СОДЕРЖАНИЕ
Содержание
Введение.
Гл. 1 .Аналитические методы приближенного решения чадим упругого и у пру го пластического деформирования тел.
1.1.0 трехосном расширении упру гои ластичсского пространства, ослабленного полостью.
1.2.Упругопластическое состояние при двухосном растяжении толстой пластины, ослабленной круговым отверстием, с учетом упругой сжимаемости.
1.3. Об использовании метода возмущений при решении упругоплаетнческих задач с учетом упрочнении.
1.4.К расчету изгиба толстой полосы при степенном упрочнении
1.5. 11роектиропн1ше детален стланной копфт урнци ей отверстия после деформации.
1.6. Расчет оптимальной формы заготовки листа для получения детали с заданной конфигурацией ослабленной области.
1.7.Упругопластическое состояние груб под действием равномерного внутреннего давления
1.8. Применение метода малого параметра к проектированию равнопрочных конструкций.
1.9. О возможности совместного применения метода малого параметра и метода граничных элементов к решению пространственных упругопластических задач.
1.10.Расчёт оболочек малой конусности методом малого параметра.
Стр. 1 Стр.4 Стр. 12
Сар. 12
Стр. 21
Стр.28 ( тр. 11 Сф.Ж* Стр.47
Стр.5 5 Стр. 60 Стр.69
Стр. 75
2
Глава 2. Несущая способность вязкопластических пластин и Стр.84 оболочек.
2.1. Деформирование вязкопластических пластин и оболочек вращения при первоначальном условии текучести Грее ка.
2.2. Расчет деформирования вязкопластических пластин при первоначальном условии пластичности Треска вариационными методами.
2.3. Деформирование вязкопластических пластин и оболочек вращения при первоначальном условии текучести максимального приведённого напряжения.
2.4. Учёт нелинейной вязкости при деформировании пластин и оболочек вращения при первоначальных ку-соч по-л и пей 11 ых условия х I таен пи юе п I.
Глава 3. Вариационные методы определения напряженно-деформированного состояния тел и конструкций
3.1. Вариационное уравнение для кинематически допустимых полей скоростей перемещений и статически уравновешенных напряжений.
3.2.Смешанный вариационный принцип для сред, обладающих потенциалами напряжений и деформаций (скоростей деформаций).
3.3.Использование вариационного принципа для вязкопластических оболочек.
3.4. Использование смешанного вариационного принципа для определения напряженно-деформированного состояния тонкой оболочки изтрансверсально-изотропного материала
Заключение
Стр.84
Стр. 94
Стр. 98
(Др. 107
Стр. I 17
Стр. I 17 Стр. 120
Стр. 124 Стр. 138
Стр. 146
Библиография
Стр. 151
4
ВВЕДЕНИЕ.
Решение задач теории пластичности встречает большие трудности математического характера в связи с нелинейностью определяющих уравнений и требует развития новых приемов и приближенных методов.
В работе рассматриваются как аналитические методы приближенного решения задач (метод малого параметра, вариационные методы), так и новые модели, позволяющие упростить исходную систему определяющих уравнений.
Лишь небольшой класс задач механики сплошных сред допускает точное аналитическое решение. Поэтому вопрос о решении их с помощью аналитических приближенных методов всегда актуален.
Если считать, что решения классических линейных задач МСС разработаны достаточно подробно, то малейшее отклонение границы тела или распределения нагрузки от традиционных делает эти задачи недоступными для точных решений.
При нарушении линейности реологических соотношений, описывающих среду, ограничивается круг известных точных аналитических решений за счет перехода системы уравнений к нелинейному виду. f3 этом случае увеличивается необходимость в приближенных методах, позволяющих использовать уже имеющиеся результаты.
Самым распространенным таким аналитическим методом является метод возмущений. Этот метод нашел широкое применение в гидродинамике и газодинамике [85, 113], теории устойчивости [55, 127].
К классическим задачам применения метода возмущений к расчету вязкопластических тел относятся работы A.A. Илыошина [83J, который исследовал течение вязкопластической полосы при малых возмущениях границы, и А.И. Ишлинского [85, 86].
Одними из первых работ, посвященных применению метода возмущений к расчету пластических тел, были работы А.П. Соколова 1124), Е. Оната и В. Пратера [107], Д.Д. Ивлева [71].
В работах Д.Д. Ивлева [75, 76, 77], JI.B. Ершова [63], Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [79, 80], было предложено развитие применения малого параметра к решению упругопластических задач на основе теории малых упругопластических деформаций .
5
Линеаризация по малому параметру, характеризующему геометрию тела, и статические граничные условия дали возможности решить ряд конкретных задач теории идеальной пластичности [9, 10, 22, 24, 32, 39, 73, 79, 89,91, 96, ПО, 126, 131]
Метод малого параметра, характеризующий геометрию тела, был использован при изучении образования шейки в образцах 157, 107, 117], правки листов [56], кручения комических валов с
некруговым сечением [94, 111].
Учет возмущения реологических свойств материала приводился в работах [12, 13, 66, 67, 94], посвященных учету упрочения пластических сред, [130, 79], посвященных учету сжимаемости материала.
Примеры решения задач пластически неоднородных анизотропных тел содержатся в работах [8, 82, 99, 133, IА [.
В перечисленных задачах рассматривалось влияние возмущения на поведение упругопластической границы.
Широко обсуждается вопрос о сходимости приближенных решений, полученных методом малого параметра [ 104, 105, 68].
Первая глава работы посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния твердых тел методом малого параметра.
Описание пластического деформирования многих материалов невозможно без учёта влияния скоростей деформации невозможно без учета влияния скорос тей деформации.
Впервые вязкопластичсекие материалы исследовались Шведовым Т.Е. [145] и Бингамом 1139]. В одномерных экспериментах на сдвиг было обнаружено, что при достижении предела текучести к касательное напряжение г начинает возрастать пропорционально скорости сдвига.
т = к + ру
Соотношение описывает модель среды Бингама-Шведова.
В последующих экспериментах было обнаружено существенное влияние скорости деформаций на динамический предел текучести.
При динамических испытаниях остальных образцов на удлинение Тейлор [146] получил нелинейную зависимость отношения динамического предела текучести а к статическому ст0 от скорости деформаций. Эти результаты подтверждаются работами
б
[148] и [140]. Их аналитическим обобщением является закон зависимости сг-є, предложенный в работе [141] в виде
При пространственном напряженном состоянии, когда напряжения составляют некоторый тензор ач, а деформации - тензор
е1{ необходимо перейти от простейших законов к закону
пространственного деформирования вязкопластических сред. Общие соотношения для пластического течения среды Бингама-Шведова были предложены Хоонемзером и Прагером [148], Ильюшиным [83] и др. в виде
Ишлинский [84] предложил линейную зависимость между обобщенными силами и обобщенными перемещениями, материал предполагался подчиняющимся условиям пластичности Треска.
Дальнейшая попытка линеаризации была создана Прагером [112] . Соотношения между напряжениями и скоростями деформаций получались аналогично тому, как были получены приведенные зависимости, по для кусочмо-лмпсймых условий текучести определяющее уравнение имело вид
а^} - симметричные девиаторы, независящие от
напряженного состояния, р(у) - скаляры.
При пластическом течении, описываемом этим соотношением, каждая грань поверхности текучести деформируется независимо. В связи с этим в процессе деформирования получаются все новые законы, описываемые конкретным видом соотношений.
~к&
где
0 при Ь(у)<0
цу)=4^« - (){х) пРи цу)>®
7
В работе [65] Ивлевым Д.Д. и Знаменским А.Л. было предложено использовать кусочно-линейные потенциалы для описания законов деформирования вязкопластических сред.
Модель вязкопластического тела может быть обобщена введением упрочнения, истории деформирования и т.д. Одно из таких обобщений предложено в работе Бережного И.А. и Ивлева Д.Д. [17] , в которой рассматривалась модель вязко-упруго-пластической среды.
Сложности, получаемые при вязкопластических течениях, затрудняли расчет вязкопластических конструкций с учетом вязкости. Одна из первых попыток в этом направлении была сделана в работах [93] и |147].
В работе [144] рассматривались пластины и оболочки из вязкопластического материала.
Усложнение модели среды приводит к усложнению системы определяющих решение задачи уравнений. При этом традиционные аналитические и численные методы зачастую тесно связаны с гниом определяющих уравнений, формой тела и граничных условий.
Появившиеся В последнее время новые численные метод 1.1 (в частности метод конечных элементов) освобождены от прямого влияния конкретных условий задачи, особенно если она можез быть сформулирована в вариационном виде.
Вариационные методы в механике всегда вызывали повышенный интерес, начиная с XVIII века, когда в основном относительно них велись философские споры. В XIX веке интерес сосредоточился на математическом формализме, но уже в конце этот века и на протяжении всего XX века они, наконец, были признаны .мощным практическим инструментом в тех случаях, когда получение точного решения оказывалось невозможным.
В механике деформируемого твердого тела начало их применения было положено принципами Лагранжа и Кастилиано в упругости, которые долго оставались единственными, независимо один от другого формулируемыми, принципами, пока в 1958 году Васидзу не высказал точку зрения, что все уравнения теории упругости служат уравнениями Эйлера для некоторого функционала(частным случаем этого функционала являются функционалы Лагранжа, Кастилиано и Рейсснера).
Параллельно развитию вариационных методов в теории упругости они развивались и для некоторых форм вязких течений.
8
В 1928 году Мизес ввел принцип максимума скорости работы
поверхностных сил для пластической среды, используя понятие пластического потенциала. Далее были получены вариационные принципы для сред со смешанными свойствами путем введения соответствующих потенциалов рассеивания. Например, для вязко пластических сред Л.Л. Ильюшиным [83] и В. Пратером [ 1431 независимо был получен минимальный принцип для поля скоростей деформаций
здесь х„(е0) = >■*>(•*/>) = /ЦуЛ/~ потенциалы рассеивания,
сп- скорости деформаций, лу - девиатор тензора напряжений, г, -
скорости перемещений.
Затем было предложено обобщение принципов Ильюшина-Прагера на случай наличия комбинированного сопротивления упругой среды и сопротивления несжимаемой рассеивающей среды
Обширные исследования, основанные на применении понятий функционального анализа при использовании вариационных методов, проведены П.П.Мосоловым и В.П.Мясниковым [101, 102].
Вариационный подход использовался как для исследования общих свойств решений задач теории пластичности, так и для решения конкретных задач.
Очевидно, формулировка вариационных принципов относительно кинематических или статических характеристик напряжённо-деформированного состояния среды уменьшает количество использованных неизвестных, но при численных методах решения вариационной задачи остаются вопросы относительно выполнения соответствующих уравнений Эйлера. С другой стороны, с развитием мощной вычислительной техники отпадает необходимость стремиться к уменьшению числа неизвестных функций в ущерб точности решения и в этом случае могут быть полезными смешанные вариационные уравнения.
8- 1[хЛ^) + хр(£ц)^У- - \рх^у = 0
и принцип для полей напряжений
[140].
9
В главе 3 предложены два смешанных вариационных принципа для сред, свойства которых можно описать с помощью потенциальных функций для напряжений и скоростей деформации. 11а примере трансверсально-изотрогшой среды с изотропным упрочнением приводится методика определений этих потенциальных функций. Рассматривается применение предложенных принципов для расчета тонких оболочек и один из возможных численных методов его реализации.
Актуальность темы. Учет сложных реологических свойств среды повышает эффективность расчетов при решении прикладных задач машиностроения. Аналитические приближенные методы позволяют получить качественную оценку решения для обеспечения прочности конструкции при наименьшем расходе материальных затрат. Сочетание аналитических и численных методов в настоящее время дает надежную оценку напряженно-деформированного состояния тел.
Таким образом, тематика диссертации, посвященная вопросам теории и прикладным задачам пластических и вяэконластпчоскнх тел, является актуальной и практически значимой.
Научная новизна работы заключается в следующем:
^ дана методика расчета напряженно-деформированного состояния тел с учетом возмущений реологических свойств среды;
^ показана возможность применения метода малого параметра к решению технологических задач;
^ разработан алгоритм использования метода граничных элементов совместно с методом малого параметра;
^ предложены три вида линейных соотношений между напряжениями и скоростями деформаций для вязкопластических тел;
^ получены предельные соотношения между статическими и кинематическими характеристиками вязкопластических оболочек;
^ предложены два смешанных вариационных принципа для сред, модель которых характеризуется с помощью потенциальных функций напряжений и скоростей деформаций;
^ получены потенциальные функции для трапсверсальпо-изотропного материала с изотропным упрочнением.
Практическое значение работы. Точные п приближенные решения, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы при проектировании и оценке работоспособности
10
деталей машин и конструкций, в задачах предельною равновесия и различных проблем прочности элементов конструкций, сооружений и т.д.; предложенные вариационные принципы могут быть использованы при численном решении задач деформирования трехмерных тел и оболочечных конструкций, когда требуется знание и напряженного, и деформированного состояний.
Достоверность полученных результатов основана на использовании полной системы исходных уравнений механики деформируемого твердого тела, сравнении полученных
приближенных решений в частных случаях с известными точными, совпадении результатов, полученных для материалов со сложными реологическими свойствами, в процессе предельного перехода с известными результатами для простых сред.
Апробация работы. Основные результаты диссертации
докладывались и обсуждались ira следующих конференциях,
семинарах и совещаниях:
а 10 семинар «Актуальные проблемы прочности» ('Гарту-
1985),
□ Конференция «Оптимальное проектирование иеунругих элементов конструкций» (Тарту-1989),
□ Школа «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж-1992),
□ Конференция «Информационные технологии и системы» (Воронеж-1993 г.)
□ Математическая школа «Понтрягинские чтения V» (Воронеж-1994г.)
□ Математическая школа «Понтрягинские чтения VI» (Воронеж-1995г.)
а Математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж-1995),
□ Математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж-1997),
□ Воронежская школа «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж-98)
□ девятая научная межвузовская конференция «математическое моделирование и краевые задачи» (Самара-1999г.),
! 1
□ Математическая школа «Понтрягинские чтения X» (Воронеж-1999г.)
и Воронежская школа "Современные проблемы механики и прикладной математики", Воронеж, 1998 г.
□ Школа-семинар, "Современные проблемы механики и прикладной математики", посвященная 70-летию профессора Д. Д.Ивлева
□ Ежегодные научные конференции профессорско-преподавательского состава ВГУ (Воронеж 1966-2000)
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано более 30 работ.
Объем работы. Диссертация содержит 161 страницу текста, II иллюстраций. Библиография - 148 наименований.
Автор выражает благодарность своему научному консультанту Дюису Даниловичу Ивлеву за постоянное внимание и поддержку.
12
Глава 1. Аналитические методы приближенного решении задач упругого и упругопластического деформировании тел.
1.1. О трёхосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного полостью.
Метод малого параметра, является до настоящего времени одним из самых часто употребляемых методов получения приближенного аналитического решения задач МСС. Классическая постановка таких задач приведена в монографии [79]. Можно показать, что метод малого параметра до сих пор оказывается эффективным методом как традиционного расчета напряженно-деформированного состояния деформируемых тел, так и задач технологии современного машиностроения. Ом применим для определения начальной формы заготовки детали, для расчёт конструкций с формой срединной поверхности, отличной от простейшей, и во многих других случаях , примеры которых будут приведены ниже.
Вначале рассмотрим задачу о папряженно-деформироваппом состоянии вблизи полости в упругопластическом теле, расположенной далеко от внешней границы тела и имеющей форму, близкую к сферической. Определяемое напряженно-деформированное состояние, можно смоделировать следующим образом: рассмотрим тело, внутренняя и внешняя границы которого достаточно мало отличаются от сферы, причём, характерные размеры этих границ различаются на порядок.
Компоненты напряжений представим в виде
стр = ор° + 50р, V = т(Л° + 8тро (Р0Ф) О-1-1)
Здесь и в дальнейшем символ(рОф) означает, что недостающие соотношения получаются из данных круговой перестановкой индексов, а малый параметр б характеризует отклонение границы тела от сферической, а также статические граничные условия.
Для определения напряженного упругопластического состояния по теории идеальной пластичности используем: уравнения равновесия
Зст„ і дх
+ -
рО
Эт
+
— + — (2
Ф Р 6<) рБІиО Эф Р
о.. - Сто -ст* +тн,с^о)=- 0
+ • А _а+)с1ве + 3тро} = 0 0-1-2)
Эр р ЭО рэтО Эф р
ЗТрф 1 Л
0ф
1 да* 1 + —г-г-г~ + ^(3г„4 +2т04с1ёе) = 0
ф р ЭО рБІпО Эф р
условия пластичности Треска - Сен-Венана [72]
2 іЛ
°р-а + 3^1
ИЛИ
Г/^Г^
2 л
ст., - о- + - к
= 0
(рОф)
(1.1.4)
граничные условия
<7р1 + ТрОт + %фП = Рр
(р0ф)
(1.1.5)
а также условия сопряжения решений в упругой и пластической областях.
Подставляя (1.1.1) в (1.1.3), получаем для нулевого приближения условия пластичности, аналогичные (1.1.3). Для первого приближения будем иметь
р°-<7° + — к (|сг,4 -<т'|+ ~2т рф°т рф =°
/ 2 ^
стф°-ст° + -к
\ 5 /
Рр -сг I-
(рбф) (1.1.6)
или, используя (1.1.4)
14
^рф ТфО ^ фО ^ )>ф
^°-ол+-кур0 -
~трвТф “^'1=°
(Р0ф)
(1.1.7)
В качестве нулевого приближения берутся значения напряжений для полой сферы внутреннего радиуса а и внешнего Ь, находящейся под действием равномерного давления (соответственно рир,)
о"р = -4к 1п^ - Р,ст"р = а£р =-4к1пН-2к-р,т$ = т^’ = т"1; = О
_0е ар =
4к(31
1
ь3
-Р|
_0е Ос Ое г\
Хр0 “Тр* “ Х О* “О
Ос Ос 2кРо <?о = °Ф = —
-Р1
где индекс р означает, что компонента относится к пластической зоне, индекс е - к упругой, ро - граница пластической зоны.
Подставив в (1.1.6) и (1.1.7) значения нулевых приближений, получаем
•р _ *р _ ’р _ 'р т'р _ п
ар ~ °0 “ аф “ а > т0ф “ и
Тогда система уравнений (1.1.2) запишется в виде
Эар 1 дТро 1 ох^ 1
+ -
+-----
Эр р 00 рэ1п0 Эф р
+ -*ро<%в = 0
^Р0
1 Эа р 3 .р Л
+-------------+ -Т.РЛ = 0
Эр р Э0 р
р0
Эр рэшО Эф р
(1-1.9)
- Киев+380960830922