Итерационные методы решения задач линейной и нелинейной вязкоупругости, термовязкоупругости, термоупругости

- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .......................................................
I ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ. МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА.
ТЕОРИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ПО ВРЕМЕНИ МОДУЛЕЙ ........................
1.1 Вариационная постановка задачи линейной вязкоупругости ..
1.1.1 Основные уравнения линейной вязкоупругости .............
1.1.2 Условие эллиптичности для вязкоупругих тел.
Потенциал оператора краевой задачи .....................
1.2 Формулировка метода вспомогательного функционала для задачи линейной вязкоупругости нестареющего тела ...............
1.2.1 'Формулировка алгоритма и теоремы о сходимости..........
1.2.2 Энергетические оценки сходимости итерационного алгоритма ....................................................
1.2.3 Дифференциальная формулировка метода вспомогательного функционала .................................
1.2.4 Определение длины шага при минимизации вспомогательного функционала .................................
1.3 Различные формы вспомогательных Функционалов.
Разделение переменных. Сравнение с методом Вольтерры ...
1.3.1 Разделение пространственных и временных переменных
в методе вспомогательного функционала ..................
3.3.2 Вспомогательный функционал упругого тела ...............
1.3.3 Сравнение метода вспомогательного функционала
с методом Вольтерры ....................................
1.4 Приближенные алгоритмы решения на основе теории эффективных модулей ............................................
1.4.1 Эффективные по времени упругие модули ..................
1.4.2 Численные расчеты с упругими эффективными модулями ..
5.4.3 Оптимальные эффективные модули .........................
!.4 4 Численные расчеты с оптимальными упругими модулями ..
1.4.5 Эффективные вязкоупругие модули ........................
1.4.6 Оптимальные вязкоупругие модули ........................
1.4.7 Эффективные модули для разрывных траекторий нагружения....................................................
7
22
22
22
24
29
29
32
38
39
42
42
46
48
51
52.
56
59
62
64
67
68
»
1.5 Двухсторонние неравенства для функционалов удельных потенциальных энергий ........................................ 69
1.5.1 Представление функционалов удельных потенциальных энергий в положительно определенном виде ........................ 70
3.5.2 Вывод неравенств для функционалов удельных потенциальных энергий ........................................... 71
3.5.3 Численные примеры расчетов энергетических неравенств 75
1.5.4 Вывод неравенств, связывающих оптимальные и
эффективные модули........................................ 84
1.5.5 Двухсторонние неравенства для сверток
напряжений и деформаций................................... 86
1.6 Определение эффективных характеристик неоднородных
тел........................................................... 89
1.6.1 Вывод выражений эффективных модулей неоднородных упругих тел...................................................... 90
1.6.2 Эффективные модули неоднородных вязкоупругих тел..... 93
II АЛГОРИТМЫ И ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ
ВЯЗКОУПРУГОСТИ НЕСТАРЕЮЩЕГО ТЕЛА .............................. 95
2.1 Осесимметричная задача для линейно вязкоупругого
цилиндра .................................................... 95
2.1.3 Постановка и алгоритм задачи............................... 95
2.1.2 Численное исследование сходимости ........................ 101
2.1.3 Численный анализ напряжений и деформаций ................. 111
2.1.4 Численный пример для случая слабосингулярных ядер .. 116
2.2 Алгоритм реализации метода вспомогательного функционала
на основе численного интегрирования по времени .............. 120
2.3 Алгоритмы метода переменных параметров линейной вязкоупругости .............................................. 126
2.3.1 Формулировки алгоритмов .................................. 126
2.3.2 Исследование сходимости метода переменных параметров 133
2.3.3 Численный анализ сходимости. Сравнение расчетов по методу переменных параметров и методу вспомогательного функционала........................... 137
2.4 Построение вязкоупругих решений по известным упругим
на основе приближённого принципа соответствия ............... 348
2.4.1 Формулировка приближённого принципа соответствия . 148
- 4 -
2.4.2 Численные примеры реализации
152
III АЛГОРИТМЫ И ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ АНИЗОТРОПНОГО ЛИНЕЙНОГО ВЯЗКОУПРУГОГО ТЕЛА .................. 160
3.1 Вариационная постановка краевых задач.
Формулировка итерационных алгоритмов ........................ 160
3.1.1 Постановка задачи линейной вязкоупругости анизотропного тела и выбор вспомогательного функционала..................... 161
3.1.2 Приближённый принцип соответствия для задач анизотропного тела............................................ 165
3.1.3 Схемы реализации алгоритма переменных параметров ... 168
3.2 Приближённые решения для некоторых задач анизотропного тела на основе принципа соответствия ........................ 170
3.2.1 Растяжение ортотропиой пластинки с отверстием.
Сравнение с методом аппроксимаций ...................... 170
3.2.3 Приближённый расчёт напряженно-деформированного состояния вязкоупругого ортотропного покрытия ................ 176
3.3 Эффективные по времени модули анизотропного тела ____________ 179
3.3.1 Вывод выражений для эффективных модулей ................. 179
3.3.2 Оптимальные эффективные модули .......................... 182
3.3.3 Двухсторонние неравенства для функционалов удельных потенциальных энергий ........................................ 186
3.3.4 Расчет тяжелого трансверсально-изотролного массива
с полостью.............................................. 188
IV АЛГОРИТМЫ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАРЕЩБГО,
НЕОДНОРОДНОГО И НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЛ ............................ 196
4.1 Вариационная постановка и итерационные алгоритмы
решения для задач однородно стареющих изотропных сред 196
4.1.1 Особенности постановки задачи стареющего линейно вязкоупругого тела. Выбор вспомогательного функционала 196
4.1.2 Эффективные и оптимальные модули......................... 202
4.2 Приближенные расчеты с эффективными модулями .............. 204
4.2.1 Кручение неоднородно-стареющего цилиндра .,............ 204
4.2.2 Численный пример определения Функции связной ползучести................................................... 206
- 5 -
4.3 Алгоритм и численный расчёт двухслойного линейно вязкоупругого цилиндра с четырьмя независимыми ядрами .. 209
4.4 Контактная задача для цилиндра с упругой оболочкой __________ 219
4.4.1 Упругий анализ оболочки с заполнителем................... 220
4.4.1.1 Метод итерационного сопряжения контактных условий 220 4. 4.1.2 Расчёт напряженно-деформированного состояния
цилиндра.............................................. 221
4.4.1.3 Расчет напряженно-деформированного состояния
оболочки.............................................. 223
4. 4.1.4 Влияние механических свойств заполнителя на
напряженно-деформированное состояние оболочки ... 223
4.4.1.5 Влияние геометрических размеров заполнителя на
напряженно-деформированное состояние оболочки ________ 225
4. 4.1.6 Влияние механических и геометрических характеристик
оболочки на напряженно-деформированное
состояние заполнителя ................................ 227
4.4.2 Алгоритм и численный расчёт упругой оболочки с вязкоупругим заполнителем...................................... 228
4.5 Вариационная постановка задач линейной вязкоупругости несжимаемого и слабосжимаемого тел .......................... 232
4.5.1 Вариационные уравнения задачи несжимаемого и слабосжимаемого тел ........................................... 232
4.5.2 Приближённый принцип соответствия ....................... 234
V ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ЗАДАЧ
НЕЛИНЕЙНО ВЯЗКОУПРУГОГО ТЕЛА.................................... 237
5.1 Вариационная постановка и выбор вспомогательного функционала.................................................. 238
5.1.3 Оснознне уравнения главной квазилинейной теории вязкоупругости ................................................ 238
5.1.2 Приближённые оценки условий норм-эквивалентности . . 239
5.2 Формулировка алгоритмов вспомогательного функционала
и переменных параметров ..................................... 243
5.3 Приближённый принцип соответствия для задач нелинейной вязкоупругости .............................................. 247
6.3.1 Формулировка принципа приближенного соответствия ... 248
5. 3.2 Особенности применения приолиженного принципа
соответствия для нелинейных задач ...................... 252
5.3.3 Решение задачи о расширении сферической полости
в нелинейно вязкоупругой среде........................................................ 256
5.4 Эффективные и оптимальные модули нелинейно вязкоупругого тела. Двухсторонние оценки функционалов потенциальных энергий ............................................ 263
5.4.1 Эффективные модули нелинейно вязкоупругого тела ____ 263
5.4.2 Оптимальные эффективные модули нелинейной вязкоупругости ................................................ 267
5.4.3 Вывод линейных приближений для эффективных модулей . 268
5.4.4 Двухсторонние оценки функционалов удельных потенциальных энергий ......................................... 270
5.4.5 Численный пример расчета с эффективными и оптимальными модулями ........................................ 2,73
VI ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ
6.1 Вариационная постановка задач термовязкоупругости. Эффективные модули для термореологически простых материалов................................................... 280
6.1.1 Основные уравнения термовязкоупругости .................. 280
6.1.2 Эффективные по времени модули для термореологически простых материалов .......................................... 282
6.2 Расчет термоупругих температурных напряжений и деформаций приборного отсека космического аппарата ...... 285
к 2.1 Краткое описание концепции математического
обеспечения расчётов полей напряжений и деформаций космического аппарата .................................. 285
6.2.2 Математическая модель расчётов температурных напряжений и деформаций в приборном отсеке ........... 287
6.2.3 Алгоритм расчёта напряженно- деформируемого состояния конструкции приборного отсека и анализ численных результатов.................................................... 294
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ................................................. 314
ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ............................................. 3.16
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................... 317
- 7 -
ВВЕДЕНИЕ
Задачи расчёта вязкоупругих конструкций являются составной частью механики деформируемого твердого тела наряду с задачами теории упругости и пластичности. Многообразие физических процес-
• сов деформирования реальных естественных и искусственных материалов и конструкций ( полимерных композиционных материалов, пластмасс, твердых ракетных топлив, бетонов, горных пород и др.) диктует необходимость поиска эффективных математических методов расчета и конструирования определяющих уравнений вязкоупругих тел.
Основополагающие работы по наследственной упругости были сделаны ещё В. Вольтерра и Л.Больцманом /286/,/266/.
Интенсивное развитие математическая теория вязкоупругих тел получила в 60-х годах. Здесь прежде всего следует отметить основополагающие работы отечественных учёных А.А.Ильюшина, Б.Е.По-бедри, H. X Арутюняна, П. М. Огибалова, В. В. Москвитина, М. А. Колтуно-ва, Д. Л. Быкова, Ю. Н. Работнова /108/,/184/,/174/, /208/,/134/,
о /41/./200/, а также фундаментальные исследования И. И. Буга-
кова /38/, В. Г.Громова /68/, А.Б. Ефимова /91/, А.А.Зевина /101/, В. В. Колокольчикова /126/, /127/, А. С. Кравчука /140/,
В. П. Майбороды /154/, В. И. Малого/157/,/159/, Л. Е. Мальцева /162/ -/165/, В.П. Матвеенко /170/, М.И.Розовского /215/-/218/,
Н. А. Труфанова /240/,/243/, И. Е. Трояновского /236/.
, Основополагающие исследования по вязкоупругости содержатся
в работах зарубежных авторов: Т.Алфрея /4/, Д. Бленда /31/ , Р.Кристенсена /143/, Б. Колемана /268/, Т. Ферри /244/, Д. Фитцджеральда, А. Грина/272/, Б. Гросса /275/, М.Гуртина /276/, Р. Ривлина /273/, А. Редди, Р.Шепери /282/ И других.
Основными методами решения краевых задач ЛБУ являются следующие: - операторный метод; - метод интегральных преобразований
' (Лапласа или Лапласа-Карсона); - метод аппроксимаций A.A.Ильюши-
на. Кроме вышеперечисленных используются также метод непосредственного интегрирования квазистатических уравнений равновесия ЛВУ тела по времени (известна модификация с отбрасыванием части предыстории, влияние которой на процессы, близкие к исследуемому моменту t, пренебрежимо мало), метод квазиконстантных операторов
• В.И. Малого -H.A.Труфанова и др. Операторный метод основан на свойстве коммутативности операций интегрирования по времени и
- 8 -
• дифференцирования по пространственным координатам. Основная проблема заключается в том,что после замены в упругом решении констант на материальные операторы ЛВУ необходимо расшифровать получающиеся при этом операторные функции. Методы расшифровки, основанные на алгебре резольвентных операторов, разработаны в /67/,/68/. Следует отметить, что применяемые методы расшифровки
• существенным образом зависят от вида материальных функций памяти. Применимость операторного метода требует условия неизменности типа граничных условий на поверхности тела по времени /207/.
В практических задачах часто имеет место ситуация, когда упругое решение является иррациональной функцией упругих констант. Методы расшифровки иррациональных функций предложены в работах Ю. Н. Работнова /208/, М. И. Розовского /216/, /217/, Я. В. Бы-
I
кова /44/. Известен ряд подходов, в основу которых положена идея о представлении упругого решения в виде, удобном для последующей расшифровки по методу Вольтерры. Это работы В.П.Матвеенко /169/, /172/,Р.М.Раппопорта, Е. С.Екельчика /84/.В работах /90/, /91/
используется разложение упругого решения в ряд Тейлора по коэффициенту Пуассона. Основная трудность, возникающая при использо-
• вании данного подхода, - в необходимости численного дифференцирования упругого решения.
Несмотря на многообразие используемых подходов к решению ЛВУ задач в рамках операторного метода, к настоящему времени нельзя утверждать о наличии универсального, точного, экономичного и эффективного алгоритма. В частности, до последнего времени
. имелось сравнительно мало публикаций, содержащих примеры расчёта
конструкций, обладающих объёмной ползучестью и релаксацией /12/, /117/. Лишь в последние годы, благодаря работам В. П. Матвеенко /169/, /170/, Н. А.Труфанова /240/, Г. С. Цаплиной /172/ проблема
учёта объемных вязкоупругих свойств стала разрешимой. На основе данных работ выявлены новые закономерности изменения характера напряжённо-деформированного состояния конструкций во времени, в частности, возможность его немонотонного изменения во времени при монотонных внешних нагрузках. Так в работах В. П. Матвеен-ко/170/,/172/ разработан метод представления упругого решения в виде ряда по степеням параметра А. А.Ильюшина. Метод применим как для однородных ЛВУ тел, так и для кусочнооднородных тел.Метод квазиконстантных операторов разработан В.И.Малым,Н. А.Труфа-
• новым /157/, /159/, /161/. Его можно рассматривать как один из
наиболее эффективных операторных методов. Н.А.Труфановым данный
метод был впоследствии обобщен на задачи ЛВУ для стареющего, анизотропного и неоднородного тела /190/.
Метод интегральных преобразований основан на том, что формулировка задачи ЛВУ в изображениях совпадает с формулировкой соответствующей задачи теории упругости. Отсюда и совпадение решения в изображениях и упругого решения. В общем случае задача перехода от изображений к оригиналам встречает трудности. Подробно методы на основе интегральных преобразований (Лапласа или Лапласа-Карсона) описаны в монографиях /184/, /207/, /215/, /143/. Применение интегральных преобразований чувствительно к форме, в которой задаются ядра ползучести и релаксации, в частности данный метод неприменим для задач с ядрами нерезольвентного типа, задач с переменными по времени граничными поверхностями, задач, не подчиняющихся принципу температурно-временной аналогии. Выполнение обратного преобразования легко достигается, если упругое решение представлено в виде произведения дробнорациональной функции коэффициента Пуассона на функцию координат /108/, /136/, /145/. Однако в случае, когда рациональная за-
висимость упругого решения от коэффициента Пуассона отсутствует, приходится прибегать к приближённому обращению преобразования Лапласа. Наиболее известные методы - это метод Р.Шепери /262/ (но для этого метода нет оценки погрешности) и метод Коста /139/.
Метод аппроксимаций был разработан А. А. Ильюшиным /109/ с целью упрощения процедуры перехода от изображений к оригиналам для задач ЛВУ нестареющего тела с нерелаксирующим объемом. В дальнейших работах /108/, /110/ первоначальный вариант метода
аппроксимаций был обобщен на случаи более сложных задач. В /131/, /133/, /134/,/132/, /136/ была введена функция связной ползучести: с ее помощью были получены многочисленные решения вязко-упругих задач в рамках метода аппроксимаций. В ряде монографий /136/, /137/ содержатся таблицы переходных функций метода апп-
роксимаций. В /99/ метод аппроксимаций был распространен на краевые задачи для стареющих ЛВУ материалов, в /202/ - на задачи неоднородного анизотропного тела, в /196/ метод аппроксимаций применен к задачам, у которых упругое решение может быть получено только в численным виде. Попытка распространить метод аппроксимаций на нелинейные вязкоупругие среды была сделана в работах В. В. Колокольчикова /128/,/129/.
Достоинства метода аппроксимаций - в использовании матери-
- 10 -
• альных функций, заданных в виде таблиц /84/,/196/. К числу достоинств метода аппроксимаций можно отнести возможность его использования в численных решениях, полученных на основе МКЭ /2/,/146/, /242/, /258/.
Собственный анализ наиболее распространенных методов решения задач позволяет сделать следующие выводы. Во-первых, в расс-
• мотренных методах имеет место ограниченная универсальность использования. Так метод интегральных преобразований ориентирован на применение к резольвентным разностным операторам, операторный метод также находится в определённой зависимости от вида материальных функций и способа задания граничных условий во времени. Во-вторых, с точки зрения практической реализации алгоритмы решения вязкоупругих задач должны быть ориентированы на адаптацию к широко используемым в задачах прикладного анализа прочности и долговечности конструкций методам конечного элемента и конечных разностей, имеющим вариационную основу. В этой связи может возникнуть следующая постановка задачи построения алгоритма: исходить не из разнообразных приемов представления упругого решения, а из постановки,удобной для реализации вязкоупругого решения с
• помощью какого-либо численного метода. Другими словами, посколь-
ку получение упругого решения, от которого достаточно легко перейти к вязкоупругому, является лишь промежуточной целью (конечная цель- получить решение исходной задачи ДВУ),то возможны способы достижения конечной цели, минуя этап построения достаточно "хорошего" упругого решения и используя при этом преимущества
• накопленного опыта решения континуальных склерономных задач уп-
ругости, какой предоставляют МКЭ и МКР в виде пакетов прикладных программ и интегрируемых систем.
Таким образом, задача адаптации к уравнениям ЛБУ, НВУ уже
имеющегося аппарата решения континуальных упругих задач, содержа-
щегося в пакетах МКЭ и МКР, является достаточно актуальной и не завершенной, несмотря на достаточное количество работ по данному
' вопросу. С этой точки зрения настоящую работу можно трактовать
как одну из попыток реализации данной идеи.
В первой главе приведены основные уравнения линейного вязкоупругого тела.Рассмотрены основные формы потенциалов оператора краевой задачи ДВУ. Приведена формулировка обобщенной задачи ДВУ, которая эквивалентна задаче минимизации соответствующего
• функционала. Приведена формулировка итерационного метода вспомогательного функционала (МВФ) для задач нестареющего ДВУ тела,
Ч)
- и -
сходимость которого установлена в работах Б.Е.Победря /200/-/202/.
В качестве первого примера использован вспомогательный функционал вязкоупругого тела с пропорциональными операторами сдвиговой и объемной релаксации."Коэффициент подобия" может быть как константой, так и функцией времени. Произвол в назначении "коэффициента подобия" можно использовать для достижения оптимальной скорости сходимости итерационного процесса.
Скорость сходимости итерационного процесса зависит от соотношения показателей энергетической эквивалентности основного и вспомогательного функционалов. Для определения показателей норм-эквивалентности рассмотрена задача на безусловный экстремум функционала, равного разности удельных потенциалов исходного и вспомогательного физических соотношений. Производя варьирование полученного функционала, находим в качестве необходимых условий экстремума систему интегральных уравнений относительно координат экстремума и искомых коэффициентов условий эквивалентности норм.
Располагая системой уравнений относительно данных коэффициентов, можно найти такие значения "коэффициентов подобия" наследственных операторов, при которых энергии основного и вспомогательного функционалов становятся равными, независимо от координат рассматриеваемой точки, а неравенства норм-эквивалентности превращаются в равенства.
Рассмотрена дифференциальная формулировка алгоритма вспомогательного функционала. Отмечено, что по форме итерационная схема внешне не отличается от схемы метода упругих решений, сформулированной Б.Е.Победря для задач нелинейной вязкоупругости.Фактическое отличие состоит в способе задания вспомогательного функционала, с которым связан определенный вид физического закона связи напряжений с деформациями.
С точки зрения теории итерационных методов решения операторных уравнений МВФ представляет собой вариант неявной двухслойной схемы. Поэтому все практические приемы, разработанные в теории численных методов, справедливы и в данном случае. В частности з МВФ может быть использована процедура определения длины шага по направлению градиента минимизируемого функционала. Приведены формулы определения длины шага, показано, что градиенты основного и вспомогательного функционалов в итерационной схеме МВФ совпадают на каждом шаге.
В третьем параграфе приведены условия, при которых имеет
место разделение пространственных и временных переменных при построении итераций по МВФ. Подобная процедура позволяет легко адаптировать алгоритм решения вязкоупругих задач к численным алгоритмам МКЭ и МКР, разработанным для задач упругости.
При разделении переменных имеем полуаналитический метод решения ЛВУ-задач: аналитическое решение по времени, получаемое путём вычисления итерированных временных функций, и численное по координатам решение последовательности упругих задач с изменяющимися на каждой итерации объемными и поверхностными нагрузками. Условия разделения переменных: а) представление внешних нагрузок (или граничных перемещений) в виде сумм произведений функций координат на функции времени: б) параметр подобия не зависит от
времени.
Приведены различные виды вспомогательных функционалов, которые могут быть использованы при построении процедур МВФ. В частности проанализированы случаи упругого вспомогательного функционала.
Приведено построение теории эффективных по времени модулей линейно вязкоупругого тела.Под эффективными по времени модулями в дальнейшем будем понимать некоторые функции времени, которые обеспечивают эквивалентность удельных потенциальных энергий напряжений и деформаций: с одной стороны- исходной вязкоупругой
среды, механическое поведение которой определяется двумя независимыми материальными операторами, с другой стороны-упругой среды с модулями, являющимися функциями времени.
В соответствии с вариационными формулировками краевой задачи в виде функционалов Лагранжа или Кастильяно данные эффективные по времени модули можно назвать эффективными модулями лаг-ранжиевого или кастильянового типов. Свойства найденных эффективных характеристик следующие: а) они имеют размерности соответствующих модулей сдвига и объемного сжатия; б) положительно определены для ОО; в) при Ь-О , 1= о« они совпадают с соответствующими упруго-мгновенными и длительными модулями; г) не зависят от вида граничных условий; д) не зависят от вида аппроксимации опытных кривых релаксации или ползучести.
Наряду с формулировкой эффективных модулей, которые найдены как решения двух независимых задач ( равенства удельных потенциальных энергий лагранжианов и кастильнианов), получены и так называемые "оптимальные" модули. Последние определены как решения, общие для функционалов удельных потенциальных энергий лаг-
ранжиана и кастильниана.
Приведены численные примеры построения приближенных решений с эффективными модулями.
Сформулированы двухсторонние энергетические оценки, которые дают решения с эффективными модулями. Установлено, что удельная потенциальная энергия вязкоупругого тела всегда больше, чем соответствующая потенциальная энергия упругого тела с эффективными модулями лагранжиевого типа, а удельная потенциальная энергия напряжений вязкоупругого тела всегда меньше, чем соответствующая потенциальная энергия упругого тела с эффективными модулями кас-тильянового типа. Неравенства справедливы для любых законов изменения граничных нагрузок во времени и любых способов аппроксимации материальных функций ползучести и релаксации, описывающих реологические процессы ограниченной ползучести и релаксации. Полученные теоретические неравенства и оценки проиллюстрированы на численных примерах.
Вторая глава посвящена итерационным алгоритмам и их численной реализации для задач нестареющего ЛВУ тела.
В первом параграфе дается постановка и алгоритм решения двумерной задачи для ЛВУ цилиндра, физические свойства которого определяются двумя независимыми интегральными операторами. Для решения данной задачи реализован вариант итерационного алгоритма МВФ с разделяющимися переменными. Итерированные временные функции рассчитаны по рекуррентным формулам. Общее решение краевой задачи в перемещениях (при выполнении ограничений на вид граничных условий) представляется в виде ряда по итерированным временным функциям(которые могут быть рассчитаны для каждого момента времени заранее до проведения численного расчета краевой задачи), а коэффициентами при них будут координатные функции, полученные путем решений двумерных задач теории упругости.
Численные расчеты показывают зависимость сходимости от "параметра подобия" материальных операторов наследственности. Показатель скорости сходимости рассчитывался в энергетической норме. Для анализа влияния параметра А; на сходимость проведена серия расчетов при различных значениях А$ и различных вариантах задания релаксационных свойств материальных операторов наследственности. Для расчетов первой группы значение параметра А 5 бралось приближенно близким к оптимальному. Экспериментальный показатель сходимости колебался в пределах 0,100:0,500. При этом показатель степени сжатия итерационного оператора достигал
- 14 -
• значения порядка 10*£ за 4-5 итераций. В расчетах второй группы использовались реологические параметры, соответствующие "несбалансированным" между собой скоростям процессов сдвиговой и объемной релаксации (например, когда скорость объёмной релаксации на порядок меньше, чем скорость затухания сдвиговых свойств). Здесь наблюдалась более умеренная (порядка 10'6 за 5-8 итераций) ско-
• рость сходимости, а для случая постоянного во времени коэффициента для некоторых времён имеем расходимость алгоритма. Максимальную сходимость дают итерационные процессы с АГ(Я). Здесь скорость сходимости достигает показателя 1(Г6: 10*?за 2-3 итерации.
Приведен численный анализ напряжений и деформаций во времени для различных вариантов задания наследственных объемных и
, сдвиговых свойств. На его основе показано качественное перераспределение напряженно-деформированного состояния во времени: для
случая преобладания сдвиговой релаксации над объемной имеем рост касательных напряжений с ростом времени и убывание нормальных напряжений по времени. В случае преобладания объемной релаксации над сдвиговой имеем противоположную картину распределения напряжений. Перемещения в обоих случаях растут во времени, но с раз-
• ной степенью интенсивности.
Алгоритм МВФ может быть реализован не только в виде с разделяющимися по времени и координатам переменными. В некоторых случаях более экономичным является использование процедур численного интегрирования по времени. Данные процедуры описаны и применены во втором параграфе. Одним из преимуществ их использо-
• вания является уменьшение количества правых частей в алгоритме. Недостатки - повышенные требования к точности аппроксимации решения по времени, вследствие чего увеличивается и общее время расчётов.
Построение процедуры коррекции функционала левой части итерационного уравнения в соответствии с найденными для каждой итерации приближениями приводит к формулировке метода переменных параметров (МПП) для задач ЛБУ.
Данный подход широко применяется для решения нелинейной теории упругости и теории пластичности /106/, /29/ и является од-
ной из модификаций метода упругих решений, предложенного
А. А. Ильюшиным.
Следует отметить, что, во-первых, неизвестны примеры его
• использования в задачах линейной и нелинейной вязкоупругости, во-вторых, теоретически сходимость алгоритма МПП до сих пор не
1
- 15 -
исследована, хотя примеры практического применения говорят о сходимости последовательных приближений к точному /89/.
Исследованы условия сходимости алгоритма МПП, доказана теорема о сходимости получаемых последовательных приближений к точному решению краевой задачи ЛВУ.
Приведено сравнение численных расчетов краевой задачи для
• цилиндра, получаемых по методу переменных параметров и по методу вспомогательного функционала.
Рассмотрено построение вязкоупругих решений по известным упругим на основе приближенного принципа соответствия (ППС). Данный приближенный принцип вытекает в качестве следствия из общего алгоритма МПП. Сущность данного приближенного алгоритма в , том, что после двух специальным образом организованных итераций
по МПП получается вариационное уравнение, в левой части которого стоит вариация удельной потенциальной энергии упругого тела с модулями, зависящими от времени, а в правой части работа внешних сил. Условиями, при которых данное приближенное соответствие становится возможным, является, во-первых, представление внешних нагрузок в виде сумм произведений заданных функций координат на " заданные функции времени, во-вторых, независимость граничных пере-
мещений от времени. Погрешность получаемых приближенных решений может быть оценена в энергетической норме.
В качестве примера приведено приближенное определение функции связной ползучести, через которую выражаются многочисленные решения задач вязкоупругости по методу аппроксимаций. Рассмотре-
• но сравнение получаемого приближенно найденного значения с точным в случаях задания вязкоупругих свойств с помощью экспоненциальных и слабосингулярных ядер. Максимальное расхождение не превышает 10%, что позволяет рекомендовать полученный ППС для экспресс-анализа НДС вязкоупругих конструкций.
Третья глава посвящена приложению алгоритмов МВФ и МПП к решению задач ЛВУ анизотропного тела. Краевые задачи для анизотропных сред являются более сложными, чем для случая изотропии, поскольку количество независимых материальных операторов становится большим двух. Известны различные подходы к решению задач вязкоупругости анизотропного ЛВУ тела: метод аппроксимаций Ильюшина /108/, /109/, метод квазиконстантных операторов /160/, а
также методы, основанные на интегральных преобразованиях. Известен подход /3/, основанный на принципе соответствия для случая, когда все материальные операторы пропорциональны.
Особенности применения алгоритмов МВФ и МПП к задачам анизотропии вытекают из представления определяющих уравнений. В первом параграфе рассмотрено два варианта выбора вспомогательного функционала. Первый вариант использует вспомогательный функционал анизотропного тела с пропорциональными материальными операторами. Во втором варианте вспомогательный функционал соответствует изотропному ЛВУ телу (в частном случае - изотропному упругому телу). Использование того или иного типа вспомогательного функционала диктуется особенностями краевой задачи (характером материальных функций, зависимостью изменения во времени внешних нагрузок). Ввиду большого количества правых частей, возникающих в качестве невязок итерационного процесса МВФ, для уменьшения количества итераций, необходимых для достижения требуемой точности, целесообразно исследование условий сходимости и определение оптимальных "коэффициентов подобия". Получены замкнутые системы интегральных уравнений, содержащие помимо других переменных функции времени, входящие в условия эквивалентности норм. Аналитическое исследование данных систем затруднительно (в отличие от случая изотропных ЛВУ задач), однако данные системы могут быть решены численно для заданного способа аппроксимации опытных кривых во времени.
Сформулирован ППС для задач анизотропного тела. Рассмотрен пример ортотропной среды.
В качестве первого примера рассмотрено приложение ППС к задаче о растяжении ортотропной пластинки с отверстием. Решение задачи получено методом аппроксимаций. В данной задаче выражение для коэффициента концентрации напряжений содержит иррациональные функции упругих констант. Проведено сравнение результатов расчетов по методу аппроксимаций и по ППС. Максимальное расхождение до 20% наблюдается при достаточно больших временах. В области времён, где известно точное вязкоупругое решение- при 1=0,Ь= -расчет по ППС адекватно воспроизводит физическую картину, тогда как в расчете по методу аппроксимаций имеет место некоторое отклонение от точного значения. Данное отклонение следует отнести к погрешности метода аппроксимаций.
В качестве второго примера рассмотрена задача о нагружении ортотропного вязкоупругого покрытия сосредоточенной силой. Аналитическое решение этой задачи содержит комбинации тригонометрических и трансцендентных функций упругих констант. Расшифровка упругого решения найдена согласно ППС и с помощью метода аппрок-
- 17 -
симаций.
Наряду с принципом приближенного соответствия для приближенных расчетов анизотропных вязкоупругих тел можно использовать и теорию эффективных по времени модулей, а также аппарат двухсторонних интегральных оценок функционалов удельных потенциальных энергий напряжений и деформаций. Проанализирована специфика, ко-' торая имеет место при выводе выражений эффективных по времени
модулей в случае анизотропных тел. Построены приближенные решения по теории эффективных и оптимальных модулей для задачи о равновесии тяжелого ортотропного массива с вертикальной полостью, проведен расчет интегральных неравенств.
Четвёртая глава посвящена приложению алгоритма МВФ для за-> дач стареющего ЛВУ тела, а также решениям некоторых задач для
неоднородных тел.
В качестве вспомогательных могут быть использованы функционал нестареющего тела с подобными материальными операторами, а также функционал стареющего тела с подобными операторами сдвиговой и объёмной релаксации.
Для первого случая аргументом в пользу подобного выбора служит то обстоятельство, что материальные операторы стареющего тела могут не иметь обратных (что характерно, т.к. в литературе известно лишь ограниченное число резольвент).
Использование легкообратимого разностного оператора во вспомогательном функционале снимает проблему обращения, поскольку при вычислении невязок требуются только положительные целые * степени материальных операторов стареющего тела.
Приведены основные уравнения стареющего ЛВУ тела, ограничения, налагаемые на закон ползучести, формулировка алгоритма МВФ. Дан пример определения показателей норм-эквивалентности функционалов стареющего и нестареющего тел.
Приведены выражения эффективных модулей лагранжиевого и кастильянового типов для задач стареющего тела, найдены двухсторонние энергетические оценки.
Приведён алгоритм и численный расчет неоднородного двухслойного цилиндра. Свойства каждого из слоев определяются с помощью двух независимых материальных операторов вязкоупругости. Здесь возможны несколько вариантов введения вспомогательного функционала: а) функционал однородного по всему объёму тела с пропорциональными материальными операторами; б) функционал кусочно-однородного тела с упрощенными физическими зависимостями в
1
- 18 -
каждом из слоев. Поскольку заранее нельзя рекомендовать тот или иной тип построения итераций, был проведён упругий анализ задачи. В качестве вспомогательной была взята задача с физическими свойствами одного из слоев. Из упругого анализа следует, что наиболее благоприятен для сходимости случай, когда вспомогательный функционал соответствует физическим свойствам нижнего слоя и
• когда данный слой является более жестким.
Наряду с МВФ в форме метода простой итерации, использовался и метод наискорейшего спуска в форме Канторовича. Физические свойства каждого из слоев задавались двумя парами независимых слабосингулярных ядер в форме М.А.Колтунова-А. Р. Ржаницина. Алгоритм наискорейшего спуска с выбором шага показал для данной задачи наилучшую сходимость. Здесь следует отметить, что для
двухслойного тела уже нельзя выбрать вспомогательный функционал с оптимальным "коэффициентом пропорциональности", поскольку имея оптимальный коэффициент для одного слоя, мы получим далеко не оптимальный вспомогательный функционал для второго слоя.
Рассматриваемая задача интересна как с теоретической, так и с практической точек зрения. Ее численное решение получено
• В. П.Матвеенко и Г. С.Цаплиной /172/. Данная работа является одной
из первых, где исследован "эффект немонотонности" кривых релаксации при монотонной внешней нагрузке - следствие различия скоростей релаксационных процессов в разных слоях конструкции. Сравнение результатов расчетов по МВФ (схема Канторовича) и результатов В.П.Матвеенко, Г.С.Цаплиной показывает удовлетвори-
• тельное совпадение (в пределах 10%).
В четвертом параграфе приведено решение контактной задачи для оболочки с заполнителем. Как в случае упругого, так и вязко-упругого заполнителя задача решалась методом итерационного сопряжения контактных условий. При расчёте заполнителя берутся контактные граничные условия в перемещениях, взятые из расчета оболочки на предыдущей итерации, при расчёте оболочки используются усилия, найденные из расчета НДС заполнителя. Итерационный процесс продолжается до удовлетворения контактных условий с наперед заданной точностью. Численный эксперимент показал, что при условии, когда модуль Юнга оболочки на три порядка превышает соответствующий модуль заполнителя, итерационный процесс сходится за 3-5 итераций.
В упругом расчёте рассмотрено влияние механических свойств и геометрических размеров оболочки на НДС заполнителя и наобо-
)
рот.
В вязкоупругом анализе представляет практический интерес исследование зависимости меры относительной ползучести от жесткости оболочки. Для материала, обладающего объемной ползучестью, имеет место прямая пропорциональная зависимость меры относительной ползучести от жесткости оболочки. В случае же объёмного упругого поведения с увеличением жесткости оболочки относительная ползучесть падает. Это объясняется преобладанием объёмной ползучести над сдвиговой в несколько раз по мере увеличения жесткости оболочки. Численный анализ контактной задачи показывает разнообразие возможных режимов ползучести заполнителя и упругих свойств оболочки.
В пятом параграфе главы рассмотрена вариационная постановка линейной задачи несжимаемого и слабосжимаемого материала. Определяющие уравнения в этом случае содержат три независимых интегральных оператора. Процедуру итерационного метода "переменных параметров вязкоупругого слабосжимаемого тела" можно построить, если ввести три вспомогательных функционала задачи. В итоге приходим к приближенному принципу соответствия для слабосжимаемых вязкоупругих тел с тремя модулями упругости, являющимися функциями времени.
В пятой главе приведены постановка задач и алгоритмы решения для нелинейно вязкоупругих тел.
Исследование механического поведения полимеров и других вязкоупругих материалов с позиций нелинейной теории было начато 60-70-х годах. Основополагающими являются работы зарубежных авторов: /283/, /272/, /273/, /268/, /284/, /143/ И отечественных, развитых в работах А. А.Ильюшина /108/,/112/, Б.Е.Победри /200/,/199/, В. В. москвитина /175, /177/, Ю. Н. Работнова /209/,
М.И.Розовского /215/, Д.Л.Быкова /42/. Нелинейное вязкоупругое поведение проявляется при исследовании механических свойств материалов, когда нарушается хотя бы одна из гипотез, присущая линейному поведению: а) гипотеза аддитивности откликов, согласно которой суммарная реакция от двух воздействий не равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности; б) гипотеза пропорциональности, согласно которой изменение воздействия в N раз не приводит к пропорциональному изменению отклика. В то же время нелинейное вязкоупругое поведение как и линейное подчиняется гипотезе затухающей памяти /82/.
Спектр предлагаемых математических моделей описания НВУ
- 20 -
свойств весьма широк. Простейшие однопараметрические модели представляют физический закон связи напряжений с деформациями в виде интегрального оператора упругой наследственности, содержащего некоторую нелинейную функцию инвариантов. Наиболее общие соотношения базируются на кратно-интегральном ряде Фреше-Воль-терра. В общем случае степень применимости тех или иных моделей ограничена чисто экспериментальными возможностями определения материальных функций и констант.
Основным методом решения краевых задач НВУ является метод упругих решений, разработанный Б.Е.Победря /199/, /200/. Известен также подход к решению на основе степенных рядов /18/, /19/.
В.В.Колокольчиковым /126/, /129/ предложено решать краевые зада-• чи, применяя интегральные преобразования определяющих уравнений
и используя на базе этих преобразований принцип соответствия не-. линейно упругих и нелинейно вязкоупругих задач.
В первом параграфе приведены основные уравнения для главной квазилинейной теории НВУ. Приведены формулировки итерационных алгоритмов МВФ и МПП. Отмечено, что сама идея итерационного удовлетворения физическим уравнениям краевой задачи в большей степени присуща нелинейным задачам, чем линейным. Поэтому распространение на нелинейные задачи итерационного подхода, апробированного в ЛВУ, не представляет особых затруднений.
Как и для линейных задач из итерационного алгоритма МПП в качестве следствия можно получить приближенный принцип соответствия между задачами нелинейной упругости и соответствующими задачами НВУ. Область применимости полученного ППС более ограничена, чем в линейном случае - он справедлив для простых по времени нагружений. В то же время предлагаемый ППС не требует аналитического представления нелинейно-упругого решения, в частности его зависимости от упругих модулей. Нелинейно-упругое решение может быть задано в численном виде, тогда НВУ-решение можно получить путём замены упругих модулей на соответствующие функции времени. В отличие от линейных задач погрешность ППС не оценена.
Приведен вывод выражений эффективных и оптимальных модулей нелинейной вязкоупругости.
Получены также двухсторонние оценки для энергетических функционалов точных решений на основе функционалов, которые можно , рассчитать с помощью решений задач нелинейной упругости с эффек-
тивными по времени модулями.
В шестой главе приведено теоретическое обоснование примени-
- 21 -
мости итерационных алгоритмов типа МВФ и МПП для задач линейной теории термовязкоупругости (ТМВУ).
Показано, что в случае, когда выполняется принцип температурновременной аналогии, можно получить формулировки теории эффективных по времени модулей и построить двухсторонние неравенства для функционалов удельных потенциальных энергий. При этом все отличие от изотермического случая заключается в использовании другого масштаба шкалы физического времени, учитывающего влияние температуры на процессы ползучести и релаксации.
Приведены математическая модель, алгоритм и результаты численных расчетов температурных термоупругих деформаций приборного отсека космического аппарата негерметичного исполнения. Данная работа была выполнена в рамках работ по проектированию интегрированной системы "ГРАДИЕНТ" /314/, в которой подсистема расчёта температурных напряжений и деформаций входит в качестве одной из основных функциональных подсистем, наряду с подсистемой расчёта температурных полей в конструкции приборного отсека.
В заключение автор выражает благодарность научным руководителям отдела математической физики НИИ Прикладной математики и механики профессорам И. М.Васенину и А. А. Глазунову , заведующему кафедрой проектирования и прочности Томского университета Т.М.Платовой за внимание, помощь и поддержку данной работы, а также профессору Красноярской инженерно-строительной Академии А.П.Деруге за полезные обсуждения результатов и высказанные замечания.
Автор считает своим долгом отметить вклад в данную работу безвременно ушедшего друга, ученика и коллеги С. М. Павлова, совместно с которым был решён ряд задач по теме диссертации.
- 22 -
I
I ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ. МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА. ТЕОРИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ПО ВРЕМЕНИ МОДУЛЕЙ
1.1 Вариационная постановка задачи линейной вязкоупругости
1.1.1 Основные уравнения линейной вязкоупругости
Рассмотрим квазистатическую задачу линейной теории изотропного вязкоупругого тела. Уравнения равновесия имеют вид:
б^Гй)-^ =0 , с^-=и>М). (11)
Суммирование производится по повторяющимся индексам, заключенным в круглые скобки. Здесь (Гу - компоненты тензора напряжений. 71 - компоненты вектора СГ сил, распределенных по объему V. занимаемому телом, у - плотность материала,а - вектор перемещений с компонентами ; запятая перед индексом означает знак дифференцирования по координате,т. е. К уравнениям (1.1)
необходимо присоединить граничные условия
I* = , (1-2>
“I |!ч = и° ■ (1.3)
Здесь, Р1 - заданные на поверхностях (^(/Ц^Г .где £
- общая граничная поверхность тела с объемом И ) перемещения и усилия, /гг - направляющие косинусы нормали к ^. связь между тензором напряжений бу и тензором деформаций <5у задается некоторым оператором
(Гу ~ Р (£у) .
1 (1.4)
Для изотропных нестареющих ЛВУ сред оператор Р определяется двумя соотношениями, связывающими девиаторные компоненты тензоров и £;• , соответственно, ,5у и Ру в момент времени <:
%23-
аю - л & [ег а) - ^Са-т)е^<к)с1г]
1) и ^ о (1.5)
и шаровые тензоры & и <9
ш = ЗК*[еа)' Л
(1.6)
Здесь (£, Ц9 - константы мгновенной линейной упругости.
^ - ядра сдвиговой и объемной релаксации, определяемые
из опытов на релаксацию образцов при чистом сдвиге и гидростатическом обжатии,
6Г = Т Сб’и + б’г»'*6’я) ) 6 - <% $1] , ^.
3 (1-7)
Определяющие уравнения ЛБУ (1.4), (1.6) могут быть разрешены относительно , 0
-/ - * еУ Н) ^ ^ ; */Гс а 'Т) ** (1-8)
ею =■ ~ [ем+Гга-^ем^].
о (1.9)
Здесь и а) ,/?(*)- ядра сдвиговой и объемной ползучести, определяемые из опытов на ползучесть образцов при чистом сдвиге и гидростатическом обжатии.
Формулировку краевой задачи ЛВУ завершают соотношения Коши, связывающие тензор деформации <5у и градиенты компонент вектора перемещений
<%= <110>
Для получения вариационной формулировки /201/,/137/, краевой задачи ЛВУ умножим каждое из уравнений системы (1.1) на^- (компоненты кинематически допустимого вектора перемещений, который удовлетворяет однородным граничным условиям на поверхности £. ), просуммируем полученные уравнения по I от 1 до 3 и проинтегрируем по где Т - граница интервала времени, на кото-
ром рассматривается решение. Применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим обобщенное уравнение:
/бц(й)^С0)4Л = +//>(ГС ЛУ=А((Г)
А Л Г?
- 24 -
I
Здесь ~ Гг ФЛ
1.1.2 Условие эллиптичности для вязкоупругих тел. Потенциал оператора краевой задачи линейной вязкоупругости
Рассмотрим определяющие уравнения ЛВУ Су 60 -
о
Коэффициенты мгновенной упругости «цке удовлетворяют требованиям /83/ :
С*ике = = аКву ,
' (1.11)
(ХуКв <£*у^<-'ч/, с/ > сР ,
С ,
Ядра релаксации &) удовлетворяют условиям симметрии:
(?1;ке М - ^СК,е (О
и условиям регулярности /83/:
4^ а) , д^ьеМ/П, Эг^;иеЛ)/^ 2).
Для ВУ-материалов "твердого типа" интеграл
о
со ^ ^
конечен, а коэффициенты ^^ие-^не+ь^хе также удовлетворяют неравенствам типа (1.11):
Перепишем (1.11)-условие эллиптичности для упругих тел-в виде:
*>/ у £ у ,
(1.12)
- 25 -
Свертка, стоящая в левой части (1.12), есть выражение удельной потенциальной энергии. Для вязкоупругих тел удельной потенциальной энергии деформаций соответствует функционал
т
(1.13)
положительная определенность которого доказана в /202/, /208/.
Легко видеть, что при £ =0 функционал (1.13) дает левую часть неравенства (1.11). При б = имеем:
Нщ = Ъф - /ш* = а«а-
о
и, таким образом, на бесконечности выполняются условия, аналогичные (1.11). Правую часть (1.11) преобразуем следующим образом:
7
\1/€ = /г£,А)£;«Ш , С/уЫ.г). о'
Отсюда с учетом £^(сг) =0 получаем правую часть (1.11).
Рассмотрим разность \у- Ц/е (с учетом представления в положительно-определенном виде):
(*/ =//ПЧи Ь-*Ш$1Ы€пЬ),
7 ° °
№= /'сїдке£і;<4£іеМЖ, 4«' = •*
т
Нужно доказать \у- Щ >0 . Пусть и = лЫ . Введем
А ($71)- I [оКТ)^(С-У)
тогда Й/е . Ц/- можно переписать в виде:
т т _
]//(= //Мпїм)*ЄчмЛЄч«), Ді;иє ь&зАаЫцБ*,
о о
т т
= и [ Пуке - А у« ы)}Щ ыА?ч »), с с
в *
В силу монотонного убывания функций релаксацииЛукеб*! при {£[>.*>] всегда существует такая константа Х0 . чтоТогда разность IV- 1</с всегда будет больше 0. При* = о имеем
- 26 -
Д (£Л) = [£ (т-5) + 1и-Т)] = оСо .
Таким образом, условие эллиптичности (положительной определенности) для ВУ тел можно записать:
7 7
56у <0 М ■ (1‘14)
С1,)=Т.2,} >•
Интегрируя (1.14) по V . получаем:
(1.15)
По терминологии /200/ (1.15) выражает эквивалентность норм, порождаемых скалярными произведениями в гильбертовом пространстве К (Л) -.
К/Л) ■ Си,(Г/ =
К>(!1): (и,<Г).= /б'и('а)/; ((Г)Хл, С
Л
которое можно переписать в виде:
« На/С Щи/С (Л1< (1 16)
//«//,’ = т.,и), , Ли(*, =
Для ЛВУ тел можно построить формулу Грина, аналогично упругому случаю. Запишем дифференциальное уравнение равновесия в виде:
_ 2
Г Да); (ч{)ке€це (и0, .
7 X}
Для вектор-функций и , введем скалярное произведение
Ш и,СГе (Гсл)) .
А
Введем
а (и,(Г) - У^]ке ^
/I
- 27 -
Тогда для 6ij и и , связанных соотношениями (1.6) -(1.8), имеем:
a(atf) - / <J<:(a)£ -l<f)ds\ = f ЛЛ -
л л
- - /(^(аДО^Л + J CS'yKj)(ri.oty , a,j=t2,î). л Го-
Отсюда
, (Acf)Cr) ~лси,(г) ~ ^
Гб"
Процедура перехода от условия эллиптичности для упругих тел (1.11) к соответствующему условию для ЛВУ-тел в виде (1.14) и другие аналогичные преобразования позволяют формализовать построение для вязкоупругого случая фундаментальных соотношений, известных в теории упругости. В частности формальным образом
• можно получить неравенство, аналогичное неравенству Корна /137/:
2,
f CVO ,
А Д , I /ЭсГ Ъ(Г )
V « € (иЪ1))п , 11 о-ЧV = UVhtW' + ’âii
Легко видеть, что при <:=o ,t~°o из последнего получаем классическое неравенство Корна.
Кроме неравенств норм-эквивалентности вида (1.16) в дальнейшем будут использованы другие неравенства, введенные в /202/. Рассмотрим линейный тензор-оператор от <P;j :
h; =?!<(<),
такой /202/, что для всех кинематически допустимых вектор-функций (Г . удовлетворяющих однородным условиям на Ри , величина
fpltoiéijWA
г /V
• удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения так, что
рассматриваемое функциональное пространство является гильберто-
- 28 -
I
вым. Для fi) предполагается справедливость /202/ :
м„ <Щ с4 A. JМО**«** ■
CI,jei.a»5>. (1Л7>
При = левое неравенство эквивалентно неравенству:
1 • I •
о ЭСкне о
Последнее неравенство в свою очередь является необходимым условием /200/ того, чтобы точка стационарности Лагранжиана являлась
точкой минимума. Переходя от (1.17) к неравенству
г
Ул, f Pi; (Ж К;;ал .< f I?4 W4 cU ^ /М9 JPijC€)^j «Сл,
л А . А
получаем условия эквивалентности норм, порождаемых скалярными произведениями:
(u,v)3 = Г (M3* = (w.“)3 ,
A
«wl, *л,м',.
Оператор А краевой задачи ЛВУ можно определить по формуле
/200/:
< Аа,(г'> = •
Данный оператор является потенциальным. Критерий потенциальности /246/ имеет вид:
< А а\#)Л ї> = ( А
для любых произвольных векторов У , . В последнем выражении
производные оператора А вычисляются по формуле Гато
А1 («л) =Ц (1'18>
Потенциал і оператора А определится посредством выражения
- 29 -
J(^S) “$(АМъ(г)Л5 -;($<*)€[}(О).
о л о (1.19)
Записывая определяющие уравнения для изотропного ЛВУ тела в виде
бу - А б Л; •+ £<? Су,
где Л г к - 3 <т , и подставляя в (1.19), получим
М) = ///■ /А 'е?г<>4- +2 С £(,<*)]ШЛ <15 -
оЛ- т (1.20)
= 1 ;се «г)Л'в«г) +з,ёу«г)(?%«)]м .
А л Л
Вариация потенциала ь/ дает обобщенное уравнение ЛВУ, совпадающее с точностью до обозначений с (1.10).
Решение & уравнения
/Су (и)Су (аул =о-Лл */’Л 62 С*У=Л((Г)
уг а /ь- (1.21)
называется слабым /200 / (или обобщенным) решением задачи вязкоупругости:
<5у,;Сй) + /& =0 ,
&9&)гч15т = & ■
для любой непрерывно-дифференцируемой вектор-функции , удовлетворяющей однородным граничным условиям на Л« .
1.2 Формулировка метода вспомогательного функционала для задач линейной вязкоупругости нестареющего тела
1.2.1 Формулировка алгоритма и теоремы о сходимости Особенностью реализации задач вязкоупругости по сравнению
С
- 30 -
со склерономными задачами механики твердого деформируемого тела является необходимость учета временной составляющей решения.
Из вариационного уравнению (1.21). видно, что для его решения необходимо дважды проинтегрировать историю изменения искомых компонент напряженно-деформированного состояния (НДС) с помощью двух независимых операторов упругой наследственности,
• входящих в левую часть вариационного уравнения. Применение прямых методов дискретизации, включая дискретизацию по временной составляющей решения, приводит в общем случае пространственных задач к четырёхмерным разностным уравнениям. Очевидно, что подобный подход является непродуктивным с точки зрения вычислительных технологий. С другой стороны, с точки зрения вычислительной математики подобная задача уже достаточно хорошо изучена. Действительно, пусть необходимо найти решение некоторого линейного операторного уравнения
/и = £.
Известно, что обращение оператора А трудоемко, либо требует непомерно большой стоимости расчетов. В этом случае применяют хо-
• рошо изученные итерационные методы решения данного уравнения. В
частности таким итерационным методом может служить простейшая неявная двухслойная схема вида / 220 /:
А (А‘Я)йп + 4, п = о,1,... ,Т>о.
'С
в которой оператор В в отличие от оператора А является "легкооб-, ратимым". Выбор оператора В осуществляется, исходя их двух кри-
териев, которые по сути являются противоречивыми :
а) оператор В должен быть легкообратимым;
б) оператор В должен быть максимально близок к А.
Таким образом, если мы подойдем к решению линейного уравнения (1.21) с позиций итерационных методов, то тем самым перене-
сем трудности обращения оператора левой части (1.21) на некото-1 рую итерационную процедуру. Однако при построении подобной ите-
рационной процедуры необходимо учесть следующие вопросы:
а) выбор оператора левой части;
б) исследование вопроса о сходимости итерационного процесса;
в) организацию вычислений;
г) возможность использования широкоизвестных вычислительных
• технологий, базирующихся на методе конечного элемента (МКЭ) и методе конечных разностей (МКР);
- 31 -
д) тестирование алгоритма на уже известных решениях.
В данном параграфе сформулирован итерационный алгоритм решения вариационного уравнения (1.21), названный методом вспомогательного функционала. Термин "вспомогательный функционал" был введён в работе /72/ и связан с формулировкой и использованием некоторых вспомогательных физических соотношений, которые могли бы упростить решение. В данном случае в качестве вспомогательных можно взять как упругие определяющие уравнения(причём необязательно с теми же константами упругости, которые были бы равны упруго-мгновенным характеристикам вязкоупругой среды),так и определяющие уравнения линейной вязкоупругости для среды с пропорциональными операторами сдвиговой и объёмной релаксации. Как известно в этом случае операторный коэффициент Пуассона постоянен, а отыскание временной составляющей решения для подобных задач не составляет трудностей.
Перепишем вариационное уравнение задачи ДВУ нестареющего тела в виде:
Введем физические уравнения для ЛВУ среды с пропорциональными операторами
Построим итерационный процесс отыскания обобщенного решения задачи ЛВУ, определяемого (1.22):
Здесь $> 0 - числовой параметр, выбираемый из условия максимальной скорости сходимости. Данное итерационное уравнение можно интерпретировать как вариационный аналог двухслойной операторной схемы.
Приведем формулировку теоремы о сходимости итерационного процесса (1.25), доказанной в /202/.
(1.24)
где А^сопэ!.
/ (Си и+,3 <Г£д- <*п = (СГ) Л Л -
А