Статистический анализ случайных импульсных сигналов на фоне помех в условиях различной априорной неопределенности

2
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ....................................................... 6
1 ПРИЕМ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВРЕМЕННЫМ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ ПАРАМЕТРАМИ НА ФОНЕ БЕЛОЙ И КОРРЕЛИРОВАННОЙ ПОМЕХ С НЕИЗВЕСТНОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ
1.1 Постановка задачи........................................ 26
1.2 Характеристики оценки времени прихода высокочастотного случайного импульса на фоне помех.................... 32
1.3 Характеристики оценки дисперсии высокочастотного случайного импульса при различной априорной неопределенности относительно спектральных плотностей помехи и белого шума .. 53
1.4 Результаты моделирования алгоритмов совместного оценивания времени прихода и дисперсии высокочастотного случайного импульса................................................ 70
1.5 Выводы.................................................. 100
2 ПРИЕМ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВРЕМЕННЫМ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ НЕТОЧНО ИЗВЕСТНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ НА ФОНЕ БЕЛОЙ И КОРРЕЛИРОВАННОЙ ПОМЕХ С НЕИЗВЕСТНОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ
2.1 Характеристики оценки времени прихода высокочастотного случайного импульса с неточно известной длительностью на фойе помех.............................................. 104
2.2 Характеристики оценки дисперсии высокочастотного случайного импульса с неточно известной длительностью при различной априорной неопределенности относительно спектральных плотностей помехи и белого шума.................... 129
2.3 Обнаружение высокочастотного случайного импульса на фоне коррелированной помехи и белого шума............... 142
3
2.4 Результаты моделирования алгоритмов обнаружения и совместного оценивания времени прихода и дисперсии высокочас-
3 ПРИЕМ НИЗКОЧАСТОТНОГО СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВРЕМЕННЫМ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ФОНЕ БЕЛОЙ И КОРРЕЛИРОВАННОЙ ПОМЕХ С НЕИЗВЕСТНОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ
3.1 Оценка времени прихода, математического ожидания и дисперсии низкочастотного случайного импульса без учета влияния коррелированной помехи...................................... 175
3.2 Оценка времени прихода, математического ожидания и дисперсии низкочастотного случайного импульса на фоне помех с неточно известной интенсивностью............................ 192
3.3 Адаптивные оценки времени прихода, математического ожидания и дисперсии низкочастотного случайного импульса на фоне помех с неизвестной интенсивностью....................... 204
3.4 Обнаружение низкочастотного случайного импульса с неизвестными временным и энергетическими параметрами на фоне коррелированной помехи и белого шума........................ 217
3.5 Результаты моделирования алгоритмов обработки низкочастотного случайного импульса с неизвестными временем прихода, математическим ожиданием и дисперсией на фоне помех 228
3.6 Выводы.................................................. 269
4 ПРИЕМ НИЗКОЧАСТОТНОГО СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВРЕМЕННЫМ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ НЕТОЧНО ИЗВЕСТНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ НА ФОНЕ БЕЛОЙ И КОРРЕЛИРОВАННОЙ ПОМЕХ С НЕИЗВЕСТНОЙ Ш ГГЕНСИВНОСТЬЮ
тотного случайного импульса
2.5 Выводы..................
147
172
4
4.1 Оценка времени прихода, математического ожидания и дисперсии низкочастотного случайного импульса с неточно известной длительностью без учета влияния коррелированной помехи .. 273
4.2 Оценка времени прихода, математического ожидания и дисперсии низкочастотного случайного импульса с неточно известной длительностью на фоне помех с неточно известной интенсивностью ................................................... 289
4.3 Адаптивные оценки времени прихода, математического ожидания и дисперсии низкочастотного случайного импульса с неточно известной длительностью на фоне помех с неизвестной интенсивностью............................................... 307
4.4 Обнаружение низкочастотного случайного импульса с неизвестными временными и энергетическими параметрами на фоне коррелированной помехи и белого шума......................... 324
4.5 Результаты моделирования алгоритмов обработки низкочастотного случайного импульса с неизвестными временными и энергетическими параметрами на фоне помех.................... 335
4.6 Выводы................................................... 394
5 ПРИЕМ СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВРЕМЕННЫМ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЕ МОДУЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
5.1 Оптимальный прием высокочастотного случайного импульса произвольной формы с неизвестным временем прихода.......... 398
5.2 Прием высокочастотного случайного импульса произвольной формы с неизвестными временем прихода и дисперсией......... 418
5.3 Оптимальный прием низкочастотного случайного импульса произвольной формы с неизвестным временем прихода.......... 443
5.4 Прием низкочастотного случайного импульса произвольной формы с неизвестными временем прихода, математическим ожиданием и дисперсией....................................... 466
5.5 Выводы................................................... 498
5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................... 501
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.............................. 507
ЛИТЕРАТУРА..................................... 508
ПРИЛОЖЕНИЕ 1................................... 529
ПРИЛОЖЕНИЕ II.................................. 549
ПРИЛОЖЕНИЕ 1П.................................. 564
ПРИЛОЖЕНИЕ IV.................................. 584
ПРИЛОЖЕНИЕ V................................... 592
ПРИЛОЖЕНИЕ VI.................................. 597
ПРИЛОЖЕНИЕ VII................................. 612
ПРИЛОЖЕНИЕ VIII................................ 632
6
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. Характерной особенностью современного состояния радиофизики и радиотехники является все более широкое использование статистических методов. Многие явления, для изучения которых казалось вполне достаточным применение классического аппарата математической физики, при более глубоком изучении потребовали вероятностного подхода. Статистическая природа многих физических объектов, непредсказуемый, случайный характер шумов и помех, сопутствующих работе всех радиофизических устройств, привели к тому, что статистические методы проникли буквально во все разделы радиофизики и радиотехники.
Статистическая радиофизика представляет собой в настоящее время широкую и быстро развивающуюся область, включающую в себя как чисто физические проблемы, так и разнообразные прикладные вопросы. Важную теоретическую и практическую задачу представляет собой статистический анализ быстро протекающих и резко изменяющихся процессов и явлений, при которых зависимости тех или иных физических величин от времени имеют импульсный характер. Причем параметры импульсов, как правило, неизвестны или известны неточно, а их наблюдение и регистрация сопровождаются различными флуктуационными явлениями и шумами.
Статистический анализ импульсных сигналов с неизвестными параметрами находит широкое применение в связи и локации с использованием электромагнитных, акустических и других типов волн, при радиофизических исследованиях различных сред и объектов, в теории и технике радиоуправления, телеметрии, навигации, промышленной диагностике и др. При этом во многих приложениях [15,31,34,50,70,71,73 и др.] в качестве модели импульсного процесса используется прямоугольный видео или радиоимпульс. Дальнейшим обобщением этой модели является класс сигна-
7
лов со случайной субструктурой, представляющих собой результат амплитудной модуляции прямоугольного импульса реализацией стационарного гауссовского случайного процесса [83], время корреляции которого значительно меньше длительности импульса. Примерами таких сигналов могут служить информационный сигнал с шумовой несущей [23,24,95,106], сигнал, искаженный модулирующей помехой [13,41], импульс, описывающий вспышку оптического шума [2,16,17], взрывного шума в транзисторах [9] и др. Если форма импульса достаточно сложная и априори неизвестна, то для его описания можно также использовать реализации случайного процесса [2].
Среди задач статистического анализа импульсов со случайной суб-структурой на первый план выступают вопросы обнаружения импульсов и оценивания их неизвестных параметров. При этом будем полагать, что помимо собственных шумов приемного устройства, аппроксимируемых гауссовским белым шумом, принимаемый импульс может искажаться аддитивной непреднамеренной (взаимной) или преднамеренной (заградительной) внешней помехой с неизвестной в общем случае интенсивностью [8, 25,45,59,84,98]. Одним из наиболее распространенных на практике методов анализа импульсных процессов являются методы, основанные на их временной фиксации [57 и др.]. Однако при наличии у импульсов случайной субструктуры и при увеличении мощности ее флуктуационной составляющей такие методы становятся далекими от оптимальных. Указанные задачи предпочтительнее решать с помощью методов теории статистических решений [10,47,50,54,60,78,119,124 и др.], оптимальных в том или ином смысле. В случае если имеется полное статистическое описание наблюдаемых данных и заданы потери при принятии всех возможных решений, то можно построить строго оптимальные байесовские правила [10,43,60,75,78,97 и др.] обнаружения и оценивания. Однако, на практике эти условия, как правило, не выполняются. Нередко неизвестны априорные
8
вероятности наличия или отсутствия импульса в наблюдаемых данных, априорные распределения неизвестных параметров импульса, возникают трудности задания потерь при принятии тех или иных решений. Поэтому особенно широкое распространение получил метод максимального правдоподобия (МП) [42,43,47,60,75,78,97,101,119,124 и др.], требующий меньшего объема априорной информации и являющийся асимптотически оптимальным для широкого класса сигналов, функций распределения и потерь. Использование этого метода для анализа импульсов со случайной субструктурой позволяет синтезировать более простые, чем при использовании байесовского подхода, но достаточно эффективные алгоритмы обработки.
Для решения вопроса о возможности применения того или иного алгоритма обработки недостаточно определить только степень оптимальности алгоритма. Окончательное решение может быть вынесено только на основе конкретного анализа эффективности алгоритма с помощью характеристик качества его функционирования. Кроме того, в большинстве реальных ситуаций некоторые из априорных сведений могут оказаться неточными, и реальные условия работы устройств могут отклоняться от принятых априорных данных. Работоспособность синтезированных алгоритмов обработки в изменившихся условиях может быть оценена только путем анализа алгоритмов. Поскольку принятая здесь модель сигнала является разрывной, то реализации решающей статистики - функционала отношения правдоподобия (ФОП) - будут недифференцируемы по некоторым неизвестным параметрам ни в каком вероятностном смысле. Для анализа эффективности алгоритмов в этом случае будем использовать подход, впервые примененный в [76] для анализа точности оценки времени прихода прямоугольного импульса и обобщенный в [97] для разрывных квазиде-терминированных сигналов (метод локально-марковской аппроксимации).
9
Отдельные аспекты поставленных вопросов рассматривались и ранее. В [94] выполнен синтез и анализ алгоритмов обнаружения случайных импульсных сигналов с неизвестными частотно-временными и энергетическими параметрами, наблюдаемых на фоне белого шума, по методу МП. В [89] решена задача измерения времени прихода случайного импульса в предположении, что остальные параметры сигнала и шума априори известны. В работах [90,93] результаты [89] обобщены па случай, когда математическое ожидание (МО) и дисперсия случайной субструктуры импульса могут быть неизвестными. Далее, в [87,92] было проведено исследование оценок времени прихода и длительности (моментов появления и исчезновения) импульсного стохастического сигнала, а в [91], кроме того, и параметров его случайной субструктуры. В [84] рассмотрена оценка МО и дисперсии низкочастотного случайного импульса, искаженного белым шумом и коррелированной помехой с неизвестной в общем случае интенсивностью, при условии, что временные параметры импульса априори известны. В [96] найдена структура и характеристики приемника МП низкочастотного случайного импульса с неизвестным временем прихода и модулирующей функцией близкой к прямоугольной. Наконец, в [29] предложены эвристические подходы к решению задачи обнаружения высокочастотного случайного импульса с непрерывной модулирующей функцией произвольной формы.
Цель работы. Целью работы является разработка единой методики статистического анализа случайных импульсных сигналов с модулирующей функцией прямоугольной и произвольной формы, наблюдаемых на фоне коррелированной помехи и/или белого шума, получение на основе данной методики новых практически реализуемых алгоритмов обработки случайных импульсов в условиях параметрической априорной неопределенности и определение эффективности функционирования предложенных алгоритмов аналитически и методами статистического моделирования на
10
ЭВМ. Для реализации этой цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие основные задачи:
1. Синтезированы оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы обнаружения и оценки параметров случайных импульсных сигналов с прямоугольной модулирующей функцией, наблюдаемых на фоне суммы гауссовского белого шума и коррелированной помехи с неизвестной в общем случае интенсивностью. Найдена структура алгоритмов, адаптирующихся к неизвестной интенсивности помехи в условиях параметрической априорной неопределенности.
2. Синтезированы оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы обнаружения и оценки параметров случайных импульсных сигналов с модулирующей функцией произвольной формы, наблюдаемых на фоне гауссовского белого шума.
3. Выполнен теоретический анализ эффективности функционирования синтезированных алгоритмов обнаружения и оценки параметров случайных импульсов. Найдены условия устойчивости алгоритмов к отклонению принятой при синтезе модели от истинной, для чего развиты методы расчета их характеристик при наличии помехи с неизвестной интенсивностью или произвольной форме модулирующей функции принимаемого импульсного сигнала.
4. Проведено экспериментальное исследование алгоритмов обработки случайных импульсов методами статистического моделирования. Установлена работоспособность предложенных алгоритмов и определены границы применимости теоретических зависимостей для характеристик качества функционирования этих алгоритмов.
5. Сопоставлена эффективность предложенных алгоритмов обнаружения и оценки параметров случайных импульсных сигналов и выяснена целесообразность их применения при различном объеме априорной информации о параметрах сигнала и действующих помех.
11
Методы проведения исследования. При решении поставленных в диссертации задач использовались аналитические и вычислительные методы статистической радиофизики, а именно: аппарат теории вероятностей и математической статистики, методы теории статистических решений, аппарат теории марковских случайных процессов, методы математической физики, в частности, методы решения краевых задач для уравнений с частными производными второго порядка параболического типа, аналитические методы математического анализа, современные численные методы и методы программирования, методы моделирования на ЭВМ радиофизических стохастических процессов и алгоритмов их анализа.
Научная новизна. В данной работе получены следующие новые научные результаты:
■ единая методика синтеза алгоритмов статистического анализа случайных импульсных сигналов с модулирующей функцией прямоугольной и произвольной формы, наблюдаемых на фоне коррелированной помехи и/или белого шума с неизвестными в общем случае интенсивностями, основанная на пренебрежении временем корреляции случайной субструктуры импульса по сравнению с его длительностью и приводящая к алгоритмам обработки, реализуемым в виде одноканальной структуры;
■ обобщение методов расчета асимптотически точных характеристик алгоритмов статистического анализа применительно к случайным импульсным сигналам с модулирующей функцией прямоугольной и произвольной формы, наблюдаемым на фоне окрашенной и/или белой помех, в том числе при нарушении условия состоятельности оценок;
■ новая методика расчета характеристик алгоритмов обработки сигналов при многоканальном приеме, применение которой позволяет существенно уточнить известные в литературе результаты;
■ новые алгоритмы статистического анализа случайных импульсов с неизвестными разрывными и непрерывными параметрами, а именно:
12
- алгоритмы обнаружения высокочастотного случайного импульса с прямоугольной модулирующей функцией, неизвестными временем прихода и дисперсией и априори известной или неточно известной длительностью, наблюдаемого на фоне белого шума и коррелированной помехи;
- алгоритмы оценки времени прихода и дисперсии высокочастотного случайного импульса с прямоугольной модулирующей функцией, наблюдаемого на фоне белого шума и коррелированной помехи, при различной априорной неопределенности относительно интенсивностей действующих помех;
- алгоритмы оценки времени прихода и дисперсии высокочастотного случайного импульса с прямоугольной модулирующей функцией и неточно известной длительностью, наблюдаемого на фоне белого шума и коррелированной помехи, при различной априорной неопределенности относительно интенсивностей действующих помех;
- алгоритмы обнаружения низкочастотного импульсного сигнала с прямоугольной модулирующей функцией, неизвестными временем прихода, МО и дисперсией и априори известной или неточно известной длительностью при различной априорной неопределенности относительно интенсивностей коррелированной помехи и белого шума;
- алгоритмы оценки времени прихода, МО и дисперсии низкочастотного случайного импульса с прямоугольной модулирующей функцией, наблюдаемого на фоне белого шума и коррелированной помехи, при различной априорной неопределенности относительно интенсивностей действующих помех;
- алгоритмы оценки времени прихода, МО и дисперсии низкочастотного случайного импульса с прямоугольной модулирующей функцией и неточно известной длительностью, наблюдаемого на фоне белого шума и коррелированной помехи, при различной априорной неопределенности относительно интенсивностей действующих помех;
13
- алгоритм совместного оценивания времени прихода, длительности и дисперсии высокочастотного случайного импульса с прямоугольной модулирующей функцией, наблюдаемого на фоне белого шума;
- алгоритмы оценки времени прихода и дисперсии высокочастотного случайного импульса с прямоугольной модулирующей функцией и неизвестной центральной частотой, наблюдаемого на фоне белого шума;
- алгоритмы оценки времени прихода и дисперсии высокочастотного случайного импульса с модулирующей функцией произвольной формы, наблюдаемого на фоне белого шума;
- алгоритмы оценки времени прихода, МО и дисперсии низкочастотного случайного импульса с модулирующей функцией произвольной формы, наблюдаемого на фоне белого шума;
- алгоритмы обнаружения высокочастотного и низкочастотного случайных импульсных сигналов с модулирующей функцией произвольной формы и неизвестными временным и энергетическими параметрами, наблюдаемых на фоне белого шума,
а также характеристики эффективности этих алгоритмов;
■ развитие методов статистического моделирования на ЭВМ алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов с модулирующей функцией произвольной в общем случае формы, наблюдаемых на фоне коррелирован ной помехи и/или белого шума.
Достоверность. Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается корректностью использования современного математического аппарата, совпадением новых результатов с известными в частных и предельных случаях, а также результатами статистического моделирования.
Практическая ценность результатов диссертационной работы состоит в том, что они позволяют внедрять в практические разработки радиотехнических систем новые алгоритмы статистического анализа случай-
14
ных импульсных сигналов с модулирующей функцией прямоугольной и произвольной формы, наблюдаемых на фоне окрашенной и/или белой помех. Найденные теоретические зависимости для характеристик эффективности предложенных алгоритмов позволяют сделать обоснованный выбор между этими и другими алгоритмами в зависимости от имеющейся априорной информации II в соответствии с требованиями, предъявляемыми к качеству алгоритма обработки и к степени простоты его технической реализации. Результаты работы могут найти практическое применение при исследовании и анализе (в том числе, мониторинге)
- физических и статистических свойств природных и искусственных объектов по их спонтанным и вынужденным импульсным откликам,
- обработке радио-, гидролокационных и оптических сигналов,
- систем связи с импульсными поднесущими, работающими в сложной помеховой обстановке, характеризуемой наличием как аддитивных, так и мультипликативных искажений,
- перспективных локационных и связных систем, использующих в качестве информационных сигналов импульсы с шумовой несущей,
- сигналов в технической и медицинской диагностике,
- аппаратурного анализа случайных процессов,
- радиотехнических систем различного назначения, реализуемых на основе цифровых методов обработки.
Апробация работы. Результаты исследований, приведенные в данной диссертации, были представлены в виде докладов и обсуждались на
1. IV и V Всероссийской научно-технической конференции "Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования", Тамбов, 1995 г., 1997 г.
2. III, IV и V Межвузовской научно-технической конференции, Воронеж, 1996 г., 1997 г. и 1998 г.
15
3. Всероссийской научно-технической конференции "Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация", Воронеж, 1997 г.
4. Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях радиоэлектроники", Рязань, 1997 г.
5. LII, LIII, LVII, LX, LXIII, LXIV, LXV Научной сессии, посвященной дню радио, Москва, 1997 г., 1998 г., 2002 г., 2005 г., 2008 г., 2009 г., 2010 г.
6. III Международной научно-технической конференции "Антеннофидерные устройства. Системы и средства радиосвязи", Воронеж, 1997 г.
7. 3-й, 7-й, 8-й Международной конференции "Теория и техника передачи, приема и обработки информации", Харьков-Туапсе, 1997 г., 2001 г., 2002 г.
8. IV, V, VII, VIII, XI Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация, связь", Воронеж, 1998 г., 1999 г., 2001 г., 2002 г., 2005 г.
9. 1-й и 10-й Международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение", Москва, 1998 г., 2008 г.
10. Региональной научно-технической конференции "Компьютерные технологии в промышленности и связи", Воронеж, 2002 г.
И. Отраслевой научно-технической конференции "Технологии информационного общества", Москва, 2007 г.
12. 5-й и 6-й Международной конференции "Телевидение: передача и обработка изображений", С.-Петербург, 2007 г., 2008 г.
13. Международной конференции "Телекоммуникационные и информационные системы", С.-Петербург, 2007 г.
14. Научно-практической конференции "Управление созданием и развитием систем, сетей и устройств телекоммуникаций", С.-Петербург, 2008 г.
16
15. Международной научно-технической конференции "К столетию со дня рождения В.А. Котельникова", Москва, 2008 г.
16. XII, XIII Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям, С.-Петербург, 2009 г., 2010 г.
17. III, IV Всероссийской научно-технической конференции "Радиолокация и связь", Москва, 2009 г., 2010 г.
использовались при выполнении грантов РФФИ 94-01 -00365а, 95-01-00197а, 98-01-00090, фантов Минобразования РФ 95-0-8.1-8, 97-0-8.1-25, 97-5-2.1-24, внедрены в ОАО “Созвездие” и ОАО “Элекгросигнал”, что подтверждается соответствующими актами, а также в учебный процесс на кафедре радиотехнических приборов Московского энергетического института (технического университета).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 69 научных работ [151-219], в том числе 2 монографии [190,206], 42 статьи [153-155,160-162,167-174,178,179,182-184,188,189,191,194-196,199-204,207-211,214-219], 19 из которых в журналах из Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК [153,170,171,173,184,189,194,199-204,209-211,214,217-219], и 25 тезисов докладов.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
ш методы синтеза алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов с прямоугольной или произвольной модулирующей функцией, наблюдаемых на фоне коррелированной и/или белой помех;
■ методы и результаты анализа алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов с модулирующей функцией прямоугольной или произвольной формы и неизвестными разрывными и непрерывными параметрами при наличии белых и/или коррелированных искажений;
■ метод и результаты анализа алгоритмов обработки информационных сигналов при многоканальном приеме;
17
■ новые оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы обнаружения, оценки параметров и выделения случайных импульсных сигналов при наличии белых и/или коррелированных искажений и их характеристики;
■ результаты сравнительного анализа байесовского и максимальноправдоподобного подходов в задачах оптимальной и квазиоптимальной обработки сигналов с неизвестными разрывными параметрами;
■ методика и результаты статистического моделирования алгоритмов обработки случайных импульсных сигналов на фоне коррелированной и/или белой помех.
Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 разделов, заключения, списка литературы, состоящего из 219 наименований. п восьми приложений.
В первом разделе рассмотрена задача измерения временного и энергетического параметров высокочастотного случайного импульсного сигнала с модулирующей функцией прямоугольной формы, наблюдаемого на фоне белого шума и коррелированной гауссовской помехи. С помощью метода MII синтезированы квазиоптимальный (не учитывающий наличие внешней помехи), квазиправдоподобный (ТСП) (рассчитанный на ожидаемые значения интенсивностей действующих помех) и адаптивный (использующий вместо неизвестной интенсивности внешней помехи ее МП оценку) алгоритмы. Найдены замкнутые аналитические выражения для характеристик полученных оценок, на основе которых проведено сравнение эффективности предложенных алгоритмов и исследованы потери в качестве оценивания из-за отсутствия априорной информации об интенсивностях действующих помех. Исследовано влияние аномальных ошибок при измерении времени прихода, возможных в случае не слишком больших отношениях сигиал/шум (ОСШ), на точность выносимых оценок.
Показано, что оценка времени прихода инвариантна к СП белого шума и коррелированной помехи. Применение же измерителя дисперсии
18
импульсного сигнала, синтезированного по методу МП без учета влияния коррелированной помехи, может приводить к значительному проигрышу в точности получаемой оценки, монотонно возрастающему с увеличением отношения помеха/шум (ОГШ1). В то же время при адаптации по интенсивности коррелированной помехи удается получить оценку дисперсии, независящую также от интенсивности белого шума. При этом с ростом интервала наблюдения либо ширины полосы частот коррелированной помехи характеристики адаптивной оценки дисперсии асимптотически совпадают с соответствующими характеристиками оценки дисперсии, получаемой при априори известных СП помехи и белого шума.
С целью проверки работоспособности и эффективности рассмотренных алгоритмов оценки высокочастотного случайного импульса на основе разработанной методики было выполнено статистическое моделирование синтезированных измерителей на ЭВМ. Установлено, что теоретические зависимости для характеристик алгоритмов оценивания времени прихода и дисперсии высокочастотного случайного импульса удовлетворительно аппроксимируют соответствующие экспериментальные данные в широком диапазоне выходных ОСШ (начиная с 1 ...4).
Во втором разделе решена задача измерения временного и энергетического параметров высокочастотного случайного импульсного сигнала с модулирующей функцией прямоугольной формы и неточно известной длительностью, наблюдаемого на фоне белого шума и коррелированной помехи. Следуя разделу 1, получены алгоритмы оценки времени прихода и дисперсии случайного импульса для случаев, когда интенсивности действующих помех могут быть известны, известны неточно или неизвестны. Найдены теоретические зависимости для характеристик оценок и проведено сравнение эффективности предложенных алгоритмов при различных априорных условиях. Исследовано влияние пороговых эффектов, связанных с появлением аномальных ошибок при измерении времени прихода
19
импульса, на точность выносимых оценок. Показано, что оценка времени прихода, синтезированная по методу МП, не зависит от интенсивностей действующих помех, а также не является состоятельной при любых ненулевых расстройках по длительности полезного сигнала. Кроме того, применение адаптивного подхода для устранения априорной неопределенности относительно интенсивности коррелированной помехи позволяет получить оценку дисперсии, потери в точности которой из-за незнания спектральных плотностей (СП) помехи и шума также асимптотически (с ростом интервала наблюдения и/или полосы частот помехи) отсутствуют.
Полученные результаты позволили также записать выражения для характеристик обнаружения (вероятности ложной тревоги и вероятности пропуска сигнала) высокочастотного случайного импульса с неизвестными временем прихода и дисперсией, наблюдаемого на фоне белого шума и коррелированной помехи. На основе проведенного анализа установлено, что появление расстройки по длительности случайного импульса приводит к увеличению значения вероятности пропуска сигнала (при фиксированном уровне вероятности ложной тревоги). При этом положительная расстройка по длительности менее желательна, чем соответствующая отрицательная расстройка, особенно в случае больших ОСШ.
Методами статистического моделирования на ЭВМ установлена работоспособность предложенных алгоритмов обработки высокочастотного случайного импульса, а также определены границы применимости асимптотически точных формул для их характеристик.
В третьем разделе получены алгоритмы оценки временного и энергетических параметров низкочастотного случайного импульса с модулирующей функцией прямоугольной формы, наблюдаемого на фоне белого шума и коррелированной помехи с неизвестными в общем случае интенсивностями. Найдены характеристики оценок и проведено сравнение эффективности предложенных алгоритмов, если интенсивности помехи и бе-
20
лого шума априори известны, известны неточно или неизвестны. Рассмотрено влияние аномальных ошибок, возможных при не слишком больших выходных ОСШ, на точность оценки времени прихода импульсного сигнала.
На основе полученных результатов записаны выражения для характеристик алгоритмов обнаружения (вероятностей ошибок 1 -го и 2-го рода) случайного импульса с неизвестными временем прихода, МО и дисперсией, синтезированных по методу МП при различной априорной неопределенности относительно СП помехи и белого шума.
Показано, что применение адаптивного подхода для устранения априорной неопределенности относительно интенсивности внешней помехи позволяет получить алгоритмы обнаружения импульсного сигнала и оценки его временного и энергетических параметров, инвариантные также к интенсивности белого шума. При этом характеристики обнаружения и адаптивных оценок времени прихода и МО случайного импульса совпадают с соответствующими характеристиками обнаружения и МП оценок при априори известных СП помехи и шума. Если же, кроме того, величина интервала наблюдения значительно больше длительности полезного сигнала или ширина полосы частот коррелированной помехи существенно превосходит ширину полосы частот случайной субструктуры импульса, то проигрыш в точности адаптивной оценки дисперсии из-за незнания интенсивностей помехи и белого шума также отсутствует.
Методами статистического моделирования на ЭВМ установлено, что предложенные обнаружители и измерители времени прихода, МО и дисперсии низкочастотного случайного импульса являются работоспособными, а аналитические формулы для их характеристик удовлетворительно описывают соответствующие экспериментальные данные при ОСШ, больших 1 ...4.
21
В четвергом разделе рассмотрена задача обнаружения и оценки временного и энергетических параметров низкочастотного случайного импульса с модулирующей функцией прямоугольной формы и неточно известной длительностью, наблюдаемого на фоне белого шума и коррелированной помехи с неизвестной в общем случае интенсивностью. Аналогично разделу 3 был выполнен анализ квазиоптимального (не учитывающего наличия внешней помехи), КП (рассчитанного на ожидаемые значения интенсивностей действующих помех) и адаптивного (использующего вместо неизвестной интенсивности внешней помехи ее оценку, синтезированную по методу МП) алгоритмов. Показано, что при наличии растройки по длительности полезного сигнала получаемые оценки времени прихода не являются состоятельными. Исследовано влияние аномальных ошибок на точность оценок времени прихода низкочастотного случайного импульса с учетом нарушения условия состоятельности.
На основе полученных аналитических формул проведено сравнение алгоритмов обнаружения и оценки параметров низкочастотного случайного импульса при различных априорных условиях. Установлено, что применение адаптивного подхода для устранения априорной неопределенности относительно интенсивности коррелированной помехи позволяет получить обнаружитель и измеритель временного и энергетических параметров импульсного сигнала, инвариантные также к интенсивности белого шума. При этом характеристики обнаружения и оценки МО, а также оценки времени прихода, если расстройка по длительности полезного сигнала является положительной, совпадают с соответствующими характеристиками обнаружения и оценок, найденных при априори известных СП помехи и белого шума. В общем случае проигрыш в точности адаптивных оценок времени прихода и дисперсии случайного импульса из-за незнания интенсивностей помехи и белого шума асимптотически отсутствует при достаточно
22
большой величине интервала наблюдения либо ширины полосы частот коррелированной помехи.
Работоспособность и эффективность синтезированных обнаружителей и измерителей временного и энергетических параметров низкочастотного случайного импульсного сигнала подтверждены экспериментально, методами статистического моделирования на ЭВМ. Показано, что асимптотически точные выражения для их характеристик удовлетворительно согласуются с соответствующими экспериментальными данными при ОСШ, больших 1...4.
Пятый раздел посвящен синтезу, анализу и моделированию алгоритмов обработки высокочастотных и низкочастотных случайных импульсных сигналов с модулирующей функцией произвольной формы, наблюдаемых на фоне белого шума. На основе найденного общего выражения для решающей статистики предложены одноканальные оптимальные измерители времени прихода случайных импульсов и обнаружители импульсных сигналов с неизвестным временным параметром. С помощью метода локально-марковской аппроксимации, обобщенного на случай произвольных модулирующих функций, получены замкнутые аналитические выражения для характеристик обнаружения и оценивания. Рассмотрено влияние аномальных ошибок на точность оценки времени прихода. Установлено, что теоретические зависимости для характеристик оценок времени прихода полосового высокочастотного или низкочастотного гауссовского импульса с учетом аномальных ошибок удовлетворительно аппроксимируют экспериментальные данные в случае выходных отношений сигнал/шум больших 1...2, а для характеристик надежных оценок - больших 2...3, при относительном (деленном на отношение длительности полезного сигнала к времени корреляции его случайной субструктуры) разбросе
_
значений модулирующей функции порядка 10.
23
При неизвестных временном и энергетических параметрах случайного импульса показано, что оптимальные алгоритмы обработки импульсных сигналов допускают лишь многоканальную реализацию. В этом случае для синтеза одноканальных алгоритмов обнаружения и оценивания предложен подход, основанный на близости точности формируемых оценок непрерывных параметров к потенциальной (границе Крамсра-Рао). Применение данного подхода позволяет получить квазиоптимальные алгоритмы обнаружения и оценки времени прихода высокочастотного и низкочастотного гауссовского импульса, инвариантные к величине энергетических параметров полезного сигнала и форме его модулирующей функции. При этом характеристики показателей качества данных алгоритмов оказываются сопоставимыми с соответствующими характеристиками технически более сложных максимально-правдоподобных алгоритмов обнаружения и оценивания. Для реализации квазиоптимальных измерителей энергетических параметров случайных импульсов с неизвестным временем прихода требуется знание только первых двух моментов модулирующей функции. Выводы и рекомендации обладают приемлемой точностью при выходных отношениях сигнал/шум, больших 0,5...4 (в зависимости от алгоритма).
В заключении подводятся итоги проведенных исследований, сформулированы выводы по работе в целом.
В приложении I синтезирован МП алгоритм совместного оценивания времени прихода, длительности и дисперсии высокочастотного случайного импульса, искаженного гауссовским белым шумом. Рассмотрены возможности его аппаратурной реализации. Разработана новая методика анализа, существенно уточняющая известные в литературе формулы для характеристик оценок при многоканальном приеме. Показано, что полученные с помощью этой методики аналитические зависимости удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными в широком диапазоне ОСШ.
24
В приложении II решена задача оценки времени прихода и дисперсии высокочастотного случайного импульса с неизвестной центральной частотой на фоне белого шума. Рассмотрены КП (когда неизвестная величина неинформативного параметра заменяется на ее приближенное значение) и МП (когда производится совместное оценивание всех неизвестных параметров) подходы для преодоления имеющейся частотной априорной неопределенности. На основе обобщенного метода локально-марковской аппроксимации найдены характеристики синтезированных алгоритмов оценки временного и энергетического параметров случайного импульса и произведено их сопоставление между собой.
В приложении III выполнен сравнительный анализ байесовского и МП подходов в задаче оценки разрывного параметра (времени прихода) высокочастотного случайного импульса с априори известной или неточно известной длительностью. Показано, что для импульсного сигнала прямоугольной формы байесовский измеритель имеет одноканальную структуру и в условиях высокой апостериорной точности (когда ОСШ больше 5...7) обеспечивает выигрыш в качестве оценивания (по безусловному рассеянию) порядка 70 % при положительных расстройках по длительности импульса и порядка 20 % при нулевых и отрицательных расстройках.
В приложении IV получено общее выражение для логарифма ФОП стохастического гауссовского импульса произвольной формы. Показано, что для полосового импульсного сигнала (когда СП его флуктуационной составляющей допускает прямоугольную аппроксимацию), приемник МП имеет достаточно простую одноканальную структуру.
В приложении V исследованы некоторые свойства закона распределения абсолютного максимума логарифма ФОП разрывного сигнала с неизвестным неэнергетическим параметром, наблюдаемого на фоне аддитивного гауссовского белого шума, в условиях неограниченного возрастания ОСШ. Показано, что использование упрощенной аппроксимации
25
функции распределения решающей статистики может приводить к существенным погрешностям при расчете характеристик алгоритмов различения сигналов и оценки их параметров.
В приложении VI найдены предельные законы распределения абсолютного максимума обобщенного релеевского случайного процесса. Методами статистического моделирования установлено, что асимптотические аппроксимации удовлетворительно описывают истинные распределения в широком диапазоне значений параметров случайного процесса.
В приложении VII рассмотрена задача выделения информационных случайных сигналов на фоне помех при условии, что имеется дополнительный канал, наблюдаемые данные в котором коррелированы с помехой и не коррелированы с полезным сигналом. В качестве базового алгоритма фильтрации выбран алгоритм на основе метода наименьших средних квадратов (НСК). Предложена модифицированная форма НСК-алгоритма, обеспечивающая качество шумоподавления при произвольных входных ОСШ, удовлетворяющее существующим стандартам. Выполнена его программная (в системе МаШЬаЬ 8.0) и аппаратная (на базе цифрового сигнального процессора ТМ8320УС5416РОЕ160) реализация. Установлена его высокая эффективность по сравнению с известными прототипами.
В приложении VIII предложены эффективные представления различных нелинейных функций в базисах ортогональных полиномов. Сформулированы критерии, позволяющие сделать обоснованный выбор в пользу того или иного полиномиального приближения заданной нелинейной функции, исходя из специфики задачи, а также с учетом ограничений, определяемых точностью алгоритма и быстродействием системы.
26
1 ПРИЕМ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВРЕМЕННЫМ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ ПАРАМЕТРАМИ НА ФОНЕ БЕЛОЙ И КОРРЕЛИРОВАННОЙ ПОМЕХ С НЕИЗВЕСТНОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ
1.1 Постановка задачи
Пусть на интервале времени [ОД] наблюдается реализация случайного процесса x(t), представляющая собой аддитивную смесь полезного сигнала s(t) и фоновых искажений n(t) + v(t):
x(t)=s(t)+n(t) + v(t).
(1.1)
Полезный сигнал представляет собой высокочастотный гауссовский импульсный стохастический сигн&ч, под которым будем понимать случайную функцию вида [63,89-91,94 и др.]
<0=40)1
1(х)=
1, N<1/2; О, |х|>1/2.
(1.2)
Здесь А-о — время прихода, То - длительность импульса, а §0) — высоко-частотный стационарный центрированный гауссовский случайный процесс. СП процесса £(1) представим как [63,94]
G*(oo) =
гсРр Оп
I л 3 1 о сЪ + 1 Эф + со ^
1 Q0 ) 10 о
Э0 »Q
о
(1-3)
где $0 - центральная частота, <Г2() - ширина полосы частот, а Ио - дисперсия процесса ^(г). Такого вида аппроксимацию формы СП можно использовать, если реальная СП быстро убывает за пределами полосы частот Оо* Действительно, хорошо известно [107], что разрешающая способность лю-
27
бого спектранализатора имеет порядок величины 2тг/то . Обозначим АО -полоса частот, в которой реальная СП спадает от своего максимального значения практически до нуля. Тогда условия применимости аппроксимации (1.3) можно записать как
ДО « (27г/то ) « Оо.
Импульсный сигнал (1.2) можно рассматривать как результат амплитудной модуляции пряхмоугольного радиоимпульса реализацией гауссовского случайного процесса £,($). Примерами таких сигналов могут служить излучаемый [33,37,122] или отраженный [11,18,30] радиолокационный сигнал, импульс со случайной субсгруктурой, описывающий вспышку оптического шума [2,16,17], информационный сигнал с шумовой несущей [23,24,95,106], сигнал, искаженный модулирующей помехой [13,41], и др.
Помеху п^) в (1.1), описывающую собственные шумы радиоэлектронной системы, аппроксимируем гауссовским белым шумом с односторонней СП N0. В качестве модели внешней помехи у(1) выберем стационарный центрированный гауссовский случайный процесс, обладающий СП
Уо
+ 1
Зо »Пи (1-4)
где О] - ширина полосы частот, а у0 - величина СП (интенсивность) процесса Примерами таких помех могут служить непреднамеренная
(взаимная) помеха, прошедшая через входной фильтр (прсселектор) приемного устройства [84,98], или преднамеренная заградительная (прицельная) шумовая помеха [8,25,34,45,59].
На рис. 1.1-1.4 условно изображены реализации высокочастотного случайного импульса (1.2) (рис. 1.1), белого шума (рис. 1.2), внешней помехи (рис. 1.3) и наблюдаемых данных (1.1) (рис. 1.4).
28
i(t)
n(t)
0 1 “ xo/2 і і і Я-о Xq + tq/2 t
Рис. 1.1.
і і і
1 “ « і і
0 X.o“t0/2 Xq ^o + to/2 *
Рис. 1.4.
29
Положим, что £2} >£2о’ а процессы э^), 11(1) и у(г) статистически независимы. Кроме того, будем считать, что длительность т0 сигнала (1.2) значительно больше времени корреляции процесса ^(1:), так что выполняется условие
ц = т0Оо/2л»1- (1-5)
По наблюдаемой реализации х^) (1.1) необходимо оценить (измерить) время прихода А,0 е[Л1,Л2] и дисперсию О0 е[0,со) случайного импульса (1.2). Интенсивность у0 внешней помехи у^) может быть также неизвестна и принимать значения из диапазона [0,со), а границы интервала наблюдения таковы, что 0<Л! -т0/2<Л2 +т0/2<Т, т.е. импульс (1.2) всегда находится внутри интервала наблюдения.
При синтезе алгоритма оценки воспользуемся методом максимального правдоподобия (МП) [42,43,47,60,78,97,124,134 и др.]. Как известно, метод МП является байесовским при простой функции потерь и равномерном априорном распределении оцениваемого параметра и представляет собой предельную форму байесовского алгоритма для широкого класса функций распределений и потерь. С другой стороны, алгоритмы оценки, получаемые с помощью метода МП, сравнительно просто реализуются практически, а аналитическое определение их качества связано с меньшими математическими трудностями, чем при использовании ряда других статистических методов.
Положим вначале, что априорные данные о внешней помехе отсутствуют, так что для оценки неизвестных времени прихода и дисперсии по методу МП решающая статистика - логарифм ФОП - формируется без учета наличия процесса у(г) в реализации наблюдаемых данных. Тогда согласно [11,94,151,153-155] логарифм ФОП как функция текущих значений
30
X, D неизвестных параметров Х0, D0 при выполнении (1.5) может быть представлен в виде
Ь(Я, D) = DM(X„ т0 )/N0 (D + En ) - р ln(l + D/E N). (1.6)
Здесь En =N0Q0/27r “ средняя мощность белого шума n(t) в полосе частот анализируемого процесса %(t),
Х+т/2
М(Х,т)= J yö(t)dt, (1.7)
Х-т/2
у о (t) = £^x(t')h0(t - t')dt' - отклик фильтра с импульсной характеристикой ho(t) на реализацию наблюдаемых данных x(t) (1.1), причем передаточная функция Н0(со) ЭТОГО фильтра удовлетворяет условию |Но(со)(~ =
= l[(90-a))/n0]+l[(So+co)/Q0]-
Согласно методу МП оценки Хт и Dm времени прихода Х0 и дисперсии D0 определятся как положение наибольшего максимума решающей статистики L(X,D) [153,155,190,203]:
(*-m>Dm)= arg sup L(X,D)
Xe[AbA2],DaO
ИЛИ
Xm = arg sup L(x,Dm)= arg sup M(X,t0), X<=[Ai,A2] А,є[Л],Л2]
Dm =argsupL(X,m,D)=inax[0;M(A,m,T0)/T0 -EN],
D>0
(1.8)
Оценки (1.8) можно реализовать с помощью измерителя, структурная схема которого показана на рис. 1.5, где обозначено: 1 - ключ, открывающийся на время [Л] -т0/2,Л2 + т0/2]; 2 - фильтр с передаточной
31
it)
Ем
Рис. 1.5.
32
функцией Н0(со)/л/т^"; 3 - квадратор; 4 - интегратор; 5 - линия задержки на время т0; 6- вычитающее устройство; 7 - нелинейный элемент с характеристикой Г(х) = шах(0;х); 8 - экстрематор, фиксирующий в качестве оценки А,т положение наибольшего максимума входного сигнала; 9 — стробирующее устройство. Величина отсчета на выходе стробирующего устройства 9 в момент времени I = Л,т + х0/2 является оценкой От.
1.2 Характеристики оценки времени прихода высокочастотного случайного импульса на фоне помех
Определим характеристики оценки Хт (1.8). С этой целью введем в рассмотрение безразмерный параметр
1 = 0.9)
обозначим /0 = ^о/тО и представим функционал М(Х,т0) (1.7) в виде суммы сигнальной [43] и шумовой [43] функций:
М(Х, т0)=М(/) = 8(/) + Н(/). (1.10)
Здесь 8(/) = (м(/)) - сигнальная, М(/) = М(/)-(М(/)} — шумовая функции, а усреднение выполняется по реализациям наблюдаемых данных х((;) (1.1) при фиксированных значениях параметров Х0 и О0. При выполнении (1.5) для сигнальной функции 8(/) получаем [190,203]
Б(/) = АС, (/ -/0) + , (1.11)
где А = т0О0, 8у1Ч =т0(Ен+Еу), С,(х) = тах(0;1-|х|), а Еу=у0П0/2п
средняя мощность помехи в полосе частот процесса ^(1). Шумовая функция Ы(/) является асимптотически (при р-»со) гауссовским случай-
33
ным процессом. Действительно, аналогично [94] можно показать, что ку-мулянтныекоэффициенты кп процесса N(7) при п>2
к п ~ '/Цп/2_1 (1.12)
и стремятся к нулю, если р со и п > 3. Тогда для асимптотически полного статистического описания процесса N(7) достаточно найти его математическое ожидание (МО) (м(/)) и корреляционную функцию
В N ('1,’г) = (И,) - (N(2, ))][к(/2 ) - <М(/2 ))]). Согласно (1.10) (Н(/)) = 0 и при |Л - /0| < 1, 1 = 1,2 [190,203]
1-| А -^2|”ётМ Ь ”^о|>|^2 “'о|)> (^1 ~^о\12 “О-Ф
-^1» (А -^оХ^2
(1.13)
п2 _(Т0ЕГчО Л. . \2 Яо(2 + 2Яу+Яо) _&0 Уо
а8=----------Ч + Яу+Яо)------------->£““7-----------V? ’ ~ » Яу=—•
» О + Яу+ЯоГ но
Если же шах(| /} -/о|>| Ь “^о| )~1 >Т0
в^1Л)~а?1С1^2 ”А)> аЫ =(тОеы)20 + Яу)2/М’ • 0-14)
Для удобства последующего анализа перейдем к нормированной
(безразмерной) оценке
/т=*тЛо 0-15)
времени прихода импульса (1.2). Следуя [43,97], все оценки (1.15) разобьем на два класса: надежные и аномальные. Оценка /т является надежной, если она находится в пределах интервала
ЕЭ = [^о ~Мо +1 ]> (1.16)
34
где сигнальная функция (1.11) отлична от S./N. Если же результат измерения /т находится вне интервала l's, т.е.
АпеГи=Г\Г$, r = [A!,A2], Л1>2 = A1j2/^ü » (1-17)
то оценка и соответствующая ошибка оценивания называются аномальными [43,97]. Аномальные ошибки возможны, если приведенная длина [97]
г**
m = A2-Aj априорного интервала Г возможных значений времени прихода /0 значительно больше протяженности интервала Г5 надежной оценки, т.е.
m » 1. (1.18)
Согласно [43] наиболее общей и полной (в вероятностном смысле) характеристикой оценки /т является се условная (при фиксированном /0)
плотность вероятности w(x|/0 ). Обозначим
Ро=Р[>теГ5] (1.19)
- вероятность надежной оценки, w0(x|/0) и wa(x|/0) - условные плотности вероятности надежной и аномальной оценки /т соответственно. Тогда, поскольку надежные и аномальные решения об оценке являются несовместными событиями, то условную плотность вероятности w(x|/q ) оценки /т с учетом аномальных ошибок можно представить в виде [43,97]
w(x|/0)=PoWo(x|/o)+(l-Po)wa(x|/o) • (1-20)
Найдем вероятность Р0 и плотность вероятности w0(x|/0) надежной
оценки /т. Положим, что выходное OCLLI [43,97] z2 алгоритма (1.8) достаточно велико, т.е.
35
г2 = [8(/о) - 8уМ ]2/(ы 2 (/0)) = ИЯ о /(1 + Я V +ЧоУ
»1.
(1.21)
Очевидно, условие (1.21) выполняется при выполнении (1.5) и не слишком малых чо- Аналогично [43,97] можно показать, что с увеличением г оценка /т сходится к истинному значению оцениваемого параметра /0 в среднеквадратическом смысле. Вследствие этого для определения характеристик надежной оценки /|П при 77 » 1 достаточно исследовать поведение функционала М(/) (1.10) в малой окрестности А^ точки 1 = 1^: ■^8 =[^о “8,/0 + $], так что /ш еЛ8. Здесь б«1 - некоторая величина, ограничивающая окрестность точки / = /о. С учетом последнего замечания введем в рассмотрение функционал [ 190]
Д(/) = [м(/)-М(х)]/а5, /,хєЛ5
(1.22)
ц представим функцию распределения Р0(х|/0) надежной оценки /т в виде
Н0(х|/0)=Р[/т <х] = Р
шах М(/) > шах М(/)
./<х />х
= Р
тах Д(/) > шах Д(/) ./<х />х
.(1.23)
Вероятность Р
шахА(/)>шах А(/) . /<х />х
в (1.23) можно найти, используя дву-
мерную функцию распределения Р2(и,о,х) или плотность вероятности \у2(и,и,х) абсолютных значений максимумов функционала (1.22):
и и
(и, о, х) = Г Г \у2(и',и',х^и^и' = Р шах А(/)< и, шах Д(/)< о 00 1/<х 7*х
(1.24)
Здесь учтено, что тахД(/)>0. Действительно, из сопоставления (1.23) и
(1.24) имеем:
36
оо II
СО
Р0(х|/0)= \ \ \у2(и,и,х)сіиаи= І 0 0 о
дР2 (и, о, х)
ди
сій. (1.25)
и=и
Согласно (1.10)-( 1.13), (1.22) Д(/) является асимптотически (при р-»оо) гауссовским случайным процессом с корреляционной функцией вида [190]
в д (4 ,/2)== < [а(Л ) - (Д(/,))] [д(/2) - (Д(/2))]) =
тт(|/,-х|,|/2-х|), (/, -хХ/2 -х)>0; (1-26)
0, (/,-хХ/2-х)<0.
= (2-в)
Отсюда следует, что
1) реализации процесса Д(/) на интервалах [/ф -5,х) и [х,/0 +б] не коррелированны и в силу асимптотической гауссовости асимптотически статистически независимы;
2) на каждом из интервалов [/0 -5,х) и [х,/0 +5] выполняются условия теоремы Дуба в формулировке Кайлатца [128], согласно которой Д(/) является марковским случайным процессом диффузионного типа. При этом коэффициенты сноса К! и диффузии К2 процесса Д(/) при / > х определятся как
т, <д(/ +д/)-д(/)|д(/))
К] = І1Ш -------------------------
Д/->0 Д/
г, /</0; -2, />/0;
/ [д(/ + д/) - д(/)]21 л(о) _
(1.27)
Ко = ІІШ Д/->0
д/
= 2^.
Используя свойство асимптотической статистической независимости значений случайного процесса Д(/) на интервалах [/0 -б,х), [х,/0 +б] перепишем вероятность (1.24) в виде
37
Р2(и,о,х)=Р1х(и)Р2х(о)
(1.28)
. Тогда с учетом
Здесь Р]х (и) = Р шах Д(/) < и > Р2х(и) = Р тахд(/)<и
1_ /<х 3 |_ /^х
(1.25) функцию распределения Р0(х|/0) надежной оценки /,„ можно выра-
зить как
ОС
ро(х|/о)= 1 Р2х(и)‘1р1х(и). хе[/0 -8,/0 +8]. (1.29)
О
Найдем вероятности Р[Х(и) и Ргх(°)» воспользовавшись марковскими свойствами процесса Д(/). С этой целью введем в рассмотрение случайный процесс [ 190]
£(/)= и - Д(/), и>0
(1.30)
на интервале /є[х,/0+б] и представим вероятность Р2х(и) следующим образом
Р2х(»)=Р 1 Е> Л С і = Р і о Л 'Сл і 00 = ^2х(у.^0 + §)^у, и >0. (1.31)
х </</о+5 х^/^/о+5 0
Здесь \У2х(у,/() +б) - плотность вероятности того, что процесс £(/), начинающийся в момент / = х со значения £(х) = и, достигает к моменту / = /0+5 значения <^(/0+5) = у, причем на интервале [х,/0+б] процесс £(/) лежит в пределах интервала (0,оо).
Согласно (1.30) процесс £(/), как и д(0. является марковским случайным процессом диффузионного типа с коэффициентами сноса К| =—К| и диффузии К2 =К2, где К! и К2 определяются из (1.27). То-
38
гда плотность вероятности W2X(y,/o можно найти из решения прямого уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова [80]
^ё^-|-[К,ш2х(у,/)]-1^г[К2№2х(у,/)]=0 (1.32)
д! ду 2 ду‘
с начальным условием
«2х(у,/)|/=х = б(х - и)
(1.33)
и граничными условиями
'у2х(У>/)|у=о = 0’ 'у2х(У.0|у=оо = °
(1.34)
При решении уравнения (1.32) выделим два случая.
1) X > /0
Данное условие означает, что на интервале (х,/0 + б] коэффициенты сноса и диффузии остаются постоянными, вследствие чего уравнение (1.32) перепишем следующим образом
^гхЫ) у ^2х(у>0 , К2 32\у2х(у,/) - = К|----------------------+
а/
ау
(1.35)
Решение (1.35) можно получить методом характеристической функции [80]. В результате с учетом начального условия (1.33) имеем
\у
(0)
2х
М =
1
л)27СК2 х)
ехр-
[и-К,(/-х)-у]:
2К2 (/ - х)
или, подставляя явный вид К! и К2 из (1.27),
\у
(0)
2х
(у ,/)-
ч/М2 - 8Х/ - х)
ехр-
[о + г(/ - х)-у ]'
2(2 - ёХ1 ~ х)
(1.36)
39
Индекс “0” у плотности вероятности (1.36) означает, что граничные условия при решении уравнения (1.35) пока не накладывались.
Для нахождения решения (1.35) с учетом граничных условий воспользуемся методом отражения с переменой знака [80]. Согласно этому методу при расположении в точке у = С поглощающего экрана (что соответствует условию ^у2х(у,/)|уг::С = 0) решение уравнения (1.35) может
быть записано в виде
"2*(у,/) = ЧхМ- '4°х)(2С - у,/).
(1.37)
Тогда, подставляя (1.36) в (1.37) и полагая согласно (1.34) С = 0, окончательно получаем
^2х(У./) =
1
^2я(2-ёХ'-х) -ехр
ехр
(о + г(/ — х)— у)2 2(2 - 8Х/ - х)
( 2ог 1 ехр (о-г(/-х)4-у)2
1 2~ё) 2(2-8Х/-х)
(1.38)
Используя (1.38) в (1.31) при / = /0 +5 и выполняя интегрирование, для вероятности Р2х(и) находим [190]
Р2х (о) = Ф
о 4- г(/0 4- 5 - х) Д2-ё)(/о +6 —х)
( 2ог ^ ф
- ехр /ч
1 2~ё)
-о + г(/0 4- 5 - х)
Л/(2-ёХ/0+5-х)
.(1.39)
Здесь Ф(х) = (1/л/2л ) £Хя ^ехр(- г2/2^^ - интеграл вероятности [72,77].
2) х</0.
Согласно (1.27) коэффициент сноса на интервале [х,/0 4-5] скачкообразно изменяется в точке / = /о. В этой связи разобьем интервал
40
[х,/0 +б] на два подынтервала: [х,/0] и (/0,/о + 8]. Как было показано ранее, при /є[х,/0] (К^г, К2 =2-g) решение уравнения (1.32) с начальным и граничными условиями (1.33), (1.34) примет вид
XV
2х
(У ,/)-
л/2тЧ2-вХ7-х)
схр
- схр
2ог
2^8)
ехр
2(2 - вХ/ - х)
(и + г(/ -х)+ у)2 2(2 - ёХ/ - х)
(1.40)
Для определения плотности вероятности XV 2х (у>0 В момент / = /0 + 8 найдем решение уравнения (1.32) на интервале / є (/0,/о + б], где К, =-г, К2 = 2-%, граничные условия определяются из (1.34), а в качестве начального условия следует выбрать плотность вероятности й2х(у,/) (1.40) в момент / = /о. Тогда, следуя [80], получаем
оо
1™2х(у'Л)- ехр
0
(у'-К,(/-/о)-у):
2К2(/-/0)
(2у'К] 'і
-Ч-кг
ехр
(у, + к1(/-/0)ч- у)"’ 2К2(/ - /0)
*У'
или, подставляя явный вид Кі, К2, ^2х(у,/о)>
XV
2х
х(у.0=
оо
ехр
-ехр
2ог
ехр
(и + г(/0 - х)+ у')'
2(2 ~ ёХ> 0 ~ х)
ехр
-ехр
Г 2у'г>| ехр
0 о

(у'+ К, (/-/„)+у)2 2{2-вІ1-10)
(и-г(/0 -х)-у')2
2(2-8Х/0-х)
(у' + 2(/-/о)-у)2
2(2 -вХ/- /0) гіу'.
(1.41)
41
Используя теперь (1.41) в (1.31) при I = /0 +6 и выполняя интегрирование ПО переменной у, ДЛЯ вероятности Р2х(и) имеем [190]
Р2хМ =
Л/2тс(2 - &Х/0 - х) (о-у)2
ехр
г2(/0 -х) 00 Г г(о-у)
2(2 - Е) ] ехр 0 1_ 2-Е ]
охр
х
ф
2(2 - ёХ1о - х)
л
- ехр
(о+у)'
тЬ+ у
- ехр -
2у 7 2^.
2(2 - вХ'о - *)
\
X
(1.42)
ф
- у
с1у.
Здесь индекс «’» у переменной интефирования опущен.
Вследствие симметрии сигнальной функции 8(/) (1.11) функционала М(/) относительно точки / = /о и стационарности его шумовой функции >}(/) (1.10), (1.13) нетрудно показать, что вероятность Р1Х(и) связана с вероятностью Р2х(и) соотношением Р1х(10 = р2(2/о-х)(и)- Тогда с учетом (1.39), (1.42) при х</0
Р|х(и)=Ф
г(х - /о + б)+ и
.Л'(2-£)(х-/о +5).
2иг > Ф
- ехр
^ 2 ~ Еу
г(х -/0 + б) - и
л/(2-еХх-/о +8)
,(1.43)
а при х > /0
Р1х(и) =
х < ехр
V 2я(2^Хх-/0)
(и-у)2
ехр
1 0 1 С) N | СО С г(и-у)
2(2 - ё) ] ехр 0 _ 2-ё _
X
ф
2(2-ЕХх-/0)
- ехр
-ехр
(и + у)2
2(2-§Хх-/0)
X
(1.44)
л/«(2-е)
/
2-Е.
Ф
гб- у
с!у.
42
Выражения (1.39), (1.42)-(1.44) позволяют найти функцию распределения Р0(х|/0) надежной оценки /т. Так, при х</0, подставляя (1.42), (1.43) в (1.29), имеем [190]
ро(х|/о)=Г>т(^0 -х),
(1.45)
где
Рт М = 7
- ехр
(2 - g)^/2яv
(ц + у)2
х ехгх -
2у(2 - g) 2иг
ехр
Ф
г2у
2(2 - ё) гб + у
оо 00
Л ехр О О
г(и - у)
2-8.
Ф
7.(5 - у) - и
_7(2~- цХ8^)_
- ехр
. 2-8 _ Ф
/ Л \ 2уг
2-8.
ехр гб - у
(и-у)2 2^2-8)
2г
+
л(б - у)
.-ехр
1/8(2-8).
(г(8 - у)+ и)2 2(2 - 8Х8 - V)
72^8
бибу. (1.46)
При х>/0 для нахождения функции распределения ^ (х|/о) воспользуемся выражением
00
Р0(х[/0)=1- / Р,х(и)с1Р2х(и),
(1.47)
получаемым из (1.29) путем интегрирования по частям. Тогда из подстановки в (1.47) вероятностей Р2Х(и) (1-29), Р1Х(и) (1-44) следует
Ео(х|/о)=1-Рт(х-/0).
Объединяя (1.45) и (1.48), окончательно можем записать
Ро(х|/0)=-
Рт(|/о-х|). /0-8<х</0;
. І-Рщ/ко-хІ). /о^х</0+8.
(1.48)
(1.49)
43
Рассмотрим поведение функции распределения Р0(х|/о) (1.49) при
г“ —> ос. Используем в (1.46) асимптотическую формулу для интеграла вероятности [72]:
ф(х) -х ^эд->1 - ехр(- х2/г)/л/2тгх
(1.50)
и пренебрежем членами более высоких порядков малости по г. Тогда для функции (1.46) справедлива следующая аппроксимация
РщМ =
2г
х
ехр
У2^(2 - і)
(и-У)2' 2у(2 - ё)
ехр
- ехр
2(2 - &) (ц + у)2
2у(2 - g)
оосо
\ | ехр
о о
1 - ехр
+ у)
2-ё _
2уг
2-Б
бибу
или, после выполнения операции итерирования,
РтМ =
/ о \
5 2 г“ у - +
2 2-ї
/
1-Ф
у2_
Б
3
--ехр
/ о \
4г V
2-е
\ &.
1-Ф
Зг.
2-Е
іг V
утасхр
2(2-8)
(1.51)
Согласно (1.51) функция Рт^) отлична от нуля в малой окрестности точки у = 0. Это позволяет аналогично [75,97] без заметной потери в точности распространить аппроксимацию (1.49), (1.51) на всю числовую ось:
ро(х|/о)=
Рт(|/0-х|), ~ 5 х </0 ;
-х|), /0<Х<со.
(1.52)
Соответственно, условная плотность вероятности \Уо(х|/0) надежной оценки /П1 определится как [190]
44
"'о (Х|А)) = Т" Ро(х|^0 ) =
(ІХ
_22_
2-§
Зехр
/ ?і , Л
4г |х-/0|
2-В
X
1-ф
Зг,
х - /г
2-Е
+ Ф
X — /г
V 2-
-1
(1.53)
х є
(-со,оо).
Из (1.53) следует, что плотность вероятности оценки времени прихода высокочастотного случайного импульса (1.2) даже при отсутствии аномальных ошибок имеет существенно нсгауссовский характер, хотя решающая статистика М(Х,,т0) (1.7) является асимптотически гауссовской.
Эквивалентным (1.52), (1.53) способом описания вероятностных свойств надежной оценки времени прихода случайного импульса (1.2) является задание условной характеристической функции 0о(©|^о) [46,77,94], связанной с плотностью вероятности XV о (х|/0) преобразованием Фурье
00
©о(“|/о)= І \У0(х|/0)ехрОе>х)сіх.
(1.54)
-00
Подставляя (1.53) в (1.54), получаем [162]
® 0 (ю^О)= 4 [ ^(2 іооД/г2 )+ 0 * Н/г2 )- \|/ 2г4 / 2(0 2 + 4\|/ ) ]ехрОсо/0),
(1.55)
где
ц/ =
2(1 + Чу + Чо)"
2 ё (1 -ьчУ) +(1 + Чу + Чо)
29
$(х) =
1 + х
;(4 + х)\/1 - 2х 9
а символ «*» означает операцию комплексного сопряжения.
Используем выражения (1.52), (1.53), (1.55) при конечных, но больших ъ. Тогда для центральных моментов нечетного и четного порядков распределения надежной оценки /т находим [162]:
45
00
ИОлс-^оЦйп -/о)2к"')= I(х-/0)2к-' '^0(х|/0)ах = 0,
-со
(1.56)
Ио2к('т|'о)=(('.« -/о)2к)= ](х-/о)2к wo(x|/o)dx =
-00
2(2-8)2к 1 с12к 1 1 ю р 1 (4к + 1)П
24к 34к+| с1а2к ал/Г- 2а р н 40 || 2к +1
Здесь (4к + 1)!!=1-3-5... (4к + 1).
Из (1.56), в частности, следует [162,170,190], что надежная оценка времени прихода условно несмещенная
Ь0(/т|'о)=0, (1.57)
а ее условное рассеяние определяется выражением
^(/т|/о)=13(2-ё)7824. (1.58)
Моменты первого (1.57) и второго (1.58) порядка играют особую роль и наиболее часто используются на практике [43,51,94]. Вместе с тем, при негауссовском характере распределения они дают лишь приближенное описание степени сгруппированиости выносимой оценки относительно истинного значения оцениваемого параметра. Поэтому, для более полной характеристики вероятностного поведения оценки /т в ряде задач целесообразно также учитывать, по крайней мере, два следующих момента более высокого порядка. При этом значительно удобнее оказывается использование безразмерных кумулянтов (кумулянтных коэффициентов) [51,94], связанных с моментами однозначным преобразованием. Для кумулянтных коэффициентов 3-го и 4-го порядка, называемых также коэффициентами асимметрии и эксцесса, после соответствующих преобразований можно записать [162]
46
?03 (^ш | ^0 ) — Р03 (^ш | ^0 )/д/р02 I ^0 ) “” ®
(1.59)
Г04 ('т 1'оЬ Ро4 ('тI/о)/Ро2 (/шКо)-3 = 1779/169 *10,527.
Точность формул (1.52)-(1.59) возрастает с увеличением р и г.
Вычислим теперь вероятность Р0 (1.19) надежной оценки /ш [190].
о
С этой целью введем в рассмотрение функционал М(/)= М(/)-8.^ и слу-
чаиные величины
HN = sup М(/), Hs = sup М(/), (1.60)
/erN /еГ5
где SyN, Ts, TN определяются из (1.11), (1.16) и (1.17) соответственно. Тогда вероятность Р0 (1.19) можно представить как
P0=P[HS>HN]. (1.61)
Согласно (1.13), (1.14) при выполнении (1.5) время корреляции слу-
о
чайного процесса N(/) (и, соответственно, М(/)) не превышает 1. При этом, если удовлетворяется условие (1.18), то вероятностью появления
о
наибольшего максимума функционала М(/) на интервале [/0 -2,/0 - l]u [/о + 1,/о + 2] можно пренебречь по сравнению с вероятно-
о
стью появления наибольшего максимума М(/) на интервале [ль/о-2]и[/0 + 2,А2]. Тогда в силу асимптотической (при ц-»со) гаус-
о о
совости функционала М(/) значения м(/) на интервалах [Л.,/С --2]e_j[/0 + 2,Л2] и [/0 - 1,/0 +1], а, следовательно, и случайные ве-
47
личины Н^, Н5 (1.60), приближенно статистически независимы. Обозначим
Рм(к)=Р[Ны/ак<к], Р5(к)=Р[Н5/а5<к] (1.62)
-функции распределения случайных величин , Н§/а8 соответст-
венно. В силу статистической независимости и Н§ аналогично (1.29) для вероятности Р0 (1-61) надежной оценки /т можно записать [190]
ро = 1 Ры(к)^(к/г).
(1.63)
где г = о$/а-ы=(\+цх>+ц0)/(1 + Цу), а интегрирование ведется по всем возможным значениям к.
Найдем вероятности ^ы(к) и ^(к). Согласно (1.10), (1.11), (1.62)
Рн(к) = Р
и
М(/)/аи <к
= Р[К/)/0ы <4 /е[л„/0 -1]и[/0 +1,Л2].(1.64)
Здесь N(7) - асимптотически (при ц->оо) гауссовский стационарный случайный процесс с нулевым МО и корреляционной функцией (1.14). Тогда на основе результатов [75,97] для Р^к) (1.64) справедлива аппроксимация вида
Рм(к)=
ехр
0,
тк
л/2к
ехр
' к24
, к>1; к <1;
(1.65)
точность которой возрастает с увеличением ш и к.
Перейдем к определению вероятности К;(к). При выполнении условия (1.21), как отмечалось выше, можно положить, что оценка /т находит-
48
ся в малой 8-окрестности точки / = /о • С учетом последнего замечания представим функцию распределения Р8(к) в виде
Р8(к)-Р[Ло(/)<К-Ко], / еЛд.
(1.66)
Здесь
Д0(/)=Д(/)|х=/о =[м(/)-М(/0)]/а8 , к0 =[м(/0)-8у„ ]/а8 , (1.67)
Е5(к)=Р до(0 <х-к0 Р Ло(0 <к-к0
/0 -5^/</0 _/0^/</0+5
а Д(/) определяется из (1.22). Как следует из (1.26), реализации случайного процесса До(/) приближенно статистически независимы на интервалах [/о и [/оЛ + 8 ]. Тогда для (1.66) имеем
(1.68)
В силу свойств (1.11)-(1.13") функционала М(/) случайная величина к0 (1.67) является асимптотически (при р-»оо) гауссовской случайной величиной с МО ъ и единичной дисперсией. Обозначим
(1.69)
р,(к)=р Д0(/) <к . Р2(к) = Р До (0 < к
/о^/о+б
(х) =
л/2л
ехр
(х - гУ
- плотность вероятности случайной величины к0. Тогда функцию распределения (1.68) можно представить в виде
»V
Рз(к) = |р1(к-у)Р2(к-у)™0(у)с1у.
(1.70)
—00
49
Найдем вероятности ^ (к), Р2(к) (1.69). Введем в рассмотрение случайный процесс £0(/)= к - Д0(/) на интервале [/о,/о+^] и аналогично (1.31) запишем вероятность Р2(к) как
Р2(к) = Р
Со(/) >0 /0*/£/0+*
оо
= I '',2(у>/0 +5)с1у,
где w2(y,/)= 2х (у> ^)| х=/0, а ^У2х(у,/0+б) определяется из решения
уравнения (1.32) с условиями (1.33), (1.34). Нетрудно показать, что и2 (к) = Р2х (к)| х=/о, где Р2х(к) определяется из (1.39). В результате для
функции Рг(к) (1.69) получаем
Р2(к)=Ф
г8 + к
.Ш11).
/
- ехр
2гк
2-%.
Ф
28- к
л/5(2 - ё)
(1.71)
В силу симметрии статистических свойств функционала М(/) (1.10) относительно точки / = /о вероятности Р,(к) и Р2(к) связаны соотношением
Р|(к) = Р2(к).
(1.72)
Тогда с учетом (1.70)-(1.72) для функции распределения Р$(к) получаем
Ф
х ехр
гб + к - у (у“2)2 йу.
ехр
2г(к - у) 2-ё
Ф
28 + у - к
X
(1.73)
Рассмотрим поведение функции Р$(к) (1.73) для случая достаточно больших выходных ОС111 (1.21). Аналогично (1.49), используя при
50
г -> оо асимптотическое представление интеграла вероятности (1.50) и пренебрегая членами более высоких порядков малости по г, имеем [190]
і 00
1 -ехр
2 го
2-8.
ехр
(к - о - г)'
(ІО
или, после выполнения операции интегрирования,
(к) = Ф(к - г) - 2 ехр
9 о
V ( \
2-у- + \|/г(г-к)
Ф[к - г(\|/ + 1)] +
+
ехр[2\|/2г2 + 2\[/г(г - к)]ф[к - г(2ц/ + і)].
(1.74)
Здесь \{/ определяется из (1.55).
Подставляя теперь (1.65), (1.74) в (1.63), для вероятности Р0 надежной оценки 1т находим [162,170,190]
™ 2х\,?-Р0= ехр
Г*2 2
—---------+ \]}Ъ
\
со
/ехр
тк
ехр
" 2
V
ехЛ-^ X
X Ф
-ехр
3\|/2г2
+ у z
' 2кч г--------
ч Г У
(I)
—-г(2\|/ + 1) г
Фс.
(1.75)
Запишем теперь характеристики оценки времени прихода /т с учетом аномальных ошибок. Согласно [97] для плотности вероятности \уа(х|/0) при выполнении (1.18) можно использовать аппроксимацию
’Л'а(х|/о) =
1/т, х є Г; 0, хёГ.
(1.76)
Тогда, подставляя (1.53), (1.75), (1.76) в (1.20) и осуществляя операцию обратного преобразования Фурье, для характеристической функции оценки /т с учетом аномальных ошибок можно записать
51
©(со|/0)=Р0©0(ш|/0)д1-Р0)[ехр(]<оЛ2)- ехр^сйЛ^^сот, (1.77)
где ©0(со|/0) определяется из (1.55). Соответственно, для условных центральных моментов нечетного и четного порядков распределения оценки /т с учетом аномальных ошибок, используя (1.20) или (1.77), находим [162]:
Р2к-1(/„,|/о)=((/,и-/о)2к_,)= ](х-/о)2к-‘ ™(х|/0)с!х =
-00
= (1-Р0)Г(Х2-/0)2к-(а.-70)2к
'2кт,
(1.78)
И2к (/,„ I /о )= ((/« - /о )2к_1) = I (х - /о )2к_1 '',(х|/0) с1х =
-00
= РоРо2к(/,„|/о)+(1-Ро)[(Л2 ~/оГ+1 -(Л, -/0)2к+,у(2к + 1)т,
к = 1,2,... Отсюда, в частности, следует [162,170,190], что оценка времени прихода вследствие возможного наличия аномальных ошибок в общем случае является условно смещенной
Ь(и'о)=(1-Ро)[(Л2+Л,)/2-/о],
(1.79)
а ее условные рассеяние и коэффициенты асимметрии и эксцесса определятся как
^т\1о)=1роМШ+ 0 - Ро)Ч,(д/0),
^ |/и) = Рз(д А)) _ 0 - Ро)Уаз (Ап|^о)
УЗ
А/[Р0У0^т|/о)да(/т|/о)+1-Ро]3 ’
У4 (^т Ро ) = (^т | ^0 )/^2 (^т Ро )~ 3 =
ро[го4(д Ро)+з]/уа2(/т 1|/о)+(1-ро)[Уа4(/П ,|/о)+з]/У02(/т|/0)
[роМд /о)+0-ро)Ло(/тЬ О]2
(1.80)
3,
52
Здесь У0(/т|/0), У04(/т|/0) определяются из (1.58), (1.59), а
Уа(^тко)=(Л2 + ^1^2 + ^У3_(^2 +Лі)^0 + 11»
У а3 (/т К)) = [(^2 + А1 )/2 — /0 ] Йд 2 + )/2 - (д 2 + А{)і0 +ІІ ]/ V Уа (/т|^))>
(1.81)
Уа4 (^тко)=[^0 “2(А2 + Аі)/() + 2(л2 + + Л?)/о “ (^2 +
а2а] + а])/0 + (л42 + л32л1 + л22л3 + л2л3 + л1)/5]/уЛ/т|/0)-
+
3
- соответственно условные рассеяние, коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса аномальной оценки /т. Точность формул (1.78), (1.81) возрастает с увеличением (л (1.5), ш (1.18), г (1.21).
Положим теперь, что неизвестный параметр /0 описывается априорной плотностью вероятности
^рг(/0)=1/т, /0е[л,,Л2]. (1-82)
Тогда, усредняя (1.78) по возможным значениям случайной величины /0 с априорным распределением \ург(/0) (1.82), получаем безусловные характеристики оценки /т [162]:
М-2к-і(Ап)=0 >
(1.83)
Р2к(/*) = роРо2к (/,«) + (1 - ро)т2к/(2к + іХк + 1) ,
где р<ьк(^т) “ безусловный центральный момент порядка 2к надежной оценки /т, совпадающий с соответствующим условным моментом
ио2к (и^о) 0-56).
53
Как следует из (1.83), оценка времени прихода высокочастотного случайного импульса (1.2) является безусловно несмещенной, а ее безусловные рассеяние У(/т) и коэффициенты асимметрии Уз(/т) и эксцесса У4 (/щ) определятся выражениями вида
У(/„,)=1’оУ0(0 + (1-Ро)™2/б ,
У3(/т) = 0 . (1-84)
УЛ1т) =
Рої [уо ■4(0+з] + 1114 (і - Р0)/і5Уд (/т )
1 [р0 +ш2 I (1-Р0)/6У0(/т)]2
где У(/ш ) и Уо4 (/т) совпадают с соответствующими условными характеристиками У0(/т|/0) (1.58), уо4 (/т|/о) (1.59). Точность приведенных
формул возрастает с увеличением р., ъ> ш.
Полагая в (1.52), (1.53), (1.55)-(1.59), (1.75), (1.78)-(1.81), (1.83),
(1.84) Чу = 0, приходим к выражениям для функций распределения и характеристик оценки времени прихода высокочастотного случайного импульса (1.2) в отсутствии внешней помехи [89,162,170].
1.3 Характеристики оценки дисперсии высокочастотного случайного импульса при различной априорной неопределенности относительно спектральных плотностей помехи и белого шума
Найдем теперь характеристики оценки Ош (1.8) [203]. Используя (1.60), (1.62), запишем функцию распределения случайной величины и = [м(Л,гп,То) -Бун|/а8 для случая т »1
ри(х)=Р8(х)р>1(гх)
(1.85)
54
и т < 1 (порядка единицы или менее)
ри (х) = рз(х).
(1.86)
где г, Рм(х) и ЕДх) определяются из (1.63), (1.65) и (1.74) соответственно.
Функция распределения Рт(х]И0)= р[ит <х] оценки Е)т связана с функцией Ру (х) соотношением
Рт(х|оо)=0(х)р
и
'(х~Ёу)'
Эл
0(х)=
1, х > 0; О, х <0.
(1.87)
Здесь Еу определяется из (1.11).
Нетрудно показать, что функция Рт(х|О0) с ростом ОСШ ъ сходится к гауссовской функции распределения с параметрами ~ К(Э0 + Еу,О0/г), так что для асимптотически полного в статистическом смысле описания оценки Dm (1.8) достаточно найти ее первые два момента. С учетом (1.87)
для условных смещения ь(рт|Оо)=(от -и рассеяния у(бтЬ0)=((от - Е>о) / оценки Эт получаем [203]
фт|о0)=][і~їиХ|Оо)]ах-о„,
(1.88)
^(бт |Б0 )= 2](х - Бо) [ 1 - ?га (х|О0 ) ]сіх + О20.
Выполнить интегрирование в (1.88) аналитически удается только для случая ш<1. Используя аппроксимацию (1.86) функции Ру(х), для характеристик оценки Эт (1.8) имеем [203]
55
ь(Рт|^о)—1^0 ‘
1 + 3^ +
Ф
/
г и V
1+^ Чо
+
:л/2тг
ехр
1 + 3*.
, Яо
+
+ —техР
\\JZ~
уг'
1
2\у^
ехр
2\|/г"
^+а^+1
.2 Чо
у + 1 + — Яо,
/_
1-ф
1-ф
ч
г / г Ч V
\|/ + 1 + — Яо )
2м/ + 1 + 3^ Яо
\>
/_
\
-1
(1.89)

)=Е>о' ч
} Чу 1 Зду__________
Чо г2 я0\(/г2 2\|Гг4
Ф
'.42%
1-3*
Яо У2'
ехр
г,2
1 + ^-Яо.
/
\2
1+а*
. яо
1 ~2 4 0ехр 1 N к> / Ж +1+^У 1-Ф / г ( \ \|/ + 1 + Зл
V У2 ; ууг / Ч “ Яо )_ ч 1 Яо,
+
+
2^
\}/г‘
ехр
2ц/г‘
у + 1 + Зх.
Яо
/_
1-Ф
^ / г ч \
21|/ +1 + — Яо.
/
\\
Точность формул (1.85), (1.87), (1.88) возрастает с увеличением р, г, ш, а формул (1.89) - с увеличением \х н х. Формулы (1.88), (1.89) существенно упрощаются при весьма больших значениях р (г), когда вероятностью
Ра=Р[/теГ3]=1-Р0
(1.90)
аномальной ошибки при оценивании времени прихода /0 можно пренебречь:
Ь^т^о^Еу +ЗБ0/2ч/г2 «К7, у(бт|о0)«Е2+О^/22=Е2+Е^,(1 + Чу+Ч0)2/ц.
(1.91)
56
Таким образом, оценка 01Л (1.8) при наличии внешней помехи у(1)
является асимптотически (при г—>оо) условно смещенной, а ее рассеяние
тельной. Полагая в (1.87)-(1.89), (1.91) =0 (Е^ =0), получаем выраже-
ния для функции распределения и характеристик оценки дисперсии высокочастотного случайного импульса (1.2) в отсутствии внешней помехи у(1) [151,153,155].
Количественно охарактеризовать проигрыш в точности измерения дисперсии импульсного сигнала из-за наличия внешней помехи можно от-
мехи. На рис. 1.6 для т = 20 штриховыми линиями нанесены зависимости
сплошными линиями - при ц = 200. Кривые 1 соответствуют с}0 = 0,25; 2 -0,5; 3-1. Анализ кривых на рис. 1.6 показывает, что с увеличением ОПШ
qv потери в точности оценки Бт (1.8) возрастают и могут достигать значительной величины. При этом с ростом р. и уменьшением Чо точность оценки Пт (1.8) ухудшается.
Повысить точность оценки дисперсии И о высокочастотного случайного импульса (1.2) можно, если при синтезе алгоритма оценки по методу МП учесть наличие внешней помехи v(t). С этой целью обозначим
Ь(Х,0,у) - логарифм функционала отношения правдоподобия для гипотезы х(1) = 40 + п(1) против альтернативы х(1) = п(1). При вы-
полнении (1.5) на основе работ [11,84,94] находим [163,190,203]
л ^
ограничено снизу величиной Е“, так что оценка От не является состоя-
Рш(Яу)» рассчитанные по формулам (1.85), (1.87), (1.88) при р = 100, а
(1.92)
57
где М(А,,т0) определяется из (1.7),
Т
мт= [уг(0ск, (1.93)
о
— выходной сигнал фильтра с передаточной
функцией Н](со), удовлетворяющей условию |Н|(со)|2 = = 1[(» - м)/П, ] + 1[(» + <в)/0, ], <1 = 2тсО/О0 ,
К = КТКШ> (1.94)
а Кт=Т/т0, К(0=О|/С2(). Отметим, что поскольку 0<Л1, Т>Л2 и 0| > О о>то всегда выполняется соотношение
К> т. (1.95)
Если величина у0 СП (1.4) помехи у(г) априори известна, то оценка максимального правдоподобия (ОМП) От дисперсии По имеет вид
Пт = агв8ирЬ(Я,т ,О,у0). (1.96)
Здесь Хт - ОМП времени прихода Х.0 высокочастотного случайного импульса (1.2):
А.т = агёзир Ь(\,Ът>у0). (1.97)
Мл,.л2]
Как следует из (1.92), ОМП (1.97) инвариантна по отношению к СП помехи и белого шума и совпадает с оценкой (1.8).
Подставляя (1.92) в (1.96), находим [190,203]
Цщ =шах[0;М(Хт,т0)А0 -Еы -Е ]. С1-98)
58
Положим вначале, что величина у0 СП (1.4) помехи у(1) априори точно неизвестна, но можно указать ее некоторое приближенное ожидаемое (предполагаемое) значение у*. Кроме того, будем считать, что СП Ы0 белого шума п(1) также известна неточно, т. е. вместо истинного значения
И0 при синтезе измерителя используется некоторое ожидаемое значение %
N , в общем случае не равное N9. Тогда, заменяя в (1.98) неизвестные значения у о и 1чт0 на их ожидаемые значения у* и 14*, получаем оценку 0*т [190,203]:
*
ит = тах
0; М(Хт,т0 )/т0 — Е^ - Е* ]. (1.99)
Здесь Е^т = К1+О0/2я, Еу=у*О0/2я. Оценку (1.99) в отличие от оценки От (1.98) назовем квазиправдоподобной оценкой (КПО). Действительно, при Ы* =И0, у* =у0, КПО 0Л1 (1.99) переходит в ОМП От (1.98).
Алгоритм совместного оценивания (1.8), (1.99) времени прихода и дисперсии высокочастотного случайного импульса (1.2) можно реализовать с помощью измерителя, представленного на рис. 1.5. Для этого на вычитающее устройство измерителя вместо средней мощности Е^ белого
шума п(1) следует подавать предполагаемую среднюю мощность Е^ + Е*
суммарной помехи п(г) + у^).
Поскольку оценка времени прихода (1.8) инвариантна по отношению к СП помехи и белого шума, рассмотрим, в какой степени отклонение ожи-
* хт*
даемых значений у и N от истинных величин у0 и N0 влияет на характеристики КПО (1.99). Аналогично (1.85)-(1.87) можно показать, что функция распределения Р^(х|О0) оценки (1.99) связана с функцией Еи(х) соотношением
59
р; (х|О0 ) = 0(х) Иц {г[х/О0 + (1 + Чу )5е/Чо ]}.
(1.100)
Здесь 8е =(е^ +Еу-Ей -Еу)Де^ + Еу) , г определяется из (1.21), а ри(х) - из (1.85) или (1.86) при т»1 или т <1. Соответственно, выражения для условных смещения ь(о^|о0) и рассеяния у(о^|о0) оценки
В*т (1.99) можно найти из (1.88) при замене Е1г(хр0 ) на рш(х|°о)- Вы-полняя интегрирование в (1.88) для случая т < 1, получаем [190,203]
14
+
1
гл/2п
1-Ф
ехр
г
9
1 _!^£Ь1 §Е _|— Чо 2\|/г
2~
Ф
1_1±^5е Чо
-1 +
1_1±^§Е
40
ехр
\|/г'
1|/г‘
\\/ 1+Ч’
Чо
бЕ +1
X
ъ
4 \
Чо
//
„2
2\|/^
ехр
2\|/г'
1 + Ч>
Чо
х
1-Ф ( г ¥ + 1_1±Ч^5 1 ►
ч -О О 1
(1.101)
^(Вт|Оо)= Оо‘ 1 + 4
1-
\ (И-ду)2 2 1 3(1 + ду) 7__________4
2 Е 2 2 е л 2 4
Чо 2 ЧоУ2 2у г )
х
хф
2Ц.^2У.8е Чо
х
/ 1 ч2
1-1±^5е
Чо
/
:л/2п
1+4
Чо
-8е
ехр
х
\\1Ъ‘
ехр
\|/г
1|/г‘
У 1 + 4 2 Чо
X
х ехр
1-фГ
2ц/г2^\|/ ч-1
г\ \|/+1-113^5е
Чо
//
1 + Я,
Чо
1-Ф
ч-
ч
Г ( 2
ч ч
2Ц!22 )
X
\\fZ~
2\р н-1
1 + 4^ Чо
\\
6п
60
Если вероятностью аномальной ошибки (1.90) при оценивании времени прихода случайного импульса (1.2) можно пренебречь, т.е. выполняются условия р »1 (1.5), г » 1 (1.21), из (1.101) находим
ь(е>п,|с>о)^-еЫ5е(1 + Я[у)?
(1.102)
^(Рт |°о )~ Е N [(*+ Я V + 9 0 У /ц + (1 + Я V )2 ]•
Таким образом, оценка дисперсии И*., (1.99) является условно смещенной даже в случае неограниченного возрастания ОС1Л1 (ъ— >со), а ее рассеяние при этом стремится к конечной величине Е^6^(1 + яУ)2, определяемой расстройкой 5р (1.100) по средней мощности суммарной помехи
п(1)+у(1). Если же у* =Уо> =N0 (6Е =0), то характеристики КПО
От (1.99) переходят в соответствующие характеристики ОМП Эт (1.98) [190,203].
Формулы (1.87), (1.100) позволяют найти выигрыш в точности оценки дисперсии высокочастотного случайного импульса (1.2) вследствие учета влияния помехи у^) при априори известных у о 11 ^0- Для этого
введем в рассмотрение отношение ргп = у(бт]Эо)у/У(о,п|Оо) рассеяния у(от|о0) оценки (1.8) к рассеянию у(От|О0) оценки (1.98). На рис. 1.7 для т = 20 штриховыми линиями нанесены зависимости рт (Чу)* рассчитанные по формулам (1.85), (1.87), (1.88), (1.100) при р = 100, и сплошными линиями — при р = 200. Кривые 1 соответствуют q0 = 0,25; 2 — 0,5; 3 —
1. Согласно рис. 1.7, измеритель (1.98) обеспечивает существенный выигрыш в точности оценки дисперсии процесса £(1) по сравнению с измерителем (1.8), особенно при больших значениях р и qv. Однако реализация
61
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 qv
Рис. 1.6.
Рис. 1.7.
62
этого выигрыша не всегда возможна, поскольку интенсивности у0 и N0 помехи и шума п(1) могут быть априори неизвестны или известны неточно. Охарактеризовать влияние отклонений ожидаемых значений у* и "N1* от их истинных величин у0 и N0 на точность КПО (1.99) можно отношением = у(р^|ОоУу(от|00). Зависимости Рп,($е) при т = 20 и р = 200 нанесены на рис. 1.8. Кривая 1 рассчитана для значений q0 =0,25, Яу = 1; 2 - с]о =0,25, яУ = 0; 3 - Яо =1> яУ =1;4- Яо = 1> Чу = °- Анализ кривых на рис. 1.8 показывает, что незнание СГ1 внешней помехи и белого шума может привести к существенному снижению точности оценки дисперсии (1.99). Выполнение условия яУ =0 означает, что внешняя помеха отсутствует. Следовательно, КПО (1.99) совпадает в этом случае с оценкой дисперсии высокочастотного случайного импульса (1.2), наблюдаемого на фоне белого шума, синтезированной по методу МП [151,153,155] в предположении, что СП шума N9 известна неточно. Соответственно, потери в точности оценки дисперсии О0 случайного импульса (1.2) при яУ = 0 обусловлены только отклонением ожидаемого значения Ы* от N0. Видим (кривые 2, 4), что даже при не слишком больших относительных отклонениях Ы* от истинного значения СП И0 шума п(г) точность КПО (1.99) может значительно снижаться.
Уменьшить потери в точности оценки дисперсии 190 случайного импульса (1.2) из-за незнания интенсивности помехи у(1:) можно, используя устройство, реализующее адаптацию по неизвестному параметру у0. В
л
этом случае ОМИ Ит дисперсии 130 запишется в виде [163,190,203]
6т =аг§зирЬ(?,т,П), (1.103)