2
Содержание
Введение .......... 5
Обзор литературы . . . . . . . . 10
Цель работы . . . . . . . . 17
Задачи, рассмотренные в работе . . . . . . 17
Содержание глав . . . . . . . . 18
Научная новизна ........ 20
Практическая ценность . . . . . . . 21
Достоверность . . . . . . . . 22
Реализация результатов работы ...... 22
Апробация работы ........ 22
Публикации ......... 22
Глава 1. Аэродинамические силы, действующие на стержень в потоке воздуха 23
1.1. Безразмерные переменные и параметры .... 26
1.2. Аэродинамические силы, действующие на движущийся
стержень в потоке . . . . . . . 27
1.3. Аэродинамические силы, действующие на неподвижный
стержень в потоке . . . . . . . 31
1.4. Аэродинамические силы при малых колебаниях стержня в потоке 33
1.5. Выводи ......... 38
Г лава 2. Статическое напряженно-деформированное состояние стержней при
конечных отклонениях в стационарном потоке .... 39
2.1. Постановка задачи ....... 39
2.2. Уравнения равновесия стержня (“жесткого” провода) в потоке . 40
2.3. Численное интегрирование нелинейных уравнений равновесия
стержня методом последовательных нагружений . 44
2.4. Проверка разработанного алгоритма и программы численной
реализации ........ 49
2.5. Выводы ......... 56
Глава 3. Уравнения движения стержня ...... 57
3.1. Нелинейные векторные уравнения движения стержня . . 57
3.1.1. Уравнение движения стержня в неподвижных
(декартовых) осях . . . . . . 57
3.1.2. Уравнения движения в связанных осях ... 59
3.2. Уравнения малых колебаний “жесткого” провода в потоке . 62
3
3.3. Уравнения малых колебании провода при обледенении, когда цетры
масс и центры жесткости сечений не совпадают. . . 65
3.4. Выводы ......... 70
Глава 4. Определение собственных значений и собственных векторов.
Устойчивость положения равновесия . . . . . 7!
4.1. Определение собственных частот консервативных задач
динамики стержней . . . . . . . 71
4.2. Определение собственных векторов ..... 75
4.3. Определение собственных значений для неконсервативных задач.
Устойчивость положения равновесия .... 77
4.3.1. Точный численный метод определения комплексных
собственных значений ..... 78
4.3.2. Приближенное определение собственных значений . 82
4.4. Численное исследование задач определения собственных значений и собственных векторов для стержней, взаимодействующих с потоком 86
4.4.1. Определение собственных значений (частот) и собственных
векторов при колебаниях провода в стационарном потоке 86
4.4.2. Определение комплексных собственных значений круглого
провода без обледенения с учётом аэродинамических сил 89
4.4.3. Определение комплексных значений провода при обледенении
с учётом аэродинамических сил и момента . . 91
4.4.4. Влияние расстояния между центром масс и центром жёсткости
на собственные значения ..... 94
4.5. Выводы ......... 95
Глава 5. Нестационарные колебания “жестких” проводов при действии
аэродинамических сил ....... 96
5.1. Уравнения движения провода при возмущениях потока . 97
5.2. Начальные условия и аэродинамические наг рузки для решения
задачи нестационарных колебаний .... 100
5.2.1. Импульсное нагружение . . . . . 100
5.2.2. Внезапное нагружение стационарным потоком . 102
5.2.3. Чередующиеся порывы ветра . . . 102
5.3. Оценка прочности провода гтрн колебаниях . . . . 103
5.4. Оценка относительной сходимости решений . . . 105
5.5. Численное исследование задач нестационарных колебаний . 106
4
5.6. Выводы . . . . . . . . . 121
Глава 6. Нелинейные колебания проводов при действии нестационарных
аэродинамических сил . . . . . . . 122
6.1. Аэродинамические силы . . . . . . 123
6.1.1. Определение аэродинамических сил. действующих на
провод в стационарном потоке . . . . 123
6.1.2. Определение аэродинамических сил, действующих на
неподвижный провод . . . . . 127
6.1.3. Определение приращений аэродинамических сил
при колебаниях провода . . . . . 128
6.2. Определение статического НДС абсолютно гибкого провода . 128
6.3. Определение собственных значений и собственных векторов 134
6.4. Нелинейные вынужденные колебания провода в потоке . . 141
6.5. Оценка относительной сходимости решений . . . 147
6.6. Численное исследование нестационарных колебаний . . 148
6.7. Выводы . . . . . . . . . 152
Основные результаты и выводы . . . . . . . 153
Список литературы . . . . . . . . . 154
Приложение ......... . 162
ГГ. 1. Развёрнутый вид использованных выражении . . 162
П.2. Оценка достоверности . . . . . . 164
П.2.1. Подстановка полученного приближённого решения в исходные нелинейные уравнения . . . . . 164
П.2.2. Оценка достоверности на основе сравнения решения с
аналитическими решениями для коротких прямолинейных стержней . . . . . . . 167
П.2.3. Сравнение результатов, полученных на основе нитяной модели с результатами, полученными другими авторами . . 169
П.2.4, ('равнение результатов, полученных на основе различных
моделей . . . . . . . I74
5
Введение
Стержни, стержневые элементы находят широкое применение в технике, как составные элементы конструкций, агрегатов машин и механизмов, приборов.
Стержень является наиболее простой моделью физических объектов, изучаемых в механике деформируемого твёрдого гела. Способы оценить прочность и перемещения моделирующихся стержнем колон и шарнирно опёртой балки предлагались ещё Леонардо да Винчи, консольной балки Галилео Галилеем (рис. 1).
В дальнейшем, на основе
линейных зависимостей между
деформациями и перемещениями в
упругих постановках были
разработаны технические теории
деформирования стержней, с
помощью которых удалось
, обосновать прочность сложных
Рис. 1. к
инженерных сооружений (рис. 2-5).
Рис. 2
Геометрически нелинейную задачу деформирования стержня в плоскости рассматривал Л. Эйлер (эластика Эйлера - рис. 6) [52]. Существенное значение
Рис. 3.
Рис. 4.
6
при нелинейном деформировании приобретает поведение векторов сил, действующих на систему. Задача о формоизменении кругового кольца под внешним распределённым давлением была решена Ж. Альфаном (рис. 7) [77].
Рис. 6. Рис. 7.
Для расчета линейных стержневых систем методы решения основывались на аналитических зависимостях. Для нелинейных систем возникла необходимость разработки специальных методов вычислительной математики, поскольку аналитические решения уравнений удавалось получить крайне редко. Довести же практические задачи до численных результатов с помощью аналитических зависимостей достаточно неудобно и трудоёмко.
Рис. 10.
Рис. 8.
Рис. 9.
Рис. 11.
7
В настоящее время повышается продуктивность активного применения в расчетах на прочность и жёсткость технических устройств, где используются стержневые модели с учетом нелинейных соотношений геометрии в пространстве, особенностей воздействующих нагрузок, переменности вдоль оси распределённых масс и характеристик сечения и т.д. и т.п. Этот факт связан с развитием вычислительной техники и тем обстоятельством, что адекватно смоделировать некоторые технические объекты альтернативной стержню моделью просто невозможно. На рис. 8-11 показаны примеры таких объектов технических устройств.
Если говорить о геометрической нелинейности, то большой вклад в развитие теории пространственно-криволинейных стержней внесли такие учёные как Р. Кирхгоф, А. Клебш, Е.Л. Николаи, В.А. Свстлицкий и др [49,74,79,56-59].
В диссертации рассматривается задача о динамическом поведении обледеневших проводов (тросов) линии электропередачи (ЛЭГ1) и подвесных транспортных систем от ветрового воздействия (рис. 8, 11). При этом, поведение провода, как пространственно криволинейного стержня, зависит от аэродинамических нагрузок, изменяющихся по направлению и величине, связанных с изменением формы провода.
В работе растяжимость реальных стержней не учитывается. Учёт растяжимости в теории пространственно криволинейных стержней, как показал Д.Р. Меркни на примере абсолютно гибкой нити, не приводит к существенным уточнениям результатов для провисающих проводов, и лишь усложняет решение [44].
Механизм возникновения аэродинамических и гидродинамических сил один и тот же, и при равных числах Рейнольдса и Маха нагрузки от потока будут отличаться только скоростным напором. Поэтому, все соотношения для потока газа, остаются справедливыми и для потока жидкости. Так уравнения для описания поведения каната, удерживающего речной бакен (рис. 10), будут
8
темп же, что и для провода ЛЭИ, находящегося в потоке воздуха (рис. 11), или шланга системы дозаправки воздушных судов (рис. 9).
Выход из строя ЛЭП приводит к значительным экономическим потерям, а подвесных канатных дорог усугубляется опасностью для жизни людей, поэтому при расчётах проводов, мачт, креплений и т.д. должны учитываться конкретные особенности эксплуатации проводов (тросов) в реальных условиях, включая и возможные экстремальные условия (порывы ветра, обледенение, возникновение пляски проводов).
В настоящее время различают два наиболее опасных для прочности проводов н тросов явления, связанные с ветром - это галопирование и “эолова** вибрация.
Под “эоловой” вибрацией понимают высокочастотные колебания проводов с малой амплитудой, преимущественно в вертикальной плоскости. Причиной этого явления считаются силы Кармана. Так для чисел Рейнольдса (1*с) от 200 до 200000, число Струхаля (8Ь) приблизительно постоянно п равно 0,2, частоту вихреобразования можно подсчитать по формуле / = 5/ьу/Ь, где V - скорость ветра, Ь - характерный размер провода (например диаметр). Для скорости ветра 10 м/с и диаметре провода 0,01 м, получаем частоту вихревой дорожки Кармана ~200 Гц, что подтверждает предположении о природе указанного явления. Данное явление в работе не рассматривается.
Под галопированием понимают низкочастотные колебания большой амплитуды, происходящие преимущественно в горизонтальной плоскости с образованием двух, трёх (иногда и более) полуволн в пролёте. Причиной этого явления часть авторов считает наличие подъёмной силы у провода некруглого сечения. Однако данное явление наблюдалось и у круглых проводов, для которых подъёмная сила и аэродинамический момент равны пулю. Поэтому, полного понимания природы данного явления на сегодняшний день нет.
Основной особенностью задач взаимодействия стержня с потоком газа или жидкости является сложность получения экспериментальной информации о силах, действующих на стержень, находящийся в потоке, что приводит к
9
более сложным задачам по сравнению с традиционными задачами, которые рассматриваются в механике стержней. Наряду с этим, как правило, нет аналитических выражений для аэродинамических сил, входящих в уравнения статики и динамики стержней, без которых получить числовые результаты невозможно.
Под действием потока воздуха стержни могут очень сильно отклоняться от первоначальной равновесной формы. От формы деформированной осевой линии зависят аэродинамические силы, действующие па провод. Теоретическое исследование статического и динамического напряженно-деформированного состояний стержней, нагруженных аэродинамическими силами, предполагает наличие аналитических выражений для аэродинамических сил и моментов. Получить аналитические выражения для сил, действующих, на провод, учитывающих непрерывное изменение угла набегания потока при увеличении его скорости, можно на основе общих закономерностей аэроупругости с привлечением экспериментальных данных для частных случаев обтекания.
Несмотря па большое число публикации, посвященных экспериментальным исследованиям стержневых элементов конструкций, взаимодействующих с потоком, рассматривались, как правило, только частные случаи - в основном прямолинейные стержни, когда поток ортогонален стержню [16-19,25-27,29,31,33,54-55,70-71,81-85]. Например, результаты экспериментальных исследований обтекания прямолинейных стержней различных профилей приводятся в статьях и монографиях II.М. Бычкова, М.И. Казакевича, Г. Паркинсона, и др. [14,22-23,51,78,82,84]. Большой практический интерес представляют экспериментальные исследования (определение аэродинамических коэффициентов) стержней, сечения которых близки к сечениям провода со льдом [23,32].
Для прямолинейных стержней произвольного сечения при экспериментальных исследованиях определяются аэродинамические коэффициенты силы лобового сопротивления, подъемной силы н коэффициент аэродинамического момента при скорости потока, ортогональной осевой линии
10
стержня. Этот случай является частным случаем реального воздействия потока на стержневые элементы конструкций, при котором угол набегания потока может быть произвольным. Для криволинейного стержня, даже если он абсолютно жесткий, этот утол зависит от дуговой координаты. Чтобы получить распределенные аэродинамические силы, действующие на криволинейный стержень, классических экспериментальных исследований недостаточно. А проведение экспериментальных исследований взаимодействия криволинейного стержня с потоком произвольного направления практически невозможно. Кроме того, реальный стержень с увеличением скорости потока деформируется, п угол набегания потока (даже для первоначально прямолинейного стержня) непрерывно меняется, что экспериментальными исследованиями (если этот эффект имеет место) нс учитывается.
Т.о. аэродинамические силы, действующие на деформируемый стержень, непрерывно изменяются, что необходимо учитывать при расчетах. Поэтому в диссертации приводится вывод аэродинамических сил и моментов -“статических” и “динамических” при произвольном направлении вектора скорости потока (более подробно это изложено в работах В.А. Светлицкого [58-59]), учитывающих возникающую связь между аэродинамическими силами н деформируемым состоянием стержня.
Обзор литературы
Как правило, в задачах взаимодействия проводов ЛЭП с потоком воздуха, провода рассматривались, как абсолютно гибкие стержни (нити). Такое допущение существенно упрощает решение, но не всегда достаточно в расчётной практике, когда требуется оценить реальную прочность и надёжность проводов.
Колебания нитей рассматривались в работах [16,25,28,34,56,75-76,83]. В основном, в этих работах изложены алгоритмы определения частот и форм при свободных колебаниях проводов.
11
Более полные списки работ, относящихся к исследованиям абсолютно гибких стержней приведены в [5,42,58].
В наиболее общей постановке, статика и динамика нитей, взаимодействующих с потоком воздуха, рассмотрены в работах [4,25-27,38-42,59,58,83]. В этих работах впервые получены нелинейные уравнения равновесия абсолютно гибкого стержня в потоке с аналитическими выражениями для проекций аэродинамических сил (что позволило использовать численные методы решения нелинейных уравнений равновесия). Рассмотрены (численными методами) нестационарные и нелинейные колебания абсолютно гибких проводов, вызванные импульсными аэродинамическими силами и потоком с переменной во времени скоростью [4,41,42,58].
Большое число публикаций, как у нас, так и за рубежом, посвящено проблеме возникновения “галопирования” (“пляски”) проводов, представляющих наибольшую опасность для прочности и надёжности проводов воздушных ЛЭП [5,6,9,11,13,17,25,29,51,55,69,80-81.84-85]. В основном в этих работах рассмотрены приближенные математические модели провода, которые не учитывают многих реальных особенностей проводов ЛЭП.
Математические исследования динамического взаимодействия провода с потоком (по принятым моделям) содержат интересные и полезные результаты, позволяющие понять “физику” возникновения “пляски” проводов, по только для используемых моделей. Использовать эти модели н результаты для расчёта реальных проводов нельзя.
В работе P.M. Бекметьева рассмотрены упрощённые физические и математические модели задач динамики провода (абсолютно гибкого стержня), находящегося в потоке воздуха с приближённой оценкой амплитуды колебаний провода при “пляске” и изложены возможные методы борьбы с “пляской” проводов [5]. Монография содержит большой объём полезной фактической информации о случаях галопирования с указанием конкретных параметров проводов. В работе [6] (это продолжение исследований, изложенных в [5]) изложен алгоритм приближенного учёта динамических нагрузок (действующих
12
на участок провода), возникающих при установившейся “пляске” абсолютно гибкого провода. Вопрос о том какие возникли конечные колебания провода не обсуждается.
Исследованию теоретически возможных моделей возникновения автоколебаний (галопирования) воздушных ЛЭП посвящены работы [35-36,80,84-85].
В работе П.С. Ланды эффект галопирования проводов в стационарном потоке воздуха объясняется возникновением вихрей (отрывное обтекание провода), что приводит к появлению периодически изменяющихся сил Кармана [36]. Для математического анализа колебаний провода используются “модельные (нелинейные) уравнения автоколебаний” (уравнения колебаний струны в двух взаимно ортогональных плоскостях), которые с уравнениями колебаний реальных проводов никак не связаны, так как не учитывают основные особенности реальных проводов (провисание, пространственную форму провода в потоке, силы тяжести, краевые условия). Нарастающие колебания, вызванные срывом вихрей (ветровой резонанс) имеют место при синхронизации частоты срыва вихрей с частотами колебаний обтекаемого тела (например провода). Многочисленные статистические данные, например [5-6,29,84], показывают, что галопирование проводов имеет место на низших частотах, которые почти на два порядка меньше частот срыва вихрей. Поэтому “резонансные” колебания должны возникнуть па очень высоких частотах колебаний провода, но такие случаи в практике не были зафиксированы. В работах [70-71] приводятся результаты экспериментальных исследований отрывного обтекания прямолинейного цилиндрического стержня. Показано, что в силе лобового сопротивления, при появлении вихрей (из-за периодического изменения давления за цилиндром), появляется периодическая составляющая, изменяющаяся с удвоенной частотой срыва вихрей, т.е. с очень высокой по сравнению с частотами колебаний провисающего провода, и существенного влияния на колебания провода в целом эта динамическая составляющая лобового сопротивления не имеет.
13
В работе того же автора [35] рассмотрен ещё один теоретически возможный случай возникновения автоколебаний провода, даже в безветренную погоду, вызванных тензорезпетивным эффектом (изменение электрического сопротивления, вызванное деформациями проводника, называется тспзорезестивиым эффектом). Считается, что процесс возникновения автоколебаний при тензорезсстивном эффекте аналогичен термомеханической модели лампового генератора, рассмотренного в монографии К.Ф. Теодорчика [64]. Числовых результатов решения уравнений колебаний реального провода, вызванных этим эффектом, в статье нет. Весьма сомнительно, что этот эффект может в безветренную погоду раскачать провод длиной 100 м и весом 800 Н.
Исследованию галопирования провода посвящена статья VI. Новака, в которой рассматривается провод (как абсолютно гибкий стержень) [81]. Основной акцент при объяснении возникающего при определённых условиях галопирования делается на аэродинамический коэффициент подъёмной силы (сечение провода нскруглое), который представляется в виде конечного ряда, слагаемые которого зависят от угла скоса потока Л,.(у7у0) (/* = 1,2...п), где у -скорость элемента стержня ортогональная скорости потока у0. Коэффициенты ряда Аг определяются экспериментально. В статье приводятся графики изменения коэффициентов силы лобового сопротивления, подъёмной силы и аэродинамического момента в зависимости от угла скоса (а = у/\0) для ряда искруглых сечений, которые очень полезны при приближённых оценках возможных значений (интервала) коэффициентов аэродинамических сил и момента при обледенении.
В работах [29,72] рассмотрены галопирующие колебания проводов ЛЭП, вызванные “влиянием следов в потоке” (взаимное аэродинамическое влияние проводов, входящих в “пучок” проводов). Модель пучка включает два прямолинейных натянутых упругих провода (струи), соединенных между собой рядом жестких невесомы стержней. Система трёх дифференциальных уравнений (два линейных перемещения и одно угловое) описывающих
14
колебания связана аэродинамическими силами. Приближённое решение этих уравнений позволяет выяснить параметры этой модели и скорости потока при котором возможны неустойчивые колебания (галопирование). Изгибныс и крутильная жёсткости не учитываются.
В работе Л.В. Яковлева дается качественное объяснение физических особенностей “пляски” проводов с использованием более общей (по сравнению с предыдущими публикациями) модели провода, как системы с тремя степенями свободы [69]. Уравнений, описывающих колебания провода в потоке автор не приводит, т.е. реальный провод не рассматривается. Рассматривая результаты, полученные при записях колебаний (“пляски”) проводов па действующих линиях и опытных участках, автор высказывает предположение, что пляска проводов (возникающий неустойчивый режим колебаний провода в потоке) родственна флаттеру крыла самолета. Эго предположение позволяет разработать технические устройства, использующие основные физические особенности флаттера, которые ограничивают колебания провода с гололедом при пляске. Приводятся результаты экспериментальных исследований аэродинамических характеристик проводов с гололедом при различных профилях. Например, зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки, что может быть полезным при численных решениях уравнений динамики проводов при обледенении в потоке.
В работах [13,31,37,50,54] приводятся статистические данные многочисленных наблюдений и регистраций гололедообразовамия на проводах ЛЭП. Например, в работе С.С. Ржевского приведены результаты наблюдений обледенения проводов ЛЭП Башкирии и случаи возникновения пляски проводов [54]. Эти статистические данные использованы автором для определения статистических характеристик профилей гололедообразованпя и скоростей ветра при пляске проводов (для конкретных районов). Эта информация очень полезна, так как реальный профиль стержня со льдом является случайной функцией [28], но использовать эти результаты в практике проектирования при оценке возникновения галопирования проводов нельзя, гак
15
как не учитывается целый ряд параметров ЛЭП (длина провода, координаты точек закрепления концов участка провода, направление скорости потока воздуха, реальные нзгибные и крутильная жесткости провода).
В статье [85] рассмотрена двухстепенная модель провода со льдом, когда центр масс элемента не совпадает с центром жёсткости. Аэродинамические коэффициенты подъемной силы и момента являются нелинейными функциями угла атаки, который зависит от двух обобщенных координат (от вертикального смещения и угла попорота элемента провода (модели)). Система нелинейных уравнений с правой частью, зависящей от малого параметра, решается приближенно, что позволяет определить периодические и квазипериодическис движения (и их устойчивость) элемента провода со льдом методом, родственным методу Ван-дср-Поля. Но для исследования колебаний провисающего “жесткого” провода (как системы с распределенными параметрами) эти результаты малополезны.
В статье [75], посвященной колебаниям ЛЭП основное внимание уделено гасителям (демпферам) колебаний проводов, вызванных нестационарным потоком воздуха. Провод моделируется прямолинейным стержнем, который колеблется только в вертикальной плоскости. Имеющие место отклонения провода от вертикальной плоскости из-за действия потока не учитываются. Критические скорости потока не определялись.
В статье [80] исследуются нелинейные колебания (галопирование) абсолютно гибких провисающих проводов в стационарном потоке воздуха при большом числе допущений и упрощений. Например, принято, что ледяное отложение настолько тонкое, что инерционный момент пренебрежимо мал, а изменением угла атаки при повороте сечения можно пренебречь. Т.е. не учитывается основная причина, вызывающая галопирование проводов, когда ледяное покрытие существенно изменяет форму поперечного сечения и возникают подъемная сила и аэродинамический крутящий момент, зависящие от изменения угла атаки.
- Київ+380960830922