Оглавление
Введение....................................................................4
1. Плоский поперечный изгиб стержней в упругой
и упруго-пластической стадиях..............................................13
1.1. Основные уравнения плоского поперечного изгиба стержней............13
1.2. Напряжённо-деформированное состояние и форма
изогнутой оси при различных стадиях изгиба.................................16
1.3. Анализ напряжённо-деформированного состояния стержней круглого сечения при различных геометрических
размерах и величинах нагрузок..............................................25
1.4. Определение остаточных напряжений и прогибов при разгрузке.........28
1.5. Упругий стержень прямоугольного сечения. Точное решение. Вариационная постановка задачи. Применение метода Ритца....................30
1.6. Упруго-пластический изгиб стержня прямоугольного сечения.
Точное решение.............................................................34
1.7. Упруго-пластический изгиб стержня прямоугольного сечения. Вариационная постановка задачи. Применение модифицированного
метода Ритца в форме Л.М.Качанова..........................................37
1.8. Применение вариационного метода Ритца в форме Л.М.Качанова в задаче упруго-пластического изгиба стержня с круглым
поперечньш сечением........................................................42
2. Поперечный упруго-пластический изгиб стержня
при предварительном осевом напряжении......................................48
2.1. Постановка задачи. Основные соотношения............................48
2.2. Решение задачи в упругой стадии.
Граница перехода к упруго-пластическому состоянию..........................55
2.3. Напряжённо-деформированное состояние и форма изогнутой оси предварительно напряжённого стержня прямоугольного сечения в стадии
с одной зоной пластичности.................................................57
2.4. Стержень прямоугольного сечения. Упруго-пластичсская стадия
с двумя зонами пластичности. Предельное состояние..........................63
2.5. Применение метода Л.М.Качанова к задачам изгиба предварительно напряжённых стержней прямоугольного сечения ...............67
2.6. Анализ напряжённо-деформированного состояния стержней прямоугольного сечения. Влияние величины предварительного напряжения ... 70
2.7. Стержень круглого сечения. Упруго-пластическая стадия
изгиба с одной зоной пластичности.........................................74
2.8. Стержень круглого сечения. У пру го-пластическая стадия
изгиба с двумя зонами пластичности.Предельное состояние...................80
2.9. Применение метода Л.М.Качанова к задачам изгиба предварительно напряжённых стержней круглого сечения......................85
2.10. Анализ напряжённо-деформированного состояния стержней круглого сечения. Влияние величины предварительного напряжения.....................87
3. Упруго пластический изгиб стержней с учётом линейного упрочнения материала. Анализ напряжённо-деформированного состояния при разгрузке.............................................................92
3.1. Стержень прямоугольного сечения. Применение модифицированного метода Ритца в форме Л.М. Качанова........................................92
3.2. Стержень круглого сечения. Численное решение задачи.
Приближённое решение: применение модифицированного метода
Ритца в форме Л.М. Качанова...............................................95
3.3. Разгрузка в стержне круглого сечения из упрочняющегося материала. 100
3.4. Анализ процессов разгрузки при упруго-пластическом изгибе предварительно напряженного стержня прямоугольного сечения...............103
3.5. Анализ процессов разгрузки в предварительно напряжённом
стержне круглого сечения.................................................106
Заключение............................................................110
Приложение А. К определению функции 0(62) и её произвожной С(б^).................■'.....................................112
Приложение В. Учёт касательных напряжений в задачах поперечного упруго-пластического изгиба..............................................114
Литература
119
Введение
Пластические свойства обнаруживают большинство материалов, используемых при проектировании современных конструкций и сооружений. Учёт этих свойств позволяет более полно оценить несущую способность, выявить дополнительные запасы прочности и приводит к рациональному использованию материальных средств.
Стержни, а также балки и болты являются основным элементом большинства строительных конструкций. Задачам упруго-пластического изгиба балок и стержней посвящены работы многих авторов, в том числе монографии: [20], [24], [58]; разделы справочной и учебной литературы: [13], [14], [43], [51], [54]; отдельные разделы специальных исследований [10],[12], [47], [59], [69].
Общие подходы к построению методов расчёта заключаются в принятии ряда положений, в том числе гипотезы плоских сечений, допущения об одноосности напряжённого состояния и схемы идеальной пластичности. Для задач чистого изгиба в зттругой стадии эти допущения позволяют построить точное решение, удовлетворяющее уравнениям равновесия и совместности деформаций ([65]). За пределами упругости допущение об одноосности напряжённого состояния эквивалентно допущению о том, что коэффициент Пуассона и в упругой и пластической областях одинаков и равен 0.5, при этом учёт остальных составляющих тензора напряжений не влияет на величину изгибающего момента в сечении ([28]). При поперечном изгибе, как указывал В.В.Новожилов [48], ” гипотеза плоских сечений не включает в себя никаких предположений о свойствах материала, из которого изготовлен брус”. Таким образом оба допущения носят приближённый характер, и, хотя решения, построенные на этих допущениях, дают несколько преувеличенные деформации ([28], [11]), проведённые эксперименты ([81],[11], [75], [87], [82], [86], [73], [74], [79], [88], [89]) показали достаточную для практики степень точности полученных решений, а выводы элементарной теории в определении предельных нагрузок отличались не более, чем на 5-6% от экспериментальных данных. Большой обзор экспериментальных исследований для конкретных, практических задач изгиба представлен в работе [46].
При поперечном изгибе в сечениях стержня возникают касательные напряжения, уравновешивающие поперечную силу и обеспечивающие совместную деформацию всех частей стержня при изгибе. Появление касательных напряжений приводит к перераспределению нормальных напряжений и влияет на возникновение пластических деформаций. Подход к определению касательных напряжений в упругопластической стадии, проводимый в рамках элементарной теории изгиба, был
предложен Н.И.Безуховым в 8]. Он состоит в нахождении касательных напряжений из условий равновесия элемента стержня при заданном распределении нормальных напряжений и позволяет выявить концентрацию касательных напряжений в упругом ядре сечения, оценить приложенные нагрузки из условия возникновения пластических деформаций, вызванных развитием касательных напряжений на нейтральной оси стержня. Таким способо2>1 были учтены касательные напряжения в работах [3], [19], [22], [38], [47], [58], [59]. Возможны и другие, более широкие, подходы к учёту касательных напряжений, например, рассмотрение изгиба призматических стержней как плоской задачи теории пластичности ([4], [9], [20], [25], [40], [53], [63], [70], [80], [71]) или применение вариационных методов для построения решений, удовлетворяющих условиям равновесия, совместности деформаций, краевым условиям (в интегральпом смысле) и'условию текучести в сечении ([90], [91], [76]).
В работе [4] при рассмотрении плоской задачи были получены прогибы оси шарнирно опертого стержня с прямоугольным сечением и сделан вывод об уменьшении роли касательного напряжения на прогиб при приближении к предельному состоянию. Решения, полученные в указанных работах, и результаты упомянутых выше экспериментальных исследований показывают, что приближённая теория изгиба стержней применима для инженерных расчётов.
В дальнейшем обзоре ограничимся анализом работ для стержней с прямоугольным или круглым поперечным сечением, имеющим широкое применение в технике. Наибольшее внимание в проведённых исследованиях уделялось статически определимым задачам, в которых определена граница между упругой и пластическими областями. Здесь получены теоретические решения ряда задач, в основном для стержней с прямоугольным поперечным сечением, где выражение кривизны на упруго-пластических участках оси допускает вычисление квадратур при построении функции прогибов:
консольного стержня с силой на торце— [69], [59], [47];
консольного стержня под действием равномерно распределённой нагрузки в случае степенной зависимости между напряжениями и деформациями: о — Аеа— [59];
шарнирно опертого стержня под действием силы посередине— решение Фриче— [77], [47], [59];
шарнирно опертого стержня под действием равномерно распределённой нагрузки решение Пратера и Ходжа- [52], [69);
5
защемлённого стержня под действием силы посередине, где задача решена путём сведения к задаче о консольном стержне— [69], [47].
Для стержней с круглым поперечным сечением решение затруднено невозможностью обращения зависимости между моментом и кривизной и построением функции кривизны на упруго-пластических участках оси в замкнутом виде. Поэтому при решении тех же и других статически определимых задач в работах [1], [2], [5]-[6], [10], [36], [37], [58], [27], [67], [38], [62], [61] предлагались численные и приближённые методы, причём в [10], [58] учтено линейное упрочнение материала в упруго-пластической области. В работе [91] при решении вариационного уравнения применён метод итераций.
Менее исследованными являются статически неопределимые задачи, для которых усилия и моменты в сечениях можно найти только после определения перемещений. В этих задачах не представляется возможным заранее находить границу между упругой и пластической областями, что, в частности, осложняет применение вариационных методов расчёта. К таким задачам, в том числе, относятся задачи с продольными растягивающими или сжимающими нагрузками, где выражение изгибающего момента, составлено по деформированному состоянию. В работах [10], [23], [35], [58], [59] рассмотрены различные случаи нагружения для стержней, один конец которых защемлён, а второй шарнирно оперт. В работе [35] для различных вариантов закрепления торцов определены величины предельных нагрузок на стержень. Различные виды нагрузок на защемленный стержень рассматриваются в [10], [47], [62], [53], [58]. В [46], а также [57] получены предельные значения нагрузок для различных двух- и трёхпролётных неразрезных балок. При исследовании изгиба и сжатия в [7], [41], [42] рассмотрен консольный стержень под действием продольной и поперечной сил, прогибы стержня определены методом упругих решений в форме фиктивных нагрузок. В [62] итерационный метод интегрирования уравнений изгиба, при выводе которых было учтено влияние продольной силы на величину изгибающего момента, предложен для построения функции прогибов в стержнях с прямоугольным и круглым сечением. В [2] для стержней различного сечения приведены зависимости между кривизной и моментом, учтено воздействие продольных сил. Шарнирно опертый стержнь под действием косого изгиба рассмотрен в [9], [44] и у Ю.Н.Работнова в [56], где при исследовании устойчивости для материала стержня принят закон линейного упрочнения. В [44] при произвольной степенной зависимости а ~ е решение для стержней с прямоугольным сечением проведено методом численного интегрирования.
Таким образом, при рассмотрении изгиба и растяжения, задачи предваритель-
6
ного осевого напряжения круглых стержней, подверженных поперечному изгибу, исследовались мало.
Основным способом определения прогибов в некоторых статически определимых и большинстве статически неопределимых задач являются различные приближённые методы, классификация которых была предложена В.В.Новожиловым в [49: и И.А.Биргером в [16]. Следует заметить, что сходимость метода переменных параметров упругости, предложенного И.А.Биргером ([15], [17], [18]), была доказана в работах [29], [64], [66]. В работе [66, было отмечено, что метод переменных параметров упругости сходится, если начальное приближение м° находится не слишком далеко от решения.
Достоинством применения вариационных методов в задачах упруго пластического изгиба стержней является возможность построения приближённого решения для прогиба в виде разложения по координатным функциям, удовлетворяющим геометрическим граничным условиям. Это позволяет определить в каждой точке поперечного сечения деформации, а также напряжения, с учётом принятой зависимости <7 ~ е, и, в частности, находить границу между упругой и пластическими областями, что особенно важно в статически неопределимых задачах. Применение метода Ритца, однако, к задачам упруго-пластического изгиба ([21],[31]) связано с проблемой решения системы нелинейных алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. Л.М. Качановым для модификации вариационного метода Ритца в работах [32], [33], [34], [30] была использована основная идея введения на каждом таге приближения переменных параметров упругости, ” возвращающих” напряжения в точках тела на диаграмму деформирования, что позволяет свести проблему минимизации неквадратичного функционала полной энергии к построению и минимизации последовательности квадратичных функционалов . Сходимость этого метода доказывалась в работах А.Лангенбаха [39] и С.Н.Розе [60]. Указанным подходом были получены решения ряда двумерных задач ([68]), однако решение задач упруго пластического изгиба стержней в указанной постановке в литературе отсутствует, что и определило направление диссертационного исследования.
Следует заметить, что задачи изгиба и, особенно, изгиба предварительно напряжённых стержней в последнее время приобретают всё большее практическое значение. Современные требования к проектированию особо ответственных сооружений, эксплуатируемых в опасных или сейсмически опасных районах, прс дусматривают наличие в конструкции таких узлов и соединений, в которых от действия экстремальных нагрузок допустимы неупругие смещения элементов, не
7
приводящие, однако, к их разрушению, при обычных же нагрузках эти элементы деформируются по упругой схеме. Примером такого узла, активно внедряющегося в практику отечественного и зарубежного строительства, может служить фрикционно-подвижное соединение (ФПС) ([92]- [95]), его элемента— предварительно напряжённый высокопрочный болт. В отличие от традиционных болтовых соединений, в пакете металлических листов ФПС отверстия под болты выполнены овальными вдоль направления максимального воздействия, за счёт чего допустим изгиб болта в плоскости его оси и наибольшей полуоси выреза (рис. I). Аналогичные соединения используются зарубежом. Поведению болтовых соединений в неупругой области посвящены работы [72], [78], [85]. Экспериментальный и численный анализ представлен в работах [83] и [84].
Таким образом, целью работы является постановка и решение задач упругопластического изгиба стержней с применением вариационного метода Ритца в форме Л.М.Качанова. Рассматриваются стержни с круглым и прямоугольным поперечным сечением без предварительного напряжения или при его наличии. Лля анализа сходимости вариационного метода построены точные решения статически определимых задач, а в статически неопределимых задачах решения, полученные вариационным методом, сравниваются с решениями, полученными применением вычислительных процедур. Исследованы влияние предварительного напряжения, учёт линейного упрочнения материала, а также процессы разгрузки.
Работа состоит из трёх глав, заключения и включает два приложения.
В первой главе рассматривается задача упруго-пластического изгиба стержня с защемлёнными торцами при дейстйии поперечной сдвигающей силы на опорах. Вследствие обратной симметрии решение для половины стержня совпадает с решением задачи изгиба консольного стержня силой на свободном конце. Лля прямоугольного сечения получено точное решение, аналогичное известным [59], [69]. Лля круглого сечения представлены выражения, определяющие прогиб оси с учётом условий сопряжения, условий на торце и обратной симметрии задачи, при этом обращение и интегрирование зависимости между моментом и кривизной выполнено численно. И.Л.Ликовичем в [24] было предложено разложение кривизны по степеням 1 - -Щ, где М— момент, действующий в сечении, Мт = !<7тЛ3— предельное значение момента, однако примеров, иллюстрирующих применение данного подхода, приведено не было. Проведённый анализ полученных решений показал практическое совпадение результатов обоих подходов.
При разработке схемы применения метода Ритца- Л.М.Качанова к задачам поперечного изгиба в качестве координатных функций выбирались функции ряда Фу-
Рис. I: Одноболтовое фрикционно-подвижное соединение
9
рье точного решения упругой задачи, при этом коэффициенты разложения упругого решения принимались в качестве начального приближения упруго-пластической задачи. Для прямоугольного сечения была показана сходимость коэффициентов, полученных применением модифицированного метода Ритца, к коэффициентам Фурье имеющегося точного решения задачи. Была исследована точность полученных значений прогибов, моментов, границ между упругой и пластическими областями при изменении нагрузки <3о в интервале от <3Т < <Зо < Фт, где фт— нагрузка, вызывающая появление пластических деформаций, С)т— предельное значение нагрузки, полученное без учёта касательных напряжений. Для круглого сечения сходимость и точность полученного вариационным методом решения была показана сопоставлением численного и приближённых решений на каждом шаге итерационного процесса при различном числе удержанных членов ряда.
В работе [24], а также [7], [10], [12], [20], [09] была рассмотрена разгрузка для стержней с прямоугольным сечением. Было показано отсутствие зон вторичных пластических деформаций при полной разгрузке. В главе I отсутствие вторичных пластических зон в рассматриваемой задаче установлено для стержня круглого сечения, приведены формы остаточных прогибов.
Глава II посвящена исследованию напряжённо -деформированного состояния при изгибе предварительно напряжённого стержня. Учёт постоянного продольного усилия в выражении момента приводит к статической неопределимости задачи, делает невозможным до определения перемещений находить границу между упругой и пластическими областями в стержне. Раскрытие статической неопределимости связано с трудностями интегрирования выражения кривизны, возникающими даже в случае прямоугольного сечения. В [24] определение прогиба сведено к вычислению '’неберущегося” интеграла эллиптического типа и показано раскрытие статической неопределимости в некоторых случаях закрепления торцов. В главе II для определения прогиба и(х) используется выражение для момента, составленное по деформированному состоянию, что позволяет непосредственно связать прогиб с границами упругой зоны ^(т) в сечениях. Такой подход обеспечивает автоматическое выполнение условия сопряжения для прогибов, а после определения Ь(х) с учётом непрерывности производной прогиба и граничных условий значения и(т) на упруго-пластических участках оси становятся известны. При рассмотрении различных вариантов напряжённо-деформированного состояния для стержня с прямоугольным сечением удалось проинтегрировать в замкнутом виде все входящие для определения границ упругой зоны выражения и при раскрытии статической неопределимости свести задачу к решению нелинейных уравнений. В случае стержня
- Киев+380960830922