Тождества и квазитождества в решетках многообразий полугрупп и связанные с ними конгруэнции

Оглавление
Введение.........................................................4
В.1. Обсуждение проблематики теории многообразий (4). В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации (7). В.З. Цели работы (16). В.4. Основные проблемы (17). В.5. Основные результаты (21). В.б. Основные методы (25). В.7. Структура диссертации (25). В.8. Апробация и публикации (26).
Глава 0. Базисные понятия и факты...............................28
§0. Предварительные сведения...............................28
0.0. Основные литературные источники (29). 0.1. Полугруппы (29). 0.2. Полугрупповые слова и тождества (30). 0.3. Многообразия полугрупп (32). 0.4. Решетки (36). 0.5. Решетки подгрупп симметрических групп (38). 0.6. Следствия некоторых тождеств (40). 0.7. Решетки многообразий полугрупп (43). 0.8. ф Многообразия и квазимногообразия решеток (52). 0.9. Решет-
ки эквивалентностей (54). 0.10. Мультипликативные свойства бинарных отношений (55). 0.11. (7-множества (59).
§1. Строение решеток нильмногообразий
и надкоммутативных многообразий полугрупп..............62
1.1. Решетки нильмногообразий (62). 1.2. Мультипликативные аналоги результатов о решетках нильмногообразий (66). 1.3. Решетки надкоммутативных многообразий (75). 1.4. Мультипликативные аналоги результатов о решетках надкоммутативных многообразий (78).
§2. Конгруэнции на G-множествах..........................81
2.1. Подрешетка жадных конгруэнций (81). 2.2. Решеточные ограничения (84). 2.3. Мультипликативные ограничения (88).
2.4. Обсуждение результатов данного параграфа (89).
Комментарии................................................91
Глава 1. Тождества, квазитождества и полумодулярность
в решетках многообразий полугрупп.....................92
§3. Полумодулярность и дезарговость: запрещенные
подмногообразия........................................93
1
Оглавление
3.0. Формулировки основных результатов (93). 3.1. Общая схема доказательства для пенильпотентных многообразий (96).
3.2. Невильпотснтные многообразия индекса 2 (97). 3.3. Не-нильпотентные многообразия индекса 3 (100). 3.4. Ненильпо-тентные многообразия индекса > 3 (101). 3.5. Нильпотентные многообразия (103).
§4. Полумодулярность и дезарговость: завершение
описания...............................................104
4.1. Редукция к нильмногообразиям (105). 4.2. Нильмного-образия: предварительные замечания (108). 4.3. Система тождеств (n5m) (112). 4.4. Система тождеств (n6m) (114). 4.5. Система тождеств (n7m) (115). 4.6. Системы тождеств (r»8m) и (п9т) (115). 4.7. Системы тождеств (nlOm) и (nllm) (117).
4.8. Система тождеств (nl2m) (118). 4.9. Системы тождеств (п13та)-(п15т) (119). 4.10. Системы тождеств (nl*) и (п21) (120). 4.11. Системы тождеств (nl6m)-(nl9m) (121). 4.12. Системы тождеств (n20m)-(n23m) (121). 4.13. Системы тождеств (пЗ*)-(п11*) (122). 4.14. Системы тождеств (n24m)-(n41m) (124). 4.15. Системы тождеств (п42т)-(п47тп) (125). 4.16. Системы тождеств (тг5т)-(п47ш): сводка свойств, используемых в дальнейшем (127). 4.17. Эквивалентность модулярности и принадлежности М4.з для комбинаторных многообразий (128). 4.18. Следствия (131).
§5. Квазитождества, влекущие модулярность.................135
5.0. Предварительные замечания (135). 5.1. Квазитождсства, выполненные в Л/4 и в Мз.з, но не выполненные В А/.13 (136).
5.2. Квазитождества, выполненные в Д/4, но не выполненные в Л/3,3 (141). 5.3. Квазитождества, выполненные в Л/з,з, но не выполненные в Л/4 (146). 5.4. Квазитождества, выполненные в ЛГ3, но не выполненные ни в Л/4, ни в Мз,3 (149).
§6. Квазитождества, не выполненные в Мз...................150
6.1. Нильмногообразия: эквивалентность дистрибутивности и принадлежности Мз (151). 6.2. Комбинаторные многообразия: дистрибутивность (157).
Комментарии...............................................159
Глава 2. Многообразия полугрупп с мультипликативными
ограничениями на вполне инвариантные конгруэнции их свободных объектов.............................
160
§7. 1.5-перестановочность
163
7.1. fi-1.5-перестановочные многообразия (163). 7.2. Почти /t-
1.5-перестановочные многообразия (168). 7.3. Наследственно почти /)-1.5-перестановочные многообразия (178). 7.4. Следствия (182).
§8. Перестановочность
183
Оглавление 3
8.1. /»'-перестановочные многообразия (183). 8.2. Почти /г-перестановочные многообразия (184). 8.3. Наследственно почти /» перестановочные многообразия (188). 8.4. Следствия (189).
§9. 2.5-перестанопочность...................................190
9.1. Основной результат (190). 9.2. Следствия (196).
§10. Слабая перестановочность...............................197
101. Редукция к нильмногообразиям (197). 10.2. Нильмного^ образия: доказательство необходимости (200). 10.3. Нильмно-гообразия: доказательство достаточности (213). 10.4. Следствия (217).
Комментарии.................................................219
Глава 3. Надкоммутативные многообразия...........................220
§11. Квазитождества, не выполненные в Мз,
1.5-перестановочность и перестановочность..............221
§12. Квазитождества, влекущие модулярность,
и 2.5-перестановочность................................227
12.0. Предварительные замечания (227). 12.1. Квазитождества, выполненные в М3> но не выполненные в МЛ, и 2.5-перестановочность (228). 12.2. Квазитождества, выполненные в Ма, но не выполненные в М4,з (230).
§13. Модулярность, полумодулярность, дезарговость
и слабая перестановочность.............................237
13.1. Модулярность, полумодулярность вверх, дезарговость и слабая перестановочность (237). 13.2. Полумодулярность вниз (242). 13.3. Следствия (244).
Комментарии.................................................245
Заключение.......................................................247
3.1. Возможные направления дальнейших исследований (247).
3.2. Специальные элементы решеток многообразий полугрупп (248). 3.3. Почти слабо /t-иерестановочные многообразия полугрупп индекса ^ 2 (253). 3.4. Открытые вопросы (253).
Литература.......................................................258
Работы автора по теме диссертации
270
Введение
В.1. Обсуждение проблематики теории многообразий
Роль, которую играет и современной общей алгебре понятие многообразия, общеизвестна. Как емко сказано в монографии Р. Маккензи, Дж. Макналти и У. Тэйлора (192J, “чтобы направить исследования и организовать знания, мы группируем алгебры в многообразия”1). Причем, как подчеркивается в монографии Д. Хобби и Р. Маккензи (155], этот способ объеди нения алгебр в классы “оказался настолько плодотворным, что не имеет серьезных конкурентов” (цитируется по русскому переводу указанной монографии [91], с. 24).
Многообразия, в свою очередь, могут быть сгруппированы в решетки, изучение которых, говоря опять-таки словами из [192], “обнаруживает необычайно богатую структуру в многообразиях и помогает организовать наши знания об индивидуальных алгебрах и важных семействах алгебр”2^. Последний тезис следует немного дополнить. Очевидны преимущества описания всех подмногообразий некоторого многообразия путем определения устройства соответствующей решетки над неупорядоченным перечнем этих подмногообразий (даже в случае, когда такой перечень можно получить!) — ведь, описав решетку, мы находим не только сами подмногообразия, но и существенные соотношения между ними. Однако обычно о лобовом перечислении всех подмногообразий не может быть и речи, и какая-то информация о них становится доступной только благодаря применению тех или иных решеточных соображений. Таким образом, решетки выступают здесь не только как способ организации знаний, но и как одно из основных средств для их получения. Неудивительно поэтому, что уже на заре развития теории многообразий важность и актуальность исследования решеток многообразий отмечали в своих выступлениях программного характера такие патриархи общей алгебры, как Г. Бирк-гоф (в докладе на Канадском математическом конгрессе в Монреале в 1945 г. [122]) и А. И. Мальцев (в докладе на международном математическом конгрессе в Москве в 1966 г. [58]).
При попытке как-то классифицировать тематику исследований, посвященных решеткам многообразий, естественно опереться на богатый опыт изучения других производных решеток и, в первую очередь, решеток под-
s) В оригинале: -In order to guide research and organize knowledge, we group algebras into varieties" (cm. [192], p. 244).
г) В оригинале: “The study of such lattices reveals an extraordinary rich structure in varieties and help to organize our knowledge about individual algebras and important families of algebras” (см. [192], p. vii).
В.1. Обсуждение проблематики теории многообразий 5
алгебр. Таковой — применительно к полугруппам — отражен в монографии Л. Н. Шеврина и А. Я. Овсянникова [99] (см. также ее расширенную англоязычную версию [243]). В ней выделены следующие три основные направления исследований производных решеток (см. [99], с. 4; формулировки воспроизведены, разумеется, ппЦаШ пн^ашИ).
I. Ограничения на производные решетки. Основная задача данпого направления — классификация объектов, производные решетки которых удовлетворяют тем или иным заданным решеточным условиям.
II. Решеточуше характеристики. Здесь основной является задача характеризации тех или иных классов объектов — в частности, отдельных объектов — в терминах производных решеток.
III. Решеточные изоморфизмы. Цель данного направления — изучение “степени родства” между объектами с изоморфными производными решетками, в частности, обнаружение объектов, определяющихся своей производной решеткой.
Остановимся более подробно на первом из указанных направлений, поскольку именно ему (применительно к многообразиям полугрупп) посвящена наша диссертация. Отметим, что ситуация, когда каждому объекту А из некоторого класса алгебраических объектов однозначным образом ставится в соответствие производная решетка Ь(А) (решетка подалгебр, решетка конгруэнций, решетка подмногообразий и т. п.) и изучается влияние свойств Ь{А) на строение А, является одной из типичных в алгебраических исследованиях. Она активно разрабатывается для групп (см. монографии [237,249] и русский перевод второй из них [86]), полугрупп (см. уже упоминавшиеся монографии [99,243] и обзорную статью [242]), колец, алгебр Ли (см. учебное пособие [33]), многообразий колец и линейных алгебр (см. обзорную статью [6]) и т. д.3)
Среди различных встречавшихся в литературе свойств решеток многообразий особое место принадлежит решеточным тождествам и близким к ним условиям. Условия такого типа занимают главенствующее место в нашей диссертации. Остановимся поэтому подробнее на той роли, которую решеточные тождества играют при изучении многообразий.
Классическое построение, восходящее еще к пионерской работе Г. Вирк-гофа [121], связывает со всяким многообразием вполне инвариантную конгруэнцию на абсолютно свободной алгебре счетного ранга соответствующей сигнатуры, причем возникающее отображение является антиизоморфизмом решетки многообразий на решетку вполне инвариантных конгруэнций. Добавив эндоморфизмы в сигнатуру б качестве новых (унарных) операций, получим алгебру, конгруэнции которой суть в точности вполне инвариантные конгруэнции исходной свободной алгебры. Таким образом, решетки многообразий антиизоморфны решеткам конгруэнций некоторых алгебр. (В действительности, кал показано в работе Н. Неврли [197], ка-
3) Отмстим, что и в данной диссертации, наряду с многообразиями полугрупп с ограничениями на решетку подмногообразий, рассматриваются унарные алгебры некоторого специального оида с ограничениями на решетку конгруэнций (соответствующие результаты, впрочем, не являются самоцелью, а играют вспомогательную роль при получении основных результатов).
6
Введение
ждал решетка многообразий антиизоморфна решетке конгруэнций некоторого моноида всего с одной дополнительной унарной операцией.) Роль же тождеств в решетке конгруэнций как одного из наиболее важных факторов определяющих поведение алгебры, общеизвестна. Изучение возникающих в этой связи классов многообразий (конгруэнц-дистрибутивных, кои-груэнц-модулярных и т. п.) является одним из центральных направлений универсальной алгебры (см., например, [72,73,91,140,170,218]). Отметим также, что методы, используемые для анализа строения решеток многообразий (такие, например, как нахождение “хороших” разложений рассматриваемых решеток в подпрямые и прямые произведения), естественно приводят к вопросу о модулярности или дистрибутивности если не всей решетки в целом, то некоторых ее “ключевых” элементов.
Из сказанного видно, что изучение тождеств в решетках многообразий является одним из естественных проявлений общих тенденций развития современной универсальной алгебры.
Все высказанные выше универсально-алгебраические соображения в полной мере применимы и к многообразиям полугрупп. Более того, полугруппы, занимающие промежуточное положение между “сколь угодно сложным” случаем группоидов и (конгруэнц-модулярным) классом групп, представляются, в некотором смысле, оптимальным полигоном для их применения.
Исследование многообразий полугрупп имеет давнюю и богатую историю. Начало систематической деятельности в этом направлении следует отнести, по-видимому, к середине 60-х годов, хотя отдельные результаты появлялись и до этого. Различным аспектам теории многообразий полугрупп полностью или в значительной степени посвящены обзорные статьи
А. Я. Айзенштат и Б. К. Богуты [4], Ю. М. Важепина [18], Л. Н. Шеврина и М. В. Волкова [98], Л. Н. Шеврина и Е. В. Суханова [100], Т. Эванса [134], О. Г. Харлампович и М. В. Сапира [176], Л. Н. Шеврина и Л. М. Мартынова [241], М. В. Волкова [266,267]. Изложение вопросов, связанных с многообразиями полугрупп, занимает заметное место в главе “Полугруппы” справочной книги по общей алгебре [95] и в недавних монографиях К. Денеке и Ш. Висмат [130] и М. Петрича и Н. Райли [217]. Многообразиям полугрупп посвящены отдельная статья в “Математической энциклопедии” [94] и один из параграфов в опубликованном недавно справочнике по алгебре (см. [244]).
Исследование решеток многообразий полугрупп начинается практически одновременно с началом изучения многообразий полугрупп рег ве4) и с самого начала становится одним из центральных направлений в данной области. Отметим в этой связи, что в уже упоминавшемся обзоре Л. Н. Шеврина и М. В. Волкова [98] исследование решеток полугрупповых многообразий указано как одно из пяти основных направлений теории многообразий полугрупп — наряду с изучением тождеств, относительно свободных полугрупп, структурных и алгоритмических аспектов. В 70-е — 90-е
Отметим в этой связи, что один из первых (если це самый первый) заслуживающий цитирования результат о многообразиях полугрупп в целом относится именно к решеточной тематике. Мы имеем в виду описание атомов решетки всех многообразий полугрупп, полученное Я. Калипкн и Д. Скоттом еще в 1955 г. [171] (см. также русский перевод этой статьи [47]).
B.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации 7
годы заметный вклад в это направление внесли А. Я. Айзенштат, С. Баррис, А. П. Бирюков, М. В. Волков, Дж. Герхард, П. Джонс, Я. Ежек, Э. Нельсон, Ф. Пастейн, М. Петрич, JI. Полак, Н. Райли, В. В. Расин, М. В. Са-пир, Е. В. Суханов, А. Н. Трахтман, П. Троттер, Т. Холл и другие авторы. Обзор результатов, полученных на первом этапе исследований решеток по-лугрупповых многообразий, можно найти в уже упоминавшихся обзорных статьях А. Я. Айзенштат и Б. К. Богуты [4] и Т. Эванса [134]. В той или иной мере эта тематика нашла также отражение в обзорах [8,46,70,80,251]. Краткий, но весьма емкий обзор “глобального строения” решетки всех по-лугрупповых многообразий, включающий упоминания о некоторых педав-них достижениях в этой области, содержится в [244].
При изучении многообразий полугрупп с ограничениями на решетку подмногообразий рассматривался широкий спектр решеточных условий: условия конечности [13,57,77,78,83,111,236], дополняемость и близкие условия [22,112,256]^, разложимость в прямое произведение [19], условия, связанные с понятием дуализма решеток [286], условие “быть цепью” и близкие к нему [20,87,88]. Но наибольшее внимание на протяжении всего периода исследований решеток многообразий полугрупп уделялось рассмотрению тождеств и близких к ним условий в этих решетках. На сегодняшний день имеется более 150 работ, так или иначе связанных с этой областью. Обзор результатов, полученных в этом направлении до написания настоящей диссертации, будет дан в следующем пункте.
В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации
1°. Тождества в решетках многообразий. Хронологически исследования в этой области естественно делятся на три этапа.
Середина 60-х — начало 70-х гг. — первоначальное накопление информации. В 1966 г. в диссертации Р. Швабауэра [238] был приведен первый явный пример многообразия полугрупп с немодулярной решеткой подмногообразий. В печати этот пример появился в 1969 г. [239]. Отметим, что многообразие, найденное Р. Швабауэром, состоит из коммутативных полугрупп. Таким образом, была доказана немодулярность уже решетки Comm всех многообразий коммутативных полугрупп. Интересно сопоставить этот факт с хрестоматийным результатом пионерской работы Б. Неймана [196] о дистрибутивности решетки всех многообразий абелевых групп. В том же 1969 г. в работе Я. Ежека [156] был приведен другой пример многообразия с немодулярной решеткой подмногообразий6^. В 1971 г. результаты о немодулярности решетки полугрупповых многообразий были
Результаты работы [256] позднее были обобщены на произвольные многообразия универсальных алгебр в [131].
в) Отметим, что 1969 г. мог стать еще более урожайным на примеры иеыодулярных многообразий. Дело в том, что в этом году вышла замечательная статья П. Перкинса [205], посвященная проблеме конечного базиса для полугрупп (см. также ее русский перевод [71]). Ее результаты с помощью очень простых и хорошо известных к описываемому периоду решеточных соображений позволяют указать пример немодулярного многообразия, отличный от двух, упомянутых выше. Как ни странно, это любопытное взаимодействие модулярности и проблемы конечного базиса оставалось незамеченным ка протяжении четверти века н впервые было отмечено только в диссертации М. В. Волкова [31].
существенно усилены в двух работах С. Барриса и Э. Нельсон [123,124]. В первой из них было показано, что решетка всех многообразий полугрупп содержит интервал, антиизоморфный решетке разбиений счетного множества. Многообразия, обладающие последним свойством, принято называть рсшетпочно универсальными (этот термип объясняется тем, что, как легко понять, решетка подмногообразий всякого решеточно универсального многообразия содержит изоморфную копию решетки подмногообразий произвольного многообразия универсальных алгебр не более чем счетной сигнатуры). С учетом классической теоремы Уитмена (см., например, [38], §IV.4), указанный результат работы [123] означает, что решетка всех многообразий полугрупп не удовлетворяет никакому нетривиальному тождеству. Во второй из указанных работ С. Барриса и Э. Нельсон, т. е. в [124], было доказано отсутствие нетривиальных тождеств уже в решетке Comm.
В тот же период появляются и первые “позитивные” результаты, т. е. результаты о модулярности или дистрибутивности примечательных в том или ином отношении фрагментов решетки многообразий полугрупп. Так, в работах А. П. Бирюкова [12], К. Фснмора [135-137] и Дж. Герхарда [141], посвященных описанию решетки всех многообразий связок, была установлена дистрибутивность этой решетки. В заметке Т. Хида [154] была доказана дистрибутивность решетки всех многообразий коммутативных моноидов. В работе Р. Швабауэра [240] была указана обширня дистрибутивная подре-шетка в решетке Comm, являющаяся, как было установлено Э. Нельсон в [195], максимальной модулярной подрешеткой в Comm. В [195], а также в [125], был получен и ряд других результатов о тождествах в решетке Comm. В работе И. И. Мельника [64] была доказана дистрибутивность решетки всех многообразий полугрупп, квадрат которых является прямоугольной связкой. Дистрибутивность других фрагментов решетки многообразий полугрупп доказывается тем же автором в [67] и М. Петричем в [206]. В работе И. И. Мельника [65] была сделала уже первая попытка нащупать границу между многообразиями с модулярной [дистрибутивной! и немодулярной [недистрибутивной] решеткой подмногообразий: было показано, что решетка всех многообразий n-ступенно нильпотентных полугрупп модулярна [дистрибутивна] тогда и только тогда, когда п ^ 3, а решетка всех многообразий n-ступенпо нильпотентных коммутативных полугрупп модулярна [дистрибутивна] тогда и только тогда, когда л ^ 5 [соответственно п ^ 4].
Завершая обсуждение “пионерского периода” в изучении тождеств в решетке многообразий полугрупп, отметим ряд полученных тогда результатов о специальных элементах этой решетки. В работах И. И. Мельника [62] и [63] показано, что многообразие всех ыолурешеток SC является, соответственно, модулярным и дистрибутивным элементом решетки всех многообразий полугрупп; первый из этих фактов независимо получен В. Н. Салием в [79]. В [66] И. И. Мельником проверено, что дистрибутивным элементом решетки всех многообразий полугрупп является и многообразие всех полугрупп с нулевым умножением ZM. Многообразия SC и ZM являются атомами решетки всех многообразий полугрупп. Из результатов работы А. Я. Айзенштат [2] непосредственно вытекает, что всякий атом решетки всех полу групповых многообразий является кодистрибутив-ным элементом этой решетки (аналогичный факт о решетках многообра-
В.2._ Обзор результатов, предшествовавших диссертации 9
эий вполне регулярных и инверсных полугрупп вытекает из результатов более поздней работы автора и М. В. Волкова (22)).
Многие из перечисленных выше результатов были воспроизведены в опубликованном в 1971 г. обзоре Т. Эванса [134], где в связи с ними была поставлена задача описания многообразий полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий. Примерно в то же время JI. Н. Шеврин поставил задачу описания многообразий полугрупп (а также вполне регулярных и инверсных полугрупп) с дистрибутивной решеткой подмногообразий и сформулировал вопрос о наличии нетривиальных тождеств в решетках многообразий вполне регулярных и инверсных полугрупп, которые позднее были опубликованы в “Свердловской тетради” (см. [84], задачи 2.60 и 2.617>).
Середина 70-х — начало 80-х гг. — привлечение структурной теории полугрупп. В этот период продолжают появляться работы, подобные тем, о которых шла речь выше. В работах (3,15,34,35,53-56,60,61,68,89,90,101-ЮЗ, 142,175,182,188] содержатся новые примеры [не]дистрибутивных или (не)модулярных решеток полугрупповых многообразий. В [157,193) получена новая информация о решеточно универсальных многообразиях полугрупп, а в [181] устанавливается отсутствие нетривиальных тождеств уже в решетке многообразий коммутативных нильпотентных полугрупп.
Однако основные усилия в этот период были сосредоточены на рассмотрении решетки CR всех вполне регулярных многообразий, т. е. многообразий, состоящих из вполне регулярУ1ых полугрупп (объединений групп). Отметим, что в большинстве упоминаемых ниже работ, посвященпых решетке CR, вполне регулярные полугруппы рассматриваются как унарные полугруппы, т. е. как полугруппы с дополнительной сигнатурной унарной операцией (которая в данном случае трактуется как взятие обратного элемента в наибольшей подгруппе, содержащей данный элемент). Однако полученные при этом результаты применимы и к обычным полугруп-повым многообразиям, поскольку, как легко понять, решетка вполне регулярных многообразий полугрупп в обычной сигнатуре является подре-шеткой решетки многообразий вполне регулярных полугрупп в указанной обогащенной сигнатуре. Первый значительный успех в рассмотрении тождеств в решетке CR был достигнут в работе М. Петрича [207] — в ней была доказана модулярность решеток многообразий ортодоксальных связок групп. С этой статьи начался длинный цикл работ различных авторов (П. Джонса, М. Петрича, Н. Райли, В. В. Расина и других), в которых шаг за шагом доказывалась модулярность все более и более обширных решеток вполне регулярных многообразий — см. рабо
?1 Отметим, что интерес к этим задачам диктовался ие только внутренней логикой исследования решетки полугрупповых многообразий, но и тем, что происходило в то время в смежных областях общей алгебры: проблемы такого рода тогда буквально носились в воздухе. Так, именно на рубеже 60-х и 70-х годов возник и подвергся интенсивной атаке (за короткий период появилось около 20 работ) вопрос об условии дистрибутивности в решетках многобразий групп, до сих пор, кстати, не проясненный до конца даже для “хороших'’ (скажем, метабелевых) многообразий. Примерно тогда же Л. А. Бокуть предложил задачу об описании многообразий колец [линейных алгебр] с дистрибутивной решеткой подмногообразий, опубликованную позднее в “Днестровской тетради” (см. [39], задача 19). Продвижениям в решении этой задачи, в том числе ее решению п ряде обширных и важных частных случаев, посвящено около 20 работ, опубликованных с середины 70-х годов и до самого недавнего времени.
10
Введение
О
ты [74-77,153,162-164,208,209,212-214,225,226]. В качестве наиболее важных вех здесь можно отметить работы В. В. Расина [74,77] и Т. Холла и П. Джонса [153], в которых доказана модулярность решеток всех вполне простых многообразий, всех ортодоксальных многообразий и всех многообразий связок групп соответственно. Важной особенностью всех перечисленных выше работ, посвященных решетке СИ, отличающей их от работ предыдущего периода, было то, что в них началось активное использование для нужд теории многообразий некоторых достижений структурной теории полугрупп, главным образом, связанных с устройством конгруэнций на регулярных полугруппах (см. монографию М. Петрича и Н. Райли [217]). Именно это предопределило успехи в исследовании решетки С11, достигнутые на данном и следующем этапах.
В тот же период структурный подход был впервые применен и за пределами вполне регулярного случая, что также привело к ощутимому прогрессу. Мы имеем в виду работу М. В. Саиира и Е. В. Суханова [83], в которой для изучения многообразий периодических полугрупп были привлечены результаты Л. Н. Шеврина о разложимости эпигрупп в связку архимедовых компонент (анонсированные в [93] и позднее опубликованные с доказательствами в [96,97]) и о строении нильполугрупп [92]. Это позволило найти первое нетривиальное необходимое условие модулярности решетки подмногообразий произвольного многообразия полугрупп: в [83] было показано, что всякое многообразие с этим свойством состоит из полу-решеток периодических архимедовых полугрупп. (В действительности из результатов указанной работы легко вывести следующий более сильный факт: всякое многообразие полугрунп с модулярной решеткой подмногообразий либо является периодическим перестановочным многообразием, либо имеет конечный индекс.)
Отметим еще, что в рассматриваемый период появился ряд работ, в которых, применительно к решеткам многообразий полугрупп, рассматривались различные усиления дистрибутивности. В [22] автором и М. В. Волковым были описаны многообразия полугрупп (а также вполне регулярных и инверсных полугрупп) с булевой решеткой подмногообразий (для обычных полугрупиовых многообразий этот результат был позднее передоказан
А. Я. Айзенштат в [112]). Другим естественным усилением дистрибутивности является условие быть цепью. Напомним, что многообразие, решетка подмногообразий которого является цепью, называется цепным. В работе Е. В. Суханова [87] были описаны цегрупповые цепные многообразия полугрупп. Цепные многообразия групп (которые автоматически оказываются периодическими и потому могут рассматриваться как нолугрупповые многообразия) изучались в работе В. А. Артамонова [7], из результатов которой, в частности, вытекает полное описание таких многообразий в локально конечном случае.
Середина 80-х — начало 90-х гг. — крупные успехи. Прежде всего, в этот период был продолжен и успешно завершен штурм задачи о модулярности решетки СК. Начатое ранее исследование различных составных частей этой решетки было продолжено в работах [143,166,203,204,230] (см. также обзорные статьи [232,233,235]). Во второй половине 80-х годов появился цикл работ Л. Полака [219-221], посвященный весьма глубокому анализу строения решетки СК в целом. Опираясь на развитый в этих работах
В.2.__Обзор результатов, прошествовавших диссертации 11
подход, Ф. Пастейн в 1990 г. смог, наконец, доказать модулярность решетки СИ. (199). В том же году М. Петрич и Н. Райли в [216] и год спустя независимо Ф. Пастейн в (200] нашли иное доказательство этого факта, в меньшей степени зависящее от техники Л. Полака. Модулярность решетки СЛ. вытекает также в качестве следствия из результатов еще одной работы Ф. Пастейна [201], опубликованной также в 1991 г. В том же году результат о модулярности решетки СЛ был усилен в работе М. В. Волкова и Т. А. Ершовой [269]. Уточняя и модифицируя технику, развитую в [200, 216], авторы этой работы доказали в ней модулярность решетки всех многообразий полугрупп с вполне регулярным квадратом (результат о модулярности решетки СП при этом не использовался, так что в [269] было получено еще одно его доказательство). Отметим, что многие из перечисленных выше работ содержали также информацию о тождествах дистрибутивности и дезарговости. В ряде случаев наряду- с модулярностью той или иной части решетки вполне регулярных многообразий была также доказана дистрибутивность соответствующих многообразий “по модулю групп” (см., например, (77]). В [199,200,216] была доказана не только модулярность, но и дезарговость решетки СИ, а в [269] — дезарговостъ решетки многообразий полугрупп с вполне регулярным квадратом.
Работа [269] является частью появившегося на рубеже 80-х и 90-х годов цикла статей М. В. Волкова, в который, помимо нее, входят работы [27-30,257,260,261]. Результаты этих работ подытожены в уже упоминавшейся докторской диссертации М. В. Волкова [31]. В этих работах были аккумулированы и получили дальнейшее развитие все основные идеи, накопленные при изучении тождеств в решетках многообразий полугрупп ранее. В частности, в них получил свои первые применения принципиально новый подход к изучению решеток многообразий нильполугрупп, разработка которого была начата М. В. Волковым и автором в конце 80-х годов8). В результате М. В. Волкову удалось полпостью описать многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий, решив тем самым упоминавшуюся выше проблему Эванса, а также продвинуться в решении проблемы Шеврина, получив значительную информацию о многообразиях полугрупп с дистрибутивной решеткой подмногообразий (близкую к их полному описанию “по модулю групп”); кроме того, ему удалось доказать некоторые существенные результаты о многообразиях полугрупп с дезарговой решеткой подмногообразий.
В рассматриваемый период вышел и целый ряд других работ, связанных с обсуждаемой проблематикой. В работах [14, 69, 104, 132, 178, 236] указаны новые примеры многообразий с [не]дистрибутивной или [не] модулярной решеткой подмногообразий (работы такого рода появлялись и позднее — см., например, недавнюю диссертацию [186]). В статье [20] рассматривалось некоторое усиление дистрибутивности, близкое к условию быть цепью. В [145] указаны новые примеры решеточно универ-
в) Этот подход, основной идеей х ото рог о является хоординатизация многообразий конгруэнциями на б-множествах, играет основополагающую роль в данной диссертации, и потому в дальнейшем мы будем обсуждать его детально (см., в частности, подпункт 4° данного пункта, п. В.6 и §1). Пока же отметим только, что в обсуждаемый период времени разработка этого подхода находилась еще на начальной стадии (соответствующие результаты опубликованы в [23,258]), и потому возможности его применения были весьма ограниченны.
сальных многообразий полугрупп, а в [82] анонсировано полное описание решеточно универсальных многообразий полугрупп, в которых все периодические группы локально конечны. Следует упомянуть также статью Я. Ежека и Р. Маккензи [159], в которой получепа существенная информация о модулярных элементах решетки всех многообразий полугрупп.
Описанные выше успехи в изучении эквациональных свойств решеток многообразий полугрупп способствовали решению ряда смежных задач. Примерами здесь могут служить только что упомянутая работа [159], в которой на основе информации о модулярных элементах решетки многообразий полугрупп найдена решеточная характеризация целого ряда фундаментальных свойств многообразий, статья П. Троттера [252], в которой модулярность решетки С К. была применена для получения результатов о подпрямых разложениях этой решетки, и работа автора [21], где упомянутые выше результаты М. В. Волкова были использованы для олисапия псевдомногообразий полугрупп с модулярной решеткой подпсевдомного-образий.
Для полноты картины отметим, что в период с середины 70-х до середины 90-х годов вышло немало работ, в которых исследовались эквацио-нальные свойства решеток многообразий полугрупп с различными дополнительными сигнатурными операциями или решеток классов полугрупп, близких к многообразиям. Здесь прежде всего следует отметить работы, в которых с указанной точки зрения рассматривались многообразия инверсных полугрупп (как унарных полугрупп, где унарная операция состоит во взятии инверсного элемента) [40,48—50,127,180,227—229,231,234]; см. также монографию М. Петрича [210]. Эквациональные свойства решеток многообразий полугрупп с регулярной инволюцией (как унарных полугрупп) рассматривались в [105,106,116,117,211,215]. Напомним, что эпигруппой называется полугруппа, некоторая степень всякого элемента которой лежит п некоторой подгруппе этой полугруппы. На всякой эпигруппе естественным образом можно ввести унарную операцию псевдообращения — см. [96]. В указанной только что работе содержится некоторая информация о многообразиях эпигрупп (как унарных полугрупп) с модулярной решеткой подмногообразий. В работах [255,270,271] с интересующей нас точки зрения рассматривались многообразия моноидов (в том числе вполне регулярных моноидов и моноидов с регулярной инволюцией). От Т. Холла (см., например, [151]) идет идея рассматривать е-многообразия регулярных полугрупп, т. е. классы регулярных полугрупп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов, прямых произведений и регулярных подполугрупп. Информация о тождествах в решетках е-многообразий регулярных полугрупп имеется в [118,151]. Упомянем, наконец, о псевдомногообразиях, т. е. о классах однотипных конечных алгебр, замкнутых относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и конечных прямых произведений. Как показано в работе [110], строение решеток псевдомногообразий тесно связано со строением решеток многообразий. Эквациональные свойства решеток псевдомногообразий полугрупп и моноидов (в том числе инверсных полугрупп и вполне регулярных полугрупп и моноидов) рассматривались в работах [21,119,152,177,201,202,270]; см. также монографию Дж. Алмейды [114] и ее английский перевод [115].
Подводя итог, можно сказать, что с конца 60-х годов и до первой по-
В.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации 13
ловины 90-х годов исследование эк национальных условий в решетках по-лугрупповых многообразий велось интенсивно и широким фронтом и привело к достижению ряда значительных результатов. Тем не менее, многие естественные вопросы в обсуждаемой области оставались открытыми. В частности, практически ничего не было известно о других тождествах в решетках многообразий полугрупп, кроме модулярности, дистрибутивности и дезарговости. Вовсе не исследовались квазитождества в этих решетках. Почти ничего не было известно и о таком важнейшем обобщении модулярности, как полумодулярность.
2°. Мультипликативные свойства конгруэнций. Под мультипликативными свойствами конгруэнций мы понимаем свойства, формулируемые в терминах произведения конгруэнций как бинарных отношений. Существует тесная связь между тождествами в решетках многообразий и мультипликативными свойствами конгруэнций на алгебрах из многообразия. Напомним, что многообразие универсальных алгебр называется конгруэнц-п-перестановочным (где п — натуральное число), если на всякой его алгебре любые две конгруэнции а и (3 удовлетворяют равенству ара-" = /За/З• • •, где слева и справа стоят слова длины п. При п = 2 конгруэнц-п-перестановочные многообразия называются просто ко-нгруэщ-перестановочными, а при п = 3 — слабо конгруэнц-перестано-вечными. Из классических результатов Б. Йонссона [168] (см. также, например, [38], §1У.4), вытекает, что решетка подмногообразий произвольного [слабо] конгруэнц-перестановочного многообразия универсальных алгебр модулярна [дезаргова]. В работах (189,190] показано, что если многообразие конгруэяц-п-нерестановочно для некоторого натурального п, то решетка его подмноххюбразий удовлетворяет некоторому нетривиальному тождеству.
В случае многообразий полугрупп, однако, условия типа конгруэнц-пе-рестановочности, т. е. ограничения, накладываемые на все конгруэнции всех алгебр из многообразия, как правило, оказываются слишком жесткими и ие представляют интереса с точки зрения теории полугрупп. В частности, многообразие полугрупп конгруэнц-п-перестановочно (для некоторого л) тогда и только тогда, когда оно является многообразием периодических групп (при л = 2, т. е. для конгруэнц-перестановочпых многообразий, этот результат впервые появился в самом начале 60-х годов в диссертации Е. Тулли [253] и несколько позднее был опубликован в его же работе [254]; при п = 3, т. е. для слабо конгруэнц-перестановочных многообразий, он непосредственно вытекает из теоремы 1.2(Ш) работы П. Джонса [167]; наконец, для произвольного л он доказан в работе П. Липпарини [190]).
Ситуация становится существенно более интересной, если накладывать мультипликативные ограничения не на все конгруэнции всех полугрупп из многообразия, а только на вполне инвариантные конгруэнции полугрупп, свободных в многообразии. При этом, с одной стороны, в полной мере сохраняются связи с тождествами в решетках многообразий, а с другой — возникают классы многообразий, интересные с полугрупиовой точки зрения. Так, например, в работах [200,216] было показано, что на произвольной (даже не обязательно относительно свободной) вполне простой полугруппе любые две вполне инвариантные конгруэнции перестановочны. В работах, посвященных тождествам в решетках полу групповых многообра-
зий, эпизодически появлялись рассмотрения, связанные с обсуждаемыми сейчас вопросами (см., например, [200,216,261,269]). Но они не создавали целостной картины и оставляли без ответа многие естественные вопросы. Кроме того, мультипликативные свойства вполне инвариантных конгруэнций на полугруппах, свободных в многообразиях, не были ранее самостоятельным объектом изучения.
3°. Подрешстки решетки многообразий полугрупп. Пробелы в исследованиях, о которых упоминалось в двух предыдущих подпунктах, стали очевидны уже к концу 80-х годов. Но попытки заполнить их наталкивались на серьезные трудности, связанные прежде всего с некоторыми особенностями имевшейся тогда информации о “глобальном строении” решетки всех полугрупиовых многообразий. К концу 80-х годов в этом направлении было получено немало результатов. Однако различные составные части решетки всех многообразий полугрупп были изучены весьма неравномерно. Чтобы пояснить последний тезис, введем необходимые обозначения.
Общеизвестно, что всякое многообразие полугрупп является либо периодическим (т. е. состоящим из периодических полугрупп), либо надком-мутативным (т. е. содержащим многообразие всех коммутативных полугрупп). И совокупность Per всех периодических многообразий, и совокупность ОС всех надкоммутативных многообразий являются иодрешетками решетки всех многообразий полугрупп. В решетке Per можно выделить две большие подрешетки, пересекающиеся только по тривиальному многообразию, т. е. многообразию, состоящему только из одноэлемептных полугрупп. Речь идет об уже упоминавшейся подрешетке CR всех вполпе регулярных многообразий и о подрешетке Nil всех нильмногообразиЙ. “Взаимное расположение” упомянутых подрешеток решетки всех многообразий полугрупп изображено на рис. В.1 (где через Т, СОМ и SSM обозначены, соответственно, тривиальное многообразие, многообразие всех коммутативных полугрупп и многообразие всех полугрупп).
Не будет большим преувеличением сказать, что вплоть до середины 90-х годов практически во всех работах, в которых декларировалось изучение решетки всех многообразий полугрупп, в действительности изучалась ее под решет к a Per. О ней удалось узпать достаточно много, а некоторые ее важные фрагменты были даже полностью описаны (не претендуя на полноту, отметим здесь работы [19,57,83,111,144,178,195,199,200,216,219— 221,236,269]).
В то же время о решетке ОС к указанному времени было получено лишь несколько изолированных фактов, не создающих общего представления о строении этой решетки. По существу здесь можно упомянуть лишь работы А. Я. Айзенштат [1] и Дж. Макналти [193]. В первой из них доказало, что в решетке ОС каждый элемент имеет покрытие®), а во второй установлено, что ОС не содержит антиизоморфной копия решетки разбиений на счетном множестве.
Решетки CR и Nil также были изучены в совершенно различной степени. Первая из них исследовалась в 70-е и 80-е годы весьма активно. Усили-
0) Сравнительно недавно этот факт передок азан более простым способом М. В. Волковым в [264].
B.2. Обзор результатов, предшествовавших диссертации 15
SSM
Рис. В.1. Основные подрешехки решетки многообразий полугрупп
ями целого ряда авторов в этот период строение решетки CR было изучено довольно детально (более подробную информацию об этом см. в подпункте 1°). В то же время информация о решетке Nil, полученная к концу 80-х годов, может быть охарактеризована как весьма скудная и фрагментарная. Здесь можно отметить, пожалуй, лишь работы И. И. Мельника [65], Дж. Алмейды [113] и И. О. Корякова [181], в которых получена некоторая информация о “нижних этажах” решетки Nil, и работу Я. Ежека [157], в которой показано, что решетка Nil (в отличие от ОС) содержит анти-изоморфную копию решетки разбиений на счетном множестве. Последний результат свидетельствует о большой (в определенном смысле максимальной) сложности устройства решетки нильмногообразий. Неудивительно поэтому, что вплоть до середины 90-х годов бытовало представление, что решетка Nil устроена крайне нерегулярно и получить о ней какие-либо результаты “позитивного" характера практически невозможно.
Столь явная неравномерность в исследовании различных частей решетки полугрупповых многообразий объясняется вполне конкретными объективными причинами. Как уже отмечалось в подпункте 1°, успехи в исследовании решетки CR были основаны на применении структурной теории полугрупп. Но эта теория практически не применима для изучения решеток Nil и ОС. Фактически вплоть до начала 90-х годов изучение этих решеток проводилось, как сказано в уже упоминавшемся обзоре Т. Эванса [134], путем “прямой атаки на тождества как таковые (в сочетании с толикой элементарной теории чисел)”10). Между тем, как было ясно уже тогда, обе решетки, о которых идет речь, устроепы весьма сложно, и вря-дли можно было надеяться глубоко проникнуть в их внутреннюю структуру с помощью столь “кустарных” методов. Подводя итог, можно сказать,
10) В оригинале: “a direct attack on the identities themselves (combined with a little elementary number theory)" (cm. [134], p. 32).
16
Введение
что изучение решеток Nil и ОС сдерживалось отсутствием адекватного языка, на котором можно было бы формулировать и доказывать соответствующие результаты.
4°. Конгруэнции на G-множествах. Адекватный язык для изучения решеток Nil и ОС был предложен в 90-х годах автором и М. В. Волковым. Оказалось, что их строение может быть охарактеризовано в терминах решеток конгруэнций некоторых специфических унарных алгебр, так называемых G-множеств. Соответствующие результаты о решетках над-коммутативных многообразий опубликованы в [263], а о решетках ниль-многообразий — в [23-25]11). Отметим, что разработанный в этих работах подход можно рассматривать как аналог хорошо известного метода изучения решеток многообразий линейных алгебр пад полем характеристики 0 с помощью представлений симметрической группы (см., например, [10,11]), широко применяемого, в том числе, и для изучения тождеств в этих решетках.
Язык G-множеств оказался очень удобным для изучения свойств решеток Nil и ОС. Но д ля его успешного применения нужна была существенная информация о решетках конгруэнций G-множеств. Отметим, что изучение этих решеток представляет, на наш взгляд, и несомненный самостоятельный интерес, поскольку изучение решеток конгруэнций алгебр различных типов является одной из стандартных постановок задач в общей алгебре. В этой связи уместно отметить, что решетки конгруэнций унаров, т. е. унарных алгебр с одной операцией, изучались весьма активно (см., например, работы [16.41-44,120,246], в которых рассматривались унары с ограничениями на решетку их конгруэнций), по о решетках копгруэнций унарных алгебр с произвольным числом операций до появления наших результатов было известно совсем немного (хотя нельзя сказать, что в этом направлении исследования совсем не велись — см., например, работу [245]). Что же касается мультипликативных свойств конгруэнций унарных алгебр, то они, по-видимому, ранее совсем не исследовались, даже в случае унаров.
В.З. Цели работы
Основная цель диссертации состоит в том, чтобы заполнить описанные выше пробелы в изучении решеток многообразий полугрупп. Проведенный в п. В.2 анализ приводит к формулированию четырех более конкретных целей:
1) изучить многообразия полугрупп, решетки подмногообразий которых удовлетворяют различным квазитождествам (в том числе тожде-
п) См. также заметку (258), в которой была анонсирована первоначальная версия результатов, впоследствии в усовершенствованном виде опубликованных в (24). Отметим, что в [258], а также в диссертации М. В. Волкова [31], решетки иильмногообразий описывались не на языке решеток конгруэнций G-множеств, а с помощью более сложных производных решеток, так называемых решеток согласованных пар G-множсств (мы не приводим соответствующего определения, поскольку в дальнейшем это понятие нам не понадобится). Переход от решеток согласованных пар к решеткам конгруэнций G-множеств, позволивший существенно упростить получение дальнейших результатов и в значительной степени “запараллелить" рассмотрение ниль- и надкоммутативного случаев, был осуществлен автором данной диссертация.
В.4. Основные проблемы 17
ствам, отличным от модулярности и дистрибутивности) и условию полу модул ярности;
2) целенаправленно и последовательно изучить мультипликативные свойства вполне инвариантных конгруэнций на полугруппах, свободных в многообразиях, и, в частности, выяснить, какой конкретно вид принимают в полугрупповом случае априорно существующие связи между свойствами такого рода и тождествами в решетках многообразий;
3) опираясь на связь между решетками многообразий полугрупп и конгруэнциями на (7-множсствах, получить разнообразную конкретную информацию о решетках нильмногообразий и падкоммутативиых многообразий;
4) изучить решеточные и мультипликативные свойства конгруэнций на С-множествах, имея в виду дальнейшее использование этих результатов для решения тех задач о многообразиях полугрупп, о которых шла речь выше.
В.4. Основные проблемы
Определения всех встречающихся в данном пункте и не введенных выше понятий см. в §0.
Как уже упоминалось в п. В.2, в обзоре Т. Эванса [134] была поставлена
Проблема 1 (проблема Эванса). Описать многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий.
Не менее естественной в рамках обсуждаемого направления является следующая проблема, поставленная Л. Н. Шевриным в [84], проблема 2.60а).
Проблема 2 (проблема Шеврина). Описать многообразия полугрупп с дистрибутивной решеткой подмногообразий.
К числу наиболее известных и важных решеточных тождеств, наряду с дистрибутивностью и модулярностью, относится тождество дезарговости. Оно играет важную роль в общей теории решеток (см., например, [38,161]) и неоднократно возникало при изучении решеток многообразий полугрупп (см., например, [200,216,269]). В связи с этим представляется естественной следующая
Проблема 3. Описать многообразия полугрупп с дезарговой решеткой подмногообразий.
Насколько нам известно, в литературе до сих пор не встречалось ни одного явного примера многообразия универсальных алгебр с модулярной, но не дезарговой решеткой подмногообразий. Существование таких многообразий легко вытекает из следующего результата, полученного в первой половине 80-х годов независимо С. Р. Когаловским и Д. Пигоцци: всякая коалгебраическая решетка с внешне присоединенным нулем изоморфна решетке подмногообразий некоторого многообразия универсаль-
ных апгебр12). С другой стороны, в работе Р. Фриза и Б. Йонссона [139] показано, что решетка подмногообразий всякого конгруэнц-модулярного многообразия дезаргова. Все это делает весьма интересным следующий тесно связанный с проблемой 3 вопрос:
эквивалентны ли модулярность и дезарговость в решетках подмногообразий многообразий полугрупп?
Отметим, что из результатов работ [27-29,269] и их доказательств вытекает положительный ответ на этот вопрос для многообразий индекса ^ 2 (т. е. многообразий, в которых всякая нильполугруппа есть полугруппа с нулевым умножением).
Проблемы 1-3 находились в центре внимания в докторской диссертации М. В. Волкова [31]. Проблема 1 была решена в [31] полностью, решение проблемы 2 было сведено к многообразиям полугрупп с вполне регулярным квадратом, т. е. многообразиям, в которых квадрат всякой полугруппы есть вполне регулярная полугруппа, а решение проблемы 3 — к нилъмно-гообразиям. Отметим, что проблема 2 остается до сих пор не решенной даже для вполне регулярных многообразий. Можно сказать, что трудности, которые не позволяют пока полностью решить эту проблему, далеко выходят за рамки идей и методов наших исследований.
Одним из естественных направлений, продолжающих и развивающих исследования М. В. Волкова, является рассмотрение квазитождеств в решетках многообразий полугрупп. Отметим, что решетки многообразий обладают рядом свойств, близких по духу к квазитождествам (см. работы [22,133,183,185], а также леммы 0.17 и 4.11 ниже). Анализ доказательств упомянутых выше результатов М. В. Волкова показывает, что развитая в них техника в значительной степени может быть применена при рассмотрении произвольных решеточных квазитождеств, влекущих модулярность. Это делает естественной следующую проблему.
Проблема 4. Для произвольного квазимногообразия модулярных решеток Ъ описать многообразия полугрупп, решетка подмногообразий которых принадлежит Ь.
Техника, развитая в [31], сводит решение этой проблемы к двум уже упоминавшимся случаям — многообразиям полугрупп с вполне регулярным квадратом и нильмногообразиям. Решение проблемы 4 в первом из этих случаев должно было бы включать в себя, в частности, ее решение для вполне регулярных многообразий. Но здесь, как уже отмечалось выше, остается неразобранным даже тот простейший случай, когда в качестве Ь выступает многообразие всех дистрибутивных решеток. Поэтому ставить вопрос о полном решении проблемы 4 пока преждевременно. Однако степень общности этой проблемы столь велика, что ее решение даже в том или ином классе многообразий полугрупп представляет значительный интерес. Из сказанного выше ясно, что класс, в котором следует прежде всего попытаться решить проблему 4, должен быть в каком-то смысле далек от
12) Как сообщил недавно автору Д. Пигоцци, этот результат остается пока неопубликованным. Упоминания о нем имеются в [52,133,183,184] и ряде других работ. В некоторых из них (например, я [160]) отмечается, что доказательство, найденное Д. Пигоцци, в дальнейшем было существенно упрощено Г. Тардошем.
В.4. Основные проблемы
19
класса полие регулярных многообразий, а значит и от многообразий групп. Одним из наиболее важных и обширных классов полугрупновых многообразий такого рода является класс всех комбинаторных многообразий, т. е. многообразий, не содержащих нетривиальных групп. Он включает в себя, в частности, все нильмногообразия.
Продолжим список проблем. К числу наиболее известных и важных решеточных квазитождеств, не влекущих модулярность, относится полу-дистрибутивность. Наряду с модулярностью, полудистрибутивность является одним из важнейших обобщений дистрибутивности. Она естественно возникает как в различных областях теории решеток, так и в теории многообразий — см., например, монографии [37,91,161]. Имеется большое число работ, посвященных конгруэнц-полудистрибутипным многообразиям универсальных алгебр (см. монографию [91]; из более поздних работ отметим [129] и [174]). Все сказанное делает естественной следующую проблему.
Проблема 5. Описать многообразия полугрупп с полудистрибутив-ной {вверх или вниз) решеткой подмногообразий.
Из того, что 5-элементная модулярная недистрибутивная решетка не является полудистрибутивной ни вверх ни вниз, автоматически вытекает, что модулярная полудистрибутивная (вверх или вниз) решетка дистрибутивна. С учетом упоминашейся в п. В.2 модулярности решетки СН, это означает, что для вполне регулярных многообразий проблема 5 эквивалентна проблеме 2. Как уже отмечалось выше, последняя проблема в случае вполне регулярных многообразий пока весьма далека от своего решения. Поэтому иа данном этане естественно ограничиться рассмотрением проблемы 5 для мпогообразий, в каком-то смысле далеких от вполне регулярных, например, для нильмногообразий.
Важнейшим обобщением модулярности является полумодулярность. Полумодулярным решеткам целиком посвящена недавно вышедшая монография М. Штерна [247]; значительное внимание уделено им также в монографиях [38,128]. Полумодулярность возникает и при рассмотрении некоторых других ограничений на решетки полугрупповых многообразий (см., например, [286]). Имеется ряд работ, посвященных конгруэнц-полу-модулярным многообразиям как универсальных алгебр [107-109,172], так и полугрупп [167] (см. также гл. 9 в [247]). Все это делает естественной следующую проблему.
Проблема в. Описать многообразия полугрупп с полумодулярной {вверх или вмнэ) решеткой подмногообразий.
Кал уже отмечалось в п. В.1, мультипликативные свойства вполне инвариантных конгруэнций на алгебрах из многообразия (такие, как перестановочность и слабая перестановочность) зачастую являются подлинной причиной выполнения тех или иных тождеств в решетке его подмногообразий. Это побудило Ф. Пастейна во второй половине 80-х годов сформулировать следующую проблему.
Проблема 7 (проблема Пастейна). Описать многообразия полугрупп, на свободных объектах которых вполне инвариантные конгруэнции перестановочны.
В силу сказанного выше естественной является также следующая проблема, поставленная в [31].
Проблема 8 (проблема Волкова). Описать многообразия полугрупп, на свободных объектах которых вполне инвариантные конгруэнции слабо перестановочны.
Как обычно, мы будем обозначать решетку подмногообразий многообразия V через £(У). Из результатов работы [124] вытекает, что решетка всех коммутативных многообразий полугрупп (а значит, и решетка подмногообразий произвольного надкоммутативного многообразия) не удовлетворяет никакому нетривиальному решеточному квазитождеству. Хорошо известно также, что эта решетка не является ни полумодулярной вверх, ни полу модулярной вниз. Учитывая еще, что условия, о которых идет речь в проблемах 7 и 8, влекут модулярность решетки подмногообразий (это вытекает из результатов Б. Йонссона [168]), получаем, что ни одно из условий, о которых идет речь в проблемах 1-8, не выполняется ни в каком надком-мутативном многообразии. Но для того, чтобы получить информацию о строении решетки ОС, естественно рассматривать не всю решетку подмногообразий данного надкоммутативного многообразия V, а только решетку его надкоммутативных подмногообразий, т. е. интервал [СОМ, V] решетки £(У), где через СОМ обозначено многообразие всех коммутативных полугрупп. При рассмотрении же мультипликативных свойств вполне инвариантных конгруэнций на полугруппах, свободпых в надкоммутативных многообразиях, естественно ограничиться только подкоммутативными вполне инвариантными конгруэнциями, т. е. такими, которые содержатся во вполне инвариантной конгруэнции на соответствующей полугруппе, отвечающей многообразию СОМ.
Естественно возникают следующие “надкоммутативные” варианты проблем 1-8.
Проблема 1'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп с моду^гярной решеткой надкоммутативных подмногообразий.
Проблема 2'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп с дистрибутивной решеткой надкоммутативных подмногообразий.
Проблема 3'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп с дезарговой решеткой надкоммутативных подмногообразий.
Проблема 4'. Для произвольного квазимногообразия модулярных решеток Ь описать надкоммутативные многообразия полугрупп, решетка надкоммутативных подмногообразий которых принадлежит Ь.
Проблема 5'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп с полудистрибутивной (вверх или вниз) решеткой надкоммутативных подмногообразий.
Проблема 6'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп с полумодулярной (вверх или вниз) решеткой надкоммутативных подмногообразий.
В.5. Основные результаты 21
Проблема 7'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп, на свободных объектах которых подкоммутатионые вполне инвариантные конгруэнции перестановочны.
Проблема 8'. Описать надкоммутативные многообразия полугрупп, на свободных объектах которых подкоммутативные вполне инвариантные конгруэнции слабо перестановочны.
В.5. Основные результаты
В диссертадии решены проблемы 3, 6-8 и 1'-8' в полном объеме и проблемы 4 и 5 в обширных частных случаях (проблема 4 — для комбинаторных многообразий, а проблема 5 — для нильмногообразий). В табл. В.1 для каждой из этих проблем указаны теоремы, которые дают ее решение (для проблем 4 и 5 — в указанных классах многообразий).
Проблемы 3 4 5 6 7 8 1' 2> 3' 4/ 5' 6' 7' 8'
Теоремы 1 3-7,9 8 1,2 13 17 21 18 21 18-21 18 21,22 18 21
Таблица В.1.
Кроме того, нами получен ряд смежных результатов. Так, решение проблемы 5 (для нильмногообразий) является частным случаем более общего результата, который дает описание нильмногообразий, решетка подмногообразий которых принадлежит произвольному квазимногообразию решеток, не содержащему 5-элементной модулярной недистрибутивной решетки Л/з (см. теорему 8). Аналогично обстоит дело с решением проблемы 5' (см. теорему 18). В этой связи отметим, что класс решеточных квазимногообразий, не содержащих Мз, наряду с квазимпогообразиями полудистри-бутивных вверх и вниз решеток, включает и некоторые другие известные [квази]многообразия решеток. Среди них, например, многообразие так называемых почти дистрибутивных решеток, введенное в работе (187] (см. также [161], §4.3).
Наряду с перестановочностью и слабой перестановочностью вполне инвариантных конгруэнций, мы рассматриваем еще два их мультипликативных свойства. Первое из них задается равенством ар = а и Р, а второе — равенством аРа = аР и Ра (где и — теоретико-множественное объединение). Ясно, что первое из этих свойств сильнее перестановочности, а второе — слабее перестановочности, но сильнее слабой перестановочности. По причинам, которые будут объяснены в п. 0.10, мы будем называть эти свойства 1.5-перестановочностью и 2.5-перестановочностью соответственно. Описание многообразий полугрупп, на свободных объектах которых любые две вполпе инвариантные конгруэпции 1.5-перестановочны или 2.5-перестаяовочны, дают теоремы 10 и 16 соответственно, а описание над-коммутативных многообразий, на свободных объектах которых любые две подкоммутативные вполне инвариантные конгруэнции 1.5-перестановочны или 2.5-перестановочны — теоремы 18 и 19 соответственно.
По причинам, которые будут объяснены в п. 0.10, существенный интерес с точки зрения выполнения тождеств в решетках полугрупповых
многообразий представляет ситуация, когда тем или иным мультипликативным свойством обладают не все вполне инвариантные конгруэнции на свободных объектах многообразия, а только те из них, которые содержатся в наименьшей полу решеточной конгруэнции. В диссертации получено описание многообразий полугрупп, на свободных объектах которых вполне инвариантные конгруэнции, содержащиеся в наименьшей полу решеточной конгруэнции, 1.5-перестановочны (теорема 11) или перестановочны (теорема 14). При этом выяснилось, что эти два свойства, вообще говоря, не наследуются подмногообразиями. Многообразия, все подмногообразия которых обладают этими двумя свойствами, также описаны в диссертации (теоремы 12 и 15 соответственно).
Из результатов диссертации вытекает, что если 9 — любое из свойств, о которых идет речь в проблемах 1-8, то всякое нильмпогообразие, обладающее свойством в, содержится в некотором максимальном многообразии с этим свойством, причем число таких максимальных многообразий во всех случаях конечно. То же относится и к надкоммутативным многообразиям со свойствами, о которых идет речь в проблемах 1'-8'. Эти факты не вытекают ни из каких априорпых соображений и представляют, на наш взгляд, определенный самостоятельный интерес. Отметим в этой связи, что не всякое многообразие полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий содержится в максимальном многообразии с тем же свойством (это легко вытекает из результатов работы [ЗО])13).
Отметим, что развитая нами техника допускает применения и в других направлениях. Так, например, с ее помощью нами полностью описаны специальные элементы ряда типов (а именно — дистрибутивные, кодистри-бутивные, стандартные, костандартные и нейтральные элементы) решетки всех надкоммутативных многообразий полугрупп. Чтобы не перегружать диссертацию, мы не включили этот результат в ее основной текст, ограничившись воспроизведением его формулировки в п. 3.2 заключения (теорема 23).
Результаты, полученные в диссертации показывают, что существует целый ряд тесных и во многом совершенно неожиданных взаимосвязей между рассмотренными в ней условиями (это, кстати говоря, видно уже из табл. В.1, в которой в нескольких случаях одна и та же теорема соответствует двум или более проблемам). Укажем наиболее интересные из них:
1) для произвольного [надкоммутативного] многообразия полугрупп модулярность решетки его [надкоммутативных] подмногообразий эквивалентна с одной стороны дезарговости этой решетки, а с другой — ее полумодулярности вверх (но не эквивалентна полумодулярности вниз);
2) для комбинаторного [надкоммутативного] многообразия полугрупп модулярность решетки его [надкоммутативных] подмногообразий эквивалентна принадлежности этой решетки некоторому многообразию
13* Заметим, что при изучении тождеств в решетках многообразий возникали и ситуации, еще более контрастные к описанной выше. Так, например, в работе Д. С. Аиа-иичева [5] показано, что никакое многообразие разрешимых колец Ли с дистрибутивной решеткой подмногообразий не содержится в максимальном многообразии с тем же свойством.
В.5. Основные результаты __________________________ 23
решеток, имеющему всего семь подмногообразий (напомним в этой связи, что решетка многообразий модулярных решеток континуальна);
3) для нкльмногообразия [надкоммутативного многообразия] полугрупп дистрибутивность решетки его [надкоммутативных] подмногообразий эквивалентна как ее полудистрибутивности вверх, так и ее полуди-стрибутивность вниз; более того, все эти свойства эквивалентны тому, что указанная решетка принадлежит произвольному квазимногообразию решеток, не содержащему решетки М$;
4) для нкльмногообразия [надкоммутативного многообразия] полугрупп V перестановочность любых двух [подкоммутативных] вполне инвариантных конгруэнций на У-свободных полугруппах эквивалентна
1.5-перестановочности любых двух таких конгруэнций;
5) для надкоммутативного многообразия полугрупп V перестановочность [слабая перестановочность; 2.5-перестановочность] подкоммутативных вполне инвариантных конгруэнций на У-свободньпс полугруппах эквивалеитпа тому, что решетка его надкоммутативных подмногообразий дистрибутивна [модулярна; принадлежит многообразию, порожденному решеткой Мз];
6) для нильмногообразия V перестановочность [2.5-перестановочность] вполне инвариантных конгруэнций на У-свободных полугруппах является более сильным ограничением, чем дистрибутивность решетки его подмногообразий [принадлежность этой решетки многообразию, порожденному решеткой Мз].
Более полно и подробно взаимосвязи между условиями на многообразия, рассмотренными в диссертации, указаны на схемах II-IV (см. с. 162, 163 и 221). Взаимосвязи между дистрибутивностью и перестановочностью, указанные в пп. 5) и 6), представляются неожиданными и трудно предсказуемыми. В самом деле, перестановочность конгруэнций привычно ассоциируется не с дистрибутивностью, а с намного более слабым тождеством дезарговости (здесь уместно напомнить, что многообразие всех дезарговых решеток содержит континуум подмногообразий, в то время как многообразие всех дистрибутивных решеток — всего два подмногообразия). Однако в диссертации показало, что эти взаимосвязи в действительности вполне закономерны — их подлинной причиной является близость соответствующих свойств конгруэнций на С-множествах (см. п. В.6 и §2).
Указанные выше взаимосвязи между решеточными и мультипликативными условиями проявляются не только на уровне формулировок результатов, но и на уровне их доказательств. Так, например, доказательство “мультипликативной” теоремы 11 содержит большой фрагмент, который почти дословно повторяет значительную часть доказательства “решеточной” теоремы 8. Еще более ярко этот феномен проявляется при изучении надкоммутативных многообразий. Здесь рассмотрение каждого из мультипликативных ограничений проводится параллельно с рассмотрением нескольких эквивалентных ему решеточных условий, и соответствующие рассуждения отличаются лишь незначительными деталями.
Переклички другого рода возникают при рассмотрении одних и тех же или близких ограничений для нильмногообразий и надкоммутативных
многообразий. Приведем соответствующий пример. Практически во всех основных результатах диссертации фигурируют списки систем тождеств, в которых все системы содержат перестановочное тождество. Подлинной причиной этого является то, что как в нилъ-случае, так и в надкоммутатив-ном случае, решетка подмногообразий содержит интервал, антиизоморф-ный некоторому интервалу решетки подгрупп симметрической группы любой степени. Соответствующие результаты (следствие 1.3 в нилъ-случае и следствие 1.5 в надкоммутативном случае) имеют схожие формулировки и почти идентичные доказательства. В то же время, в некоторых случаях аналогичные постановки задач для нильмногообразий и надкоммутатив-ных многообразий приводят к различным, а иногда даже резко контрастным по духу результатам (ср., например, следствие 4.4 и пример 13.1).
Как уже отмечалось в п. В.1, решетка подмногообразий произвольного многообразия универсальных алгебр антиизоморфна решетке всех конгруэнций некоторой алгебры. Поэтому интересно сопоставить наши результаты с результатами о копгруэнц-0-многообразиях для различных решеточных свойств в. Наш результат об эквивалентности модулярности и дез-арговости в решетках многообразий полугрупп можно рассматривать как аналог известного результата Р. Фриза и Б. Йонссона [139] об эквивалентности конгруэнц-модулярности многообразия универсальных алгебр его конгруэнц-дезарговости. Конгруэнц-полумодулярные многообразия универсальных алгебр изучались в [107-109.172], а конгруэнц-полумодулярные многообразия полугрупп — в [167] (см. также гл. 9 в монографии [247]). В [172] установлено, что в некотором достаточно широком классе многообразий универсальных алгебр конгруэнц-полумодулярность вниз эквивалентна конгруэнц-модулярности. Некоторое достаточное условие эквивалентности конгруэпц-полумодулярности вверх и конгруэнц-модулярности указано в [107]. Тем не менее, конгруэнц-полумодулярность вверх является значительно более слабым ограничением, чем конгруэнц-модулярность. Причем это верно не только для произвольных многообразий универсальных алгебр [108,109), ио и для многообразий полугрупп [167]. С учетом двойственности между решетками многообразий и решетками конгруэнций, такие взаимоотношения между конгруэнц-полумодулярностью и конгруэнц-модулярностью вполне аналогичны нашим результатам о полумодулярности в решетках многообразий полугрупп (см. также комментарий к теореме 2 в п. 3.0). Из большого числа работ, посвященных конгру-энц-полудистрибутивным многообразиям, выделим недавнюю статью [174]. В ней показано, что конгруэнц-полудистрибутивность вверх произвольного локально конечного многообразия универсальных алгебр V эквивалентна выполнению некоторого тождества в решетках конгруэнций алгебр из V. Это перекликается с нашими результатами об эквивалентности полудис-трибутивности и дистрибутивности в решетках нильмногообразий и над-коммутативных многообразий полугрупп. В работе [173] получена некоторая характеризация локально конечных конгруэнц-п-перестановочных многообразий универсальных алгебр при п = 2,3 в терминах так называемой теории ручных конгруэнций (см. [91]) и показано, что характеризация такого рода при п > 3 невозможна. В этом можно усмотреть аналогию с нашими результатами из п. 2.3, где охарактеризованы конгруэнц-п-перестановочные С-множества при п ^ 3 (предложение 2.3) и приведен