Расчет и проектирование оптимальных по долговечности элементов конструкций

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................... 4
ГЛАВА I. Приближенный метод расчета напряженно-деформированного состояния и времени начала разрушения элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала................................................ 12
§ I. Исходные соотношения и постановка задачи расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости
материала............................................ 12
• !
§ 2. Построение приближенного решения задачи ползучести с учетом повреждаемости материала ................ 16
§ 3. Случай аналитического решения системы уравнений (1.2.14), (1.2.17) ................................. 23
§ 4. Верхние и нижние оценки на решение системы
(1.2.14), (1.2.17) в случае р> О .................... 25
§ 5. Верхние и нижние оценки на решение системы
(1.2.14), (1.2.17) в случае р> < 0 30
ГЛАВА П. Использование приближенного метода для расчета напряженно-деформированного состояния и времени начала разрушения элементов конструкций .. 41
§ I. Расчет напряженно-деформированного состояния
изгибаемой балки .................................... 41
§ 2. Расчет напряженно-деформированного состояния
вращающегося диска .................................. 46
§ 3. Расчет напряженно-деформированного состояния
изгибаемой кольцевой пластины ........................ 51
§ 4. Расчет напряженно-деформированного состояния
растягиваемой кольцевой пластины .................... 62
ГЛАВА Ш. Расчет и проектирование оптимальных по долговечности элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала..................................................... 68
§ I. Вариационная постановка задачи проектирования оптимальных по долговечности элементов конструкций .... •.......................................... 69
§ 2. Приведение исходной нестационарной оптимизационной задачи к стационарной ........................... 73
§ 3# Расчет и проектирование профиля оптимальной по долговечности балки, работающей в условиях чистого изгиба ....................................... 76
§ 4. Расчет и проектирование профиля оптимального
по долговечности вращающегося диска ................ 82
§ 5. Расчет и проектирование профиля оптимальной по долговечности изгибаемой кольцевой пластины .................................................... 87
§ 6# Расчет и проектирование профиля оптимальной по долговечности растягиваемой кольцевой пластины .................................................... 98
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................*................ 109
ЛИТЕРАТУРА..................................................... III
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
Современное развитие техники и отдельных отраслей промышленности характеризуется повышением нагрузок, скоростей и температуры при работе машин и механизмов. Это в свою очередь предъявляет все более высокие требования к материалам и конструкциям, используемым в различных областях народного хозяйства, накладывает ограничения на их вес, время эксплуатации, экономичность итехноло-гичность. В связи с этим важное значение приобретают задачи расчета и проектирования оптимальных элементов конструкций, работающих в условиях ползучести и удовлетворяющих наперед заданным свойствам.
Начало теоретическим исследованиям в области оптимизации было положено Лагранжем, показавшим возможность применения вариационного исчисления при отыскании конструкции наименьшего веса. С тех пор наряду с развитием вариационного исчисления появились совершенно новые методы решения оптимизационных задач, хорошо приспособленные к применению ЭВМ [1-4] . Подробное изложение общих
оптимизационных методов, а также методов, используемых для проектирования элементов конструкций, представлено в работах [1"И] .
Значительное количество всевозможных оптимизационных методов указывает на то, что не существует универсального подхода для решения такого рода задач, поскольку какой-либо метод, хорошо зарекомендовавший себя при решении одних задач, оказывается малоэф -фективным или вообще непригодным при решении других.
Выбор того или иного метода при решении оптимизационной задачи в значительной степени зависит от ее постановки и допущений, принимаемых в каждом конкретном случае.
Большинство исследований в области оптимизации конструкций проведены в упругой и упругопластической постановках. В работах [ 7,12-20 ] рассматриваются различные задачи и методы решения
- 5 -
при проектировании оптимальных балок и стержневых систем. Значительное количество работ, выполненных в упрутопластической постановке, посвящено оптимальному проектированию дисков, пластин и оболочек I 21-29 ]
Общие свойства оптимальных элементов конструкций, работаю -щих в условиях ползучести, были сформулированы и рассматривались Ь работах [ 30-32 ] . В них введено определение оптимальной кон-
струкции, у которой разрушение происходит во всем объеме или на части поверхности одновременно за некоторое наперед заданное время 1**. Показано, что оптимальная по разрушению конструкция обладает наименьшим весом среди конструкций, выдерживающих заданные нагрузки в течении времени, не превосходящего . Предлага-
емые постановки задач распространялись на конструкции, поведение материала которых описывалось законом установившейся ползучести, а в качестве критерия оптимальности использовалось условие типа равнопрочности [ 30-35 ] . Например, в [зз] рассмотрены равнопрочные в условиях ползучести балки и плиты, у которых при постоянных во времени нагрузках разрушение крайних по толщине волокон происходит одновременно. Б Г 34] решена задача определения толщины цилиндрической оболочки при условии постоянства мощности диссипации. Проектирование равнопрочных конструкций является по существу обратной задачей механики и решается обычными методами [ 2,3,33,34].
Однако постановки оптимизационных задач, основанные на использовании условия равнопрочности, обладают некоторыми недостатками, ограничивающими их практическое применение. Например, в некоторых случаях получаемые решения могут не соответствовать реальным конструкциям.
В отличии от [ 30 -35 ] в работах [ 36,37,85-88] рассматриваются постановки задач проектирования оптимальных конструкций, работающих в условиях ползучести с учетом повреждаемости материа-
- 6 -
ла. В [36,85] яа основе обобщения и анализа экспериментальных данных для ряда конструкционных материалов в определенном температурно-силовом диапазоне обосновано существование эквивалентной термосиловой поверхности в смысле повреждаемости и длительности до разрушения. В результате этого дано определение оптимальной по долговечности конструкции и установлено для нее условие оптимальности, связывающее между собой в каждой точке тела температуру и инварианты тензора напряжений. В частности, для случая стационарных внешних нагрузок показано, что напряженное состояние будет установившимся, а скорость деформации ползучести оптимальной конструкции будет определяться произведением скорости деформации установившейся ползучести на функцию времени, определяемую из кинематического уравнения повреждаемости. Конкретные задачи в такой постановке рассмотрены в работах [ 37,86-88 ] ,
причем в [£6»87] решена задача определения оптимальной по долговечности турбинной лопатки, а в [37,88] показана возможность реализации равнопрочной в процессе ползучести конструкции путем надлежащего подбора внешних нагрузок и температуры. Эта задача решена применительно к неравномерно прогретому диску переменной толщины с отверстием, при этом использована система уравнений, описывающая все три стадии ползучести материала с одновременным учетом накопления повреждений.
Однако отмеченные недостатки, присущие равнопрочным конструкциям в предположении установившейся ползучести, остаются и при решении аналогичных задач с учетом повреждаемости материала.
Поэтому наиболее распространенными подходами к решению задач оптимального проектирования элементов конструкций являются вариационные методы исследования функционалов цели на экстремум
[ 2,3,7 ] . Вариационное исчисление остается не только глав-
ным средством при рассмотрении общих свойств различных классов оптимальных конструкций, -но и успешно используется для решения
- 7 -
конкретных задач [ 38-481
В работах [ 38-40 ] в вариационной постановке выполнены
задачи оптимального проектирования профиля вращающегося диска, обладающего минимальным весом. В аналогичных постановках рассматриваются задачи проектирования оптимальных по условиям эксплуа-
пластина изготовлена из разномодульного материала с различными характеристиками ползучести на растяжение и сжатие, поведение которого можно описать кусочно-линейным потенциалом ползучести. Большое количество работ, выполненных в вариационной постановке,
сматриваются задачи отыскания температурных полей, обеспечиваю-
щих минимальные упругие напряжения
При проектировании оптимальных элементов конструкций нередко пользуются методами теории оптимального управления, которые позволяют учитывать ограничения некоторых механических парамет -ров, заданных в виде неравенств, и приводят к более реальным проектам [ 1*6,48-56] . В работе [ 50 ] для решения задачи проектирования оптимальной балки, работающей в условиях ползучести и изготовленной из материала с различными свойствами на растяжение и сжатие, использован принцип максимума Понтрягина.
Применение вариационного исчисления для решения оптимизационных задач связано с определенными трудностями, поскольку получаемая система уравнений в большинстве случаев является нелинейной и не может быть решена аналитически, а учет ограничений в виде неравенств приводит еще к большему усложнению этого аппарата [1-5].
Учет ограничений, заданных в виде неравенств, может быть осуществлен с помощью функций Миеле или же других приемов, изложенных в работах [ 1,5-7 ]
Для численного решения задач оптимального проектирования с
тации балок и пластин [ 41-43] # причем в [ 43]
считается,что
посвящено оптимальному нагреву пластин и оболочек, в которых рас*-
- 8 -
учетом ограничений, заданных в виде неравенств, в работе [7 ] предложен итерационный метод, основанный на использовании уравнений Эйлера.
В последнее время широкое распространение при решении задач проектирования оптимальных конструкций получили методы математического нелинейного программирования [1-5,58-61 ] . Практически
любая вариационная задача может быть сведена к задаче нелинейного программирования Г 3*5 7
Среди наиболее распространенных методов нелинейного программирования являются методы релаксации ( покоординатный спуск ), наискорейшего спуска ( градиентный метод ), сопряженных градиентов [1,3,5]
Учет ограничений, накладываемых на какие-либо параметры кон-
*
струкции, можно осуществить методами штрафных функций, проекций градиента и другими методами [ 1,3,5 ] .
При решении вариационных задач в замкнутой области весьма эффективен метод локальных вариаций, изложенный в работе [ 4 ] .
Этот метод применим к интегралам, зависящим от нескольких функций и переменных и, что особенно валено при оптимизации конструкций, к сложным функционалам. Следует отметить, что учет ограничений в виде равенств, которые нельзя разрешить относительно варьируемых параметров, невозможен.
Метод локальных вариаций, как и все методы нелинейного программирования, приводит к локальному экстремуму и может быть реализован только на ЭВМ.
Таким образом, подавляющее большинство работ, посвященных проектированию оптимальных элементов конструкций, выполнено в предположении установившейся ползучести и не учитывает того факта, что разрушению предшествует процесс накопления повреждений в материале, который в свою очередь оказывает существенное влия-
- 9 -
ние на скорость деформации ползучести и приводит к перераспределению напряжений во времени [ 62-71 ] .
Величину накопленных повреждений принято отождествлять с одним из структурных параметров, определяющих состояние материала на любой момент времени вплоть до начала разрушения [ 65*71 ] •
Расчет напряженно - деформированного состояния с учетом повреждаемости материала даже для простейших элементов конструкций встречает определенные трудности [ 62 ] и требует значительного времени на ЭВМ [ 66 ] .
Использование системы кинетических уравнений ползучести с одновременным учетом повреждаемости материала приводит к существенному усложнению оптимизационной задачи, делает ее нестационарной ■и требует колоссальных затрат времени на ЭВМ. Видимо этим и объясняется, что подавляющее большинство работ, посвященных оптимальному проектированию конструкций, выполнено без учета процесса накоплений повреждений,
В связи с этим для решения задач оптимального проектирования элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала целесообразно использовать приближенные методы, позволяющие существенно сократить затраты времени на ЗИЛ• Приближенному расчету элементов конструкций, в частности, определению нижней оценки времени до разрушения по величине характерного напряжения с использованием уравнений состояния и закона повреждаемости, однородных относительно параметра сплошности, посвящен целый ряд зарубежных работ [ 66,71-74] .
Широкое распространение получили различные приближенные методы решения задач ползучести, основанные на вариационных принципах [ 62,75-79]. Весьма эффективными при построении приближенных решений задач ползучести с учетом повреждаемости материала являются так называемые смешанные вариационные принципы, получившие
- 10 -
свое идейное начало от вариационной теоремы Рейснера [ 62,78,79 ] 9 поскольку в них могут подвергаться варьированию как скорости напряжений и перемещений [ 62,78 ] , так и некоторые структур-
ные параметры [ то!.
Наибольшее распространение для построения приближенного решения задач ползучести получил смешанный вариационный принцип Сандерса, Мак-Комба, Шлехте [ 78 ] , основанный на вариационных
принципах Уанга - Прагера и Рейснера [ 62 ] # в диссертации этот принцип будет использован для приближенного расчета напряженно--деформированного состояния элементов конструкций с учетом повреждаемости материала при решении оптимизационных задач«
Целью диссертации является расчет и проектирование оптимальных элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала.
В первой главе диссертации рассматривается приближенный метод расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и времени начала разрушения с использованием кинетических уравнений, учитывающих повреждаемость материала. На основе использования смешанного вариационного принципа показано, что решение последней можно свести к решению аналогичной задачи в предположении установившейся ползучести [ 90-93 ] • При этом искомое на-
пряженно-деформированное состояние определяется на любой момент времени произведением решения задачи установившейся ползучести на некоторые функции координат и времени, для определения которых приведены соответствующие соотношения. Получены верхние и нижние оценки параметра повреждаемости материала на любой момент времени вплоть до начала разрушения.
Во второй главе на примерах чистого изгиба балки, вращающегося диска, растягиваемых и изгибаемых кольцевых пластин иллюстрируется применение приближенного метода для расчета напряженно-деформированного состояния и времени начала разрушения элементов