ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение................................................................3
Глава 1. Статическая балансовая модель................................14
§ 1. Определение, характеризации и применение М-матриц.................14
§ 2. Статическая балансовая модель предприятия.........................32
§ 3. Формула больших возмущений и её применение в статической
балансовой модели.................................................42
§ 4. Доминирующее собственное значение технологической матрицы
Спектр М-матриц....................................................53
§ 5. Аддитивные и мультипликативные разложения.........................70
§ 6. Анализ ошибок в статической балансовой модели.....................81
Глава 2. Динамические балансовые модели. Задача оптимального
управления в балансовых моделях................................83
§ 1. Примеры балансовых моделей экономической динамики.
Постановка задачи оптимальної о управления в динамической
балансовой модели..................................................83
§ 2. Задачи, двойственные по Лагранжу, в динамической балансовой
модели.............................................................99
§ 3. Принцип Веллмана для задач оптимального управления в
динамической балансовой модели....................................108
§ 4. Алгоритм декомпозиции для динамических балансовых
задач оптимального управления......................................112
§ 5. Некоторые частные динамические балансовые задачи
оптимального управления...........................................126
Заключение............................................................142
Библиографический список использованной литературы....................145
Приложения............................................................149
3
Введение
Математическая модель народного хозяйства, именуемая межотраслевым балансом, а в зарубежной литературе “input-output” (затраты - выпуск), является широко распространённой методологией анализа и прогнозирования общественного производства.
Первые попытки составления межотраслевых моделей можно обнаружить в учении французских физиократов 18 в., один из которых, Франсуа Кенэ, в своей “Экономической таблице” попытался показать как происходит движение товаров и денег между различными секторами экономики. Идеи же балансового метода и способы его построения с помощью систем линейных уравнений были впервые предложены ещё в 1898 г. В.К. Дмитриевым. Анализируя работы по составлению советского баланса народного хозяйства СССР за 1923/24 г. Василий Леонтьев разработал схему и модель анализа структуры воспроизводства в разрезе детальной классификации отраслей. Но основные идеи, заложенные в мегоде "затраты - выпуск", были сформулированы Леонтьевым ещё в студенческие годы, во время пребывания в Европе, в частности, в статье, опубликованной в 1925 г. и посвящённой советскому экономическому балансу. Таблица "затраты - выпуск" Василия Леонтьева впервые была опубликована в работе “Структура американской экономики в 1919 - 1929 г.г ” [Леонтьев, 1958]. В первоначальной замкнутой модели Леонтьева было 45 отраслей, а анализ проводился для 1919 и 1929 гг. Как отмечал академик B.C. Немчинов, главное, что сделал В.В. Леонтьев, это сочетание схемы балансовой взаимоу вязки межотраслевых пропорций народного хозяйства с
4
математической моделью, характеризующей взаимосвязи между затратами на производство и выпуском проду кции различных отраслей [Леонтьев, 1990, 1994, 1997]. Разрабатывая свою экономическую модель, В.В. Леонтьев делал ряд допущений ограничительного характера: каждый товар производится в одном секторе, производство сопряжённых продуктов не существует, а затраты потребляющей отрасли определяются её собственным выпуском. При таких предпосылках статическая модель межотраслевого баланса записывается в виде следующего матричного уравнения
х = Ах + у, (1)
где неотрицательная матрица Л-матрица технологических коэффициентов размера пхп (по количеству отраслей в модели), х- вектор валового выпуска, у-вектор конечного потребления. Преобразовав уравнение (1) к виду
{Е-А)х=у, (2)
приходим к тому, что в данной модели появляется матрица Е- А, элементы которой, расположенные вне главной диагонали, неположительны. А в случае выполнения требования неотрицательной разрешимости матричного уравнения (2) получим, что диагональные элементы матрицы Е-А положительны. О таких матрицах, у которых элементы на главной диагонали положительны, а остальные - неположительны, говорят, что они обладают свойством Метцлера. Впервые такие матрицы были введены Метцлером в 1945 г. и полупили название М-матриц. В дальнейшем под М-матрицей стали понимать квадратную матрицу с неположительными элементами, расположенными вне главной диагонали, и положительными главными минорами [Гантмахер, 1988]. Некоторые критерии принадлежности мат-
риды к классу М-матриц содержатся в работах [Никайдо, 1972], [Воеводин, 1984], [Обен, 1988], [Обен, Экланд, 1988], [Horn , Johnson., 1991], [Li Wen, Zhang Moucheng, 1995], [Sun Yuxiahg, 1995]. Применение свойств М-матриц в межотраслевых моделях описано в работах [Гейл, 1963], [Никайдо, 1972], [Ицкович, 1976]. Исследованиям систем линейных уравнений, связанных с межотраслевой моделью посвящена работа [Сергеева, 2000]. Как видно, основополагающими параметрами статической балансовой модели являются коэффициенты прямых затрат, образующие матрицу А. Построению межотраслевых технологических матриц посвящены работы [Дадаян, 1973], [Воркуев, 1986], [Андрюшкевич, 1992], [Андрюшкевич, Морозова, 1992], [Морозова, 1992], [Краюшкина, Летавина 1997]. Помимо технологической ма'грицы А для анализа деятельности экономического субъекта используется и матрица полных затрат В = (Е - А)1, которая при выполнении условия продуктивности матрица А существует и является неотрицательной матрицей. При этом матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица К-А принадлежит классу М-матриц. Применению матрицы полных затрат В для описания деятельности межотраслевой экономики посвящены работы [Cuello, Mansouri, Hew-ings, 1992], [Sonis, Hewings, 1992], [Sonis, Oosterhaven, Hewings, 1993], [Sonis, Hewings, Lee, 1994]. Эмпирическими исследованиями по методу затраты - выпуск занимались помимо Василия Леонтьева [Leontief, 1953], [Leontief, 1973], [Leontief, 1976], [Leontief, 1977] и учёные других стран. Вопросы межотраслевых связей изучались в Норвегии, Дании, Голландии, Италии, Англии, Японии, Канаде, Австралии и ряде латиноамериканских стран. Так, например, первые таблицы “затраты - выпуск” в Аргентине были составлены в 1946 г. и содержали межотраслевые по-
6
токи для 20 отраслей, Бразилии - в 1953 г. и содержали 17 отраслей, Мексике -1950 г. и содержали 32 отрасли. В последнее время расширилась сфера применения статических балансовых моделей, поскольку экономический анализ по методу "затраты - выпуск" может быть осуществлён и применительно к отдельной отрасли или предприятию. В этом случае в качестве структурных звеньев изучаемой системы будут выступать подотрасли, виды производства, стадии передела продукции, подразделения и цеха. В качестве сектора конечного потребления будут фигурировать не только население и непроизводственная сфера, но и все потребители (другие отрасли, предприятия) за пределами данной отрасли или предприятия. При этом наибольшую пользу анализ "затраты - выпуск" приносит в том случае, когда речь идёт о многономенклатурном производстве с существенным внутрипроизводственным оборотом. Применение модели "затраты - выпуск" к описанию деятельности предприятия содержится в работах [Ройтбурд, Штец, 1967], [Розоноэр, 1984], [Казанцев, Летавин, 1995], [Казанцев, Летавин, 1996]. При этом матричная статическая балансовая модель предприятия позволяет достаточно полно отразить внутрипроизводственные связи между цехами предприятия и определить выпуск продукции в натуральных и денежных единицах по всем цехам и предприятию в целом. Кроме того, применение модели "затраты - выпуск" в экономическом анализе даёт возможность изучить влияние на цены производимой продукции, например, сырьевых, топливных и энергетических затрат, издержек на оплату труда, отчислений в общественные фонды, затрат на содержание основных фондов, амортизационных отчислений и т.д. Так же в рамках матричной балансовой модели возможно проанализировать влияние структурных изменений на цены выпускаемой продук-
7
ции. Ещё одной характеристикой деятельности экономического субъекта, помимо
О
матриц прямых и полных затрат, является число Фробениуса - Перрона г{а)> 0 для неотрицательной матрицы А. При чём А продуктивная матрица тогда и только тогда, когда г(а)< 1. Это число может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых затрат, а следовательно величина 1 - г(а) характеризует продуктивность этих коэффициентов, т.е. возможности достижения каких - либо других (кроме текущего производственного потребления) целей: чем больше 1-г(л), тем больше возможности достижения других целей. Таким образом, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше число Фробениуса -Перрона, т.е. ниже уровень продуктивности и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицы А, тем меньше число Фробениуса - Перрона и выше продуктивность. Методы вычисления этого собственного числа неотрицательной матрицы рассмотрены в работах [Фаддеев, Фаддеева, 1963], [Уилкинсон, 1970], [Фам Ват Ат, 1987], [Альпин, 1994], [Альпин, 1997]. Использованию собственных чисел в модели межотраслевого баланса посвящена статья [Файзуллин, 1998].
Рассматриваемая выше статическая балансовая модель хотя и даёт возможность на количественном и качественном уровнях оценить межотраслевые взаимодействия, всё - таки характеризуется такими чергами, которые затрудняют её применение в расчётах на перспективный период. Эти трудности связаны с тем, что в качестве экзогенно задаваемых элементов конечного продукта рассматриваются и те из них, объёмы и структура которых самым непосредственным образом зависят от эндогенных переменных модели, т.е. объёмов выпуска продукции. В первую очередь это относится к показателям, характе-
8
ризующим объём и структуру капитальных вложений. Зависимость капитальных вложений от объёма производства продукции наиболее чётко проявляется при рассмотрении процесса производства в динамике. Таким образом, этой балансовой модели можно придать динамический характер, вводя в неё элементы, увеличивающие доход, альтернативные производственные методы или инвестиции. В динамической модели Леонтьева [Леонтьев, 1990] основным фактором является та часть продукции, которая превращается в капитал или запасы. Но рассмотренная В. В. Леонтьевым динамическая модель “input-output” не является единственно возможной динамической балансовой моделью. Другого типа модели, включающие в себя задачи условной оптимизации, описаны в работах [Черемных, 1971], [Черемных, 1975], [Черемных, 1982], [Черемных, 1986]. В данных работах в основном рассмотрены задачи с линейными функционалами и без ограничений на фазовые координаты. Так же математическим вопросам экономической динамики посвящены монографии [Макаров, Рубинов, 1973], [Моришима, 1972], [Никайдо, 1972] и статьи [Пересада, 1993], [Бойчук, 1998]. В монографиях наибольшее место уделено изучению магистральной теории для динамических балансовых моделей. В статьях рассматриваются динамические балансовые модели в дифференциальной форме. Отметим, что все динамические модели "затраты - выпуск", описываемые в настоящих монографиях и статьях, относятся к межотраслевым моделям, которые всё-таки не являются на данный момент общими, и поэтому в случае их использования для описания деятельности промышленного предприятия не всегда в достаточной мере реально отражают технологическое и экономическое функционирование данного предприятия.
9
Таким образом, целью данного диссертационного исследования являлось по-гроение статической, а на её основе динамической балансовых моделей, описываю-шх деятельность промышленного предприятия.
Для описания хозяйственной деятельности предприятия была выбрана следующая динамическая балансовая модель
х(0=А,х(0+у(0, /=1 (3)
х(1) + 2,е+к,, к, = Р,(х{1 + 1)-х(0), 1 = 0.Г-1, (4)
х(Т)=Отх(Т)+гте, (5)
х(0) = х° £ О,
х(0>0, 1 = 1,...,Т, г(/)20, / = 0 Т.
В настоящей модели *(/)- п-мерный вектор столбец валовых выпусков продукции предприятия в году /, Х0~ п-мерный вектор столбец объёмов товарной продукции, А( = (я.Д/)) 1} — - технологическая матрица в отношении производимых продуктов, г(1)~ т -мерный вектор столбец факторов производства, О, производственная матрица переменных затрат факторов производства, 2 = -матрица затрат на постоянные факторы производства,
е-п- мерный единичный вектор столбец, к{- т - мерный вектор столбец инвестиций, Ь\ = (/*Дг))£^-матрица инвестиций, х°- «-мерный вектор столбец валовых выпусков продукции предприятия в базовом периоде. При заданной программе выпуска товарной продукции (у(1)9...,у(Т)) балансовые уравнения (3)-(5), в предположении выполнения условия продуктивности матриц А,, позволяют оп-
10
>еделить программу работы предприятия (х(1),...,х(Г)) и объёмы потребления до-савочных факторов производства (2(0),..., г (Г)).
В случае ограничения мощностей предприятия и объёмов факторов троизводства данная модель включает в себя класс задач оптимизации управлений выпусков товарной продукции)
ф(у(1),...у(г))-»1шп (6)
при ограничениях на фазовые координаты (векторы валовых выпусков и факторов 1роизводства)
...................... х(/)^х(/), / = 1 г(*)*2°(/), I — ОуШуТ-г-----------(7)-------
♦
■ Я'М, 1=1,...,Т. (8) -
Включение в динамическую балансовую модель задачи оптимального управ- ; ~ юния позволяет изучить количественные характеристики (объёмы валовых выпус-<ов и товарной продукции) структурных сдвигов, происходящих в 1роизводственной деятельности предприятия под воздействием динамики выпуска хродукции и научно-технического прогресса. В современных развивающихся ры-ючных отношениях решение подобных динамических балансовых задач оптимального управления становится актуальным и имеет большое практическое зна-* хение развития предприятия.
Исходя из методов решения задач оптимального управления, изученных в ра-5отах [Кирин, 1975], [Кирин, Морозкин, 1989], [Кирин, Исраилов, 1990], [Васильев, 1981], [Васильев, 1981], [Демьянов, Рубинов, 1968], [Полак, 1974], в настоящей диссертации построен алгоритм решения задачи (6), (3)-(5) при ограниче-
11
ниях (7), (8). Построенный алгоритм основан декомпозиции как по временному параметру I так и по фазовым переменным с учётом разряжённости матриц А,, О,,
Таким образом, научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
- построены статическая и динамическая балансовые модели для описания деятельности промышленного предприятия
- разработан декомпозиционный метод решения задачи оптимизации выпусков товарной продукции (управлений) при ограничениях на производственные мощности и объёмы факторов производства (фазовые координаты)
- построен алгоритм численного решения динамических балансовых задач оптимального управления для определённых целевых функционалов
- доказан критерий продуктивности технологической матрицы специальной структуры
- разработаны методики для анализа хозяйственной деятельности предприятия (методика расчёта цен на производимую продукцию, методика определения изменений цен на производимую продукцию, методика построения "поля влияний", методика построения аддитивного разложения матрицы прямых затрат и мультипликативного разложения матрицы полных затрат)
Полученные результаты могут быть использованы при экономическом анализе деятельности промышленного предприятия с существенным внутрипроизводст-венным оборотом.
12
Структурно диссертация состоит из введения, двух глав, в каждой из которых соответственно шесть и пять параграфов, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложения.
Первая глава посвящена построению и изучению статической балансовой модели. § 1 настоящей главы исследуются критерии принадлежности матрицы к классу М-матриц и применение М-матриц в статической балансовой модели. В § 2 рассматривается построение статической балансовой модели для промышленного предприятия. Содержание § 3 посвящено применимости формулы "больших возмущений" для построения "поля влияний". В § 4 даются экономические интерпретации числа Фробениуса-Перрона для технологической матрицы, рассматриваются его вариационные свойства и предлагается алгоритм его вычисления. В § 5 рассмотрены построения аддитивного разложения матрицы прямых затрат и мультипликативных разложений матрицы полных затрат. Содержание § 6 посвящено анализу ошибок в данных наблюдений для статической балансовой модели.
Вторая глава посвящена построению динамической балансовой модели для предприятия. В § 1 даётся анализ различных динамических моделей "затраты - выпуск" и рассматривается постановка динамической балансовой задачи оптимального управления. В § 2 приводятся задачи, двойственные по Лагранжу, для динамических оптимизационных задач, рассмотренных в § I. Содержание § 3 посвящено принципу оптимальности Беллмана в динамических балансовых задачах оптимального управления с конечным числом допустимых значений фазовых координат (векгоров валового выпуска). § 4 рассматривается алгоритм декомпозиции
решения определённого класса динамических балансовых задач оптимального управления. В § 5 дается алгоритм решения некоторых частных динамических балансовых задач оптимального управления.
В заключении рассматриваются итоги диссертационного исследования.
В приложении 1 рассматривается построение технологической матрицы для группы подразделений ОАО "Северсталь", участвующих в производстве стали. В приложении 2 представлены расчёты некоторых показателей деятельности подразделений ОАО "Северсталь", участвующих в производстве стали.
По всей диссертации для определений, теорем, лемм, следствий и замечаний введена тройная нумерация. Первая цифра - номер главы, вторая - номер параграфа, третья - соответствующий номер по порядку в параграфе. По каждой главе введена своя сплошная нумерация формул.
Глава 1
Статическая балансовая модель
§ 1. Определение, характеризации и применение М-матриц
Основное содержание данного параграфа составляют теоретические результаты, относящиеся к алгебре М-матриц. Здесь рассматриваются различные критерии принадлежности некоторой квадратной матрицы к классу М-матриц. Так же излагаются свойства М-матриц и достаточные условия М-матриц. В этом же параграфе обсуждаются вопросы применимости М-матриц в статической балансовой модели, даётся экономическая интерпретация свойств, которыми обладают М-матрицы. Определение 1.1.1:
Квадратная матрица с вещественными элементами называется М-матрицей, если она удовлетворяет двум условиям:
1) все недиагональные элементы неположительны; (1)
2) все главные миноры матрицы положительны. (2) Замечание 1.1.1. Важным примером применения М-матриц в экономикоматематических исследованиях является модель межотраслевого баланса или модель "затраты-выпуск". Представим некоторую экономическую систему как совокупность конечного числа отраслей. Основные предпосылки анализа экономики такой системы заключаются в следующем [Никайдо, 1972]:
1) В экономической системе производятся, потребляются, продаются и покупаются л - типов продуктов, которые будем помечать индексами / = 1,2,...,л.
2) Каждая сгграсль производит только один тип продукта, так что совместное производство различных продуктов исключается. Различные отрасли производят различные типы продуктов. Таким образом, « отраслей и « продуктов находятся во взаимно однозначном соответствии. Поэтому отрасль, производящую продукт /, так же будем отмечать индексом /'.
3) Если для производства единицы у - го продукта в у-и отрасли ну ясно затратить аг) единиц 1-го продукта (/',у = 1,2,...,л),то выпуск X единиц у-го продукта требует затрат Ха{) единиц- г-го продукта (/ = 1,2,;..,«). Эти «2 величин а-(/,у = 1,2,...,«), называемые расходными (или технологическими) коэффициентами, предполагаются постоянными.
Следовательно, согласно предпосылкам, сформулированным выше, основное векторное уравнение модели межотраслевого баланса принимает вид [Никайдо, 1972]
Ах + у - х, (3)
где х -вектор валового выпуска, у-вектор конечного потребления, А -матрица технологических коэффициентов (матрица прямых затрат).
Запишем уравнение межотраслевого баланса в виде (Е - А)х = у, где Е - единичная матрица, размера пхп.
Исходя из экономических предпосылок, элементы матрицы А неотрицательны. Следовательно, все вне диагональные элементы матрицы Е-А неположительны. Таким образом, матрица Е-А удовлетворяет условию (1). Что же касается выпол-
- Київ+380960830922