОЛ, СУ-ПЕРКРИТИЧЕСКИХ В ОКОЛОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ИДЕ- , 13
АЛЬНОГОГАЗА..............................................
1.1. Основные идеи метода.............................. 14
1.2. Выбор фиктивного газа............................. 17
1.3. Некоторые особенности расчета..................... 21
1.4. Демонстрация возможностей метода.................. 28
Глава 2. МЕТОДЫ РАЗРЕШЕНИЯ МЕЛКОМАСШТАБНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ..................... 40
2:1..Зарождение скачков уплотнения в местных сверхзвуковых зонах................................ .'.______________________________;__________________________ 41.
2.2. Результаты расчета течений с местными сверхзвуковыми зонами ................................................................ 42
2.3. Обсуждение результатов расчета течений с местными сверхзвуковыми зонами .................... :... 46
2.4. Об усилении слабых ударных волн в осесимметричном: ■ сверхзвуковом потоке и об их отражении от оси симметрии..... 48 2.5: Результаты расчетов нерегулярного отражения ударной •
•• волны от оси симметрии .............................. 50
Глава 3. ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА С ОТРЫВНЫМИ ЗОНАМИ И НЕСТАЦИОНАРНЫМИ КОНТАКТНЫМИ РАЗРЫВАМИ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ .....................:................. 55
3.1. Стационарная отрывная зона на затупленной головной части :........................................................................ 57
3.2. Поперечное нестационарное обтекание кругового цилиндра 63
3.3. Плоская струя в спутном дозвуковом потоке............. 71
Глава 4 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДАРНОВОЛНОВЫХ СТРУКТУР ПЕРЕД СВЕРХЗВУКОВОЙ ВЕНТИЛЯТОРНОЙ РЕШЕТКОЙ ..................................................................... 79
4.1. Особенности используемых математических моделей и ме- . тодов................................................. 83
4.2. Примеры расчета................................... 91
Глава 5. ЛИНЕЙНЫЙ И НЕЛИНЕЙНЫЙ ПОДХОДЫ.И ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В АЭРОАКУСТИКЕ ................. 105
5.1. Уравнения аэроакустики в форме интегральных законов сохранения ......................................... 107
5.2. Сравнение линейного и нелинейного подходов с применением цифровой обработки сигналов..................... 110
Глава 6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСАЖДЕНИЯ ПЕРЕОХЛАЖДЕННЫХ КАПЕЛЬ НА ОБТЕКАЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ............................................................. 119
6.1. Метод газодинамического расчета и его возможности 120
6.2. Расчет скорости и траекторий частиц...................... 123
6.3. Примеры расчета обтекания мотогондолы потоком воздуха
и капельс образованием намерзающих слоев на обечайке и на
коке двигателя............................................. 127
Глава7. МОДЕЛИРОВАНИЕ АБРАЗИВНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ДИСПЕРСНЫХ СТРУЙ И АКУСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГАЗОВЫХ СТРУЙ ПРИ ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ПРЕГРАДАМИ...................................................... 136
7.1. Уравнения движения газа и частиц по газу................. 140
7.2. Уравнения совместного движения газа и твердых частиц .... 144
7.3 Организация расчета нестационарного движения частиц в
газовом потоке................................................ 146
7.4 Численное исследование влияния параметров абразивной
установки на ее эффективность................................. 157
7.5. Эволюция преграды во времени............................. 161
7.6. Моделирование эффекта экранирования преграды.......... 168
7.6.1 Модель столкновения сжимаемых сферических частиц. 169
7.6.2 Моделирование столкновений частиц сложной формы.. 174
7.6.3 Численное исследование эффекта экранирования преграды................................................ 175
7.6.4 Использование подобия течений для ускорения расчета................................................... 178
7.7. Определение акустических характеристик................ 182
Заключение...................................................... 190
Литература...................................................... 195
з
Введение
Бурное развитие вычислительной гидро- и аэродинамики в течение нескольких последних десятилетий связано со стремительным прогрессом в компьютерной технике, развитием математических моделей (турбулентности, горения, многофазных сред.), а также разработкой эффективных численных методов.
На современном этапе вычислительная аэродинамика стала необходимым инструментом исследования аэродинамических явлений, замещая, где это возможно, или дополняя весьма дорогостоящие, а порой и неполные результаты экспериментальных исследований. Использование численных методов позволяет сократить стоимость исследований, повысить их скорость и выявить ряд аспектов, которые могут быть не выявлены при физическом моделировании. Хотя в. принципе, на всех этапах аэродинамических исследований и- математическая теория, и экспериментальные методы, и численный расчет должны применяться совместно.
Несмотря на впечатляющий достигнутый вычислительный прогресс, возможности современных расчетных исследований все еще существенно ограничены производительностью имеющихся в распоряжении вычислителя ЭВМ. В этих условиях возможность получения численного решения и его качество в значительной мере определяются искусством вычислителя, его умением найти и применить адекватные задаче вычислительные технологии. Последние могут быть связаны как с используемыми математическими моделями, так и с численными методами их реализации.
Настоящая работа посвящена использованию ряда расчетных технологий при решении задач численного моделирования особенностей газодинамических течений.
4
Цель работы состоит в исследовании возможностей численного моделирования сложных газодинамических явлений при использовании адекватных задаче расчетных технологий и в демонстрации эффективности указанных технологий.
Актуальность темы исследований связана с актуальностью вычислительной аэродинамики и задачи совершенствования ее элементов.
Научная новизна исследований:
Основу численного моделирования всех рассмотренных в работе задач составляет широко распространенная конечно-разностная схема Годунова-Кол гана-Родионова [1-4], обеспечивающая второй порядок аппроксимации на равномерных сетках, и, в некоторых случаях, метод характеристик для расчета сверхзвуковых течений. Новыми элементами в представленных исследованиях, помимо результатов- расчетов, являются либо предлагаемые для решения модели, либо используемые приемьгчисленной реализации рассматриваемых задач. Перечислим эти элементы.
1. Развит метод коррекции образующих двумерных профилей и осесимметричных тел- с протоком (мотогондол), обтекаемых околозвуковым потоком идеального газа с целыо уменьшения его волнового сопротивления. Для решения задачи наряду с идеальным газом с обычным уравнением состояния использована модель «фиктивного газа» с уравнением состояния^ при котором невозможно достижение сверхзвуковых скоростей и существование скачков уплотнения. Определенная- комбинация расчетов для нормального и фиктивного газов позволяет скорректировать форму образующей обтекаемого тела так, чтобы исключить образование скачков в местной сверхзвуковой зоне (глава 1).
2. Предложена модификация условий отсутствия отражения на внешних границах расчетной области при расчете обтекания несущего
профиля. Задаваемые для реализации этого условия параметры невозмущенного потока в теневых ячейках уточняются с учетом циркуляции, связанной по формуле Жуковского с определенной к данному моменту подъемной силой профиля. Уточнение параметров во вспомогательных ячейках выполняется в линейном приближении с использованием формул для вихря в несжимаемой жидкости (глава
о-
3. Реализована технология вложенных расчетных областей с разным масштабом разрешения особенностей течения при исследовании расположения замыкающего скачка уплотнения в местной сверхзвуковой зоне, образующейся при обтекании плоского профиля околозвуковым потоком идеального газа (глава 2).
4. При численном исследовании отражения осесимметричных ударных волн от оси использованы технологии явного выделения фронта падающей ударной волны и приемов измельчения расчетных ячеек только в необходимых областях течения без «паразитного» сгущения сетки в нежелательных областях. Это позволило подтвердить теоретически предсказанное, но ненаблюдаемое ранее в,расчетах и эксперименте для слабых ударных волн обязательное наличие диска Маха в точке их отражения от оси (глава 2).
5. В рамках уравнений Эйлера построены примеры как стационарных, так и периодических нестационарных несимметричных отрывных течений, реализующихся при обтекании симметричных тел стационарным равномерным дозвуковым потоком, а также сложной нестационарной деформации контактных(тангенциальных) разрывов- -границ плоской до- или сверхзвуковой струй в спутном дозвуковом потоке малой скорости. При этом многократное увеличение мощности разностных сеток при численном интегрировании уравнений Эйлера показывает отсутствие в рассчитанных примерах заметного влияния схемной вязкости (глава 3).
6
6. При расчете ударно-волновых структур, распространяющихся вверх по потоку от вентиляторной решетки, обтекаемой сверхзвуковым потоком с дозвуковой нормальной к ее фронту компонентой скорости, предложены расчетные сетки, адаптированные к расчету ударно-волновых структур, и показано, что их использование позволяет многократно сократить время расчета при лучшем его качестве (глава 4).
7. Для решения задач аэроакустики с очень малыми типичными интенсивностями акустических волн предложено применение широко используемой в акустических экспериментах цифровой обработки сигналов. Показано, что такой прием позволяет из результатов интегрирования нелинейных уравнений выделять гармонические акустические волны, интенсивность которых меньше интенсивности шума, обусловленного погрешностями счёта, в том числе, плохим установлением стационарного фона (глава 5).
8. Разработана математическая модель осаждения содержащихся в потоке газа переохлажденных капель, позволяющая, в частности, определять скорость их выпадения на обтекаемые поверхности (глава 6).
9. Предложен и реализован ряд оригинальных математических моделей для расчета нестационарного течения смеси газа с частицами на основе прямого статистического моделирования. Особенностью моделей является дискретное представление частиц с их индивидуальными свойствами и стохастическим описанием характеристик. Учет множественных столкновений в областях высоких концентраций дисперсной фазы обеспечивается введением в модель свойства сжимаемости частиц (глава 7).
Достоверность полученных результатов работы подтверждается сходимостью расчетных данных при измельчении расчетных сеток, а также,
где это возможно, сравнением с данными экспериментальных исследований и известными эмпирическими зависимостями.
Практическая значимость работы.
Предложенные приемы и методики могут применяться при численном моделировании широкого круга задач газовой динамики либо как инструмент решения, либо для улучшения качества решения и повышения быстродействия-реализующих его алгоритмов. Но и собственно результаты решения на основе предложенных приемов и методик представленных в диссертации задач имеют самостоятельную научную ценность.
Личный вклад
За исключением последней, 7-ой главы, постановка задач и аналитические исследования принадлежат руководителю работы Л.Н. Крайко, а методология численных расчетов и их реализация, где это особо не оговорено, - соискателю. Результаты седьмой главы получены соискателем самостоятельно. Кроме того, соискателем предложены способ выбора фиктивного газа и модификация условий отражения при обтекании профиля в первой главе, использование цифровой обработки сигнала в нелинейных численных расчетах для выделения гармонического сигнала из шума, обусловленного погрешностями счёта в шестой главе. Линейный подход и- анализ распространения акустических возмущений реализован Мельниковой О.М., расчеты пятой главы на неадаптированной сетке выполнены Браилко И.А.
Апробация работы.
Материалы, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях:
• II Международная научно-техническая конференция “Авиадвигатели XXI века”, 2005.
• Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, 2005.
8
• V Международная школа-семинар «Модели и методы аэродинамики», 2005.
• XVI школа-семинар «Аэродинамика летательных аппаратов», 2005.
• IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, 2006;
• XI Международная школа-семинар «Модели и методы аэродинамики», 2011.
Внедрение результатов.
Результаты работы в части расчетов осаждения переохлажденных капель на обтекаемых поверхностях (глава 4).использовались при проведении в ЦИАМ стендовых испытаний по исследованию обледенения элементов летательного аппарата при-полете в неблагоприятных погодных условиях.
Расчеты на основе представленных в-7-ой главе результатов.моделирования течений смеси газа с частицами и акустических характеристик использовались при создании, и оптимизации- оборудования для газоабразивной обработки материалов.
Список основных публикации по теме диссертации•
По результатам работы опубликованы 5 статей и принята к печати 1 статья в ведущих рецензируемых научных журналах из Перечня ВАК. В прилагаемом ниже списке публикаций они выделены жирным шрифтом
1. Крайко А.Н., Пьянков К.С. Построение профилей и мотогондол, суперкритических в околозвуковом потоке идеального газа // ЖВМиМФ. 2000. Т. 40. № 12. С. 1890-1904.
2. Крайко А.Н., Пьянков К.С. Метод профилирования суперкритических профилей и. мотогондол // «ЦИАМ 2001-2005. Основные результаты научно-технической деятельности», в 2-х т., 2005. Т. 2. С. 70-77.
3. Крайко А.Н., Пьянков К.С. Построение профилей и мотогондол, суперкритических в потоке идеального газа // Газовая динамика. Избранное. В 2-х т. Т. 2. Ред.-составители: А.Н. Крайко (отв.), А.Н.
Ватажин, А.Н. Секундов. M.: Физматлит, 2001. 761 с.; Издание второе исправленное. М.: Физматлит, 2005. 752 с. С. 250-264.
4. Крайко А.Н., Пьянков К.С. О скачках уплотнении, в местных сверхзвуковых зонах-// Изв; РАН; МЖГ. 2006. № 5. С. 181-188.
5. Крайко А.Н., Пьянков К.С. Скачки уплотнения, замыкающие местные сверхзвуковые зоны // Теоретическая и прикладная газовая динамика. Т. I /Под ред. С.Ю. Крашенинникова. Труды ЦИАМ № 1341. М.: ТОРУС ПРЕСС, 2010. 466 с. С. 59-71.
6. Крайко А.Н., Пьянков К.С. Течения идеального газа с отрывными зонами и нестационарными контактными разрывами, сложной формы // Изв. РАН; МЖГ. 2006. № 5; G. 41-54;
7. Крайко А.Н., Пьянков К.С. Течения невязкого и нетеплопроводного газа с отрывными зонами и нестационарными контактными разрывами сложной формы // Теоретическая и прикладная газовая динамика. Т.. I /Под ред. С.Ю. Крашенинникова. Труды ЦИАМ № 1341.. М.: ТОРУС ПРЕСС, 2010. 466 с. С. 72-95.
8.. Грабовский В;И., Крайко А.И., Пьянков К.С. Численное моделирование осаждения переохлажденных капель на обечайку мотогондолы и на кок двигателя // Аэромеханика и газовая динамика. 2002. № 1. С. 50-59; № 2. С. 96, 97. ' ■’ : : •
9. Браилко И.А., Крайко А.Н., Пьянков К.С., Тилляева Н.И. Аэродинамические и акустические характеристики сверхзвуковой вентиляторной решетки с дозвуковой осевой компонентой вектора скорости // Аэромеханика и газовая динамика. 2003. № 4. С. 9-22.
Ю.Ефремов H.JL, Крайко А.Н., Пьянков К.С., Тилляева Н.И: Математическое моделирование ударно-волновых структур перед сверхзвуковой вентиляторной решеткой // «ЦИАМ 2001-2005. Основные результаты научно-технической деятельности», в 2-х т., 2005. Т. 2. С. 86-91:
11.Ефремов НЛ;,. Крайко: A.H., Пьянков;. К.Є., Тилляева* Н.И., Яковлев Е.А. Ударно-волновые структуры перед неоднородной вентиляторной решеткой // Изв. РАН. МЖГ. 2010; № 2. С. 135-152;- '
1-2.Ефремов H.JI.,. Крайко А.Н., Пьянков К.С., Тилляева Н:И., Яковлев Е.А. Ударно-волновые структуры перед вентиляторной решеткой, неоднородной из-за разброса углов установки // Теоретическая и прикладная газовая динамика. Т. I /Под ред. С.Ю. Крашенинникова. Труды ЦИАМ № 1341. М.: ТОРУС ПРЕСС, 2010. 466 с. С. 365-389:
ІЗ.Ефремов H.JI., Крайко А.Н., Пьянков К.С., Тилляева Н.И., Яковлев Е.А. Ударно-волновые структуры перед неоднородной вентиляторной решеткой // Экологические проблемы авиации /Под ред. Ю.Д. Халецкого. Труды ЦИАМ № 1347. М.: ТОРУС ПРЕСС, 2010. 504 с. С. 142-166.
14.Крайко А.Н., Мельникова О.М., Пьянков К.С. Линейный' и нелинейный подходы и цифровая обработка сигналов в аэроакустике // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 6. С. 11-20.
15.Крайко А.Н., Мельникова О.М., Пьянков К.С. Линейный и нелинейный подходы и цифровая обработка сигналов в вычислительной аэроакустике // Теоретическая и прикладная газовая динамика. Т. 1 /Под ред. С.Ю. Крашенинникова. Труды ЦИАМ № 1341. М.: ТОРУС ПРЕСС, 2010. 466 с. С. 439-452.
16. Крайко А.Н., Пьянков К.С., Тилляева Н.И; Об усилении слабых ударных волн в осесимметричном сверхзвуковом потоке и об их отражении от.оси симметрии // ПММ; 2011, в печати.
Положения, выносящиеся на защиту:
1. Метод коррекции образующих двумерных профилей и осесимметричных тел с протоком (мотогондол), обтекаемых околозвуковым потоком идеального газа для уменьшения его волнового сопротивления.
2. Результаты численного исследования положения замыкающего скачка уплотнения в местной сверхзвуковой зоне, образующейся при обтекании плоского профиля околозвуковым потоком идеального газа.
3.Расчетное подтверждение обязательного наличия диска Маха вблизи оси при отражении слабой осесимметричной ударной волны от оси симметрии.
4. Построенные в рамках уравнений Эйлера примеры стационарных, а также периодических нестационарных несимметричных отрывных течений, реализующихся при обтекании симметричных тел стационарным равномерным дозвуковым потоком; примеры сложной нестационарной деформации границ плоской до- или сверхзвуковой струй в спутном дозвуковом потоке малой скорости.
5. Результаты расчета ударно-волновых структур, распространяющихся вверх по потоку от вентиляторной решетки, обтекаемой сверхзвуковым потоком с дозвуковой нормальной к ее фронту компонентой скорости, и метод адаптации расчетной сетки, многократно ускоряющий решение рассмотренной задачи.
6. Результаты сравнения линейного и нелинейного подходов к расчёту распространения и эволюции малых акустических возмущений в неоднородных потоках и применение метода цифровой обработки сигналов при численном решении задач аэроакустики.
7.Результаты расчета осаждения переохлажденных капель воды на поверхности кока двухконтурного воздушно-реактивного двигателя и обечайки его мотогондолы.
8.Методы моделирования абразивного воздействия и акустических характеристик струй при их взаимодействии с преградами применительно к расчету газоабразивной установки, включая степень экранирования частицами преграды, формирующийся рельеф преграды, скорость проходки и др.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы из 218 наименований. Полный объем диссертации составляет 211 страниц, в том числе: рисунков - 70 , таблиц - 4 .
Автор выражает благодарность профессору, доктору физико-математических наук Крайко Александру Николаевичу, без которого данная работа никогда не увидела бы свет, кандидату физико-математических наук Тиллясвой Наталье Иноятовне за неоценимую помощь в работе и подготовке данной диссертации.
Автор благодарен Ю.Д. Шмыглевскому, простимулировавшему исследование 3-ей главы, а также А.Н. Секундову и С.Ю. Крашенинникову - за полезные обсуждения.
12
Глава 1. ПОСТРОЕНИЕ ПРОФИЛЕЙ И МОТОГОНДОЛ,
СУПЕРКРИТИЧЕСКИХ В ОКОЛОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОГО
ГАЗА
Представлен метод коррекции образующих двумерных профилей и осесимметричных тел с протоком (мотогондол), обтекаемых околозвуковым потоком идеального газа с целью уменьшения его волнового сопротивления. Для решения задачи наряду с идеальным газом с обычным уравнением состояния использована модель «фиктивного газа» с уравнением состояния, при котором невозможно достижение сверхзвуковых скоростей и существование скачков уплотнения. Определенная комбинация расчетов для нормального и фиктивного газов позволяет скорректировать форму образующей обтекаемого тела так, чтобы исключить образование скачков в.местной сверхзвуковой зоне.
Снижение сопротивления - важная задача аэродинамики. Если при малых числах Маха набегающего потока волновое сопротивление отсутствует, то при околозвуковых скоростях оно вносит в полное сопротивление заметный вклад. Замыкающий скачок и вызванный им снижающий качество профиля отрыв пограничного слоя могут к тому же стать причиной нежелательных автоколебаний.
Описанный ниже метод обеспечивает безударное течение в местной сверхзвуковой зоне при малом уменьшении площади продольного сечения профиля и при практически неизменной подъемной силе. Он развивает идею использования “фиктивного” газа, примененную ранее в [6]-[9]. Отличие состоит в способах конструирования фиктивного газа и, что более существенно, в ее численной реализации. В [6]-[9] расчет стационарного обтекания исходных профилей фиктивным газом выполнялся в рамках потенциального приближения с использованием весьма специфических, развитых именно для этого приближения численных процедур. Ниже это делается в рамках процедуры установления, которая стала наиболее распространенным и простым в реализации методом расчета смешанных течений.
1.1. Основные идеи метода
Аналогично [6]-[9] описываемый метод включает два “основных” этапа. Целью первого этапа является получение безударного обтекания исходного профиля композитным газом при неизменных параметрах, в частности, числе Маха набегающего потока М«,. При давлении р > р., где “звездочка” метит параметры критического (“звукового”) потока, композитный IT13 тождественен “нормальному”, например, совершенному газу. При р < р., нормальный газ заменяется, “ненормальным” (фиктивным), в котором при стационарном течении скорость потока не превышает скорость звука и потому невозможны ударные волны. При р = р* все термодинамические параметры, скорость звука а = а., модуль скорости потока V = а+ и, разумеется, число Маха М = 1 совпадают в обоих газах.
Стационарное течение вырабатывается установлением по времени с помощью распадной монотонной консервативной разностной схемы второго порядка по координатам и первого по времени. Эта схема является развитием известной схемы первого порядка, предложенной С.К. Годуновым [1]. Второй порядок аппроксимации- по пространственным переменным достигается в ней применением процедуры “реконструкции”, основанной на “принципе минимальных значений производных или приращений” [2]-[5]. В задаче о распаде произвольного разрыва, являющейся важным'элементом схемы, почти всюду использовалось не различающееся для нормального и фиктивного газа решение в акустическом приближении. Исключение составляли ситуации с попаданием границы ячейки в центрированную волну. На случай их возникновения аналогично тому, как впервые сделано в [10], предусматривалось использование точного описания центрированной волны. При этом учитывалось, что в. нормальном газе это - центрированная волна разрежения, а в ненормальном - центрированная волна сжатия (см. ниже). Как уже указывалось, при давлениях
ниже критического в стационарном течении фиктивного газа скорость звука с падением давления растет быстрее скорости потока. Поэтому в закритических зонах, ограниченных звуковой линией и контуром тела, при давлениях ниже критического число Маха М < 1. Этим и обеспечивается отсутствие скачков. .
В докрити ческой области, т. е. в области с давлением выше критического, дозвуковые течения композитного и нормального газов тождественны, ибо они удовлетворяют одним и тем же законам сохранения, граничным условиям на бесконечности и на поверхности тела и уравнениям состояния, причем условия: на бесконечности вниз по потоку отражают через неизменность энтропии безударность всего течения: Цель, второго этапа метода - построение реализующего такую изэнтропичность нового (“скорректированного”), закритическо-го участка контура тела при .течении; не только в докритической, но- и в закритической области нормального, а не фиктивного газа:. При неизменных (найденных на первом этапе) критических параметрах на звуковой линии течение нормального газа: в области,, ограниченной этой линией и новым участком1 контура, будет закритическим и по давлению; и но числу Маха, т. е; указанная область будет местной сверхзвуковой зоной.
В каждом конкретном случае возможность требуемой коррекции' закри-тического участка контура обтекаемого тела устанавливается в процессе решения методом характеристик задачи Коши для; сверхзвукового течения нормального газа с начальными данными на звуковой-линии. Если при расчете методом характеристик течение без пересечений одноименных характеристик удается построить до “нулевой” линии тока, соединяющей без изломов звуковые точки исходной образующей, то эта линия тока дает искомый участок контура суперкритического тела. В рассматриваемых задачах звуковая линия не касается С+- и С"-характеристик. Поэтому на ней наряду с непрерывностью параметров потока, в частности, угла наклона 0 вектора скорости V непрерывны их пространственные производные. Данное обстоятельство обеспечивает глад-
кость на звуковой линии всех линий тока, включая нулевую.
Пусть . расположена над обтекаемым телом. Тогда пересечение над еще не построенной нулевой линией тока С*-характеристик при расчете от звуковой линии свидетельствует об отсутствии решения поставленной задачи Коши. Аналогичное пересечение СГ-характеристик свидетельствует об образовании в скачка по схеме, исследованной в [11]. В обеих ситуациях суперкритический контур при фиксированных фиктивном газе и исходном контуре описанным способом построить не удается. В таких случаях из возможных вариантов действий наиболее простой - изменение фиктивного газа. Последнее меняет форму в композитном газе; делая ее, например, менее вытянутой по нормали к телу и как следствие - исключая нежелательные- пересечения. Другая возможность -замена исходного контура- и организация соответствующего итерационного процесса. При такой замене может оказаться-полезной* даже неполная информация, полученная иЗчЧастично решенной задачи Коши.
Параметры нормального и фиктивного газов, совпадающие на звуковой линии, при отходе от нее в закритическую область .различаются. При этом если давление, плотность р и V = ПУП различаются лишь количественно при падении р и р и росте К, то поведение плотности тока рК, отличается не только количественно, но и качественно. Последнее вызвано тем, что в закритической области в нормальном газе М > 1, а в фиктивном - наоборот М < 1. В то же время в стационарных изоэнергетических и изэнтропических течениях и нор-
л
мального, и фиктивного газов рУ - функция только р, причем с!(рУ)/с1р = (М -I)/К. Поэтому при движении в закритической области от звуковой линии к телу, когда давление в обеих газах падает, в нормальном газе его падение сопровождается уменьшением плотности тока, а в фиктивном - ее ростом или в крайнем случае - постоянством. Из-за этого в закритической области сечения трубок тока в нормальном газе оказываются больше, чем в фиктивном. В силу тождественности звуковых линий у исходного тела, обтекаемого композитным
газом,, и у построенного описанным способом суперкритического тела, обтекаемого нормальным газом, в результате столь разного поведения плотности тока скорректированный участок контура смещается внутрь исходного тела.
Наряду с основными этапами метод включает два этапа, которые носят вспомогательный (“информационный”) характер. На них обтекание исходного и скорректированного тел нормальным газом рассчитывается установлением по времени. Цель этих расчетов - получение обтекания исходного тела с , которая замыкается как правило интенсивным скачком, и скорректированного тела с без.такого скачка и сравнение отвечающих обоим телам силовых ха-
рактеристик.
1.2; Выбор фиктивного газа*
На первом этапе описываемого метода рассчитывается безударное: обтекание исходного профиля композитным газом. Последнее достигается благодаря использованию при р < р., в качестве фиктивного “ненормального” газа, у
• • ' а 2 j 2ч *
которого “фундаментальная производная” сорр = (<)со /др )s неположительна (см. [12J и [13]). Здесь со = 1/р и s - удельные объем и энтропия, а “звездочка”!мстит параметры критического (звукового) потока. У нормальных газов юрр > 0. Далее в качестве нормального газа взят совершенный газ с показателем адиабаты к >
1.
Далее рассматриваются стационарные изоэнергетические течения, для которых во всем потоке 2h + V2 = const, где h = е + сор - удельная энтальпия, известная функция р и s или со и s . Нели в дополнение к этому течение изэн гро-пично, то V и-все термодинамические параметры - функции одного из них, например,/?, и с учетом известных соотношений а = рр и hp = со имеем
Л, М2 -1 М' ч2 /1 п
р ~ рaV 2 ™рр' (1*2.1)
Здесь и далее нижние индексы “р” или “со” означают частные производ-
17
ные при постоянной энтропии л\
Для нормального газа юрр > 0, и при М < 1 в силу (1.2.1) число Маха с уменьшением давления растет. Для совершенного газа, у которого р3аЛ(йрр = к +1, равенство (1.2.1) сводится к
_ (1 - к)М2 - 2 " 2раУ ’
и число Маха при уменьшении давления растет при любых М.
Пусть (йрр = 0, как в “газе Чаплыгина” [13] с линейной связью между со и р, который можно относить и к нормальному, и к ненормальному. В данном случае константы указанной линейной связи определяются по р., со. и а*, т.е. по критическим параметрам. Поэтому такой газ назовем “критическим газом Чаплыгина” (к.г.Ч.). Для него решением, уравнения (1.2.1) с начальным условием на звуковой линии: М = 1 прир-р* будет М = 1 дляр <р*.
Для плоских и незакрученных осесимметричных стационарных течений уравнения движения в локальных декартовых координатах £ц (£ направлено по вектору скорости V, а т| - вверх) можно записать в форме
(М2 - 1) др/д\ + рУгдЪ!дт\ = - (у/.у)рК28те, др/дц = - рУгдШ%. (1.2.2)
Здесь V = 0 и 1 соответственно в плоском и в осесимметричном случаях, в осесимметричном случае у - расстояние до оси симметрии, совпадающей с осыо х, при V = 0 ось х направлена по вектору скорости набегающего потока V«,, 0 - угол вектора скорости V с осью х. В силу второго уравнения (1.2.2) при обтекании верхней выпуклой поверхности тела, вблизи которого < О,
давление р с удалением от тела растет и наоборот при приближении к телу падает. Именно этим обусловлена возможность образования над верхней выпуклой образующей профилей и мотогондол.
Если в качестве фиктивного газа взять к.г.Ч., то в случае образования при
18
обтекании получившимся композитным газом закритических зон течение в них будет звуковым (М = 1) с постоянной плотностью тока. Тогда при v = 0 в согласии с первым уравнением из (1.2.2) в закритической зоне дО/др = 0. Отсюда и,из постоянства плотности тока следует, что в “плоских” закритических зонах отрезки прямых, на которых 0 = const, нормальны к поверхности тела и ко всем пересекающим их линиям тока. Следовательно для такого газа в закритической зоне линии тока подобны закритическому участку образующей обтекаемого тела.
При использования композитного газа с к.г.Ч. в качестве фиктивного за-критические зоны получаются’ столь сильно вытянутыми по нормали к телу, что задача Коши для нормального газа с данными на звуковой линии чаще всего не имеет требуемого, безударного решения. По этой, причине в качестве фиктивного был взят газ с “параболической” зависимостью р от со
р=р.~ (р.я*)2(со - со.) + (а/2) (со- со*)?, (1.2:3)
в которой константа-а < 0. Согласно (1.2.3) рШ(й = а < 0, а р(Ш = (ра)6(орр, т.е. у такого* газа- ырр также отрицательно и следовательно он является- ненормальным: Напомним, что;в силу теоремы Цемплена [12]'и» [13] в<нормальных газах возможны скачки уплотнения и невозможны скачки разрежения, а в ненор-мальных - наоборот: невозможны скачки уплотнения и возможны скачки разрежения: Последнее важно при решении используемой в. численном методе нестационарной задачи о распаде произвольного разрыва, в упоминавшемся выше случае с попаданием границы ячейки в центрированную волну сжатия.
Удобно свойства фиктивного газа описывать через аналогичные свойсва нормального. В силу сказанного ранее для обеспечения непрерывности параметров нормального и фиктивного газов при р = р., т.е. на звуковой линии, на которой в обоих газах М = 1, коэффициенты при (со - со.) в (1.2.3) и в соответствующем разложении для нормального газа одинаковы. В противоположность
19