Градиентный критерий разрушения в зоне концентрации напряжений

СОДЕРЖАНИЕ
2
Введение ......................................................... 8
Глава 1. Анализ исследований по вопросу о прочности материала при неоднородном напряженном состоянии ....................................................... 18
1.1. Основные направления исследований .......................... 18
1.2. Об оценках критических размеров дефектов ................... 25
1.3. Градиентный подход к оценке локальной прочности
в зоне концентрации напряжений .............................. 27
1.3.1. Градиентные оценки локальной прочности
при циклическом нагружении ................................. 28
1.3.2. Градиентные модели локального повышения
прочности при статическом нагружении ....................... 32
1.3.3. Градиентные критерии прочности для сингулярных
полей напряжений различных типов ........................... 45
1.4. Интегральный подход к оценке разрушения
при неоднородном напряженном состоянии .......................49
1.4.1. Формулировка интегрального критерия разрушения
типа Нейбера - Новожилова .................................. 50
1.4.2. Обобщение интегрального критерия на случай смешанного нагружения типа отрыва и плоского сдвига .................. 53
3
1.5. Другие методы оценки локальной прочности в зоне концентрации напряжений ..................................... 55
1.6. Главные цели и основные задачи диссертационной работы ...... 58
Глава 2. Формулировка, согласование с механикой трещин и применение градиентного критерия разрушения ............................................. 60
2.1. Формулировка градиентного критерия разрушения .............. 61
2.2. Согласование градиентного критерия с механикой трещин .......64
2.3. Подтверждение взаимосвязи градиентного критерия
с линейной механикой разрушения ............................. 68
2.3.1. Плоские задачи о концентрации напряжений около отверстий, переходящих в пределе в трещины отрыва...........68
2.3.2. Пространственная задача о концентрации напряжений около сфероидной полости, переходящей в пределе
в дискообразную трещину отрыва..............................72
2.4. Применение градиентного критерия для оценки разрушения в задаче о растяжении или сжатии плоскости с эллиптическим отверстием иод углом к большой оси эллипса............ 76
2.4.1. Определение относительного градиента...................... 78
2.4.2. Определение места начала разрушения, направления
разрыва, и предельной нагрузки ............................ 83
2.4.3. Сравнение расчетных и экспериментальных данных............85
4
2.4.4. Суперпозиция растяжения и сжатия — плоский сдвиг
вдоль большой оси эллиптического отверстия ............... 91
2.5. Применение градиентного критерия разрушения
в модифицированном бразильском тесте ....................... 93
Заключение по главе ............................................ 99
Глава 3. Использование градиентного критерия для
оценки критических размеров дефектов типа отверстий и пор ...................................... 102
3.1. Границы применимости градиентного критерия в случае
малых размеров концентраторов напряжений ................... 102
3.2. Оценки критических размеров дефектов типа
отверстий и пор ............................................ 107
3.3. Влияние дефектов типа пор на прочность тел
при сложном напряженном состоянии .......................... 113
3.3.1. Определение напряжений в окрестности сферической поры .. 114
3.3.2. Вычисление относительного градиента ..................... 117
3.3.3. Определение номинальных разрушающих напряжений .......... 121
Заключение по главе ............................................ 123
Глава 4. Сравнение интегрального и градиентного критериев хрупкого разрушения при неоднородном напряженном состоянии ............................ 124
4.1. Применение интегрального критерия к задаче о растяжении
или сжатии плоскости с эллиптическим отверстием............. 124
4.2. Сравнение результатов расчетов по интегральному и градиентному критериям между собой и с экспериментальными данными по разрушению пластин с отверстиями ........... 128
4.3. Применение интегрального критерия к задаче о растяжении или сжатии плоскости с криволинейным отверстием
типа квадрата с закругленными углами ....................... 135
4.4. Применение градиентного критерия к задаче о растяжении или сжатии плоскости с криволинейным отверстием
типа квадрата с закругленными углами ....................... 139
4.5. Сравнение результатов расчетов по интегральному и градиентному критериям для задачи о растяжении
плоскости с криволинейным отверстием типа квадрата ......... 145
Заключение по главе ............................................ 149
Глава 5. Разработка на основе градиентного критерия разрушения и метода граничных элементов численного алгоритма расчета на прочность плоских элементов конструкций ................................. 151
5.1. Схема расчета и основная проблема ......................... 152
5.2. Разработка численного алгоритма ........................... 156
5.2.1. Построение вспомогательного контура...................... 156
5.2.2. Определение граничных условий на вспомогательном
контуре в полярной системе координат ..................... 157
б
5.2.3. Определение граничных условий на вспомогательном контуре с помощью уравнений равновесия в произвольной криволинейной ортогональной системе координат ........... 160
5.3. Примеры расчетов и анализ полученных результатов ......... 1G4
5.3.1. Круглое отверстие в бесконечной пластине ............... 1G4
5.3.2. Эллиптическое отверстие в бесконечной пластине ......... 167
5.3.3. Криволинейное отверстие типа квадрата с закругленными углами в бесконечной пластине ........................... 172
5.4. Численный анализ экспериментальных исследований
по разрушению стеклянных пластин с отверстиями ............ 177
Заключение по главе ........................................... 179
Глава G. Экспериментальная проверка градиентного
критерия разрушения ................................. 181
6.1. Краткое описание материала ............................... 181
6.2. Хрупкое разрушение пенополистирольных пластин
с отверстиями ............................................. 182
6.2.1. Механические характеристики пснополистирола марки ПСБ-15 и эксперименты по хрупкому разрушению
пластин с отверстиями ................................... 183
6.2.2. Сравнение численных оценок
с экспериментальными данными ............................ 188
7
6.3. Квазихрупкое разрушение пенополисти рол ьн ых пластин
с отверстиями ............................................ 196
6.3.1. Механические характеристики пенополистирола марки ПСБ-25 и эксперименты по разрушению
пластин с отверстиями ................................... 197
6.3.2. Экспериментальные результаты, численные оценки
и анализ результатов .................................... 205
Заключение по главе ....................................... 220
Заключение ................................................... 222
Литература ................................................... 225
Приложения ................................................... 258
Приложение 1.................................................. 259
Приложение 2 .......................................... 262
Приложение 3 .......................................... 264
Приложение 4........................................................................................................ 269
Приложение 5........................................................................................................ 273
Приложение 6...................................................................................................... 279
Приложение 7...................................................................................................... 283
8
ВВЕДЕНИЕ
При использовании того или иного классического критерия прочности обычно предполагается, что разрушение начинается при достижении максимальным эквивалентным напряжением предельного значения хотя бы в одной точке тела. Однако обоснованность такого предположения в условиях концентрации напряжений и резкой неравномерности их распределения вызывает сомнение, так как классические критерии прочности сформулированы на основании экспериментальных исследований при различных видах однородного напряженного состояния.
Будем рассматривать разрушение материала при неоднородном напряженном состоянии как физическое явление, которое происходит не в одной математической точке, а в некоторой сё окрестности и тем самым должно характеризоваться представительными размерами как неоднородности материала, так и локальной неравномерности поля напряжений в окрестности рассматриваемой точки. Обычно в качестве меры общей неравномерности распределения напряжений в зоне их концентрации используется коэффициент концентрации напряжений а, который представляет собой отношение максимального напряжения к характерному среднему (номинальному) напряжению.
Локальная неравномерность поля напряжений в окрестности рассматриваемой точки зависит не только от коэффициента концентрации напряжений, но и от абсолютных геометрических размеров концентратора напряжений и, как показано в ряде работ |6, 13, 123,125-128, 1511, может быть охарактеризована относительным градиентом д\ первого главного
9
напряжения (т\ , принятого в качестве эквивалентного:
9\ = |grad(7\\/cr\, (1)
где | grad crj І — модуль вектора-градиента ст\.
Величина Д , обратная относительному градиенту ді :
Д = l/fl-i = <Ti/|gradcri| (2)
представляет собой характерный размер локальной неравномерности поля напряжений в окрестности рассматриваемой точки (рис. 1). На рис. 1 ось г противоположна по направлению вектору-градиенту grad о\ вверит и не кон цен тратора.
Рис. 1. Характерный размер локальной неравномерности поля напряжений
10
Для формулировки градиентного критерия разрушения, включающего относительный градиент д\, необходим еще один параметр L\, имеющий размерность длины. По смыслу это должен быть представительный размер неоднородности материала. Использование соотношения этих двух размеров Li/Д, а именно представительного размера неоднородности материала и характерного размера локальной неравномерности поля напряжений в окрестности рассматриваемой точки является основой для формулировки градиентного критерия разрушения. Учитывая (2), указанный критерий должен содержать безразмерное произведение Ligi.
Градиентный подход к оценке локальной прочности в зоне концентрации напряжений получил развитие в работах таких авторов как С.В. Серенсен, H.H. Афанасьев, H.H. Давиденков, Г.П. Зайцев, В.П. Ко-гаев, B.C. Стреляев, A. Bascoul, J.C. Maso, E.Z. Lajtai, M.Д. Новопашин, C.B. Сукнёв, А.М. Иванов, В.Д. Харлаб и многих других. Отличительной особенностью данной диссертационной рабо ты является то, что представительный размер неоднородности материала L\ находится из условия взаимосвязи градиентного критерия разрушения с механикой трещин.
Диссертация состоит из шести глав.
В первой главе проводится анализ исследований по вопросу о предельном состоянии материала при неравномерном распределении напряжений. Характеризуются основные направления исследований но данному вопросу. Обращается внимание на проблему оценки критических размеров дефектов в виде пор. Подробно обсуждается градиентный подход к оценке локальной прочности в зоне концентрации напряжений.
11
Анализируются различные варианты построения градиентных критериев предельного состояния. Рассматривается интегральный критерий разрушения типа Нейбера-Новожилова, согласно которому сравнивать с пределом прочности материала нужно не максимальное, а осредненное на некоторой площадке нормальное напряжение. Размер этой площадки осреднения но смыслу также должен быть равен представительному размеру неоднородности материала. В конце главы па базе результатов проведенного анализа формулируются главные цели и основные задачи диссертационной работы.
Во второй главе на основе обобщения различных вариантов построения критериев предельного состояния при неравномерном распределении напряжений формулируется двухпараметрический градиентный критерий разрушения и осуществляется его согласование с механикой трещин. Далее проводится подтверждение взаимосвязи градиентного критерия с линейной механикой разрушения. Рассматриваются плоские симметричные и пространственная осесимметричная задачи о концентрации напряжений около эллиптических отверстий и сфероидной полости, переходящих в пределе в трещины отрыва. Использование градиентного критерия для оценки разрушения в задаче о растяжении или сжатии плоскости с эллиптическим отверстием под углом к большой оси эллипса позволяет определить разрушающую нагрузку, место и направление первоначального разрушения. Полученные оценки первоначального направления развития трещины и предельной нагрузки сравниваются с известными в литературе [277| экспериментальными данными по разрушению пластин с отверстиями в условиях растяжения. С помощью
12
градиентного критерия проведен анализ полученных в (27, 28] результатов по разрушению при сжатии по диаметру цилиндрических образцов с центральным круглым отверстием.
В третьей главе определены границы применимости градиентного критерия в случае малых (сравнимых по величине с параметром Ь\) размеров концентраторов напряжений типа отверстий и полостей. Найденные ограничения аналогичны тем, которые возникают в линейной механике разрушения при малых размерах трещин, и аналогичным образом в диссертационной работе получены оценки критических размеров дефектов не только в виде микротрещин, но и в виде отверстий и пор. Так как на образцах, изготовленных из керамических материалов, экспериментально показано [170, 177, 242], что чем больше размер имеющихся в теле пор, тем меньше его прочность, то для оценки прочности тела с дефектами типа одиночных пор при сложном напряженном состоянии использован градиентный критерий разрушения, в котором размеры дефектов принимаются во внимание.
В четвертой главе проведено сравнение результатов расчетов по интегральному и градиентному критериям разрушения. Вычисленные с помощью интегрального критерия типа Нейбера - Новожилова оценки направления развития трещины и предельной нагрузки при сжатии пластины с эллиптическим отверстием под различными углами к большой оси эллипса сравниваются с результатами, полученными по градиентному критерию, а также с известными в литературе [192] экспериментальными данными по разрушению стеклянных пластин с отверстиями. Кроме того, проводится сравнение результатов расчетов по интегральному и
13
градиентному критериям в задаче о растяжении плоскости с криволинейным отверстием, близким к квадрату с закругленными углами.
В пятой главе на основе градиентного критерия разрушения и метода граничных элементов (в варианте метода фиктивных нагрузок) разработан численный алгоритм расчета на прочность плоских элементов конструкций. При этом характерная особенность построенного алгоритма состоит в том, что в ходе расчетов необходимо определять не только компоненты напряженного состояния, по и их производные по пространственным координатам. Для тестирования алгоритма путем сравнения численных результатов с аналитическими решениями рассмотрены задачи о разрушении при растяжении или сжатии бесконечных пластин с отверстиями разнообразной формы:
• с круглым отверстием;
• с эллиптическим отверстием, большая ось которого располагалась под различными углами к направлению действия нагрузки;
• с криволинейным отверстием типа квадрата с закругленными углами при различной ориентации отверстия к направлению приложенной нагрузки.
Шестая глава посвящена экспериментальной проверке градиентного критерия разрушения, выполненой на пластинах из хрупкого пенололи-стирола типа ПСБ-15 и квазихрупкого пенополистирола марки ПСБ-25. На этих двух материалах проведены серии экспериментов по разрушению пенополистирольных пластин при одноосном однородном растяжении, а также при наличии концентрации напряжений около разрезов и
14
отверстий различных геометрических форм. Определены механические характеристики пенополистирола марок ПСБ-15 и ПСБ-25. Соотношения размеров вырезанных отверстий с конечными размерами пластин были таковы, что не позволили использовать известные в литературе решения задач для бесконечных плоскостей и полос с отверстиями. Поэтому для анализа экспериментальных данных был применен численный алгоритм расчета на прочность плоских элементов конструкций с концентраторами напряжений. Этот алгоритм, изложенный в главе 5, основан на использовании градиентного критерия разрушения и метода граничных элементов. Проведено сравнение экспериментальных и расчетных данных по хрупкому разрушению образцов с отверстиями из материала ПСБ-15 и квазихрупкому разрушению образцов с отверстиями из материала ПСБ-25.
Заключение содержит основные результаты и выводы, сформулированные по итогам проведенных исследований.
Апробация диссертационной работы.
Основные результаты и положения диссертации опубликованы в 23-х научных работах. Это 7 статей в журналах из списка, утвержденного ВАК для обязательной публикации результатов докторских диссертаций, 1 статья в международном журнале, 3 статьи в сборниках научных трудов "Динамика сплошной среды", 7 докладов в трудах международных конференций и 5 докладов в трудах российских конференций.
Научные результаты и основные концепции, изложенные в диссертации, докладывались на следующих международных, всероссийских и всесоюзных конференциях, симпозиумах и других научных совещаниях:
15
Third and 9 th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology (KORUS-99 and KORUS-2005) (Novosibirsk - 1999, 2005);
II Евразийский симпозиум по проблемам прочности материалов и машин для регионов холодного климата (Якутск - 2004);
V, VI, VII International Conference "Computer-Aided Design of Advanced Materials and Technologies" (Байкальск - 1997, Томск - 2001, 2003); Всероссийская школа-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск - 2003);
4-я и 5-я Всероссийские научные конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецк - 2001, 2002);
Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь - 2001);
VIII и X Международные научные школы "Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках" (Алушта - 1998, 2000);
Второй и Третий Сибирские конгрессы по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-96 и ИНПРИМ-98) (Новосибирск - 1996, 1998); Международная научно-техническая конференция "Научные основы высоких технологий" (Новосибирск - 1997);
Четвертая Всероссийская конференция "Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций" (Новосибирск - 1997);
9-я Конференция по прочности и пластичности (Москва - 1996);
9-я и 10-я Зимние школы по механике сплошных сред
(Пермь - 1991, 1995);
16
Polartech’94: International Conférence ou Development and Commercial Utilization of Technologies in Polar Régions (Lulea, Sweden - 1994); International Conférence "Fundamental Research in Aerospace Science" (Zlinkovsky - 1994);
Eighth International Conférence on Fracture (Kiev 1993);
III Всесоюзная конференция "Прочность материалов и машин при низких температурах" (Винница - 1991);
23 Всесоюзное совещание но проблемам прочности двигателей (Москва - 1990), а также на региональных конференциях и школах.
Работа выполнена в лаборатории статической прочности Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН в соответствии с планом научно-исследовательских работ по темам "Прочность материалов и элементов конструкций в условиях неоднородного напряженно-деформированного состояния” и "Деформирование и разрушение неоднородных сред и конструкций".
Некоторые результаты диссертации, имеющие научное и практическое значение, были получены при выполнении хоздоговорных работ и представляют основное содержание в отчетах по хоздоговорам №57/91 "Методика оценки критических размеров дефектов с учетом их геометрической формы", №38. 92 "Методика оценки прочности элементов конструкций с трещинами и концентраторами напряжений в условиях хрупкого разрушения при низких температурах" и №26/93 "Разработка, методики расчета на прочность элементов машин и металлоконструкций с трещиноподобными дефектами". Титульные листы отчетов по указанным хоздоговорам имеются в разделе «Приложения».
17
Результаты диссертационной работы использовались в АНО "Промбезопасность- Новосибирск", Институте горного дела Севера им. Н.В. Черского СО РАН, ООО "Элсиб-ПР" и ФГУП "СибНИА им. С.А. Чаплыгина", что подтверждается соответствующими актами, которые помещены в раздел «Приложении».
В диссертацию включены результаты научных исследований, поддержанных грантами РФФИ №93-013-16526 "Градиентные критерии прочности и перспективы их применения", №98-05-65656 "Определение места начала вероятного разрушения и направления развития трещин в горных выработках". №00-01-96203 "Закономерности деформирования и разрушения материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии в условиях экстремальных температур" (руководитель проектов — профессор М.Д. Новопашин), №99-01-00551 "Моделирование процессов деформирования и разрушения физически нелинейных неоднородных сред", № 02-01-00643 "Экспериментально-теоретическое исследование неоднородного напряженно-деформированного состояния и разрушения элементов конструкций", №05-01-00673 "Моделирование процессов неупругого деформирования элементов конструкций с учетом их реальных физико-механических свойств" (руководитель проектов — профессор И.Ю. Цвелодуб) и Совета но грантам Президента РФ №НШ-319.2003.1 " Неупругое деформирование и разрушение неоднородных тел" (руководители ведущей научной школы — член-корр. РАН Б.Д. Аннин и профессор О.В. Сосиин).
Автор выражает глубокую признательность за ценные замечания и поддержку в работе научному консультанту М.Д. Новопашину.
ГЛАВА 1
18
АНАЛИЗ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ВОПРОСУ О ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛА ПРИ НЕОДНОРОДНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Характеризуются основные направления исследований по вопросу о предельном состоянии материала при неравномерном распределении напряжений. Обсуждается проблема оценки критических размеров дефектов не только в виде трещит, но и в виде пор. Подробно рассматривается градиентный подход к оценке локальной прочности в зоне концентрации напряжений. Анализируются различные варианты построения градиентных критериев предельного состояния. Изучается связь интегрального критерия разрушения типа Нейбера-Новожилова с механикой трещин. В конце главы на базе результатов проведенного анализа формулируются главные 'и,ели и основные задачи диссертационной работы.
1.1. Основные направлении исследований
В целом исследования по вопросу о предельном состоянии материала при неравномерном распределении напряжений велись в четырех основных направлениях.
Первое направление связано с экспериментальным обнаружением начала пластического течения при неоднородном напряженном состоянии. При испытании образцов с концентраторами напряжений, а также при изгибе балок было замечено, что первые признаки пластического течения появляются при напряжениях в вершине концентратора либо фиб-
19
ровом волокне балки, превышающих предел текучести при однородном напряженном состоянии. Соответствующие экспериментальные результаты, их обсуждение и анализ можно найти в работах [7, 17, 20, 24-26, 32, 54, 86-94, 96, 117, 144, 147, 152, 179, 200, 223, 266, 267].
При этом признаками пластического течения считали отклонение от законов упругого деформирования, а также появление линий Людерса в стальных образцах. Метод линий Людерса был использован в ранних экспериментальных исследованиях М.А. Воропаева 117], С.П. Тимошенко [147, 267], H.H. Давиденкова и Г.П. Зайцева [24, 25]. В работе [25] говорится, что был испробован и термический метод, по он оказался менее чувствителен. Отклонения от законов упругого деформирования фиксировались различными тензометрическими устройствами [200, 223, 266], тензодатчиками [7, 152, 179], а также методами голографической интерферометрии и муаровых полос |32, 86 94]. Напряжения в вершине концентратора вычислялись согласно их упругому распределению по соответствующим номинальным нагрузкам, так как считалось, что до начала пластического течения упругое распределение напряжений сохраняется.
Второе направление исследований обусловлено тем, что разрушение образцов с концентраторами напряжений, изготовленных из чугуна, стеклопластиков, графита, гипса, мрамора, пенополистирола и других хрупких структурно-неоднородных материалов, наступает при таких значениях номинальных напряжений, которые, как правило, превышают значения, полученные расчетным путем при использовании решений теории упругости и фиксированном пределе прочности ав в самой опасной точке [12, 27, 28. 30, 31. 33. 36, 38, 64-66, 74, 76, 82, 106, 108-110,
20
125-128, 131, 133, 135, 143, 144, 174-176, 178, 180, 192, 194-198, 210, 211, 222, 226, 237, 265, 279]. И это несмотря на хрупкий характер разрушения, то есть отсутствие сколь-нибудь значительного выравнивания ников напряжений за счет пластических деформаций. Указанные материалы как бы частично игнорируют наличие концентрации напряжений, причем в случае малых размеров концентраторов напряжений их наличие игнорируется практически полностью [36, 76, 174, 194, 222]. В этом случае номинальное разрушающее напряжение р* образца с концентратором практически достигает величины предела прочности <тв гладкого образца такой же площади поперечного сечения. В качестве иллюстрации к сказанному на рис. 1.1 точками показана взятая из [36] экспериментальная зависимость отношения р*/аи от диаметра с/ поперечного отверстия в цилиндрических образцах, изготовленных из графита марки ВПП и испытанных на растяжение, а штриховой линией классическое условие прочности для образца с концентратором напряжений р*/сгв = 1/а.
Аналогичные зависимости от диаметра с1 отверстия в плоских образцах, изготовленных из двух видов серого чугуна и испытанных на растяжение, построены поданным работы (174] и показаны на рис. 1.2.
В связи со свойством материалов полностью или частично игнорировать наличие концентрации напряжений вводят понятие эффективного коэффициента концентрации напряжений а*, который определяется как отношение разрушающей нагрузки гладкого образца к разрушающей нагрузке образца с концентратором напряжений, имеющих соответственно равные площади поперечного и опасного сечений. После деления указанных разрушающих нагрузок на площадь соответствующих сечений,
21
Рис. 1.1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
(I, ММ
Экспериментальные нормированные значения номинального разрушающего напряжения для образцов из графита марки ВПП при наличии поперечного отверстия диаметра <1
Р./с.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
□
8 10 12
14 16
сI, мм
Рис. 1.2. Экспериментальные нормированные значения номинального разрушающего напряжения для плоских образцов из двух видов серого чугуна при наличии отверстия диаметра А
22
получ им иыражегIие
а* = стк/р*. (1.1)
Эффективный коэффициент концентрации а* практически всегда меньше теоретического коэффициента концентрации а, причем для ква-зихрупких материалов, это в какой-то степени обусловлено выравниванием пиков напряжений за счет пластических деформаций.
Третье направление характерно тем, что локальное повышение прочностных свойств материала в зоне концентрации напряжений проявляется и при усталостном разрушении элементов конструкций, причем особо наглядно, так как в этом случае практически отсутствует выравнивание пиков напряжений за счет пластических деформаций [4 6, 13, 14, 39 43, 97, 106, 116, 117, 119-121, 123, 124, 132, 151, 172, 186, 203, 204, 232, 246].
Заметим, что при циклическом нагружении в расчетах на прочность в качестве величины, ограничивающей напряжения, вместо предела прочности (7и обычно фигурирует предел ВЫНОСЛИВОСТИ <7-1, то есть такое наибольшее значение амплитуды напряжения в симметричном цикле нагружения, при котором разрушение еще не происходит при неограниченном, но практически достигнутом числе циклов [119, 124]. Для многих материалов <т_1 значительно меньше, чем предел текучести. Следовательно, при неоднородном напряженном состоянии выравнивание пиков напряжений за счет пластических деформаций практически отсутствует и вместе с тем имеет место эффект локального повышения сопротивления усталостному разрушению в зоне концентрации напряжений.
Четвертое направление исследований выделяется наличием резкой неоднородности напряженного состояния в окрестности вершин трещин.
23
Значение этого направления определяется тем, что распространение трещин является основным механизмом разрушения. Хрупкие тела с трещинами разрушаются при достаточно малых, но конечных значениях номинальных нагрузок несмотря на то, что поля напряжений имеют сингулярность в вершине трещины и расчеты на прочность при фиксированном пределе прочности (7В в самой опасной точке дают бесконечно малые значения разрушающих нагрузок. Для получения конечных значений предельных нагрузок в работах К. Вейхарда [275], Г. Нейбера. [81, 241], М.Я. Леонова, К.Н. Русинко [70, 71], В.В. Новожилова [84, 85) и других авторов [13, 37, 44, 47, 48, 50, 73, 77, 185, 188, 194, 195, 217, 239, 251-254, 271, 27G| предлагалось использовать в расчетах не максимальные значения напряжений, а осредненные на некотором расстоянии перед вершиной трещины или надреза.
Однако более широкое признание и развитие получил энергетический подход к проблеме прочности хрупких тел с трещинами, предложенный в работах А. Гриффитса [20G, 207]. Согласно теории Гриффитса, для приращения длины трещины и образования тем самым новых поверхностей тела необходимо затратить определенную работу разрушения на каждую единицу площади этих поверхностей. Удельная работа разрушения является характеристикой материала и среды, в которой происходит приращение поверхности тела на берегах трещины. Условие разрушения заключается в том, что распространение трещины начнется только тогда, когда затраты энергии, необходимые для бесконечно малого приращения её длины, будут скомпенсированы работой внешних сил и изменением упругой энергии тела.
Позднее в работе Дж.Р. Ирвина [216] был сформулирован силовой критерий начала распространения трещины, согласно которому к моменту страгивания трещины коэффициент интенсивности напряжений (коэффициент при особенности полей напряжений в вершине трещины) достигает своего критического значения, постоянного для данного материала. При одноосном растяжении бесконечной пластины с прямолинейной трещиной длиной с/ = 2а, перпендикулярной направлению растяжения (рис. 1.3), этот критерий дает следующую формулу для определения номинальных напряжений в момент начала разрушения
где К1С — критический коэффициент интенсивности напряжений
Р* - Кгс/ у/па,
(1.2)
первого типа.
Р
х
Р
Рис. 1.3. Растяжение бесконечной пластины с прямолинейной трещиной
Следует отметить, что К\с как характеристика материала определяется в условиях плоской деформации, когда влияние толщины пластины
25
отсутствует или несущественно. В условиях плоского напряженного состояния критический коэффициент интенсивности напряжений обычно зависит от толщины пластины.
Согласно формуле (1.2), если длина трещины с/ = 2а мала, то значения номинального напряжения р* в момент начала разрушения получаются очень большими, превосходящими предел прочности сгв, что противоречит физическому смыслу. С другой стороны известно, что ограничения, которые возникают в применении линейной механики разрушения в случае малых размеров трещин, можно использовать для оценки критических размеров дефектов типа трещин.
1.2. Об оценках критических размеров дефектов
Под критическим размером дефекта будем понимать такой максимально допустимый характерный размер дефекта, при котором еще не происходит снижение прочности материала при одноосном растяжении. Для дефекта в виде трещины Гриффитса (см. рис. 1.3) оценка критического размера (I* = 2а* получается из уравнения (1.2) при р* = ап:
Для дефекта в виде плоской круглой трещины, перпендикулярной направлению растяжения, критический размер (диаметр) определяется из соотношений работ (249, 2С0| аналогичным образом
Именно наличием в материале естественных микротрещин соответствующих размеров объясняется в теории Гриффитса (200, 207] реальная
,1, = (2/я-)КЦа\ .
(1.3)
О, = (^/2 )1<Ца2в .
(1.4)
26
прочность хрупких материалов, а также содержится вывод о существовании области безопасных размеров микротрещин.
Зависимость прочности материала от размера структурных несовершенств и дефектов была также экспериментально подтверждена, в работах А.Ф. Иоффе с сотрудниками [35], А.П. Александрова, С.Н. Журкова [2] и других исследователей (см. обзор [255]). Это обстоятельство имеет особое значение при оценке прочности керамических материалов, так как в ряде работ 1170, 177, 242] было экспериментально показано, что прочность образцов из керамических материалов тем меньше, чем больше размер имеющихся дефектов. Причем, как выяснилось, роль дефектов, определяющих прочность, могут играть не только микротрещины, НО II поры. Однако в настоящее время в литературе нет общепризнанных теорий, достаточно четко объясняющих и описывающих влияние дефектов в виде пор на прочность. Хотя вопрос об этом изучается и обсуждается [170,177, 242, 264|. В работах [170, 242] используется модель, согласно которой воздействие сферической поры определенного диаметра на прочность считается эквивалентным воздействию плоской круглой трещины точно такого же диаметра. В этой модели предполагается, что вокруг поры имеется кольцеобразная трещина такого размера, что выполняется равенство коэффициентов интенсивности напряжений для кольцеобразной и плоской круглой трещины, имеющей диаметр поры. Согласно [205,
242], указанное равенство выполняется в том случае, если ширина экваториальной кольцеобразной трещины составляет 20% от радиуса поры.
Конечно, поверхность пор не является идеально гладкой, а имеет несовершенства, от которых при нагружении могут развиваться трещины.
27
Однако используемая в этих работах модель поры, окруженной кольцеобразной трещиной, является условной, так как экспериментальные исследования, проведенные авторами статьи [242| с помощью электронного сканирующего микроскопа с целью обнаружения кольцеобразных трещин, нс подтвердили гипотезу о наличии вокруг пор таких трещин.
Таким образом, вопрос о влиянии дефектов в виде пор на прочность нуждается в дальнейшем исследовании и построении новых моделей. Этому вопросу в диссертационной работе будет уделено много внимания. В частности, будет показана полезность градиентных моделей разрушения для оценки критических размеров дефектов не только в виде трещин, но и в виде сквозных отверстий и нор.
1.3. Градиентный подход к оценке локальной прочности в зоне концентрации напряжений
В 1932 г. в работе H.H. Давиденкова и Г.П. Зайцева [25] были представлены результаты экспериментов, проведенных на стальных образцах в виде пластин с круглым отверстием, причем различного диаметра, с целью определения методом линий Людерса ''фактического предела текучести вблизи отверстий". Получена зависимость номинального напряжения в момент появления линий Людерса р0 от диаметра отверстия d в пластине толщиной 1 мм (рис. 1.4). До появления пластических деформаций, согласно решению теории упругости, напряжение в вершине концентратора втрое больше, чем номинальное напряжение р0.
В этой работе впервые было обращено внимание на непосредственную роль градиента напряжений в повышении "фактического предела текучести". Конкретно было сказано, что "создаваемый надрезом сильный
28
/V 20 , 2 кгс / мм 16 12 • • • •
8 от/3
4
П 1 . I
1----------------------------—._________1 _______________
0 2 4
с1, ММ
Рис. 1.4. Зависимость номинального напряжения р0 в момент появления линий Людерса от диаметра отверстия (I в стальной пластине
градиент напряжений в его основании способствует повышению предела текучести сам по себе Согласно результатам, представленным на рис. 1.4, "фактический предел текучести вблизи отверстий значительно превосходит предел текучести сплошного образца стт, и это превышение тем больше, чем меньше диаметр отверстия и, следовательно, чем больше градиент напряжений". Таким образом, наметился градиентный подход к оценке локальной прочности в зоне концентрации напряжений.
1.3.1. Градиентные оценки локальной прочности при циклическом нагружении
Дальнейшее развитие градиентный подход получил в работах, связанных с проблемой усталостного разрушения элементов конструкций с концентраторами напряжений. Это обусловлено тем, что при отсутствии пластических деформаций эффект локального повышения предела вы-